复旦版数学分析答案全解 ex4-5
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x2
⑹ y = x3 cos x ，求 y′′ 、 y′′′ ；
⑺ y = x 2 e3x ，求 y′′′ ；
⑻ y = e−x2 arcsin x ，求 y ′′ ；
⑼ y = x3 cos 2x ，求 ； y(80)
⑽ y = (2x 2 + 1) sh x ，求 y(99) .
解 （1） y'= 3x2 + 4x −1, y''= 6x + 4, y'''= 6 。
1− x2
y"= (−x 2 )'(−2x arcsin x + 1 )e−x2 + (−2x arcsin x + 1 )'e−x2
1− x2
1− x2
= (−2x)(−2x arcsin x +
⎡
1 1− x2
)e − x2
+ ⎢⎢− 2 arcsin x − ⎢⎣
wenku.baidu.com
⎤
2x 1− x2
+
(−
1) 2
（2） y' = 4x3 ln x + x3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。
2x
（3） y ' =
1+ x − x2 2
1+ x
1 1+ x
=
4x + 3x2
3
，
2(1+ x)2
y" =
(4
+
6 x)(1 +
3
x)2
−
3
(4x
习 题 4.5 高阶导数和高阶微分
⒈ 求下列函数的高阶导数：
⑴ y = x3 + 2x 2 − x + 1, 求 y′′′ ； ⑶ y = x2 ，求 y′′ ；
1+ x
⑸ y = sin x3 ，求 y′′ 、 y′′′ ；
⑵ y = x 4 ln x ，求 y′′ ； ⑷ y = ln x ，求 y′′ ；
⑷ y= 1 ；
x2 − 5x + 6
⑹ y = sin4 x + cos4 x .
解 （1） y (n) = 1 (1 − cos 2ωx)(n) = −2n−1ω n cos(2ωx + n π )
2
2
= 2n−1ω n sin(2ω x + n −1π ) 。
2
∑ ∑ （2） y(n)
n
= Cnk (2x )(n−k ) (ln x)(k )
= (2x2 +1)ch x + 99 ⋅ 4x sh x + 4851⋅ 4ch x
= (2x2 +19405)chx + 396xshx 。
⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y(n) ：
84
⑴ y = sin2 ωx ；
⑵ y = 2x ln x ；
⑶
ex y=
；
x
⑸ y = eαx cos βx ；
y"= 6x cos x3 + 3x 2 (− sin x3 )(3x 2 ) = 6x cos x3 − 9x 4 sin x3 ，
y ''' = 6 cos x3 − 6x sin x3 ⋅ (3x2 ) − 36x3 sin x3 − 9x4 cos x3 ⋅ (3x2 )
= −54x3 sin x3 − (27x6 − 6) cos x3 。
(−2x) (1 − x 2 )
3 2
⎥ ⎥
e
−
x
2
⎥⎦
⎡
⎤
=
⎢⎢2(2x 2
−1) arcsin
x
+
x(4 x 2
−
3)
3
⎥⎥e
−
x
2
;
⎢⎣
(1 − x 2 ) 2 ⎥⎦
（9） y(80) = x3 cos(80) 2x + C810 3x2 cos(79) 2x + C820 6x cos(78) 2x + C830 6 cos(77) 2x
y''= (2 + 6x)e3x + (2x + 3x2 )e3x (3x)'= (9x2 +12x + 2)e3x ，
y''' = (18x + 12)e3x + (9x2 + 12x + 2)e3x (3x)' = (27x2 + 54x + 18)e3x 。
（8） y' = (−x2 )'e−x2 arcsin x + e−x2 (arcsin x)'= (−2x arcsin x + 1 )e−x2 ，
+
3x2 )(1+
1
x) 2
2
2(1+ x)3
=
3x2
+
8x
+
5
8
。
4(1+ x)2
（4） y' = x −1 ⋅ x −2 − 2 ln x ⋅ x −3 = 1 − 2 ln x ，
