初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
角平分线四大辅助线模型 总结+习题+解析
角平分线四大辅助线模型角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到角平分线的考点主要是性质、判定以及四大辅助线模型，在初二上期中、期末考试中都是经常考察的方向。
角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线判定：到角的两边距离相等的点在角的角平分线上．四大模型1、角平分线+平行线，等腰三角形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三角形，OD=CD．2、角平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、角平分线+一垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、角平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核心考点一】角平分线的性质与判定1．（2016•张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A B ．2 C ．3 D ．【分析】首先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据角平分线的性质，即可求得PB 的值，又由垂线段最短，可求得PQ 的最小值．2．（2016秋•抚宁县期末）如图，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ∆∆= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利用角平分线的性质，可得出ABD ∆的边AB 上的高与ACD ∆的AC 上的高相等，估计三角 形的面积公式，即可得出ABD ∆与ACD ∆的面积之比等于对应边之比．3．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )。
2第二章 角平分线四大模型
2图4321A C P B D A B C 图1A B D C A B D C
P P
O N
M
B A 第二章 角平分线四大模型
PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D
到直线AB 的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，
AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点
P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
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10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
3、角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
3、角平分线的四大模型头条：数学源泉模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
模型证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,∴PB=PA。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____；（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC。
解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等，∴AP 平分∠BAC模型练习1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
证明：如图延长BA，过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
初二上学期全等三角形专题之角平分线四大模型教案(有答案)
角平分线四大模型互动精讲【知识梳理】模型一、角平分线+两垂线如图1，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型二、角平分线+截长补短如图2，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图1 图2模型三、角平分线+垂线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
模型四、角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
图3 图4NM OABPPONM BA PONM BAQPONM【例题精讲】模型一、角平分线+两垂线例1、（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 2 ；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
例2、如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2图4321ACP BDABC图1ABDC模型二、角平分线+截长补短例3、已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
例4、（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
ABCD图2DPA BCDC1图PBA模型三、角平分线+垂线例5、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E 。
角平分线四大基本模型
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例题4 （1）在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交 于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若 BD+CE=9，则线段DE之长为________
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（2）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， DE//AB，FD//AC，如果BC=6，求△DEF的周长
【提示】“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
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例题3 （1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证： BD=2CE
11
（2）在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于 点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
角平分线四大基本模型 角平分线在初中几何中常见， 现总结以下四种基本类型 已知P是∠MON平分线上一点
2
【模型1】 若PA⊥OM于点A，可过P作PB⊥ON于点B，则 PB=PA 口诀：“图中有角平分线，可向两边作垂线”
3
【模型2】 若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB， 构造△OPB≌△OPA 口诀：“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
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ห้องสมุดไป่ตู้
4
【模型3】 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造等腰 △AOB，OP是底边AB垂线，进而利用三线合一 口诀：“角平分线加垂线，三线合一试试看”
5
【模型4】 若过点P作PQ//ON交OM于点Q，从而构造等腰△POQ 口诀：“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
2024专题1.3平分---角平分线的四种模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
.
∵AD⊥BD.
∴∠BAD+∠ABD=90º.∠ADE+EDB=90º.
∴∠ABD=∠EDB
.∴BE=DE=AE.
∴ED=0.5AB=2.5
E
B
D
C
基础训练
角平分线解题策略
查漏补缺
3.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于
A
点F.求证：四边形DECF是菱形.
M
Q
角平分线+平行线
三角形.一般地,角平分线,平行线,等腰三角形中任
P
N
意两个条件存在,可得第三个条件(知二推一).OP平
分∠MON,PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形.
考点5-4
典例精讲
角平分线+平行线
考点5-4
【例4】如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于
D
C
点E,若AB=3,则AE=______.
设OD=x,则DM=x,AD=12-x. 在Rt△ADM中
.
∵AD²=DM²+AM2. ∴x2+6²=(12-x)2, 解得
∴D(4.5,0).
x=4.5.
