高一数学考试试题及答案(含答案解析) (3)
高一数学试卷带答案解析
高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切，则圆的方程为A．B．C．D．2.已知函数为上的减函数，若，则（）A．B．C．D．3.设全集，集合，，则下列图中的阴影部分表示集合的是（）4.（2015秋•河西区期末）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ≤2π）个单位后，得到函数的图象，则φ=（）A． B． C． D．5.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A．1，-1 B．2，-2 C．1 D．-16.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则7.下列四个函数中，在上为增函数的是（）A． B． C． D．8.下列对应法则中，可以构成从集合到集合的映射的是（）A．B．C．D．9.如图，纵向表示行走距离d，横向表示行走时间t，下列四图中，哪一种表示先快后慢的行走方法。
（）10.容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（）则率0量_______________A．2 B．5 C．15 D．8011.设，且，则（）A． B． C． D．12.如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A．B．C．D．13.将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）14.若全集，则集合的真子集共有（）A．个 B．个 C．个 D．个15.在中，若，则的面积的最大值为（）A．8 B．16 C． D．16.函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．17.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为( )A．B．C．D ．18.已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为，则函数y ＝f(－x)的图象可以为A ．B ．C ．D ．19.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．B ．C ．D ．20.已知方程|x|－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<1 B ．a≤1 C ．a>1 D ．a≥1二、填空题21.函数的单调增区间是 .22.使成立的的取值范围是________；23.一个算法如下： 第一步：取值取值；第二步：若不大于，则执行下一步；否则执行第六步；第三步：计算且将结果代替； 第四步：用结果代替；第五步：转去执行第二步；第六步：输出则运行以上步骤输出的结果为 ．24.一组数据1，2，1，0，－1，－2，0，－1的方差为___________．25.（2015秋•吉林校级月考）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则截面的面积是 ．26.设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且，若，则_____________；27.已知二次函数f (x )＝x 2＋2ax －4，当a ______时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数；当a ______时，函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)． 28.已知直线l 通过直线和直线的交点，且与直线平行，则直线l 的方程为 .29.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 ． 30.已知函数，若在上有最小值和最大值，则实数的取值范围是____________．三、解答题31.已知数列 的前项和.(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ) 若数列满足，且，求.32.设，，，，.（1）求；（2）设，且中有且仅有2个元素属于，求的取值范围.33.（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，求的最大值和最小值（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围34.（本小题满分8分）已知数列的通项公式.（1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.35.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率.参考答案1 .C【解析】考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=-2x上，∴圆心的坐标设成（a，-2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，-1），∴把（2，-1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．2 .D【解析】，又函数为上的减函数，所以.故选D3 .B【解析】试题分析：由A,B两集合可知，所以B正确考点：集合运算及表示方法4 .D【解析】试题分析：由条件利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．解：∵将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ≤2π）个单位后，得到函数y=sin（x+φ）=sin（x﹣）的图象，∴sin（x+φ）=sin（x﹣），故φ=2kπ+（﹣），k∈Z，∴φ=，故选：D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．5 .D【解析】试题分析：因为，直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，所以，圆心（1,0）到直线的距离等于半径1，，解得，，故选D。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
高一数学试卷附答案解析
高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知，则函数的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2-bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°3.已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）4.已知的值等于（ ）A ．B ．3C ．－D ．－3 5.函数f(x)＝是( )A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数6.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 若，且，直线不通过（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第二象限 8.已知集合满足，则集合的个数为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5 9.在空间直角坐标系中，已知，，则，两点间的距离是 A ．B ．C ．D ．10.如右图，是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且，，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ． 11.无论=（x 1，x 2，x 3），=（y 1，y 2，y 3），=（z 1，z 2，z 3），是否为非零向量，下列命题中恒成立的是（ ）A ．cos ＜，＞=B ．若∥，∥，则∥C ．（）•=•（）D ．|||﹣|||≤|±|≤||+||12.函数f(x)=7+a x-3 (a>0,a≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为 A ．(3,3) B ．(3,2) C ．(3,8) D ．(3,7)13.某种商品，现在每件定价p 元，每月卖n 件。
高一数学期中期末考试题汇总版(含答案) (3)
高一上期中数学卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1，2，4}，B ={x |x 2-4x +m =0}．若A ∩B ={1}，则B =（ ）A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5} 2. 设函数f （x ）={x 2+1，x ≤12x，x ＞1，则f （f （3））=（ ）A. 15B. 3C. 23D. 1393. 如果幂函数y =（m 2-3m +3）x m 2−m−2的图象不过原点，则m 取值是（ ）A. −1≤m ≤2B. m =1或m =2C. m =2D. m =1 4. 设a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. b >c >aC. c >a >bD. c >b >a5. 用二分法求函数f （x ）=ln x -2x 的零点时，初始的区间大致可选在（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (e,+∞)6. 函数f （x ）=√2−2x +1log 3x 的定义域为（ ）A. {x|x <1}B. {x|0<x <1}C. {x|0<x ≤1}D. {x|x >1}7. 已知函数f （x ）=a x -2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）g （4）＜0，则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 方程|log a x |=（1a ）x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,+∞)B. (1,10)C. (0,1)D. (10,+∞)9. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0，则不等式3f(−x)−2f(x)5x≤0的解集为（ ）A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 已知f （x ）={(a −3)x +4a,x ≥0a x ,x<0，对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则a 的取值是（ ）A. (0,3)B. (1,3]C. (0,14]D. (−∞,3)11. 定义域为D 的函数f （x ）同时满足条件①常数a ，b 满足a ＜b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]（k ∈N +），那么我们把f （x ）叫做[a ，b ]上的“k 级矩阵”函数，函数f （x ）=x 3是[a ，b ]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a ，b ）共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 12. 已知定义在D =[-4，4]上的函数f （x ）={|x 2+5x +4|，−4≤x ≤02|x −2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1-x 2|最大与最小值之和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式|x -3|+|x -5|≥4的解集为______．14. 若函数y =x 2-4x -2的定义域为[0，m ]，值域为[-6，-2]，则m 的取值范围是______． 15. 已知偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 取值范围是______．16. 已知函数f （x ）={x 2−2mx +4m,x >m |x|,x≤m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. （1）已知x +1x =3，求x 2+1x 2的值；（2）已知a ，b ，c 为正实数，且a x =b y =c x ，1x +1y +1z =0，求abc 的值．18. 已知集合A ={x |x 2-4x -5≥0}，集合B ={x |2a ≤x ≤a +2}．（1）若a =-1，求A ∩B 和（∁R A ）∪B ； （2）若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．19. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为y =（116）t -a （a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．20. 已知f （x ）=x+ax 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）的单调性； （3）解不等式：f （x ）-f （1-x ）＜0．21. 已知函数f （x ）=ax 2+bx +1（a ，b 为常数），x ∈R ．F （x ）={−f(x)(x <0)f(x)(x>0)． （1）若f （-1）=0，且函数f （x ）的值域为[0，+∞），求F （x ）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f （x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m •n ＜0，m +n ＞0，a ＞0，且f （x ）为偶函数，判断F （m ）+F （n ）能否大于零？22. 定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界．已知函数f （x ）=1+a •（12）x+（14）x；g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x 2（Ⅰ）当a =1时，求函数f （x ）值域并说明函数f （x ）在（-∞，0）上是否为有界函数？（Ⅱ）若函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知m ＞-1，函数g （x ）在[0，1]上的上界是T （m ），求T （m ）的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：C．由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选：D．由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选：B．幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由于函数y=0.8x在R上是减函数，1＞0.9＞0.7＞0，∴0.80=1＞0.80.7＞0.80.9＞0.81，即1＞a＞b．由于函数y=1.2x在R上是增函数，0.8＞0，∴1.20.8＞1.20＞1，即c＞1．综上可得，c＞a＞b，故选：C．函数y=0.8x在R上是减函数可得1＞a＞b，再根据函数y=1.2x在R上是增函数，可得c＞1，由此可得a，b，c的大小关系．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）=ln2-1＜0，而f（3）=ln3-＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，故用二分法求函数f（x）=lnx-的零点时，初始的区间大致可选在（2，3）上．故选：B．函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）＜0，而f（3）＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间．本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．7.