x3
y"= −2x −1x −3 − 3(1 − 2 ln x)x −4 = 6 ln x − 5 。
x4
（5） y' = cos x3 ⋅ (3x 2 ) = 3x 2 cos x3 ，
（6） y'= 3x2 cos
x + x3 (− sin
x )(
1
) = 3x 2 cos
x
−
1
x
5 2
sin
x，
2x
2
83
y" = 6x cos
x + 3x2 (− sin
x)
1
−
5
x
3 2
sin
x
−
1
x
5 2
(cos
x)
1
2x 4
2
2x
= (6x − 1 x2 ) cos
x
−
11
x
3 2
sin
= 280 x3 cos 2x + 80 ⋅ 279 ⋅ 3x2 sin 2x − 3160 ⋅ 278 ⋅ 6x cos 2x − 82160 ⋅ 277 ⋅ 6 sin 2x
= 280 ⎡⎣x(x2 − 4740) cos 2x + (120x2 − 61620) sin 2x⎤⎦ 。 （10） y(99) = (2x2 + 1)sh(99) x + C919 4x sh(98) x + C929 4 sh(97) x
x，
4
4
y ''' = (6 − x ) cos
x + (6x − x2 )(− sin
x)
1
−
33
x
1 2
sin
x
−
11
x
3 2
cos
x
1
2
4
2x 8
4
2x
= (6 − 15 x) cos
x
+
(1
3
x2
−
57
1
x2
) sin
x。
8
88
（7） y' = 2xe3x + x2e3x (3x)' = (2x + 3x2 )e3x ，
k =0
=
ln n
2 ⋅ 2x
ln
x
+
n k =1
Cnk
2x
ln n −k
2
⋅
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞(k −1) ⎟⎠
∑ =
2x
⎡ ⎢ln
n
⎣
2
⋅
ln
x
+
n k =1
Cnk
ln n − k
2⋅
(−1)k −1 (k xk
−1)!⎤ ⎥ ⎦
。
∑ ∑ ∑ （3） y(n)
=
k
n =0
C
k n
(e
x
)
(
n−k
)
⎜⎛ ⎝
1 x
⎟⎞ ⎠
(
k
)
n
=
C
k n
e
x
k =0
(−1)k k! x k +1
=
n
ex
C
k n
k =0
(−1)k k! 。
x k +1
（4）由于 y = 1 − 1 ，
x−3 x−2
y(n)
=
⎛ ⎜⎝
x
1 ⎞(n) − 3 ⎟⎠
⑹ y = x3 cos x ，求 y′′ 、 y′′′ ；
⑺ y = x 2 e3x ，求 y′′′ ；
⑻ y = e−x2 arcsin x ，求 y ′′ ；
⑼ y = x3 cos 2x ，求 ； y(80)
⑽ y = (2x 2 + 1) sh x ，求 y(99) .
解 （1） y'= 3x2 + 4x −1, y''= 6x + 4, y'''= 6 。
1− x2
y"= (−x 2 )'(−2x arcsin x + 1 )e−x2 + (−2x arcsin x + 1 )'e−x2
1− x2
1− x2
= (−2x)(−2x arcsin x +
⎡
1 1− x2
)e − x2
+ ⎢⎢− 2 arcsin x − ⎢⎣
wenku.baidu.com
⎤
2x 1− x2
+
(−
1) 2
（2） y' = 4x3 ln x + x3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。
2x
（3） y ' =
1+ x − x2 2
1+ x
1 1+ x
=
4x + 3x2
3
，
2(1+ x)2
y" =
(4
+
6 x)(1 +
3
x)2
−
3
(4x
习 题 4.5 高阶导数和高阶微分
⒈ 求下列函数的高阶导数：
⑴ y = x3 + 2x 2 − x + 1, 求 y′′′ ； ⑶ y = x2 ，求 y′′ ；
1+ x
⑸ y = sin x3 ，求 y′′ 、 y′′′ ；
⑵ y = x 4 ln x ，求 y′′ ； ⑷ y = ln x ，求 y′′ ；
⑷ y= 1 ；
x2 − 5x + 6
⑹ y = sin4 x + cos4 x .