设直线CD的解析式为y=kx+b, 把C(0,9),D(4.5,0)代入得：
k=-2
b=9.
则
解得：
∴直线CD的解析式为y=-
角平分线+角平分线的垂线
A
B
若∠BPC=40º,则∠CAP=_____º.
A
P
O
O
O
A
图1
C
B
初中数学解题模型专题讲解2---角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
初中数专题2模型模型 1 1 ：：角平分线上的点向如图，P 是∠MON 的平分线上结论：PB=PA。
模型证明模型证明：：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,初中数学解题模型专题讲解2 角平分线的四大模型的点向两边作垂线的点向两边作垂线分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ONON 于点 B。
∴PB=PA。
模型分析利用角平分线的性质：角平分为边相等、角相等、三角形全突破口。
模型实例模型实例（1）如图①，在△ABC 中到直线 AB 的距离是_____（2）如图②，∠1=∠2，∠求证：AP 平分∠BAC。
解析解析：（：（1）由角平分线模型知（2）如图分别做AB ∴AP 平分∠BAC角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么___；∠3=∠4。
模型知模型知，，D 到AB 的距离等于DC=2AB 、BC 、AC 三边的高三边的高，，由题意易得三边高相等由题意易得三边高相等，，模型， 到解题的 那么点 D ，模型练习1．如图，在四边形 ABCD 求证：∠BAD+∠BCD=180°证明证明：：如图延长BA ，过D 作DE 、DF ∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠P，若∠BPC=40°，则∠CAP=CD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
°。
垂直BA 延长线延长线、、BC 于E 、F 两点两点，， DFC°∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP CAP= 。
2023中考数学常见几何模型《角平分线的基本模型(二)非全等类》含答案解析
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在△ABC2中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A 的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
北师大版八年级下册数学角平分线角平分线的四大模型
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
几何必会模型：角平分线四大模型
HD DF HF 1 FH 1 1 ，∴HD＝1．5a， ，∴FH＝ BH AB AF FB 2 BH 3 3 HG HD 1.5a 3 BG 4 ∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴ ，∴ GB EB 2a 4 HB 7
∴
1 BH HF 3 7 4 ∴BG＝ HB，∴ BG 4 BH 12 7 7
证明：过点 B 做 BF//AC，交 CE 延长线于点 F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF ∵AE：EB=2：1，∴BF=
1 1 AC= BC=CD，又 AC=CB，∠ACD=∠CBF=90° 2 2
∴△ACD≌△CBF，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90° ∴∠4=90°，∴CE⊥AD 以上董明伟录入
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模型 1：A、8 模型
已知∠1＝∠2 结论：△ADE∽△ABC
模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出 A 型或 8 型相似．在做 题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．
模型实例
【例 1】如图，在 ABC 中，中线 AF、BD、CE 相交于点 O，求证：
模型 2 共边共角型
已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC
A D 1 C
B
2
模型分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系 或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以 2 得到：AC =AD AB 模型实例 例 1 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD 的面积为 15．那么△ACD 的面积为 ．
(完整版)角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
中考数学必考几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDECDACDECAC∴△ACD≌△ECD(SAS)∴AD＝DE ，∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B＋∠EDB ，∴∠B＝∠EDB，∴EBB＝ED ，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE ＝AD，求证：BC＝AB＋CE证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB =-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C 即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例 解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED.同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC 于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