【答案】B【解析】解：∵f（4）=a2＞0，∴由f（4）g（4）＜0，得g（4）＜0，即g（x）=log a4＜0，得0＜a＜1，即f（x）是减函数，排除A，C函数g（x）是偶函数，当x＞0时，g（x）是减函数，排除D，则对应的图象为B，故选：B．结合指数函数的性质，得到f（4）＞0，g（4）＜0，得到0＜a＜1，结合指数函数和对数的单调性和奇偶性进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：函数y=|log a x|与函数y=（）x的图象如下：由图象可知：a＞1．故选：A．根据两个函数y=（）x与y=|lpg a x|的图象可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．9.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时，不等式等价于3f（-x）-2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x）≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时，可解得-2≤x＜0综上，不等式的解集为[-2，0）∪（0，2]故选：D．由题设条件，可得出函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重点．10.【答案】C【解析】解：∵f（x）=，对任意x1≠x2都有＜0成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴，解得0＜a≤．故选：C．由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得不等式组，由此可求得a的取值范围．本题考查函数单调性的性质，判断出f（x）=为R上的减函数是关键，得到4a≤1是难点，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（-1，0），（-1，1），（0，1）故选：C．函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法12.【答案】B【解析】解：画函数f（x）的图象如图：从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立：∵f （-4）=0，f （4）=4，∴任意x ∈D ，f （-4）≤f （x ）≤f （4），故满足|x 1-x 2|最大值为8， 而对于任意x ∈D ，f （x ）≤f （x ）≤f （x ），故满足|x 1-x 2|最小值为0， 则|x 1-x 2|最大与最小值之和为8+0=8， 故选：B ．先画函数f （x ）的图象如图，从图象上看，求适合使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立的|x 1-x 2|最大值与最小值．本题主要考查函数求最值的方法，特别是分段函数的最值求法，对于较复杂的函数可以考虑画函数的图象，结合图形解题． 13.【答案】{x |x ≤2或x ≥6}【解析】解：|x-3|+|x-5|≥4⇔或或，解得x≤2或x≥6， 故答案为{x|x≤2或x≥6}分三段去绝对值解不等式组，在相并可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 14.【答案】[2，4]【解析】解：∵函数y=x 2-4x-2=（x-2）2-6 的定义域为[0，m]，值域为[-6，-2]， f （0）=-2，f （2）=-6，可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4， 故m 的范围为[2，4]， 故答案为：[2，4]．由题意可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4，由此求得m 的取值范围． 本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题． 15.【答案】（13，23）【解析】解：根据题意，偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增， 则⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为（，）；故答案为：（，）．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式．16.【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2＞4m-m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m-m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m-m2＜m（m＞0），解之即可．本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m2＜m是难点，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2−2=7（2）∵a ，b ，c 为正实数，设a x =b y =c x =k ，∴x =log a k ，y =log b k ，z =log c k ，∴1x +1y +1z =log k a +log k b +log k c =log k abc =0，∴abc =1【解析】（1）由x 2+=代入即可求解（2）由a x =b y =c x =k ，利用指数与对数的互化及对数的换底公式可求本题主要考查了指数的运算及指数与对数的相互转化，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题18.【答案】解：（1）A ={x |x ≤-1或x ≥5}，B ={x |-2≤x ≤1}…（2分）∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}…（4分）∁R A ={x |-1＜x ＜5}…（5分）∴（∁R A ）∪B ={x |-2≤x ＜5}…（7分）（2）∵A ∩B =B ，∴B ⊆A …（8分）①若B =φ，则2a ＞a +2，∴a ＞2…（10分）②若B ≠φ，则{a +2≤−1a≤2或{2a ≥5a≤2，∴a ≤-3…（13分）综上a ＞2，或a ≤-3…（14分）【解析】（1）由此能求出集合A={x|x 2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，从而能求出（∁R A ）∪B ． （2）由A∩B=B ，得B ⊆A ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查交集和并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．19.【答案】解：（1）由于图中直线的斜率为k =10.1=10，所以图象中线段的方程为y =10t （0≤t ≤0.1），又点（0.1，1）在曲线y =(116)t−a 上，所以1=(116)0.1−a ，所以a =0.1，因此含药量y （毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为y ={10t (0≤t ≤0.1)(116)t−0.1(t ＞0.1)（5分）（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(116)t−0.1＜0.25， 解得t ＞0.6所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分）【解析】（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质； （2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题．20.【答案】解：（1）∵f （x ）=x+a x 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f （0）=0，即0+a 0+0+1=0，∴a =0．又∵f （-1）=-f （1），∴−12−b =-12+b ，∴b =0，∴f （x ）=x x 2+1．（2）函数f （x ）在[-1，1]上为增函数．证明如下，任取-1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1-x 2＜0，-1＜x 1x 2＜1，∴1-x 1x 2＞0．f （x 1）-f （x 2）=x 1x 12+1-x 2x 22+1 =(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)＜0，∴f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）为[-1，1]上的增函数．（3）∵f （x ）-f （1-x ）＜0，即f （x ）＜f （1-x ），∴{−1≤x ≤1−1≤1−x ≤1x ＜1−x解得0≤x ≤12，∴解集为：{x |0≤x ＜12}【解析】（1）根据奇函数的性质f （-x ）=-f （x ），列出方程求出a 、b 的值，代入解析式； （2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．（3）根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可．本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．21.【答案】解：（1）∵f （-1）=0，∴a -b +1=0①，又x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞），∴{△=b 2−4a =0a>0②，由①②消掉a 得，b 2-4（b -1）=0，∴b =2，a =1，∴f （x ）=x 2+2x +1=（x +1）2．∴F （x ）={−(x +1)2,(x <0)(x+1)2,(x>0)；（2）由（1）知，g （x ）=f （x ）-kx =x 2+2x +1-kx =x 2+（2-k ）x +1=（x +2−k2）2+1-(2−k)24， 当2−k2≥2或2−k2≤-2时，即k ≥6或k ≤-2时，g （x ）是单调函数．（3）∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）=ax 2+1，F （x ）={−ax 2−1,(x <0)ax 2+1,(x>0)，∵m •n ＜0，设m ＞n ，则n ＜0．又m +n ＞0，∴m ＞-n ＞0，∴|m |＞|-n |，F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-an 2-1=a （m 2-n 2）＞0，∴F （m ）+F （n ）能大于零【解析】（1）由f （-1）=0得a-b+1=0①，由x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）得：②，联立①②可解a ，b ；（2）由（1）表示出g （x ），根据抛物线对称轴与区间[-2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f （x ）为偶函数可得b=0，从而可表示出F （x ），由mn ＜0，不妨设m ＞0，n ＜0，则m ＞-n ＞0，即|m|＞|-n|，由此刻判断F （m ）+F （n ）的符号．本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查二次函数的有关性质，考查学生分析解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=1+a •（12）x +（14）x ，∴当a =1时，f(x)=1+(12)x +(14)x ，∵y =(14)x 和y =(12)x 在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在（-∞，0）上是单调递减函数，∴f （x ）＞f （0）=3，∴f （x ）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），∴|f （x ）|＞3，故不存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M 成立，∴函数f （x ）在（-∞，0）上不是有界函数；（Ⅱ）∵函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，∴由题意知，|f （x ）|≤3在[0，+∞）上恒成立，∴-3≤f （x ）≤3在[1，+∞）上恒成立，∴−4−(14)x ≤a ⋅(12)x ≤2−(14)x 在[0，+∞）上恒成立，∴−4⋅2x −(12)x ≤a ≤2⋅2x −(12)x 在[0，+∞）上恒成立，∴[−4⋅2x −(12)x ]max ≤a ≤[2⋅2x −(12)x ]min ，令t =2x ，由x ∈[0，+∞），可得t ≥1，∴ℎ(t)=−4t −1t ，p(t)=2t −1t ，下面判断函数h （t ）和p （t ）的单调性：设1≤t 1＜t 2，则t 2-t 1＞0，4t 1t 2-1＞0，t 1t 2＞0，2t 1t 2+1＞0，∴ℎ(t 1)−ℎ(t 2)=(t 2−t 1)(4t 1t 2−1)t 1t 2＞0， p(t 1)−p(t 2)=(t 1−t 2)(2t 1t 2+1)t 1t 2＜0，∴h （t 1）＞h （t 2），p （t 1）＜p （t 2），∴h （t ）在[1，+∞）上递减，p （t ）在[1，+∞）上递增∴h （t ）在[1，+∞）上的最大值为h （1）=-5，p （t ）在[1，+∞）上的最小值为p （1）=1，∴-5≤a ≤1，∴实数a 的取值范围为[-5，1]；（Ⅲ）g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x 2=-1+2m⋅x +1， ①当m ＞0时，x ∈[0，1]，∵y =m •x 2+1在[0，1]上单调递增，∴g （x ）在[0，1]上递减，≤g(x)≤1，∴g（1）≤g（x）≤g（0），即1−m1+m|＜1，∵|1−m1+m∴|g（x）|＜1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；③当-1＜m＜0时，x∈[0，1]，∵y=m•x2+1在[0，1]上单调递减，∴g（x）在[0，1]上递增，∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤1−m，1+m∴|g(x)|＜1−m，1+m∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T(m)≥1−m．1+m综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞），，+∞)．当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是[1−m1+m【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化为在[0，+∞）上恒成立，令t=2x，则，，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．（Ⅲ）将函数g（x）=变形为g（x）=-1+，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当m=0和当-1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围．本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成求最值问题．本题涉及了函数的求最值和值域问题，解题中主要运用了函数的单调性求解最值和值域．对于本题中的新定义问题，要严格按照题中所给定义分析，将陌生的问题转化为所熟悉的问题，本题转化为恒成立问题．属于难题．。
(完整版)高一数学试题及答案解析
