高中数学“归纳推理”专题
高中数学推理知识点总结
高中数学推理知识点总结高中数学推理知识点总结数学作为一门学科，不仅仅是靠记忆和计算来完成的，更需要学生具备一定的推理能力。
在高中数学学习中，数学推理的重要性不言而喻。
本文将总结高中数学中与推理相关的重要知识点，帮助学生加深对数学推理的理解。
一、命题命题是指一个完整、具有独立意义的陈述句，可以被判断为真或假。
高中数学推理中常常涉及到命题，学生需要掌握多个重要概念：1.原命题：指未改变的最初命题。
2.逆命题：原命题的并非真正的否定（即“非p”），而是将原命题的“前件”和“后件”互换位置得到的新命题。
3.反命题：原命题的真正否定，即把原命题中的“p”或“q”都否定，得到的新命题。
4.对偶命题：由两个新命题组成，其中，前一个新命题的“前件”和后一个新命题的“后件”相同，后一个新命题的“前件”和前一个新命题的“后件”相同。
这些概念常在数学证明中出现，学生需要能够灵活应用。
二、命题的联结词命题的联结词指的是联接两个或多个命题的词语，常见的联结词有“而且”、“或者”、“如果……，则……”等。
学生需要注意联结词的用法和含义，例如，“而且”表示两个条件都必须满足，“或者”表示两个条件任意一个满足即可，“如果……，则……”表示前件成立必然导致后件成立，其中前件为“条件”，后件为“结论”。
三、充分必要条件充分必要条件是一种重要的数学推理方法，指的是一个命题成立的充分条件，也是其必要条件。
例如，对于一个数是偶数的命题，则该命题成立的必要条件是这个数能够被2整除，同时根据奇偶性的定义，该命题成立的充分条件是这个数不能被2整除。
四、数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，主要用于对于自然数集合中一类命题的证明。
其基本原理是：先证明这类命题对于最小的自然数成立，再证明对于任意一个自然数k成立的前提下，都可以推出k+1成立，即可得出该命题对于所有自然数成立。
五、构造法构造法常用于解决一些存在性问题，其思想是通过构造一个满足命题的例子来证明命题的存在性。
高中数学归纳推理测试题(有答案)
高中数学归纳推理测试题（有答案）选修2-22.1.1第1课时归纳推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到个别的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝abD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[答案] B[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B. 3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27[答案] B[解析] 因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜测x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B.4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是() A．2n－2－12B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4[答案] B[解析] ∵a1＝0＝21－2，a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，猜想an＝2n－2.故应选B.5．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2019年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答案] D[解析] 到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]所以到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．故应选D.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.7．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2019到2019箭头的方向依次为()A．B．C．D．[答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2019到2019为，故应选C. 8．(2019山东文，10)观察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．9．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于()19＋2＝11129＋3＝1111239＋4＝111112349＋5＝11111123459＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113[答案] B[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，第七个三角形数为7(7＋1)2＝28.二、填空题11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n ＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n 个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S＝4(n－1)(n2)．14．(2009浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，右端＝24n－1＋(－1)n22n －1.三、解答题15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9、162、253，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n－2)3)．在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)(4)(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：平面区域顶点数边数区域数关系(1) 3 3 2 3＋2－3＝2(2) 8 12 6 8＋6－12＝2(3) 6 9 5 6＋5－9＝2(4) 10 15 7 10＋7－15＝2结论 V E F V＋F－E＝2推广 999 E 999 E＝999＋999－2＝2019其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2. 故可猜想此平面图可能有2019条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．[解析] b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.b3＝ab2＋a4p100a＋a4＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.18．设f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。
重点高中数学推理与证明专题
重点高中数学推理与证明专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3Λ,333232,232232,131232++<++<++<探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高巩固观猜证(,,)a b m <b b+m由此我们猜想：均为正实数。