2024中考数学核心几何模型重点突破专题02 角平分线模型(含解析)
2024中考数学核心几何模型重点突破专题02角平分线模型模型分析【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC 是AOB ∠的角平分线⇒AOB COB AOC ∠=∠=∠21【模型变式1】双中点求和型如图已知OC 是AOB ∠内任意一条射线，射线OE 是AOC ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线⇒AOB EOF ∠=∠21【证明】射线OE 是AOC ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线;21AOC EOC AOE ∠=∠=∠∴COB FOB COF ∠=∠=∠21COFEOC EOF ∠+∠=∠AOB COB AOC COB AOC EOF ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴21)(212121AOB EOF ∠=∠21【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
【模型变式2】双中点求差型如图已知OB 是AOC ∠外任意一条射线，射线OE 是AOB ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线⇒AOC EOF ∠=∠21【证明】射线OE 是AOB ∠的角平分线，射线OF 是COB ∠的角平分线;21AOB EOB AOE ∠=∠=∠∴COB FOB COF ∠=∠=∠21FOB EOB EOF ∠-∠=∠AOC COB AOB COB AOB EOF ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴21)(212121AOC EOF ∠=∠21【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
典例分析【例1】如图，已知AOB ∠和AOC ∠互余，OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，则AOB ∠=_______________°．【例2】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=1∠EOC2C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系模型演练一、单选题1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（）A．96°B．104°C．114°D．124°2．如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（）A．12°B．15°C．18°D．24°3．如图，直线AB，CD，EO相交于点O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，则∠BOD的度数为（）A．40°B．37°C．36°D．35°4．如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2022·山东东营·二模）如图，CD AB ∥，点O 在AB 上，OE 平分,110BOD OF OE D ∠⊥∠=︒,，则AOF ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒二、填空题6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，OF 平分COE ∠．若76AOC ∠=︒，则BOF ∠的度数为______°．7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ．若∠BOF =30°，则∠DOE =_______°．8．如图，直线AB 、CD 交于点O ，CO OE ⊥，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，44AOC ∠=︒，则∠=FOG _____________．9．如图，已知射线OC 在AOB ∠内部，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，现给出以下4个结论：①DOE AOF ∠=∠；②2DOF AOF COF ∠=∠-∠；③AOD BOC ∠=∠；④()12EOF COF BOF ∠=∠+∠其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．10．如图，∠COD 在∠AOB 的内部，且12COD AOB Ð=Ð，若将∠COD 绕点O 顺时针旋转，使∠COD 在∠AOB 的外部，在运动过程中，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 与∠AOC 之间满足的数量关系是_____．三、解答题11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．12．如图，O 为直线AB 上的一点，48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．(1)求BOD ∠的度数；(2)OE 是BOC ∠的平分线吗？为什么？13．已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引两条射线OC ，OD ，且OC 平分AOD ∠．（Ⅰ）请在图①中BOD ∠的内部画一条射线OE ，使得OE 平分BOD ∠，并求此时COE ∠的度数；（Ⅱ）如图②，若在BOD ∠内部画的射线OE ，恰好使得3BOE DOE ∠=∠，且70COE ∠=︒，求此时∠BOE 的度数．14．已知：如图所示（1），AOB ∠和COD ∠共顶点，OB OD 、重合，OM 为AOD ∠的平分线，ON 为BOC ∠的平分线，=AOB α∠，=COD β∠.（1）如图所示（2），若=90α︒，=30β︒，则MON ∠=_______.（2）如图所示（3），若COD ∠绕O 点逆时针旋转，且=BOD γ∠，求MON ∠.（3）如图所示（4），若=2αβ，COD ∠绕O 点逆时针旋转，OE 平分BOD ∠，以下两个结论：①AOD COE∠∠为定值；②-AOD COE ∠∠为定值；请选择正确的结论，并说明理由.参考答案与详细解析典例分析【例1】如图，已知AOB ∠和AOC ∠互余，OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，则AOB ∠=_______________°．