高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.）1.9090αβ<<<，则2β-A．第二象限角C．第三象限角2.α终边上的一点，且满足A．3.设()g x1 (30)2=，则A1sin2x．2sin4.α的一个取值区间为（）A．5.A．6.设A．C．7.ABC∆中，若cot cot1A B>，则ABC∆一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函数：2sin sin()sin()3A B C I I t I I t I I t πωωωϕ==+=+且0,02A B C I I I ϕπ++=≤<，则ϕ=（） A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π9.当(0,)x π∈时，函数21cos 23sin ()sin x x f x x++=的最小值为（）A ．．3C ．．410.()f x =的A ．1112131415的映射:(,)()cos3sin3f a b f x a x b x→=+.关于点(的象()f x 有下列命题：①3()2sin(3)4f x x π=-； ②其图象可由2sin3y x =向左平移4π个单位得到； ③点3(,0)4π是其图象的一个对称中心④其最小正周期是23π⑤在53[,124x ππ∈上为减函数 其中正确的有三．解答题（本大题共5个小题，共计75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）24)t ≤≤经长期观察，()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>.（1）根据表中数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者运动？20．（本题满分13分）关于函数()f x 的性质叙述如下：①(2)()f x f x π+=；②()f x 没有最大值；③()f x 在区间(0,2π上单调递增；④()f x 的图象关于原点对称.问：（1）函数()sin f x x x =⋅符合上述那几条性质？请对照以上四条性质逐一说明理由.（221.0)(0,)+∞上的奇函数)x 满足(1)f =cos 2m θ-（1（2的最大值和最小值；（3N . 的两个不等实根，函数22()1x tf x x -+的（1（2（3123。
高一数学考试试卷(含解析)
高一数学考试卷一、选择题：本大题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的•1. 设全集 I R ，集合 A {y|y log 2X, x 2}， B {y|y 1}，则()A . AUB A B . A BC . AI BD . AI (C ,B)2. 下面各组函数中是同一函数的是()A . y / 2x 3 与 y x 、2xB . y ( . x)2 与 y |x|C. y ,x —1 1 与 y (x —1)(x —1)D . f (x) x 2 2x 1 与 g(t) t 2 2t 11 x3. 函数f (x) 22的大致图象为()A . acbdB . adcb C. abed D 1 5.幕函数的图象经过点 (2丄)，则它的单调递增区间是()'4正确的是( )A .甲比乙先出发B .乙比甲跑的路程多4.已知alog 15 , 2b log 2 3 ,c 1 ,d 3 0.6，那么(A . (0,) B . [0, ) C.) D . ( ,0)6.函数f (x)- 4 x 2的定义域为(ln(x 1)A . [ 2,0) U (0,2]B . ( 1,0) U(0,2] C. [2,2] D . ( 1,2]7. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法C.甲、乙两人的速度相同D .甲比乙先到达终点13. 不论a 为何值，函数y 1 log a （x 1）都过定点，则此定点坐标为1114.已知（一）0 ______________________________ , log 7 4 b ，用 a,b 表示 log 4948 为.7315. 已知f （x ） ax 2 bx 是定义在［a 1,3a ］上的偶函数，那么 a bJ:/:I Z-ro i f8. 已知偶函数f （x ）在（，2］上是增函数，则下列关系式中成立的是（ A . f( 7) f( 3) C. f ⑷f( 3)f(.f( 3) f( 7) f(4).f(4) f( 7) f( 3)9.已知函数f(x)2x 2x1,x 若f （f （O ）） 4a ，则实数a 等于A .10. A .ax, xC.F 列函数中，既是偶函数, 又在2 |x|11.若定义在,0) U(O,的解集（{x| 30或 x 3}C. {x| 312. 已知函数 f(x)（0E ］一、填空题（每题(0,C.）上的奇函数 3}(1 2a)x ,xlog a X 1,x1 1.[--]C.[39）单调递增的是（y |1| xf(x)在(0,）内是减函数， lg|x|且 f(3)0,则 xf(x) 0.{x|x x 3} {x|x,当x |3}f(xj f(X 2)x 1 x 20，则a 的取值范围是（）1 （0,?］ D将答案填在答题纸上）a(a b)，例如，1*2 1，则函数f (x) 1*2 x16.定义运算a* b 的值域是______________b(a b)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知函数 f(x) 2x , x (0,2)的值域为 A ，函数 g(x) log 2(x 2a) a 1 x (a 为B .计算：(5-)0.5 2 (210) 3 2)016 272设 a 是实数，f (x) a — (x R).(2 )若 f(x)满足 f( x) f (x)0,解关于 x 的不等式 f(x 1)f(1 2x)0.20. (本小题满分12分)已知幕函数f(x) ( 2m 2 m 2)x m 1为偶函数. (1 )求f(x)的解析式；(2)若函数y f(x) 2(a 1)x 1在区间(2,3)上为单调函数，求实数 a 的取值范围21. (本小题满分12分)函数g(x) f (x)2x, x R 为奇函数.(1 )判断函数f (x)的奇偶性；(2)若x 0时，f(x) log 3 x ，求函数g(x)的解析式.22. (本小题满分12分)1已知函数f (x)( )x ，函数g (x) log 1 x .(1 )若g(ax 2 2x 1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(1 )证明不论a 为何实数,f (x)均为增函数;1)的定义域(1) 求集合AB ；(2)若B A ，求实数a 的取值范围. 18.(本小题满分12分)(1) (2)计算：log 5 35 2log o.5、、2 log 5 50 log 514 log 5 3519.(本小题满分12分)1 1(2)当x [( )t 1,(亢时，求函数y [g(x)]2 2g(x) 2 的最小值h(t);(3)是否存在非负实数m,n,使得函数y log1 f(x2)的定义域为[m, n],值域为[2m,2 n]，若存2在，求出m,n的值；若不存在，则说明理由.2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）（2016 秋?烟台期中）设全集I=R，集合A={y| y=log2x, x > 2}, B={y| y > 1}，则（）A. AU B A B . A B C . AI B【考点】【专题】【分析】【解答】那么有：集合的包含关系判断及应用.定义法；集合.化简集合A，根据集合的基本运算即可求解.解：由题意：全集I=R，集合A={y| y=log2x，x> 2} ={ y| y > 1}，B={y| y > 1}，A U B=B，A B，A AB=A，A n （C I B）= ，••• A , C, D选项不对.故选B .【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2. （5分）（2016春？陕西校级期末）下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A •尸{-2丿与戸沖-2 KB •尸（廣厂与y=|x|C .- 飞丄・’'与!■' D. f （x）=x2- 2x - 1 与g （t）=t2—2t—1【考点】判断两个函数是否为同一函数.【专题】计算题.【分析】分别求函数的定义域和值域，前三个选项，第一个值域不同，第二和第三两个函数的定义域不同，只有最后一个函数，字母不影响函数相同.【解答】解：在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y< 0,两个函数的值域不同，在B选项中，前者的定义域x>0，后者的x€ R,定义域不同.在C选项中，前者定义域为x> 1，后者为x> 1或X V- 1,定义域不同.在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D .【点评】本题考查判断两个函数是否为同一个函数，考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的意义，本题是一个基础题.D . AI (C I B)3. （5分）（2016秋？烟台期中）函数 f （x）=2 - 的大致图象为（)【考点】函数的图象.【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用. 【分析】判断f (x )的单调性，结合f (0)二，：即可判断.1」V2 【解答】解：f (X )=2- -"=•，I 2X••• f (X )是减函数，且 f (0) =「＞ 1,故选：A .【点评】 本题考查了函数的单调性，函数值的计算，图象的判断，属于基础题.4. ( 5分)(2016 春？尖山区校级期末)已知 a=log 5, b=log 23, c=1 , d=3「0.6,那么()2 A . a v c v b v d B . a v d v c v bC . a v b v c v dD . a v c v d v b【考点】对数值大小的比较.【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用. 【分析】利用对数函数、指数数的性质求解. 【解答】解：T a=log 丄5＜，*丄4 = - 2,2 2b=log 23 ＞ log 22=1, c=1 ,-0.6 0 .0v d=3 v 3 =1, • a v d v c v b .故选：B .【点评】 本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的 性质的合理运用.5. ( 5分)(2015春？兴庆区校级期末)幕函数的图象过点( 2,寺)，则它的单调增区间是()A . (0, +呵B . [ 0, +呵C . (-8, +8)D . (-8, 0)【考点】幕函数的性质；幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】计算题.【分析】利用点在幕函数的图象上，求出a 的值，然后求出幕函数的单调增区间.【解答】解：幕函数f (X ) =X a 的图象过点(2,三)， 所以+=2 a ,即a = - 2,所以幕函数为f (X ) =x -2它的单调递增区间是：(-8, 0].故选D .【点评】 本题考查求幕函数的解析式，幕函数的单调性，是基础题.A . [ - 2, 0) U (0, 2]B . (- 1, 0) U (0, 2] 【考点】 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.【专题】函数的性质及应用.【分析】 分式的分母不为0，对数的真数大于 0，被开方数非负，解出函数的定义域. 【解答】 解：要使函数有意义，6. ( 5 分)(2012?山东)函数 f (x )=「》- + 一」厂的定义域为(C . [ - 2, 2]D . (- 1 , 2]『4 -必须：戒，所以x €( - 1, 0) U (0, 2］•［x+1^1所以函数的定义域为：(-1 , 0) U ( 0, 2］•故选B •【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力.7. ( 5分)(2015?青岛模拟)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A •甲比乙先出发B •乙比甲跑的路程多C•甲、乙两人的速度相同D•甲比乙先到达终点【考点】函数的表示方法.【专题】规律型.【分析】根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可.【解答】解：从图中直线的看出：K甲〉K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达.故选D •【点评】本题考查函数的表示方法，图象法.& ( 5分)(2016秋？烟台期中)已知偶函数f (x)在(-R,- 2］上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A f(--^Xf(-3Xf (41B f(- 3Xf(-^Xf(4)C2 2 2D fUXf( -±)<f(-3)2【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质•【专题】函数的性质及应用•【分析】由条件可得函数在［2, +m)上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大.再7 7根据|4| > | | > | - 3|，可得f (- 3 )、f (-亘)、f ( 4)的大小关系.【解答】解：由于偶函数f ( x)在(-R,- 2］上是增函数，故函数在［2, +R)上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大.7 |7再根据|4| > | - — | > | - 3|，故有f (- 3) >f (-牙)>f (4), 故选：D •【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.2*1. K<19. (5分)(2016秋？烟台期中)已知函数f ( x)二、，若f(f( 0))=4a，则实数a等于( )1 4A . —B . —C . 2D . 9【考点】函数的值.【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用.【分析】推导出f (0) =2°+1=2，从而f (f (0)) =f (2) =22+2a=4a,由此能求出实数a.f2X^1, r<l【解答】解：•••函数f (x) = , f (f (0)) =4a,x^lh-••• f (0) =20+1=2 ,2f (f (0)) =f (2) =2 +2a=4a,解得a=2.实数a等于2.故选：C.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.10. (5分)(2016?太原二模)下列函数中，既是偶函数，又在( 0, +8)单调递增的函数是( )A . y= - x2B . y=2 T x| C. y=|-^| D . y=lg | x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用.【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析选项中四个函数在( 0, +8)上的单调性和奇偶性，逐一比较后可得答案.【解答】解：对于A, y= - x2是定义域R上的偶函数，但在(0, +8)上单调递减，不满足题意；对于B , y=2-|xl是定义域R上的偶函数，但在(0, +8)上单调递减，不满足题意；对于C, y=|] ||是定义域(-8, 0) u (0, +8)上的偶函数，在(0, +8)上单调递减，不满足题意；对于D , y=lg|x|是定义域(-8, 0) U ( 0, +8)上的偶函数，且在(0, +8)上单调递增，满足题意.故选：D.【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解题的关键.11. ( 5分)(2014秋？文登市校级期末)如果定义在(- 8, 0) u ( 0, +8)上的奇函数f (x)，在(0, +8)内是减函数，又有f (3) =0 ,则x?f (x)v 0的解集为( )A . {x| - 3v x v 0 或x> 3}B . {x| x<- 3 或0v x v 3}C. {x| - 3< x< 0 或0< x< 3} D . {x| x <- 3 或x > 3}【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集.f (X j ) _ f ( H【解答】 解：•••当X 1M X 2时， ------- Z ------------ v 0,••• f (x )是R 上的单调减函数,a-2a)K .f (x )=【解答】 解：不等式x?f (x )v 0等价为因为函数y=f (x )为奇函数，且在(0, +m )上是减函数，又f (3) =0, 所以解得x > 3或x v-3,即不等式的解集为{x|x v- 3或x >3}. 