a a+m归纳推{}数列的通项公式。
试归纳出这个且的第一项：已知数列例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a nnn n?,21,32,1,2:44321=====n a a a a a 求拓展例6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明课题：类比推理●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
归纳推理-高中数学知识点讲解
归纳推理1．归纳推理【知识点的认识】1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，퐴1具有属性푝具有属性푝}퐴푛⇒푆类事物中的每一个对象都可能具有属性푝⋯2．特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题．【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．1/ 4（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．例 1：下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例 2：下列推理是归纳推理的是（）A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式푥2푎2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．2/ 4解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前 3 个S1，S2，S3 的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．푥2푎2 C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D 选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．（2）考查归纳推理的运用做题的关键是读懂题意．例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1+332＝1+3+542＝1+3+5+723＝3+533＝7+9+1143＝13+15+17+19根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则m+n＝（）A．10 B．11 C．12 D．13分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n 的值．解答：：m2＝1+3+5+…+11 =1+112×6= 36，∴m＝6∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，∴53＝21+23+25+27+29，3/ 4∵n3 的分解中最小的数是 21，∴n3＝53，n＝5∴m+n＝6+5＝11故选B．点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．4/ 4。
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结汇编
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结汇编推理与证明推理证明推理与证明知识归纳总结归纳推理合情推理类比推理演绎推理综合法直接证明分析法数学归纳间接证明反证法第一部分合情推理学习目标：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理：1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究：1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?题型1用归纳推理发现规律1、观察：7 15211；____；3-3 19 3cosA cosB cosC2AQy=sin_在(0,)上是增函数，sinAsin(解析QDABC为锐角三角形，A Bppp22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinA sinB sinCcosA cosB cosC考点2分析法p2B)=cosB 已知ab0,求证ab解析要证a-b更多a-b，只需证(a-b)2(a-b)2即a b-2aba-b，只需证bab，即证ba显然ba成立，因此a-b1)，证明方程f(_)=0没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾解析假设_是f(_)=0的负数根，则_0且_-1且a_0=-000_-20_ 10_ 120a_0102101，解得_2，这与_0矛盾，00故方程f(_)=0没有负数根总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2024年高中数学推理知识点总结（2篇）
2024年高中数学推理知识点总结____年高中数学推理知识点总结 ____字一、命题演绎与命题推理1. 命题的定义2. 命题的联结词及其使用3. 命题的简化与合取范式4. 命题的逻辑等价关系5. 命题的充分条件与必要条件6. 命题的否定与命题的否定公式7. 命题的充分性和必要性推理8. 命题的否定式推理9. 命题的等价推理10. 命题的充分与必要充分推理二、条件与充分条件推理1. 条件命题的定义2. 条件命题的充分条件与必要条件3. 充分条件的推理法则4. 必要条件的推理法则5. 充分条件与必要条件的关系与推理三、逻辑语句与逻辑关系1. 逻辑语句的定义2. 逻辑语句的真值与真值表3. 逻辑语句的逻辑运算4. 逻辑语句的联结词5. 逻辑语句的合取与析取式6. 逻辑语句的合取范式与析取范式7. 逻辑语句的逻辑等价关系8. 逻辑语句的否定式9. 逻辑语句的联结词的运算律10. 逻辑语句的等价推理与逻辑关系四、谓词与量词推理1. 谓词命题的定义2. 谓词命题的合取与析取范式3. 谓词命题的否定与否定式4. 谓词命题的量词5. 谓词命题的全称量词和存在量词6. 谓词命题的量词的运算律7. 谓词语句的谓词推理与量词推理8. 谓词语句的条件推理与充分条件推理9. 谓词语句的等价推理与逻辑推理五、公理与推理1. 公理的定义2. 公理的推理法则3. 公理的等价推理4. 公理的充分与必要充分推理5. 公理的充分条件推理6. 公理的必要条件推理7. 公理的谓词推理与量词推理8. 公理的逻辑推理与命题推理9. 公理的联结词推理与推理法则10. 公理的条件推理与充分条件推理六、命题的证明与推理1. 命题的证明方法2. 命题的直接证明3. 命题的间接证明4. 命题的反证法证明5. 命题的归纳法证明6. 命题的递推法证明7. 命题的逆否命题证明8. 命题的充分必要命题证明9. 命题的对偶命题证明10. 命题的等价命题证明七、推理图形与推理过程1. 推理图形的定义2. 推理图形的推理法则3. 推理图形的原条件推理4. 推理图形的存在条件推理5. 推理图形的充分条件推理6. 推理图形的必要条件推理7. 推理图形的谓词推理与量词推理8. 推理图形的逻辑推理与命题推理9. 推理图形的等价推理与推理法则10. 推理图形的推理过程与推理方式八、概率与统计推理1. 概率的基本概念2. 事件的概率与必然事件3. 事件的互斥与相容4. 事件的包含与等价5. 概率的运算律6. 概率的条件与相对概率7. 概率的期望与方差8. 统计推理的基本概念9. 统计推理的参数估计10. 统计推理的假设检验九、三角函数推理1. 三角函数的基本概念2. 三角函数的相关性质3. 三角函数的反函数与逆三角函数4. 三角函数的基本关系式5. 三角函数的和差化积与积化和差6. 三角函数的倍角与半角公式7. 三角函数的奇偶性与周期性8. 三角函数的变换与性质9. 三角函数的图形与性质10. 三角函数的推理与证明以上总结的是____年高中数学推理的知识点，主要包括命题演绎与命题推理、条件与充分条件推理、逻辑语句与逻辑关系、谓词与量词推理、公理与推理、命题的证明与推理、推理图形与推理过程、概率与统计推理、三角函数推理等内容。