解 （1） y (n) = 1 (1 − cos 2ωx)(n) = −2n−1ω n cos(2ωx + n π )
2
2
= 2n−1ω n sin(2ω x + n −1π ) 。
2
∑ ∑ （2） y(n)
n
= Cnk (2x )(n−k ) (ln x)(k )
= (2x2 +1)ch x + 99 ⋅ 4x sh x + 4851⋅ 4ch x
= (2x2 +19405)chx + 396xshx 。
⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y(n) ：
84
⑴ y = sin2 ωx ；
⑵ y = 2x ln x ；
⑶
ex y=
；
x
⑸ y = eαx cos βx ；
y"= 6x cos x3 + 3x 2 (− sin x3 )(3x 2 ) = 6x cos x3 − 9x 4 sin x3 ，
y ''' = 6 cos x3 − 6x sin x3 ⋅ (3x2 ) − 36x3 sin x3 − 9x4 cos x3 ⋅ (3x2 )
= −54x3 sin x3 − (27x6 − 6) cos x3 。
(−2x) (1 − x 2 )
3 2
⎥ ⎥
e
−
x
2
⎥⎦
⎡
⎤
=
⎢⎢2(2x 2
−1) arcsin
x
+
x(4 x 2
−
3)
3
⎥⎥e
−
x
2
;
⎢⎣
(1 − x 2 ) 2 ⎥⎦
（9） y(80) = x3 cos(80) 2x + C810 3x2 cos(79) 2x + C820 6x cos(78) 2x + C830 6 cos(77) 2x
y''= (2 + 6x)e3x + (2x + 3x2 )e3x (3x)'= (9x2 +12x + 2)e3x ，
y''' = (18x + 12)e3x + (9x2 + 12x + 2)e3x (3x)' = (27x2 + 54x + 18)e3x 。
（8） y' = (−x2 )'e−x2 arcsin x + e−x2 (arcsin x)'= (−2x arcsin x + 1 )e−x2 ，
+
3x2 )(1+
1
x) 2
2
2(1+ x)3
=
3x2
+
8x
+
5
8
。
4(1+ x)2
（4） y' = x −1 ⋅ x −2 − 2 ln x ⋅ x −3 = 1 − 2 ln x ，
x3
y"= −2x −1x −3 − 3(1 − 2 ln x)x −4 = 6 ln x − 5 。
x4
（5） y' = cos x3 ⋅ (3x 2 ) = 3x 2 cos x3 ，
（6） y'= 3x2 cos
x + x3 (− sin
x )(
1
) = 3x 2 cos
x
−
1
x
5 2
sin
x，
2x
2
83
y" = 6x cos
x + 3x2 (− sin
x)
1
−
5
x
3 2
sin
x
−
1
x
5 2
(cos
x)
1
2x 4
2
2x
= (6x − 1 x2 ) cos
x
−
11
x
3 2
sin
= 280 x3 cos 2x + 80 ⋅ 279 ⋅ 3x2 sin 2x − 3160 ⋅ 278 ⋅ 6x cos 2x − 82160 ⋅ 277 ⋅ 6 sin 2x
= 280 ⎡⎣x(x2 − 4740) cos 2x + (120x2 − 61620) sin 2x⎤⎦ 。 （10） y(99) = (2x2 + 1)sh(99) x + C919 4x sh(98) x + C929 4 sh(97) x
x，
4
4
y ''' = (6 − x ) cos
x + (6x − x2 )(− sin
x)
1
−
33
x
1 2
sin
x
−
11
x
3 2
cos
x
1
2
4
2x 8
4
2x
= (6 − 15 x) cos
x
+
(1
3
x2
−
57
1
x2
) sin
x。
8
88
（7） y' = 2xe3x + x2e3x (3x)' = (2x + 3x2 )e3x ，
k =0
=
ln n
2 ⋅ 2x
ln
x
+
n k =1
Cnk
2x
ln n −k
2
⋅
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞(k −1) ⎟⎠
∑ =
2x
⎡ ⎢ln
n
⎣
2
⋅
ln
x
+
n k =1
Cnk
ln n − k
2⋅
(−1)k −1 (k xk
−1)!⎤ ⎥ ⎦
。
∑ ∑ ∑ （3） y(n)
=
k
n =0
C
k n
(e
x
)
(
n−k
)
⎜⎛ ⎝
1 x
⎟⎞ ⎠
(
k
)
n
=
C
k n
e
x
k =0
(−1)k k! x k +1
=
n
ex
C
k n
k =0
(−1)k k! 。
x k +1
（4）由于 y = 1 − 1 ，
x−3 x−2
y(n)
=
⎛ ⎜⎝
x
1 ⎞(n) − 3 ⎟⎠