故选：D . 利用数形结合的思想是解决本题的关键.12. (5分)(2016秋？烟台期中)已知函数f(x) =，当X 1工X 2时,v 0，则a 的取值范围是f )A .(o ,吉］B .［寺，寺］C .(0，!］【考点】函数单调性的性质；分段函数的应用.【专题】计算题；函数的性质及应用.【分析】由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有r0<L - 2a<l0<a<l 13专，由此解得a 的范围.r o<l - 2a<l0<a<l【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和单调性的性质，属于中档题.二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）（2016秋？烟台期中）不论 a 为何值，函数y=1+log a （ x - 1）都过定点，则此定点坐标为（2, 1）.【考点】对数函数的单调性与特殊点.【专题】 综合题；函数思想；演绎法；函数的性质及应用.【分析】 由对数函对数y=log a x 的图象恒过（1, 0）及函数的图象的平移即可求解.【解答】解：由于对数函对数 y=log a x 的图象恒过（1, 0）而y=1+log a （x - 1）的图象可由数函数 y=log a x 的图象向右平移1个单位，再向上平移 1个单位 二y=1+log a （x - 1）的图象经过定点（2, 1）故答案为：（2, 1）.【点评】本题主要考查了对数函数的图象的性质及函数的图象的平移的简单应用，属于基础试题.故答案为:【点评】本题考查对数的运算性质，考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题.15. （5分）（2016秋？烟台期中）已知f （x ） =ax 2+bx 是定义在［a - 1, 3a ］上的偶函数，那么 a+b=【考点】函数奇偶性的性质.【专题】 综合题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用.14. （5分）（2016秋？烟台期中）已知（ ,Iog 74=b ，用 a , b 表示 Iog 4948 为_ . 【考点】对数的运算性质.【专题】 计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用.【分析】化指数式为对数式，结合对数的换底公式可得 log 73=a , log 74=b ，再把 log 4948 利用换底公 式化简得答案.【解答】 解: b=—y=log 74.log 4948= Lg3+21g4 21g7 1O S 73+21O g 7a2由（ ,log 74=b ,得 =log 73,-1= - 3a .【解答】 解：••• f (x ) =ax 2+bx 是定义在［a - 1, 3a ］上的偶函数,••• f (- x ) =f (x ), /• b=0 ,又 a - 1= - 3a ,故答案为一.【点评】 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f (- x ) =f ( x );奇函数和偶函数的定 义域必然关于原点对称，定义域区间 2个端点互为相反数.值域是(0, 1].【考点】函数的值域.【专题】计算题. 【分析】为了求函数f (x ) =1*2 x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合 图象即得函数值的取值范围，即可得到数f (x ) =1*2 x的值域.【解答】解：当K 2x 时，即x > 0时，函数 y=1*2x =1当1 >2x 时，即x v 0时，函数 y=1*2x =2x 作出函数的图象，由图知，函数y=1*2x 的值域为：(0, 1]. 故答案为：(0, 1].【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数, f (- x ) =f (x ),且定义域关于原点对称， a 16. (5分)(2006?朝阳区二模)定义运算f a.(a^b) 花(a>W ，例如, 1*2=1，则函数 f ( x ) =1*2 x 的【点评】本题以新定义的形式，考查了函数值域的问题，属于基础题•遇到函数创新应用题型时, 处理的步骤一般为：① 根据让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17. (10分)(2015秋？台州期末)已知函数f (x) =2x, x €( 0, 2)的值域为A，函数g (x) =log2(x - 2a) + .，+1 :. (a v 1)的定义域为B .(I )求集合A , B;(n )若B A，求实数a的取值范围.【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；函数的定义域及其求法.【专题】计算题；函数思想；综合法；平面向量及应用.【分析】(I )根据指数函数以及对数函数的性质解出即可；(2 )根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可.【解答】解：(I )已知函数f (x) =2x, x€( 0, 2)的值域为A ,二A= (1 , 4),函数g (x) =log2 (x- 2a) + - :. ( a v 1)的定义域为B.••• B= (2a, a+1), a v 1,(n )若B A，则(2a, a+1) (1, 4),•••■"「「—，解得：丄w a v 1.【点评】本题考查了集合的包含关系，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道基础题.18. (12分)(2016秋？烟台期中)【考点】对数的运算性质；有理数指数幕的化简求值.【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用.【分析】(1 )化小数为分数，化带分数为假分数，化0指数幕为1,再由有理指数幕的运算性质化简求值；(2 )直接利用对数的运算法则化简求值.【解答】解：(1)(佥)0.5-2x(罟)亠|■- 2x(^2+兀)°+(彳)-29 9 9—；(2) Iog535+2log o.5\ 7 - log - log5l4+5 -'(2)计算: Iog535+2log0.5、I - log -Iog514+5 ' ■-(1)计算：(1厂)0.5- 2X=]_O^5(35X50^訂2+3■=3 - 1+3=5.【点评】本题考查有理指数幕的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题.19. (12 分)(2016 秋？烟台期中)设a 是实数，f (x) =a- 〔 (x € R).(1 )证明不论a为何实数，f (x)均为增函数；(2 )若f (x)满足f (- x) +f (x) =0,解关于x 的不等式f (x+1) +f (1-2x )> 0.【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质.【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用.【分析】(1)利用函数的单调性的定义直接证明即可.(2)判断函数的奇偶性，利用函数的单调性化简求解即可.【解答】解：(1)证明：f (x)的定义域为R-- (1分)7 7设X1 V X2，则 V2 1+1 2412 _ 2 2 ' ~ 2 L= ~ 7 " …(4分)2 订1 2 :+ 1 (2 1+1)(2 沖D因为 2 •>2.2 +1>0?2计1>0小刊-护所以------------- 勺------ 即f ( X1)V f ( X2)(2 41)(2 2+l)所以，不论a何值f (x)为增函数…(6分)(2)因为f (- x) +f (x) =0所以f (1 - 2x) = - f ( 2x - 1)又因为f (x+1) +f (1 - 2x)> 0所以f (x+1) > f (2x- 1) ••- (9 分)又因为f (x)为增函数，所以x+1 >2x - 1解得x V 2 …(12分)【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的判断与应用，考查计算能力.20. (12分)(2015秋？胶州市期末)已知幕函数f (x) = (- 2m2+m+2) x m+1为偶函数.(1 )求f (x)的解析式；(2)若函数y=f ( x)- 2 (a- 1) x+1在区间(2, 3) 上为单调函数，求实数a的取值范围. 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)根据幕函数的性质即可求 f ( X )的解析式;(2)根据函数y=f (x )- 2 (a - 1) x+1在区间(2, 3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数 a 的取值范围.【解答】 解：(1)由f (x )为幕函数知-2m 2+m+2=1 , 即 2m 2 - m - 1=0,得 m=1 或 m=-—,当m=1时，f (x ) =x 2,符合题意；当m=-计时，f (x )=.—，为非奇非偶函数，不合题意，舍去.2••• f (x ) =x .(2)由(1 )得 y=f (x )- 2 (a - 1) x+1=x 2 - 2 (a - 1) x+1,即函数的对称轴为 x=a - 1,由题意知函数在(2, 3 )上为单调函数, •对称轴a - K2或a - 1>3,即 a < 3 或 a >4.【点评】本题主要考查幕函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟 练掌握幕函数和二次函数的图象和性质.21. (12分)(2016秋？烟台期中)函数 g (x ) =f ( x ) +2x , x € R 为奇函数.(1 )判断函数f (x )的奇偶性；(2)若x > 0时，f (x ) =log 3x ，求函数g (x )的解析式.【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】 综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用.【分析】(1)函数 g (x ) =f (x ) +2x (x € R )为奇函数，g (- x ) =f (- x ) - 2x= - g (x ) = - f (x ) -2x ，可得f (- x ) =-f (x )，即可判断函数f (x )的奇偶性；(2)若x > 0时，f (x ) =log 3x ，求出X V 0 , x=0时的解析式，即可求函数 g ( X )的解析式.【解答】 解：(1)任给 x € R , f (x ) =g (x )- 2xf (- x ) =g (- x ) +2x ••- (2 分 因为g ( x )为奇函数，所以 g (- x ) = - g ( x ),所以 f (- x ) = - g (x ) +2x= - f (x ),所以f (x )为奇函数；(2)当 x >0 时，g (x ) =log 3x+2x ••- (7 分)当 x v 0 时，-x >0，所以 g (- x ) =log 3 (- x ) - 2x 因为g (x )为奇函数所以 g ( x ) = - g (- x ) = - [ log 3 (- x ) - 2x] =2x - log 3 (- x ) ••- (10 分) 又因为奇函数g (0 ) =0…(11分 所以g ( x ) = Q,龙丸 …(12分)2x+lo g 3x,【点评】本题考查函数的奇偶性，函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.(1 )若g (ax 2+2x+1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2 )当 x€ ［(寺)t+1, (*) $ 时，求函数 y=［g (x ) ］2-2g (x ) +2 的最小值 h (t )；(3)是否存在非负实数 m , n ,使得函数y=log If (x 2)的定义域为［m , n ］，值域为［2m ，2n ］， 2\若存在，求出 m ，n 的值；若不存在，则说明理由.22. (12分)(2016秋？烟台期中)已知函数f (x ) = (TT) x ,函数g ( x ) =log 丄 x . E 2【考点】禾U用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用.【专题】常规题型；存在型；分类讨论；综合法；导数的综合应用.【分析】(1) g (ax2+2x+1)的定义域为R,即所以ax2+2x+1> 0对一切x € R成立，转化为一元二次函数问题；(2)利用换元法构造新函数y=u2-2u+2= ( u - 1) 2+1, u€ ［ t, t+1］;对参数t分类讨论其位置，判断函数的最小值即可；芦2ID —』ITl c(3)根据函数的单调性，列出方程组］，转化为：即m、n是方程x2=2x的两非负实根，且m v n;【解答】解：(1)吕念莓2时1)二皿丄G/+2ML)定义域为R；2所以ax2+2x+1 >0对一切x€ R成立；当a=0时，2x+1> 0不可能对一切x € R成立；即:综上a> 1.(2) !~ - ; _ _■ 1'■:- \ - I | '~2 T人丨L •；・；丨I，-..P - ；2所以y=u2- 2u+2= (u - 1) 2+1, u € [t, t+1]；当t> 1时，珀m二/一 "十2；当O v t V 1 时，y min=1 ；当t w 0时，咲二宀1t2+l t<0所以h(t)= ；t2- 2t+2t>lL.(3) y=x2在［0, +s)上是增函数；f 7in -2rn若存在非负实数m、n满足题意，则.n =2n2即m、n是方程x =2x的两非负实根，且m v n;所以m=0, n=2 ;即存在m=0, n=2满足题意.【点评】本题主要考查了一元二次函数的图形特征，利用换元法构造新函数，分类讨论求函数的最值以及函数单调性的应用，属中等题.。
高一数学必修一集合练习试题及答案
高一数学必修一集合练习试题及答案高一数学必修一集合练习试题及答案一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.【答案】A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.【答案】C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对【解析】①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.【答案】B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0【解析】若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.【答案】B5.(2013•曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，-x，则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1【解析】由x2≠0，x2≠-x，-x≠0，解得x≠0且x≠-1.【答案】C二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x|x7};(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=x2};(1,1)________{(x，y)|y=x2}.【解析】(1)22∈R，而22=87，∴22∉{x|x7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{x|x=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=x2}.集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.【答案】(1)∈∉(2)∉(3)∉∈7.已知集合C={x|63-x∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.【解析】由题意知3-x=±1，±2，±3，±6，∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵x∈N_，∴C={1,2,4,5,6,9}.【答案】{1,2,4,5,6,9}8.已知集合A={-2,4，x2-x}，若6∈A，则x=________.【解析】由于6∈A，所以x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.【答案】-2或3三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.【解】(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.【解】由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.(1)若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，∴a=-1不符合题意.(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由(1)知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.【解】∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1∈A可知，11--1=12∈A;由12∈A可知，11-12=2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。