【答案】65【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可．【解析】解：∵OM 、ON 分别平分AOB ∠和AOC ∠，20MON ∠=︒，∴12AOM AOB ∠=∠，12AON AOC ∠=∠，∴112022AOB AOC AOM AON MON ∠-∠=∠-∠=∠=︒，∴40AOB AOC ∠-∠=︒①，又∵AOB ∠和AOC ∠互余，∴90AOB AOC ∠+∠=︒②，①＋②，得：24090AOB ∠=︒+︒，解得：65AOB ∠=︒．故答案为：65．【例2】如图，∠AOB =120°，OC 是∠AOB 内部任意一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=12∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【答案】C【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．【解析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故选C．【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系【答案】(1)45°(2)∠MON=12α(3)①∠MON=12α；②α=23β或=43β【分析】（1）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（3）①求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；②分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解．【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=75°，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠COA=α+60°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=12(α+60°)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=12(α+60°)-30°=12α．(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=α+β．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠COA=12(α+β)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12β，∴∠MON=∠COM-∠CON=12(α+β)-12β=12α．②当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1，∵∠COM=12(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=12(α+β)-β=12(α-β)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=12β，∴12β=3×12(α-β)，∴α=43β；当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2，∵∠COM=12(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=β-12(α+β)=12(β-α)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=12β，∴12β=3×12(β-α)，∴α=23β．综上可知，α=23β或=43β．模型演练一、单选题1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（）A．96°B．104°C．114°D．124°【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM=12∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，∵GM平分∠BGH，∴∠BGM =12∠BGH =12×132°=66°，∵AB ∥CD ，∴∠GMD =180°-∠BGM =180°-66°=114°．故选：C ．2．如图，∠AOC 与∠BOC 互为余角，OD 平分∠BOC ，∠EOC ＝2∠AOE ．若∠COD ＝18°，则∠AOE 的大小是（）A ．12°B ．15°C ．18°D ．24°【答案】C 【分析】利用角平分线求出∠BOC ＝36°，利用∠AOC 与∠BOC 互为余角，求出∠AOC ＝90-36°=54°，再根据∠EOC ＝2∠AOE ，即可求出∠AOE =18°．【解析】解：∵∠COD ＝18°，OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝36°，∵∠AOC 与∠BOC 互为余角，∴∠AOC ＝90°-36°=54°∵∠EOC ＝2∠AOE ，∴3∠AOE =54°，∴∠AOE =18°．故选：C3．如图，直线AB ，CD ，EO 相交于点O ，已知OA 平分∠EOC ，若∠EOC:∠EOD ＝2:3，则∠BOD 的度数为（）A ．40°B ．37°C ．36°D ．35°【答案】C 【分析】根据:2:3EOC EOD ∠∠=与180EOC EOD ∠+∠=︒得到EOC ∠，根据OA 平分EOC ∠得到AOC ∠，最后根据对顶角相等即可求出BOD ∠．【解析】解：:2:3EOC EOD ∠∠=，180EOC EOD ∠+∠=︒，31802EOC EOC ∴∠+∠=︒，72EOC ∴∠=︒，OA 平分EOC ∠，11723622AOC EOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，36BOD AOC ∴∠=∠=︒．故选：C ．4．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到BOC ∠的度数，再根据角平分线即可得出3∠的度数．【解析】解：12∠=∠，1280∠+∠=︒，1240∴∠=∠=︒，140BOC ∴∠=︒，又OE 平分BOC ∠，3140270∴∠=︒÷=︒．故选：D ．5．