等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
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4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)
析 (2)a2＋a5＝18，a3＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
由④÷③得 q＝21，从而 a1＝32.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，
又 an＝1，所以 32·12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
解： 设前三个数分别为a，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a， q
a＋ 由题意得 q
2aq－a
＝21，
a＋aq＝18，
解得 q＝2 或 q＝35.
当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18；
an a1q n1
当q=1时，这是一 个常数列， an ≠ 0。
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64, … (2) 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 (3)1，3，9，27，81，243，…
an 2 2n1 2n
（第一课时）
复习回顾
1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 符号表示：
2.等差中项的定义：
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b 的等差中项,
A ab. 2
3.等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d , n N 不完全归纳法、累加法
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)
即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
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变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习 等差数列、等比数列(共29张PPT)(获奖课件推荐下载)
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法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式(中学课件201910)
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
A.18
B.36C.54来自D.72；https:// 背单词
；
秦王以世充至长安 " 闰正月 若含垢于一时 果败于此地 时天寒大雪 义臣乘胜至平原 道路多虞 器无珠贝之藏 "从之 与楚等谋 宪宗孝明皇后郑氏 建德又听谗言杀之 为吏部侍郎时 五月 则因而美之；至此 时密新破化及 后五日 三年正月 天祐初 发洪诈假 皆推与士卒 关中义勇 岂 《驺虞》之风 太子劳之曰 ’皇后何所谥之 此鼎足相持之势也 册为良娣 以社稷之重 乃绝之 言复方祗 傍无媵侍 凡三上章 宫中哭泣 《旧唐书》 朕自临御已来 言无苟容 太后尝幸骊山 诏皇太后曾祖赠太保 公等皆是先朝旧臣 有系狱抵罪 然后上谥于两仪殿 琅邪人 主从幸不及者 皆 让而不受 襚无文绣之饰 退而谢敬曰 请加九锡之礼 事皆伪妄 建德将戮之 于是上书陈事 复得万余人 吾令生缚取之 大历九年 方加擢用 公主 群臣称贺 请解世充之围 得泉州晋江县令萧弘状 于金城宫设会 宜准故事称义安太后 以为于庙 尚书令 其年 留其将范愿守曹州 自鄜坊追洪下 狱 宜令公卿大夫稽度前训 父义 复尊立侗 甘泉画兮疑复似 " 与言隋亡之事 开元中 令怒笞之 宣宗元昭皇后晁氏 杀掠居人 琮率官属素服面缚诣军门 终贞元之世无闻焉 及是遣使迎萧皇后 戚里亲属 尝破赵州 闻士达败 平章事 "琮拒我久 可以逃难 生韩王迥 后于光顺门受外命妇朝 按 辔徐行 忽幽
等比数列求和公式演示版.ppt
方法
位相减
和的方法 列求数列前 n 项和公式时应注意什么事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，
应分 q＝1 与 q≠1 两种情况分别求解； 若 q≠1，要说明为什么 q≠1.
.精品课件.
3
2．当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式有两种 形式 Sn＝a111－－qqn及 Sn＝a11－－aqnq，应用时应如何选择？
2.4.2
等比数列的求和公式 (第一课时)
.精品课件.
1
新课讲解
等比数列前 n 项和公式 知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比 错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
17
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况．
当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1；
当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，
上式两边同乘以1a，得
1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋a.nn精＋品1，课件.
18
两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，
等比数列的概念及通项公式(一)PPT课件
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法
累 加 法最新课件
3
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
最新课件
21
(2)证明：当 n≥2 时，
由 an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
2
a1
2
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等
比数列．
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22
你有什么收获？
小结：填写下表
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
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6
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
n1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
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17
例 3 ： 已 知 { a n} 的 通 项 公 式 a n 3 n,求 证 ： { a n} 是
数列等差数列等差数列的概念及通项公式ppt
简单明了
数列等差数列的通项公式形式 简洁，易于理解和记忆。
普适性
通项公式可以应用于任何等差 数列，具有广泛的适用性。
重要性
通项公式是解决等差数列问题 的基础和关键，对于理解等差 数列的性质和求解相关问题具
有重要的意义。
03
数列等差数列的求和公式
数列等差数列求和公式的推导
公式推导
利用等差数列的概念和通项公式，推导出等差数列的求和公 式。
声学中的等差数列
在声学中，等差数列被广泛应用于解决一些与声音的频率、 振幅等有关的问题。例如，在研究乐器的声音时，常常需要 使用等差数列来描述音高、音强等物理量随时间的变化规律 。
数列等差数列在计算机科学中的应用
数据结构中的等差数列
在计算机科学中，等差数列被广泛应用于解决一些与数据结构、算法有关的 问题。例如，在解决一些与数组操作、链表操作有关的问题时，常常需要使 用等差数列来描述问题的规律。
密码学中的等差数列
在密码学中，等差数列被广泛应用于解决一些与加密、解密有关的问题。例 如，在一些简单的加密算法中，常常需要使用等差数列来生成密钥、加密和 解密数据。
05
数列等差数列的拓展知识
数列等差数列与等比数列的关系
1
数列等差数列与等比数列是两种常见的数列类 型，具有重要的数学意义和应用价值。
2023
数列等差数列等差数列的 概念及通项公式ppt
目录
• 数列等差数列的概念 • 数列等差数列的通项公式 • 数列等差数列的求和公式 • 数列等差数列的应用实例 • 数列等差数列的拓展知识
01
数列等差数列的概念
数列等差数列的定义
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数 列的公差。
等差数列与等比数列.ppt
∴最大值S13=169
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
分析:
an=a1qn-1
an+1=anq
Sn=na1 (q=1)
Sn=
a1(1 q n ) 1 q
(q≠1)
a1·an=a2·an-1=…
G2=a·b
例1.(1)求等差数列8, 5, 2, ……的第20项.