高一数学试题及答案(8页)
高一数学试题及答案第一部分：选择题1. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1 = 3，求a5的值。
A. 7B. 9C. 11D. 133. 设集合A = {x | x > 0}，B = {x | x < 5}，求A∩B的值。
A. {x | x > 0, x < 5}B. {x | x > 5}C. {x | x < 0}D. {x | x < 5, x > 0}4. 若直线y = kx + 2与圆x^2 + (y 1)^2 = 4相切，求k的值。
A. 1B. 1C. 2D. 25. 设函数g(x) = |x 1| + |x + 1|，求g(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 36. 若等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求bn的第5项。
A. 162B. 243C. 4D. 7297. 已知函数h(x) = x^3 3x^2 + 2x，求h(x)的导数。
A. 3x^2 6x + 2B. 3x^2 6x 2C. 3x^2 + 6x + 2D. 3x^2 + 6x 28. 若直线y = mx + 1与直线y = 2x + 4平行，求m的值。
A. 2B. 2C. 1D. 19. 设集合C = {x | x^2 5x + 6 = 0}，求C的值。
A. {2, 3}B. {1, 4}C. {2, 4}D. {1, 3}10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(2,3)，求b的值。
A. 12B. 12C. 6D. 6答案：1. A2. C3. A4. B5. B6. D7. A8. D9. C10. B第一部分：选择题答案解析1. 解析：将x = 2代入f(x) = x^2 4x + 3中，得到f(2) =2^2 42 + 3 = 1。
高一数学试卷附答案解析
高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(－2，－2)D ．(－1，－1)2.用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是( )A ．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ，如果x ＝2，我们认为出现2点B ．我们通常用计算器n 记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m 记录其中有多少次出现2点，置n ＝0，m ＝0C ．出现2点，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变D ．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值 3.数列满足，则( )A ．B ．C ．D ．4.（2014•宝山区一模）设a 和b 都是非零实数，则不等式a ＞b 和同时成立的充要条件是（ ）A ．a ＞ bB ．a ＞b ＞0C ．a ＞0＞ bD ．0＞a ＞b 5.如果，那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－D ．6.已知函数,的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．7.7.将下列不同进位制下的数转化为十进制，这些数中最小的数是（ ）A ．（20）7B ．（30）5C ．（23）6D ．（31）4 8.已知实数满足等式下列五个关系式①②③④⑤， 其中不可能成立的关系式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9.下列各角中，与60°角终边相同的角是（ ） A ．﹣60° B ．600° C ．1020° D ．﹣660° 10.化简等于A ．B ．零位移C ．D ．11.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 12.在等差数列中，若，则的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．1713.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E 是CC1中点,以A 为原点建立空间直角坐标系,如图,则点E 的 坐标为A ．(1,1,2)B ．(2,2,2)C ．(0,2,2)D ．(2,0,2)14.已知，那么的值是（ ）A ．B ．C ．D ．15.等边三角形ABC 的边长为1， ，那么等于( ) A ．B ．C ．D ．3 16.直线与直线互相平行，则的值是A ．1B ．-2C ．1或-2D ．-1或2 17. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．B ．C．D．18.直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．19.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f sin x在[0，π]上的大致图象是()20.如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，则tan∠BPD等于（）A. B. C. D.二、填空题21.已知数列中，，，若2008，则=22.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx，f（－2）＝10，则f（2）=___23.设是等差数列的前n项和，若，则24.幂函数的图象过点，则的解析式是___________________.25.（2分）圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍．26.矩阵，，则2A﹣3B= ．27.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________________28.函数的单调减区间为_______________.29.三角形ABC中，，且，则三角形ABC面积最大值为__________.30.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是三、解答题31.（本小题满分10分）已知：函数（1）若，求函数的最小正周期及图像的对称轴方程；（2）设，的最小值是－2，最大值是，求：实数的值。
高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)
高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。
高一数学试卷带答案解析
高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知变量满足，点对应的区域的面积为，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．2.函数的定义域为,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③ 使的最大值为12；④数列中的最大项为；⑤，其中正确命题的个数是（ ） A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ．14.终边在直线上的角的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知是定义在R 上的偶函数，它在上递增，那么一定有A ．B ．C ．D ．6.若，则的大小关系是（ ）A． B． C． D．7.）是平面内的一定点,、、是平面上不共线的三个点.动点满足则点的轨迹一定通过的( )A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心8.（2015•杨浦区一模）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7 B．i＜8 C．i＞7 D．i＞89.函数的最小正周期是A． B．π C． D．2π10.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．911.已知函数满足:对任意实数，当时，总有，那么实数的取值范围是（）．A． B． C． D．12.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°13.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．14.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-2x则f(x)是（）A．f(x)=x(x-2)B．f(x)=|x|(x-2)C．f(x)= |x|(|x|-2)D．f(x)=x(|x|-2)15.已知函数是定义在上的奇函数，在区间单调递增且．若实数满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．16.点P(1，2，2)到原点的距离是（）A．9 B．3 C．1 D．517.将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或1118.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A． B． C． D．19.已知是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，则等于（）A． B． C． D．20.辗转相除法是求两个正整数的（）的方法．A．平均数 B．标准差 C．最大公约数 D．最小公倍数二、填空题21.函数的定义域为 .22.已知函数的图像与直线恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（）A． B． C． D．23.若＝－，则＝________.24.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为．记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数……可以推测的表达式，由此计算．25.直线y=2x+1关于直线y+2=0对称的直线方程是 .26.已知幂函数为偶函数，且在区间上是增函数，则的解析式为．27.在三棱柱中，D，E ，F 分别是AB ，AC ，CC1的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．28.（2010•崇明县一模）已知以x，y为变量的二元一次方程组的增广矩阵为，则这个二元一次方程组的解为．29.．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有个.30.若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为_ ▲___三、解答题31.设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n都有.（1）设，求证：数列是等比数列，（2）求出的通项公式。
高一数学试卷带答案解析
高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1. 函数的图象大致是下图中的2.已知函数，若f()="5" , 则的值是( )A . 2或-2或B. 2或-2 C . -2 D .3.在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等4.已知f （x ）=，则f [ f (-3)]等于A ．0B ．πC ．π2D ．95.函数f(x)="xln" êxú的大致图象是 ( )6.等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为A ．B ．C．D．7.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图像可以近似地看成函数的图像，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．8.等差数列共有项，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则的值为（）A．30 B．31 C．60 D．619.，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．10.在平面内有DABC和点O，若，则点O是DABC的（）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心11.设集合，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．12.函数与的图象（）A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称. D．关于直线对称13.函数的最小值为A．1 B． C． D．14.下列函数与有相同图象的一个函数是（）A． B． C． D．15.如果，则= ( )A． B． C． D．16.已知集合,集合，则与的关系是（）A．B．C．D．17.已知某运动员每次投篮命中的概率低于，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A． B． C． D．18.已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}， B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(?UA)∩B等于 ()A、[－1,4)B、(2,3)C、(2,3]D、(－1,4)19.下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．四边相等的四边形C．梯形D．平行四边形20.函数的定义域是（）A．B．C．D．二、填空题21.某商品在近30天内每件的销售价格（元）和时间（天）的函数关系为：（），设商品的日销售量（件）与时间（天）的函数关系为（），则第天，这种商品的日销售金额最大.22.设集合，，对应法则，若能够建立从到的函数，则实数的取值范围是．23.求值cos330°= .24.用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
高一数学试卷带答案解析