（2022·山东东营·二模）如图，CD AB ∥，点O 在AB 上，OE 平分,110BOD OF OE D ∠⊥∠=︒,，则AOF ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒【答案】D 【分析】根据CD AB ∥，∠D ＝110°，求出∠AOD ＝70°，∠DOB ＝110°，利用OE 平分∠BOD ，得到∠DOE ＝55°，由∠FOE ＝90°求出∠DOF ＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF 的度数．【解析】解：∵CD AB ∥，∴∠AOD +∠D ＝180°，∠DOB =∠D ，∵∠D ＝110°，∴∠AOD ＝70°，∠DOB ＝110°，∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE ＝12DOB ∠=55°，∵OF ⊥OE ，∴∠FOE ＝90°，∴∠DOF ＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF ＝∠AOD ﹣∠DOF ＝70°﹣35°＝35°，故D 正确．故选：D ．二、填空题6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，OF 平分COE ∠．若76AOC ∠=︒，则BOF ∠的度数为______°．【答案】33【分析】先根据对顶角相等求出76BOD ∠=︒，再由角平分线定义得38DOE BOE ∠=∠=︒，由邻补角得142COE ∠=︒，再根据角平分线定义得71EOF ∠=︒，从而可得结论．【解析】解：∵AOC BOD ∠∠、是对顶角，∴76,BOD AOC ∠=∠=︒∵OE 平分BOD ∠，∴1382DOE BOE BOD ∠=∠=∠=︒∴142COE ∠=︒，∵OF 平分COE ∠．∴1712EOF COE ∠=∠=︒又BOE BOF EOF ∠+∠=∠，∴=713833BOF EOF BOE ∠∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：337．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ．若∠BOF =30°，则∠DOE =_______°．【答案】40【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求．【解析】解：∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOE =∠DOE ，设∠BOE =∠DOE =x ，则有∠COE =180°-x ，∵OF 平分∠COE ，∴∠EOF =12（180°-x ）=90°-12x ，由题意得：∠EOF -∠BOE =∠BOF =30°，即90°-12x -x =30°，解得：x =40°，则∠DOE =40°．故答案为：40．8．如图，直线AB 、CD 交于点O ，CO OE ⊥，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，44AOC ∠=︒，则∠=FOG _____________．【答案】135︒【分析】根据邻补角求得AOD ∠，COB ∠，根据CO OE ⊥，求得90COE ∠=︒，进而求得EOB ∠，根据对顶角求得BOD AOC ∠=∠，根据角平分线的定义求得12FOD AOD ∠=∠，12BOG BOE ∠=∠，根据FOG FOD BOD BOG ∠=∠+∠+∠即可求解．【解析】解：44AOC ∠=︒，180AOD AOC COB ∴∠=︒-∠=∠18044136=︒-︒=︒，CO OE ⊥，∴90COE ∠=︒，1369046BOE BOC COE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，OF 是AOD ∠的平分线，OG 是EOB ∠的平分线，∴1682FOD AOD ∠=∠=︒，1232BOG BOE ∠=∠=︒，又BOD AOC ∠=∠44=︒，∴FOG FOD BOD BOG∠=∠+∠+∠1122AOD BOD BOE =∠+∠+∠684423=︒+︒+︒135=︒故答案为：135︒．9．如图，已知射线OC 在AOB ∠内部，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，现给出以下4个结论：①DOE AOF ∠=∠；②2DOF AOF COF ∠=∠-∠；③AOD BOC ∠=∠；④()12EOF COF BOF ∠=∠+∠其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．【答案】①②④【分析】①根据OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，得出12AOD COD AOC ∠=∠=∠，12BOE COE BOC ∠=∠=∠，12AOF BOF AOB ∠=∠=∠，求出12∠=∠DOE AOB ，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出12DOF BOC COE ∠=∠=∠，得出AOF COF BOF COF BOC ∠-∠=∠-∠=∠，即可得出结论；③无法证明AOD BOC ∠=∠；④根据12DOF BOC COE ∠=∠=∠，得出EOF COD ∠=∠，2COF BOF COD ∠+∠=∠，即可得出结论．【解析】解：①∵OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOB ∠，∴12AOD COD AOC ∠=∠=∠，12BOE COE BOC ∠=∠=∠，12AOF BOF AOB ∠=∠=∠，AOC BOC AOB ∠+∠=∠，12DOC COE AOD BOE AOB ∴∠+∠=∠+∠=∠，即12∠=∠DOE AOB ，∴DOE AOF ∠=∠，故①正确；②∵DOF DOE EOF∠=∠-∠1122AOB COF BOC ⎛⎫=∠-∠+∠ ⎪⎝⎭1122AOB COF BOC =∠-∠-∠()1122AOB BOF BOC BOC =∠-∠-∠-∠111222AOB AOB BOC BOC ⎛⎫=∠-∠-∠-∠ ⎪⎝⎭111222AOB AOB BOC BOC =∠-∠+∠-∠12BOC =∠AOF COF BOF COF BOC ∠-∠=∠-∠=∠，∴2DOF AOF COF ∠=∠-∠，故②正确；③AOD ∠与BOC ∠不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，12DOF BOC COE ∠=∠=∠，∴EOF EOC COF COF DOF COD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵2COF BOF COF AOF AOC COD ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴()12EOF COF BOF ∠=∠+∠，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．