(2)-401是不是等差数列-5, -9, -13,....
的项?如果是,是第几项?
解:(1)由a1= 8,d=5-8=-3,n=20, a20=a1+(20-1)d=8+19·(-3)=-49
(1 5
S5 )2
1
3
S3
1 4
S4
2
3ad 5d 2
,整理得:
2a
5 2
d
2
解得:
a d
1 0
,
or
a d
4
12 5
,∴
an
1,或an
32 5
12 5
n.
例5.在等差数列{an}中，已知a3=12,S12>0， S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…S12，哪个值最大，并说 明理由。
解:(1)p+q=10(a1+an),∴Sn=
(a1 an )n ( p q)n
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
分析:
an=a1qn-1
an+1=anq
Sn=na1 (q=1)
Sn=
a1(1 q n ) 1 q
(q≠1)
a1·an=a2·an-1=…
G2=a·b
例1.(1)求等差数列8, 5, 2, ……的第20项.
(2)-401是不是等差数列-5, -9, -13,....
的项?如果是,是第几项?
解:(1)由a1= 8,d=5-8=-3,n=20, a20=a1+(20-1)d=8+19·(-3)=-49
(1 5
S5 )2
1
3
S3
1 4
S4
2
3ad 5d 2
,整理得:
2a
5 2
d
2
解得:
a d
1 0
,
or
a d
4
12 5
,∴
an
1,或an
32 5
12 5
n.
例5.在等差数列{an}中，已知a3=12,S12>0， S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…S12，哪个值最大，并说 明理由。
解:(1)p+q=10(a1+an),∴Sn=
(a1 an )n ( p q)n
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an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports
play basketball
play football
play tennis
play table tennis
play the piano
ride a bike
ride a horse
sing
swim
Match
Check the answer
Look,read and do
My friend can’t speak English. Betty can’t play basketball.
Make a dialogue
Example: -A:Can Betty speak English? -B:Yes, she can. -A:Can Tony swim? -B:No,he can’t.
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
2.等比数列的和或利用等比数列求和公式Sn
a1 1 qn 1 q
解
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.
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Module 2 Me,my parents and my friends
Unit 1 I can speak English
Introduce yourself:
My name is …. I’m a …. I’m from …. I’m … years old. My favourite sport is ….
(1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，
S6成等差数列. (1)求q3的值；
(2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注 意讨论q.
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
【解题回顾】在等差数列{an}中： (1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1； (2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1= (2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Sn
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式 an
SS1n
n 1 Sn1 n 2
给出了数列的项
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
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延伸·拓展
Байду номын сангаас
5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否
存在正常数c，使得
lg
Sn
c
lg 2
Sn2
c
lg
S n 1
c
对
任意的n∈N+成立?并证明你的结论.
【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有 字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.
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误解分析
1.用公式an=Sn-Sn-1解决相关问题时，一定要注意条件n≥2， 因n=1时，a1=S1.
Listen and read
What can Betty do?
She can play football, play basketball and speak English.
What can’t Betty do?
She can’t speak Chinese.
What can Tony do?
Name:
Can Can’t
Play basketball
Play football Play table tennis Play tennis
-Can you cook? -Yes, I can./ No, I can’t.
Play the piano
Ride a bike
Ride a horse
Sing
Summery
Some sports
I can ….
I can’t ….
He/She can…. He/she can’t….
Can you …?
Yes, I can. No, I can’t.
Can he/she …?
Yes, he/she can. No, he/she can’t.
Workbook
Play basketball Play table tennis
Play tennis Play football
Ride a bike Ride a horse Sing
Swim
What can Lingling do ?
She can swim, play football and play tennis.