数学选修-归纳推理
an=1
1 （ ）、a1 1, an an 1 1 2
（2）、a1=3，an+1=2an+1
解：a1=3=22-1
1 an1
n 2
a2=2a1+1=7=23-1
a3=2a2+1=15=24-1 a4 =2a3+1=31=25-1 … 猜想an=2n+1-1
练习1：
1 1 1 * f (n) 1 (n N )，计算得： 2 3 n 5 3 f (16)＞ 3 f (4)＞ 2 f (8)＞ f (2) ＞ 2
….. (1) (2) (3) ____ (4) _____ (5)
an=n2+2n
已知数列｛a n｝的第一项 a1=1, an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
请先计算前四项
1 an n 归纳出这个数列的通项公式为________.
2、根据下列条件，写出数列中的前 四项，并归纳猜想它的通项公式：
540
第一个数为2 凸n边形 内角和为 第二个数为4 第三个数为6
第四个数为8
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般
性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).简言之，
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤
…
1
2
3
4
5
6
7
你能得出什么结论？ 解：将上述事实分别叙述如下
1等于1的平方； 前2个正奇数的和等于2的平方； 前3个正奇数的和等于3的平方； 前4个正奇数的和等于4的平方； 前5个正奇数的和等于5的平方； 由此猜想：前n（n∈N﹡）个连续正奇数#43;7+...+(2n-1)=n2
《高二数学归纳推理》课件
数学归纳推理最后得出的结论是该命题对于所有自然数都成立。
数学归纳推理的步骤
1
步骤二
2
证明基本情况成立，通常是通过计算或
举例来验证。
3
步骤四
4
证明归纳步骤，通过推理和计算证明命
题对下一个数也成立。
5
步骤一
研究和分析待证明的命题，理解问题的 背景和要求。
步骤三
假设命题对某个数成立，进行归纳假设。
3 数学归纳推理的重要性
数学归纳推理有助于培养逻辑思维能力、推理能力和问题解决能力，提升数学素养。
数学归纳推理的定义
1 数学归纳原理
数学归纳原理是指如果一个命题对于第一个数成立，并且对一个数成立时，该命题对下 一个数也成立，那么该命题对于所有数都成立。
2 归纳假设
在数学归纳证明中，需要假设命题对于某个数成立，然后通过推理证明该命题对下一个 数也成立。
步骤五
得出结论，证明该命题对于所有自然数 都成立。
数学归纳推理的例子
多米诺骨牌
通过归纳推理，可以证明多米诺 骨牌可以排成任意长度的一列。
彩色伞
通过归纳推理，可以证明彩色伞 的数量跟伞的折叠次数存在一种 关系。
铅笔摆放
通过归纳推理，可以证明在规定 的条件下，铅笔可以摆放成不同 的排列方式。
数学归纳推理的应用
《高二数学归纳推理》 PPT课件
数学归纳推理是一种重要的证明方法，能够用来证明一些有规律的命题在整 个数列上成立。
数学归纳推理简介
1 什么是数学归纳推理？
数学归纳推理是一种通过证明命题的基本情况和推理规律，证明该命题对于任意一个自 然数都成立的方法。
2 为什么要学习数学归纳推理？
数学归纳推理不仅是理解数学概念和原理的关键，还是解决实际问题和进行数学研究的 基础。
高中数学课件归纳推理公开课ppt课件优选文档PPT
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3、观察下列式子，归纳结论：
13 1 1323932(12)2 1323333662(123)2
13233343100 1 32 33 3n 3 (123 n)2
( n(n 1) )2 2
例2、已知数列{an}中，a1=1，且
an+1=
1
a
n
a
n
(n=1,2,…)
试归纳出这个数列的通项公式。
练一练：
1、已知数列{an}中，a1=1，且
an=
1 2
an
1 an
，(n >1)
试归纳出这个数列的通项公式。
2，观察下列已有数的规律，请在括号内填入 适当的数，试找出相邻两行数之间的关系。
4。请填写下列表格，你能否有惊奇发现？
多面体 正四面体 正方体 八面体
顶点数（V）棱数（E）
4
6
8
12
12
18
面数（F） V+F-E
4
2
6
2
8
2
通过填表并观察所得到的数据，容易从中
归纳推理得出关系式： V+F-E =2
这就是欧拉公式！
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
*
an+1=
(n=1,2,…)
反例： ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
1 () () 4 1
【高中数学课件】归纳推理公开课ppt课件
试归纳出这个数列的通项公式。
高中数学推理证明知识点总结
高中数学推理证明知识点总结数学是一门精确的科学，其中推理证明是其重要组成部分。
在高中数学学习中，掌握推理证明的知识点是非常关键的。
本文将对高中数学推理证明的知识点进行总结，以帮助同学们更好地了解和掌握数学推理证明的技巧和方法。
一、直接证明法直接证明法是最常用也是最简单的证明方法之一。
它的基本思路是通过逻辑推理，直接给出所需要证明的结论。
例如，证明命题“对于任意实数a和b，若a＞b，则a-b＞0”。
证明过程如下：假设a＞b，则a-b是一个实数，可以写成a-b=x，其中x为实数。
由a＞b可得，a-b＞0。
综上所述，命题成立。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学推理中有着重要的应用。
它的基本思路是通过假设命题的反面，并推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。
例如，证明命题“在任意整数中，不存在最大的整数”。
证明过程如下：假设存在一个最大的整数n，即对于任意整数x，若x＞n，则矛盾。
考虑整数n+1，显然n+1＞n，与n为最大整数的假设矛盾。
因此，原命题成立。
三、归纳法归纳法是一种常用于证明数列和命题的方法。
它的基本思路是通过证明当命题在某个条件下成立时，它在下一个条件下也成立，进而通过数学归纳推理证明命题在所有条件下成立。
例如，证明命题“对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2”。
证明过程如下：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1，成立。
假设当n=k时，命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
则当n=k+1时，左边为1+2+3+...+k+(k+1)，右边为(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2。
由归纳假设可得，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，成立。
综上所述，原命题成立。