10．如图，∠COD 在∠AOB 的内部，且12COD AOB Ð=Ð，若将∠COD 绕点O 顺时针旋转，使∠COD 在∠AOB 的外部，在运动过程中，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 与∠AOC 之间满足的数量关系是_____．【答案】2AOC DOE ∠∠=或3602AOC DOE∠=︒-∠【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过180︒时，当旋转的角度超过180︒，不超过360︒时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．【解析】解：当旋转的角度不超过180︒时，如图：∴AOC AOB BOC ∠=∠+∠，DOE COD COE ∠=∠+∠，∵12COD AOB Ð=Ð，OE 平分∠BOC ，∴BOE COE ∠=∠，()22=2∠=∠+∠∠+∠AOC COD COE COD COE ，∴2AOC DOE ∠∠=．当旋转的角度超过180︒，不超过360︒时，如图，∴()360∠=︒-∠+∠AOC AOB BOC ，DOE COD COE ∠=∠+∠，∵12COD AOB Ð=Ð，OE 平分∠BOC ，∴BOE COE ∠=∠，222=∠=∠+∠∠+∠DOE COD COE AOB BOC ，∴3602AOC DOE ∠=︒-∠．三、解答题11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．【解析】∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB =45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF －∠BOE=15°又∵OF 平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB ＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．12．如图，O 为直线AB 上的一点，48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．(1)求BOD ∠的度数；(2)OE 是BOC ∠的平分线吗？为什么？【答案】(1)156BOD ∠=︒(2)OE 是BOC ∠的平分线，理由见解析【分析】（1）由角平分线的性质可知∠1的度数，再利用互补即可算出∠BOD 的度数；（2）想要判断OE 是否为∠BOC 的平分线，只需分别计算出∠3和∠4的度数，看它们是否相等．【解析】（1）解：48AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，1112482422AOC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，1180BOD ∠+∠=︒，18024156BOD ∴∠=︒-︒=︒；（2）解：OE 是BOC ∠的平分线．理由如下：90DOE ∠=︒，224∠=︒，390266∴∠=︒-∠=︒，90DOE ∠=︒，156BOD ∠=︒，466BOD DOE ∴∠=∠-∠=︒，3466∴∠=∠=︒，OE ∴是BOC ∠的平分线．13．已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引两条射线OC ，OD ，且OC 平分AOD ∠．（Ⅰ）请在图①中BOD ∠的内部画一条射线OE ，使得OE 平分BOD ∠，并求此时COE ∠的度数；（Ⅱ）如图②，若在BOD ∠内部画的射线OE ，恰好使得3BOE DOE ∠=∠，且70COE ∠=︒，求此时∠BOE 的度数．【答案】（Ⅰ）90COE ∠=︒；（Ⅱ）∠BOE 的度数为60︒．【分析】由角平分线的定义得出12COD AOD ∠=∠，12EOD BOD ∠=∠，()1=902COE COD EOD AOD BOD ∠=∠+∠+=︒∠∠．（2）设1∠=α，则23α∠=，(4370)α∠=∠=︒-，根据平角的定义列等式求出结果即可．【解析】（Ⅰ）如图，∵OC 平分AOD ∠，OE 平分BOD ∠，∴12COD AOD ∠=∠，12EOD BOD ∠=∠，∴()1=902COE COD EOD AOD BOD ∠=∠+∠+=︒∠∠．（Ⅱ）如下图，设1∠=α，根据题意得2313α∠=∠=．∵1370COE ∠=∠+∠=︒，∴370()α∠=︒-．∵OC 平分AOD ∠，∴(4370)α∠=∠=︒-，∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，∴()()37070180αααα++-+-=︒．解得：20α=︒．∴2360α∠==︒．∴∠BOE 的度数为60︒．14．已知：如图所示（1），AOB ∠和COD ∠共顶点，OB OD 、重合，OM 为AOD ∠的平分线，ON 为BOC ∠的平分线，=AOB α∠，=COD β∠.（1）如图所示（2），若=90α︒，=30β︒，则MON ∠=_______.（2）如图所示（3），若COD ∠绕O 点逆时针旋转，且=BOD γ∠，求MON ∠.（3）如图所示（4），若=2αβ，COD ∠绕O 点逆时针旋转，OE 平分BOD ∠，以下两个结论：①AOD COE∠∠为定值；②-AOD COE ∠∠为定值；请选择正确的结论，并说明理由.【答案】（1）60︒；（2）2MON αβ+∠=；（3）①2AOD COE∠=∠.【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON ＝12∠AOD ＋12∠BOC ，进而求出即可；（2）∠BOD ＝γ，而122MOD AOD αγ+∠=∠=，122NOB COB βγ+∠=∠=，进而得出即可；（3）利用已知表示出∠COE 和∠AOD ，进而得出答案．【解析】解：（1）（1）∵OM 为∠AOD 的平分线，ON 为∠BOC 的平分线，∠AOB ＝α，∠COD ＝β，α＝90゜，β＝30゜，∴∠MON ＝12α＋12β＝60°；故答案为60°；（2）122MOD AOD αγ+∠=∠=，122NOB COB βγ+∠=∠=，222MON MOD NOB DOB αγβγαβγ+++∴∠=∠+∠-∠=+-=；（3）①2AOD COE∠=∠,设2BOD x ∠=，则222AOD a x x β∠=+=+，COE x β∠=+，∴2AOD COE ∠=∠.。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