高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.某班的40位同学已编号1，2，3，…，40，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的8名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．抽签法 C．系统抽样 D．分层抽样2.已知函数，则（）A．－2 B．10 C．2 D．－103.为了得到的图象，只需将函数的图象（）A．向上平移个单位长度B．向下平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9．从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为A． B． C． D．5.等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A． B． C． D．6.已知函数，则A． B． C． D．7.已知集合，，则如图所示阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．8.已知函数满足：当时，，当时，，那么等于（）A． B． C． D．9.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．10.已知直线斜率的取值范围是[-1,+∞）,则倾斜角的取值范围是()A．[135°，180°）B．[0°，135°]C．[0°，90°]∪[135°，180°）D．[0°，90°）∪（90°，180°）11.中，三内角成等差数列，则的最大值为 ()A． B． C． D．12.在中，，，则面积为（）A． B． C． D．为等差数列的前n项和，，，则（）13.设SnA．-6 B．-4 C．-2 D．214.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．15.（2015•南昌校级二模）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．516. 360和504的最大公约数是（）A 24B 72C 144 D以上都不对17.在中，三边之比，则角（）A． B． C． D．18.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A． B． C． D．19.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是（）A． B．2 C． D．320.不等式的解集为A． B． C． D．二、填空题21.设函数为奇函数，则 .22.已知，且，则与的夹角大小是_____________.23.函数的最小正周期为24.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于，两点，则弦的长等于________．25.若在区间上的最大值是,则________．26.集合A＝{x|（a－1）x2＋3x－2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a＝．27.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则A="__________."28.已知数列试写出其一个通项公式：．29.设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是．30.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .三、解答题31.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.32.若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．33.（本题8分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。
高一数学试题及答案
高一数学试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答题卡上）1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( ) A ．40 B ．48 C ．50 D ．80 【答案】 C2．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．14 B ． 19 C ．16 D ．112【答案】 B3．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥【答案】 B4.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12π C .6π，2，12π D .6π，2，4π 【答案】C5．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630° 【答案】选B.6．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【答案】 D【解析】 x <0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.7．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32【答案】 B解析：.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12.8．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3【答案】 C解析：.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2，故选C.9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ=D.4=B【答案】 C.10．甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( ) A ．s 甲<s 乙<s 丙 B ．s 甲<s 丙<s 乙 C ．s 乙<s 甲<s 丙 D ．s 丙<s 甲<s 乙甲 乙 丙 【答案】 D11.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（ ）A .13B .13-C .233D .233-【答案】 A12．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 【答案】 D解析：选D.将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin[ω(x －π4)]的图象，因为所得图象经过点(34π，0)，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈t )，即ω＝2k (k ∈t )，又ω>0，所以ωmin ＝2，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上） 13. 已知样本9,10,11,,x y 的平均数是102，则xy =________________. 【答案】9614.袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次， 则3个球颜色全不相同的概率为_______________． 【答案】2/915．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为_______________.【答案】 －2316.16．函数f(x )=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是_____________________.【答案】13k <<三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程）17．（本小题满分10分） 已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1） 化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值． 【答案】17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)
柳州市高中2024级12月联考试题高一数学（考试时间 120分钟 满分 150分）注意：1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效.2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题.3.选择题，请用铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（ ）A. B.C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.对数与互为相反数，则（ ）A. B. C. D.4.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C.D.5.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（ ）x014269A.2B.6C.9D.02B 0.5mm ()11f x x =+-[)0,+∞[)()0,11,+∞ ()()0,11,+∞ [)1,+∞0x ∀<210x ax +-≥0x ∃>210x ax +-<0x ∀>210x ax +->0x ∀<210x ax +-<0x ∃<210x ax +-<lg a lg b 0a b +=0a b -=1ab =1a b=a b >2a b >-22a b>1a b>2a b >+()f x ()g x ()()3f g =()f x6.已知，则的最小值为（ ）A. B.0C.1D.37.一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A. B.C. D.8.已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.与表示同一个函数的是（ ）A. B. C. D.10.已知，则满足的关系式有（ ）A. B.C. D.11.设，用表示不超过x 的最大整数，例如，，.则下列关于函数的说法正确的是（ ）A.B.在R 上单调递增C.对任意，，都有D.对于任意实数x ，y ，是成立的充分不必要条件第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写成指数幂形式为________.1x >-41x x ++4-23208kx kx +-<30k -<<30k -<≤304k -<<34k -<≤()2xf x x =+()2log g x x x =+()3h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>y x =y =2y =,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩2x y x=()2211x f x x+=-()f x ()()f x f x =-()()f x f x =--()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭R x ∈[]x []3.54-=-[]2.12=()[]f x x =()1x f x x -<≤()f x R x ∈Z k ∈()()f x k f x k+=+()()f x f y =1x y -<)0x >13.幂函数的图象经过点，则的值为________.14.已知函数的图象如图所示，则的定义域是________，值域是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合，，.（1）求，；（2）若集合，是否存在实数a ，使得？若存在，试求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.16.（15分）已知函数经过，两点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；（3）当时，，求实数m 的最小值.17.（15分）某地区推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量P （单位：千克）与施肥量x （单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.（1）求函数的解析式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？18.（17分）设函数，.()y f x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭f ()y f x =()y f x ={}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,5A ={}1,3,5,7B =()U A B ð()()U U A B ðð()(){}20C x x x a =--=A C A = ()21x f x ax b +=+()1,252,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()0,111,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()m f x ≥()()()()2420236261x x P x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩16x ()2005x +()f x ()f x ()2x x e e f x --=()2x xe e g x -+=（1）判断函数的奇偶性，并讨论函数的单调性（不需证明单调性）；（2）求证：；（3）若在区间上的最小值为，求t 的值.19.（17分）已知有限实数集，若，则称A 为“和积平衡集”.（1）分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”；（2）已知集合M 为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M （不需要说明理由）；（3）已知实数x 、y ，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z 满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由.()f x ()f x ()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f =-+⋅[]1,1-78-{}()12,,,2,N n A a a a n n =≥∈ 1212n n a a a a a a +++= {}1,2P={}1,2Q =--+*N M ⊆{},x y 2z xy ={},,x y z柳州市高中2024级12月联考高一数学参考答案及评分标准2024.12一、选择题12345678B DCABDAB二、多选题91011选1个（A 或C ）选2个（AC ）选1个（A 或D ）选2个（AD ）选1个（A 或C 或D ）选2个（AC 或AD 或CD ）选3个（ACD ）3分6分3分6分2分4分6分三、填空题12.13.214.，（第一个空2分，第二个空3分）三、解答题15.（1），，（2）若存在实数a ，使得则所以或516.解：（1），，，解得，（2）在上单调递减，证明如下：任取，，且，23x[][]3,01,3- []1,5{}1,2,3,4,5,6,7U = {}2,4,5A ={}1,3,5,7B =(){}1,3,6,7U A ∴=ð(){}2,4,6UB =ð(){}2,4U A B ∴= ð()(){}6UUA B = ðð()(){}{}22,|0C x x x a a =--==A C A = C A ⊆4a =()12f = ()522f =225522a ba b ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩10a b =⎧⎨=⎩()1f x x x∴=+()f x ()0,11x ()20,1x ∈12x x <则，，，且，，，，，即，所以函数在上单调递减.（3）由（2）知在上单调递减，函数在上的最大值为，由知，所以m 的最小值为17.（1）由题意知：，整理得；（2）当时，，由一元二次函数图象可知在时取得最大值，当时，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1x ()20,1x ∈12x x <120x x ∴-<1201x x <<1210x x ∴-<()()120f x f x ∴->()()12f x f x >()f x ()0,1()f x ()0,1∴()f x 11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11033f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()m f x ≥()max m f x ≥103m ∴≥103()()()21162005f x P x x x =--+()()()()()284216200502756162005261x x x x xx x x x ⎧+--+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩()()28421320275621200(26)1x x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩02x ≤≤()2842132f x x x =--2x =()f x ()2262f =26x <≤()()()75617567562120021117911x xf x x x x x +-=--=-+-++，当且仅当，即时等号成立，，的最大值是，当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.18.