四、递推法递推法是一种通过已知条件推导出下一个条件成立的方法，常用于证明数列的性质。
例如，证明命题“证明斐波那契数列性质：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)”。
高中数学推理知识点总结归纳
高中数学推理知识点总结归纳高中数学推理学问点总结归纳高中数学的推理题往往在数学考试当中占据很大部分的分数，但是许多同学也学习不好，学问点不明白，该怎么办?下面是我整理的高中数学推理学问点，盼望能关心到您。
高中数学推理学问点1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。
比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发觉苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。
这个推理是由特别推到一般的过程，可能正确也可能不正确，假如篮子里的确都是水果，那么你就猜对了;假如篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。
所以才会有证明。
2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。
例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论明显是不对的，香蕉并没有什么水分。
但假如你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。
(这个例子中指的都是正常水果)明显，这个推理方式是一个由特别推特别的过程，也不肯定正确。
3、演绎推理：一般推特别，肯定对。
例如，f(x)=1，那么f(1)=1高中数学证明学问点1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件始终往下推。
例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。
证明：由于1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量____________所以1菠萝的重量=4_20葡萄重量=80葡萄重量____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。
2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。
同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2_1菠萝重量=2_80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。
由于1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量所以1菠萝的重量=4_20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。
3、反证法：先假设结论相反，然后依据已知推导，最终发觉和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程!4、数学归纳法：解题过程：A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础;B.假设在n=k时命题成立;C.证明n=k+1时命题也成立高中数学推理与证明一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。
高中数学总结归纳 高考中的合情推理
高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。
一、归纳推理例1、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。
解：f （1）＝1，观察图象可知f （2）＝4，f （3）＝10，f （4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(+n n ，所以f （n ）＝f （n －1）＋2)1(+n n ， 所以有：f （2）－f （1）＝2)12(2+⨯ f （3）－f （2）＝2)13(3+⨯ f （4）－f （3）＝2)14(4+⨯ ……………………………………f （n ）－f （n －1）＝2)1(+n n 以上各式相加得：f （n ）＝f （1）＋24433222222n n ++++++++Λ ＝2)4321()4321(22222n n +++++++++++ΛΛ＝22)1(6)12)(1(++++n n n n n ＝6)2)(1(++n n n 所以应该填：10；6)2)(1(++n n n 点评：求f （n ）的通项公式时运用累差法思想求解。
可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。
解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
二、类比推理（类比）例2、半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高三高考数学总复习《推理与证明》题型归纳与汇总
题型一 归纳推理..............................................................................................................6 题型二 类比推理..............................................................................................................6 题型三 演绎推理..............................................................................................................7 题型四 逻辑推理..............................................................................................................7
n(n 1) 2
（n∈
N
）
【解析】 观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加 1，故第 n 个等式左边有 n 项，每项所含的底数的
绝对值也增加 1，一次为 1，2，3，… n ，指数都是 2，符号成正负交替出现可以用 (1)n1 表示，等式的右边
数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为
N 10, 24 1000
题型二 类比推理
例1
若数列 an是等差数列，则数列 bn
a1 a2 an n
也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列 cn是
等比数列，且 dn也 dn
高中数学专题 推理与证明(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