模型实例
1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直 线AB的距离是 .
2.如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。
A
C
D
B
图1
A
B
2 1
C
34
P图 2
典例精选
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
A DE
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C
A
E 12 D
C
B
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E
求证：BE= （AC-AB）
A
E
B
D
C
模型4：角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形
2.如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与ACAB的大小，并说明理由。
A A
P
P
B
C图 1
D
B
D
C
图2
典例精选
1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长
A
B
D
C
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD
M A
P
O
BN
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等
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N M
O
A B P 2图4321A C
P B D A
B C
图1A B D C A
B D C
P
P O
N
M B
A 第二章 角平分线四大模型
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作
PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D
到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练
1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2D
P A
B C D C 1图P B A A
B
C D
A B
C D
E D
C B A
P O
N
M B A 模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点
A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练
1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
求证：BC=AB+CD 。
3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延
长BD 至E ，DE=AD 。
求证：BC=AB+CE 。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
E D C B
A 21E
D
C B A
E
D
C
B
A
Q
P
O
N
M
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型实例
如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ， CE ⊥BD ，垂足为E 。
求证：BD=2CE 。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。
求证：∠2=∠1+∠C 。
2．如图，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于点E 。
求证：BE=
1
2
（AC-AB ）。
模型4 角平分线+平行线
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
模型分析
F A
E B C
D 2图A
E B D
F C 1图F
G E 图3D C N M B A
A E B
C N M F
D A E
B C D
A E
B
C
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，点D 在EF 上，BD 、CD 分别平分∠
ABC 、∠ACB ，写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD 平分∠ABC 、CD 平分∠ACG ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC
于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD 、CD 分别为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，，DE ∥BC 交
AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？
热搜精练
1． 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交
于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点M ，交AC
于点N 。
若BM+CN=9，则线段MN 的长为 。
2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 、F 分别在BD 、AD 上，EF ∥AB ， 且DE=CD 。
求证：EF=AC 。
3． 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上， 且AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC 。
求证：AD=AB-BC 。