（1）由题意可知，的定义域为R ，定义域关于原点对称又，所以为奇函数；因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增；（2）（3）由令，由，则又则令对称轴当，即时，()7565772111x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦577≤-5772126325=-⨯=()7562111x x =++5x =()()25f f ∴<()f x ∴()5325f =∴()f x ()()e e 2x xf x f x ---==-()f x e xy =(),-∞+∞e xy -=-(),-∞+∞()f x (),-∞+∞()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e 22442x x x x x x x x x xg x f x -----⎛⎫⎛⎫+-+++-+⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭()2g x =()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤∴=+⎣⎦⎣⎦()()()22442244222ln 42ln 22222222x x x xx x x x xxxxh x f t f t t ------+-=-+⋅=-+⋅=+⋅22x xm -=-[]1,1x ∈-33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()222222222x xx xh x t ---+-=+⋅()222121222m m H m t m t m +=+⋅=+⋅+122t m t=-=-⨯32t -<-32t >，解得；当，即时，，解得，又，因此不符合题意，舍去当，即时，，解得综上知，.19.（1），集合P 不是“和积平衡集”，集合Q 是“和积平衡集”（2）符合题意的集合（3）若存在符合题意的实数z ，则，即，解得或，当时，则，，不符合题意.当，由此，x 、y 是方程的实数解.但，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当时，不符合题意综上，不存在符合题意的实数z .()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⋅-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2t =3322t -≤-≤3322t -≤≤()()()()22min11711228H m H t t t t t =-=-+⨯-+=-+=-t =3322t -≤≤32t ->32t <-()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2t =-2t =±1212⨯≠+ ∴()()112-⨯⨯-⨯+= ∴{}1,2,3M =2z xy x y xyx y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩23z z z ∴+=()210z z z --=0z =z =z =0z =0x =0y =z =x y +=xy =20t -+=240=-=<△z =。
2023-2024学年天津市高一上册期末数学试题3(含解析)
2023-2024学年天津市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【正确答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2．已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =，所以p 是q 的充分必要条件.故选：C3．已知0.1536log 2,3,log sin7a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【正确答案】A【分析】将,,a b c 分别与中间量进行比较，即可得出c a b <<.【详解】因为555log 1log 2log 5<<，所以01a <<；100.313b >==，即1b >；由6sin17π<，所以336log sinlog 107c π⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，即0c <.综上.c a b<<故选：A4．函数222()cos x xf x x x--=+在[,]-ππ的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据函数为奇函数以及函数值的正、负，就中得到正确答案.【详解】因为()222()cos()()x xf x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除A,D 选项；当(,0)x π∈-时，2220,cos 0x x x x --<+>，所以()0f x <，故排除C ；故选：B.方法点睛：求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项.5．函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()2,∞+D ．(),2-∞-【正确答案】D【分析】求出函数()()212log 4f x x =-的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的增区间.【详解】对于函数()()212log 4f x x =-，有240x ->，解得<2x -或2x >，故函数()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞ ，内层函数24u x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-.故选：D.6．下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．2y 22x x -=+C ．4sin sin y x x=+D ．4ln ln y x x=+【正确答案】B【分析】根据一元二次函数知识或均值不等式分别求解每个选项中函数的最小值，注意均值不等式使用条件以及等号取得条件，即可判断答案.【详解】对于2224(1)3y x x x =++=++，当=1x -时，函数最小值为3，A 错误；24y 22242x x x x -=+=+≥，当且仅当1x =时取得等号，B 正确；4sin 4sin y x x =+≥，当且仅当4sin sin x x =时取等号，由于4sin sin x x=时，|sin |2x =，根据正弦函数性质可知|sin |2x =不成立，故4sin 4sin y x x=+≥取不到等号，C 错误；对于4ln ln y x x =+，由于ln x 可能小于0，即4ln ln y x x=+函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，D 错误，故选:B7．要得到函数y x 的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度【正确答案】A 【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动4π个单位长度，则函数为，于是选A.8．下列命题中正确的个数是（）①命题“0x ∃>，2sin 0x x +<”的否定是“0x ∀>，2sin 0x x +≥”；②幂函数的图象一定不会出现在第四象限；③函数()23log f x x x=-的零点所在区间是()2,3，且()f x 只有一个零点；④函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数；⑤()f x =ππ2π2π,42x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；⑥在锐角三角形ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立.A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】对①：根据特称命题的否定分析判断；对②：根据幂函数的图象和性质分析判断；对③：根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断；对④：取特值结合诱导公式分析判断；对⑤：根据题意结合正切函数图象与性质运算求解；对⑥：根据题意利用正弦函数的单调性结合诱导公式分析运算.【详解】对①：命题“0x ∃>，2sin 0x x +<”的否定是“0x ∀>，2sin 0x x +≥”，①正确；对②：当0x >时，则0y x α=>，故幂函数的图象一定不会出现在第四象限，②正确；对③：∵函数()23log f x x x=-在()0,+∞上单调递减，且()()2120,31log 302f f =>=-<，故函数()23log f x x x=-的零点所在区间是()2,3，且()f x 只有一个零点，③正确；对④：∵πππππsinsin 1,sin πsin πsin 122222⎛⎫==+=+=-=- ⎪⎝⎭，即ππsin sin π22≠+，∴函数sin y x =不是最小正周期为π的周期函数，④错误；对⑤：由题意可得：tan 10x -≥，即tan 1x ≥，解得ππππ,Z 42k x k k +≤<+∈，∴()f x =ππ|ππ,42x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，⑤错误；对⑥：在锐角三角形ABC 中，π2A B +>，即π2A B >-，∵π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，同理可得：sin cos B A >，则不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立，⑥正确；故选：B.二、填空题9．51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【正确答案】9【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故910．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为______.【正确答案】【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，再由弧长公式求出弧长即可得到扇形周长.【详解】因为212S R α=，其中8,2S α==，所以R ===代入弧长l R α=中，得2l R α==⨯=所以周长为22R l +=⨯=故答案为.11．已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin2sin αα-=______.【正确答案】3910-## 3.9-【分析】先利用正切的和差公式求得tan α，再结合二倍角公式与同角三角函数的基本关系式即可得解.【详解】因为πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππtan tanππ2144tan tan 3ππ441211tan tan 44αααα⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+===- ⎪-⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以222210sin cos sin 5sin 2sin sin cos ααααααα--=+()()()2222103310tan tan 39tan 11031ααα⨯----===-+-+.故答案为.3910-12．设x ，y ∈R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，a b +=11x y+的最大值为______.【正确答案】3【分析】有基本不等式得27ab ≤，由3x y a b ==得311log ab x y+=即可计算最值.【详解】∵1a >，1b >，∴a b +=≥∴27ab ≤，∵3x y a b ==，∴log 3,log 3a b x y ==；∴3311log ,log a b x y==；∴333311log log log log 273a b ab x y+=+=≤=，故313．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m ，最高点距离地面的高度为120m ，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m 的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．【正确答案】10【分析】借助三角函数模型，设()sin H A t k ωϕ=++，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令()sin 92.5H A t k ωϕ=++≥，解三角不等式即可得答案.【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，南鸢同学位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-，根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ，由题意，可得πππ55sin 6555cos 6515215H t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤，令π55cos 6592.515H t =-+≥，030t ≤≤，可得1020t ≤≤，所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是201010-=分钟，故10.14．给出下列命题：①若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=；②若α，β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；③函数()π4sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④若函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，那么ϕ的最小值为π4；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，则ABC 是钝角三角形；⑥已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则02ω<≤.其中正确命题的序号是______.【正确答案】③⑤【分析】根据角的中边上的点可求角的三角函数值，判断①；根据象限角的含义举反例，判断②；采用代入验证的方法可判断③；根据函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，利用奇函数定义可求得ππ,Z 42k k ϕ=+∈，即可判断④；根据1sin cos 2C C +=，采用平方法判断C 的范围，判断⑤;利用正弦函数的单调性，求得ω的范围，判断⑥.