专题——推理与证明【知识概要】本章知识网络：一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析；数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定. 二.知识梳理1．合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3) 归纳推理的思维过程大致如图：3．类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2) 4．演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理． (2)特征：当前提为真时，结论必然为真． (3)“三段论”是演绎推理的一般模式：推理与证明推理 证明合情推理 演绎推理 归纳类比 综合法 分析法 反证法直接证明 间接证明 数学归纳法M——P （M是P）①S——M （S是M）②S——P （S是P）③其中：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．5．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（也叫由因导果法）．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法（也叫执果索因法）．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.6．间接证明（1）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（2）反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。
人教A版高中数学选修高二新课程第二章推理与证明知识点、考点、典型例题新
第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
高二数学推理知识点大总结
高二数学推理知识点大总结一、知识网络二、合情推理(一)归纳推理1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
2. 归纳推理的一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。
题型1：用归纳推理发现规律(1)观察：对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故(2)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。
其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。
则解题思路找出的关系式[解析]总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系(二)类比推理1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
2. 类比推理的一般步骤：第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.题型2：用类比推理猜想新的命题(1)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.解题思路从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高总结：① 不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。
② 类比推理常见的情形有：平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等(三)合情推理1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
高中数学题型全面归纳 推理
第十四章 推理与证明本章知识结构图第一节 推理考纲解读1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握其基本模式，并能进行一些简单的推理． 3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异． 命题趋势探究作为新课标新增加的内容，主要考查归纳推理和类比推理，题型在选择题、填空题和解答题中均有渗透，主要题型结构为：根据条件，归纳、猜想一个结论，然后证明该结论，虽然合情推理的结论不一定为真，但高考一般考查的是可以通过演绎推理解决的问题，故答案具有唯一性．知识点精讲 1．合情推理合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法．(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理．(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理．2．演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理．特别是“三段论”推理，其模式为：(1) 大前提——已知的一般结论． (2) 小前提——所研究的特殊情况．(3) 结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若S ∈M ，则S 有性质P ；②检验，S '∈M ；③故S '具有性质P ．注 如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．合情推理演绎推理归纳 类比三段论 大前提、小前提、结论 直接证明综合法 分析法 由因导果 执果索因 间接证明 反证法数学归纳法推理证明推理与证明猜想正难则反题型归纳及思路提示 题型185 归纳推理 思路提示对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，得出一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明．这里遵循的是由特殊到一般的推理原理． 例14.1 【2016高考山东文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．变式1 观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )． A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125变式2n个自然数按规律排成如图14－1所示的序列：依次规律从2013→2015，箭头方向应为()．A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓变式3下面的倒三角形数阵满足如图14－2所示的排列．图14－2(1)第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n－1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是＿＿＿＿＿＿＿．例14.2(2017亳州月考) 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()．A．28 B．76 C．123 D．199变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？(1)2223sin15sin75sin1352︒+︒+︒=，2223sin30sin90sin1502︒+︒+︒=，2223sin45sin105sin1652︒+︒+︒=，2223sin60sin120sin1802︒+︒+︒=．(2)223sin10sin10cos50sin504︒+︒︒+︒=，223sin15sin15cos45sin454︒+︒︒+︒=，223sin20sin20cos40sin404︒+︒︒+︒=，223sin25sin25cos35sin354︒+︒︒+︒=．