高中数学涂色问题常用技巧

高中数学涂色问题常用技巧
王忠全
涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。

例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，
有多少种涂法？
解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A =24种涂法。

例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？
解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，
至少要用三色涂空，才能满足要求。

法1：
1） 恰用三色：212334⨯⨯⨯⨯C =48种涂法； 2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。

共有24+48=72种涂法。

法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。

评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。

一、 区域涂色问题
（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。

例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，3
1）1，3同色，则1，3有1
4C 种方法，2有13C
可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2
同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。

2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1
同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。

法2：公式法
共有35+3⨯（-1）5=240种方法。

定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。

证明：如图，设有a n 种不同涂法。

1)1(--n m m 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则
11)1(----=n n n a m m a
1
)1(111
)1()1()1(11
111-+
---=-+
--=--⋅+-=-----m m m a m m m
m a m a m m a a n n n n n n n n n
其中)1(2
2-==m m A a m
，设1,)1(2
-=-=m m
b m a b n
n n 则 令()r b m r b n n ---
=-1
1
，则r=1， 可知，。

m ，m b b n 为公比的等比数列为首项是以数列1
1
111}1{2---=--
()
()()()
n
n
n n
n n n m m m m m a ，
m m b 111]111[111111112
2
-+--=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅--=+⎪
⎭⎫ ⎝⎛--⋅-=--
这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色”问题。

例4（2003）四种不同颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不同色的涂法共有 种。

解析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要4种颜色，属于保低色，可用公式。

把左图等价转化为右图. 先涂1：有4种方法；余下3色涂5个空（圆形）有（3-1）5+(-1)5（3-1）
=30种涂法,由分步计数原理,共有120种涂法. 若用间空涂色,可这样考虑:
1）涂1,有4种方法，余下3种颜色；
2）2、4同色，有1
3C 种涂法；此时，3有2种涂法；5与3同色时，6
有1种涂法（颜色要用完）；5与3不同色时，5有1种涂法，此时6有1种涂法，共有12)11(23=+⨯⨯种涂法；
2、4不同色，有23A =6种涂法；此时3有1种涂法；若5与3同色，6有1种涂法；5与3不同色，6有2种涂法（与4，或3同色）共有
211(16⨯+⨯⨯）=18种涂法；
综上所述，由分步计数原理，共有120种涂法评析：分类讨论，种类繁多，要做到不重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能的，关键是要熟练掌握。

变式：（2003全国）一个行政区分为5个区域，用4种颜色给地图涂色，要求邻居空不同色的不同涂色方法有 种。

二、点涂色问题
用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题，是做题的关键。

例5、用4种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法
共有多少种？
解析；一脚把点P 踩到ABC 平面，问题等价转化为给下图涂色。

P
A B C
共有24)13(2)1(433=-+⨯-⨯种，即44A 种涂法。

变式：用5种颜色给四面体的四个顶点涂色，要求邻点不同色的涂法共有多少种？
答案：⋅45C 44A ，或)33(31
5
-C =120种 三、线段涂色
用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。

例5、 用6种颜色给四面体的6条棱涂色，要求邻棱不同色的涂法共
有多少种？
解析：把图转化为：
1）恰用3色，则1、6；2、5；3、4分别同色，有1203336=A C 种涂法； 2）恰用4色，则1、6；2、5；3、4有两对分别同色，如1、6；2、5同色，3、4有24A 种涂法，两同色组有22A 种涂法，共有46C 23C 24A 22A 种涂法
P
A B C
P
A B
C
1 2
3
4
5 6
3）恰用5色，则1、6；2、5；3、4有1对分别同色，如1、6；则3、
4，2、5有44A 种涂法，共有46C 1
3
C 44A 种涂法 4）恰用6色，有66A 种涂法； 综上所述：共有4080种涂法。

评析，若你很难转化为区域问题，就不要转化，按线段的相对性可做。

四、面涂色问题
同上面说过的方法类似，能转则转，否则用面的相对性求解。

例7、用6种颜色（可选择）给正方体的6个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同的涂法？
解析：图转化为
1）恰用3色，有34A =24种； 2）恰用4色，有23C 44A =72种 共有96种。

五、恰用色与可选色的联系
D` C`
A` B` D C
A
B
设保底色为涂法数为a m ，恰用色涂法数为a n ，则可选色涂法数 B n =a m +a m+1+…+a n
例8、用4种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有多少种涂法
解析：按要求涂色，最少要3种颜色（保底色），用3色涂之，1有3种；2有2种；3有1 种；4与1同色时，5有2种，4与2同色时，5有2种，共有96)22123(34=⨯⨯⨯⨯C 种涂法； 4色可选时，有21633234=⨯⨯⨯⨯种； 那么，恰用四色有216-96=120种。

法2：1、4或2、4同色，有4821234=⨯⨯⨯⨯种； 1、4，（2、4）不同色，有7231234=⨯⨯⨯⨯种 共有120种。

总之，涂色问题比较复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转化，末两空捆绑等方法，；注意颜色用完与可选的区别。