【详解】①，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则P到原点距离为5,055,0k k r k k k >⎧==⎨-<⎩，故44sin |5|5k k α==±，①错误；②α，β是第一象限角，且αβ>，不妨取13ππ,66αβ==，但sin sin αβ=，②错误；③当π6x =-，函数πππ4sin[2()]0663f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，即函数()π4sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③正确；④若函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，则()()()(),3cos 323cos 32f x f x x x ϕϕ-=-∴-+=-+，即cos3cos 20x ϕ=，因为x ∈R ,故cos20ϕ=，则πππ2π,Z,,Z 242k k k k ϕϕ=+∈∴=+∈,那么ϕ的最小正值为π4，无最小值，④错误；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，即21(sin cos )12sin s 4coso C C C C +=+=，即sin cos 38C C =-，由于(0,π)C ∈，故sin 0,cos 0C C ><，故C 为钝角，ABC 是钝角三角形，⑤正确；⑥已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则,π4π3x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ32ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，⑥错误，故③⑤三、解答题15．已知()()π1sin sin π23πcos 2f αααα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)若α是第三象限角，且3cos 5α=-，求()f α的值；(2)若()4f α=-，求sin 1cos αα-的值.【正确答案】(1)12-(2)3【分析】（1）利用诱导公式化简得到()1cos sin sin f αααα++=-，根据α是第三象限角，且3cos 5α=-求出sin α，代入即可；（2）根据()4f α=-得到1cos 3sin αα+=，再利用同角三角函数关系变形得到sin 1cos 31cos sin αααα+==-.【详解】（1）()()π1sin sin π1cos sin 23πsin cos 2f ααααααα⎛⎫++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，且3cos 5α=-，所以sin 54α==-，故()3411cos sin 1554sin 25f αααα--++===--（2）()1cos sin 4sin f αααα++==--，故1cos 3sin αα+=，由于sin α位于分母的位置，故sin 0α≠，故1cos 0α+≠，故()()()()()22sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos 31cos 1cos 1cos 1cos sin sin αααααααααααααα++++=====--+-.16．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值，以及相应x 的值；(3)若0π14625f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，03π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin2x 的值.【正确答案】(1)π；5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)当5π12x =时，max ()2f x =；当π4x =时，min ()1f x =(3)1450+-【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再利用三角函数的性质即可得解；（2）利用正弦函数的性质即可得解；（3）由题意可得02πsin 232514x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而利用基本关系式与正弦函数的和差公式即可得解.【详解】（1）因为()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)22sin cos 12sin x x x =-πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()f x 的单调递减区间为5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又5πππππ2π2sin 2,2sin 1,2sin1224623f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当5π12x =时，max ()2f x =，当π4x =时，min ()1f x =.（3）因为0π14625f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以02πsin 232514x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又03π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02π5π4π2363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则02πcos 203x ⎛⎫-< ⎝⎭，所以02πcos 23x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以002π2πsin 2sin 233x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦002π2π2π2πsin 2cos cos 2sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1411425225250⎛⎫+⎛⎫=⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。
1．（5分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线3．（5分）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为1，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x ﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=04．（5分）若镭经过100年，质量比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）7．（5分）在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表x 0.50 0.99 2.01 3.98y ﹣1.01 0.01 0.98 2.00则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x 8．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．B D∥平面CB1D1B．A C1⊥B1CC．A C1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°9．（5分）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A．B．48πC．D．10．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．（0，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．12．（5分）已知直线l垂直于直线3x+4y﹣2=0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为5个单位长度，直线l的方程为．13．（5分）如图，正方形OABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为．14．（5分）若方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解，则实数a的取值范围是．15．（5分）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分。
解答时要求写出必要的文字说明或演算步骤。
16．（12分）已知直线l1：ax﹣by﹣1=0，（a，b不同时为0），l2：（a+2）x+y+a=0，（1）若b=0且l1⊥l2，求实数a的值；（2）当b=2且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．17．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．18．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19．（12分）提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30≤x≤210时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．20．（13分）如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC=．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．21．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。
1．（5分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．解答：解：∵直线经过A（0，4），B（，1）两点，∴，设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故选：D．点评：本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．2．（5分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：常规题型．分析：根据棱台的定义知，棱台的侧棱延长后一定相交与一点．解答：解：由棱台的定义知，四棱台可看作是由四棱锥截得的，则DD1与BB1所在直线是相交的．故选A．点评：本题考查了棱台的定义，即棱台可是由棱锥截得，故棱台的侧棱延长后一定相交与一，这是对结构特征的考查．3．（5分）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为1，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x ﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=0考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：由题意可知直线PA和PB关于x=1对称，任取直线PB的一点M（x，y），可得M 关于直线x=1的对称点在直线PA上，代入已知方程变形可得．解答：解：由题意可知直线PA和PB关于x=1对称，任取直线PB的一点M（x，y），则M关于直线x=1的对称点M′（2﹣x，y）在直线PA上，∴2﹣x﹣y+1=0，即x+y﹣3=0故选：C点评：本题考查直线的方程和对称性，属基础题．4．（5分）若镭经过100年，质量比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：根据题意，求出衰变率，利用指数函数模型得出x、y之间的函数关系式．解答：解：根据题意，得；设衰变率为a，则（1﹣a）100=1﹣4.24%=0.9576，∴1﹣a=，∴质量为1的镭经过x年后剩留量为y，x，y的函数关系是y=．故选：A．点评：本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题目．5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由直线A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线A1C1与B1C所成的角，由此能求出异面直线A1C1与B1C所成的角．解答：解：如图，∵直线A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线A1C1与B1C所成的角，连结AB1，AC，∵△ACB1是等边三角形，∴∠B1CA=60°．∴异面直线A1C1与B1C所成的角是60°．故选：C．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．6．（5分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：易知函数f（x）=2x+2x﹣3在定义域R上单调递增且连续，从而由函数的零点的判定定理判断区间即可．解答：解：函数f（x）=2x+2x﹣3在定义域R上单调递增且连续，f（）=+1﹣3＜0，f（1）=2+2﹣3=1＞0；故f（）•f（1）＜0；故函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（，1）．故选B．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7．（5分）在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表x 0.50 0.99 2.01 3.98y ﹣1.01 0.01 0.98 2.00则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．解答：解：根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意故选D．点评：本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．B D∥平面CB1D1B．A C1⊥B1C[来源:学*科*网Z*X*X*K]C．A C1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．解答：解：由正方体的性质得BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质得B1C⊥AB、B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面ABC1，∴AC1⊥B1C，故②正确；由②知AC1⊥B1C，同理可证AC1⊥B1D1，∴AC1⊥平面CB1D1 ，故③正确．连结A1C1交B1D1于O，则∠C1CO即为直线CC1与平面CB1D1所成的角，显然此角小于∠C1CB1=45°，故④不正确．故选：D．[来源:学§科§网Z§X§X§K]（注：本题通过建立空间直角坐标系亦可解决）点评：本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（5分）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A．B．48πC．D．[来源:学科网]考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征；球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE==．AO==2．所求球的体积为：=．故选A．点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．（0，1]考点：函数零点的判定定理；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：转化为y=f（x）与y=m图象有3个交点，画出f（x）的图象，y=m运动观察即可．解答：解：∵函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，∴y=f（x）与y=m图象有3个交点，[来源:Z,xx,]f（﹣1）=1，f（0）=0，据图回答：0＜m＜1，故选：C．点评：本题考查了函数图象的运用，运用图象判断函数零点的问题，难度不大，属于中档题，关键画出图象，确定关键的点．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。