例14.3 设函数()2xf x x =+(x ＞0)，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+， 32()(())78xf x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且n ≥2时，1()(())n n f x f f x -=＝＿＿＿＿．变式1 0()cos f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()n n f x f x n N +'=∈，则2015()f x ＝( )．A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x变式2 已知数列{}n a 的第1项11a =，且11nn na a a +=+(n ＝1，2，…)，猜想a 2014＝＿＿＿＿例14.4 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图14－3所示的三角形数：图14－3将三角形数1，3，6，10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：(1)2012b 是数列{}n a 中的第＿＿＿项； (2)21n b -＝＿＿＿＿＿．(用k 表示)变式1如图14－4所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分．那么：(1)在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？图14－4变式2【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.题型186 类比推理思路提示两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征．这里的类比有从方法(过程)进行类比，有从知识(结论)进行类比．我们可以从不同角度出发确定类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维(平面与空间)之间，椭圆与双曲线之间，等差数列与等比数列之间等．例14.5 当x R ∈，1x <时，有如下表达式：2111n x x n x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-，两边同时积分得：1111122222200011d +d +d ++d +d 1nx x x x x x x x x⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式： 23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：23101211111112223212n nnn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝＿＿＿＿＿．．变式1 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … …(n ＋1)2－n 2＝2×n ＋1．将以上各式分别相加，得：21(1)12(123n +-=⨯++…＋n )＋n ． 即1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +． 类比上述求法：请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．变式2 已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得22yy p '=，则py y '=，所以动点P 的切线的斜率0p k y =．类似上述方法，求出双曲线2212y x -=在点P (2，2)处的切线方程．例14.6 已知正三角形内切圆半径是高的13，把这个结论类比到正四面体中，类似结论应该是＿＿＿．变式1平面直角坐标系中，直线的一般方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆心C(x0，y0)，半径r＞0的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，类比到空间直角坐标系内平面的一般方程为①＿＿＿，球心在C(x0，y0，z0)，半径为r＞0的球的方程为②＿＿＿＿＿．变式2将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面部分分别为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：＿＿＿＿＿。
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(1) (2) (3) (4)
(5)
3、如图，第 n 个图形是由正 n 2
边形“扩展”而来，（n 1,2,3, ).
则第 n 2 个图形中共有
个顶点.
{a } 4、数列
n
满足
an1
2an
,
0
2an 1,
1 2
an an
1
2
1
a 若
a1
6 7
，求
2008 的值
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
◎
◎
◎◎
◎
◎◎
◎◎◎
◎ ◎◎
◎◎◎
◎◎◎◎ …
(1)求t2 －t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。 (2)求t1 ＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。
解: (1)t2－t1=2; t3－t2=3; t4－t3=4; … tn－tn－1=n
(2) t1＋t2=4; t2＋t3=9; t3＋t4=16; … tn－1＋tn=n2
计算S1 ,
3
S2 ,
,
S3
且 , S4
,
并猜想Sn的表达式.
计算得: S1
2, 3
S2
3, 4
S3
4, 5
5 S4 6
猜想:
n1 Sn n 2
练习：f(n)=1+1 2Fra bibliotek+
1 3
+
L
+
1 (n n
Î
N* )计算得
f(2)=
3 2
,f(4)>2,f(8)>
5 2
,f(16)>3,f
(32)
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 V+F-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
▪ 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆 球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三 角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研 究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上 图可知t1=1,t2=3,t3=6, …
>
7 2
L , 推测当n ³ 2时,有-----------------.
练习1.你能由下面各数的规律写出通项吗？
1 1，3，7，15，31， 2 2，4 ，6 ，8 ，10 ，
3 15 35 63 99
3 3， 2， 5 ， 3， 7 ，
7 5 13 8 19
练习2.根据下图的5个图形及相应点的个数的变 化规律，试猜测第n个图有______个点。
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
练习
2
1.已知数列{an}的前n项和Sn , a1
1 Sn Sn 2 an (n 2).