均值不等式讲义
均值不等式讲义
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134xy +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
均值不等式讲义学生
基本不等式应用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取“=”） (2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）技巧一、直接利用公式例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x注意：①运用不等式一定注意：一正，二定，三相等，三者缺一不可。
②若题中字母不是整数，要提两个负号，使之变为正，如（2）练习：要解题过程①设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
②已知0x >，求12f =3x x+（x ）的最小值为技巧二：凑项例 ：已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最大值。
注意：目的是把分母消掉，不要忘记当且仅当。
练习：①已知3,x >求43y x x =+-的最小值为 。
②已知3,x <求43y x x =+-的最大值为 。
（注意正负）③ 若,4>x 函数,41xx y -+-=当=x 时，函数有最 值 。
（注意正负）技巧三：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
注意：原式是乘法的题型，要配系数，配成和括号里x 的系数的绝对值一样即可。
练习：①设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
②. 设,10<<x 则函数)1(x x y -=的最大值是 。
③已知：10,4x <<则函数(14)y x x =-的最大值。
技巧四： 分离 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
《平均值不等式》课件
详细描述
赫尔德不等式是数学分析中一个非常有用的工具，它 在解决一些数学问题时具有广泛的应用。这个不等式 可以用来证明一些重要的数学定理，如AM-GM不等 式和Holder不等式。赫尔德不等式在优化理论、概率 论和统计学等领域也有着广泛的应用。
详细描述
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量X，其概率分布 P(X)满足：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ Var(X) / k^2，其中E(X) 是X的期望值，Var(X)是X的方差，k是任意正实数。这个 不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，如大数定 律、中心极限定理等。
赫尔德不等式
总结词
01
平均值不等式的性 质
平均值不等式的传递性
总结词
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$都是正数，且$a_1/b_1, a_2/b_2, ..., a_n/b_n$是递增（或递减）的，那么 $frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+ b_n} geq frac{a_1}{b_1} geq frac{a_2}{b_2} geq ... geq frac{a_n}{b_n}$（或$leq$）。
01
平均值不等式的应 用
在数学中的应用
解决最值问题
平均值不等式可以用来解决函数的最值问题，通过比较函数在不同区间的平均值和极值，可以找到函数的最小值或最 大值。
证明不等式
平均值不等式可以用来证明一些数学不等式，例如通过比较不同项的平均值和最小值，可以证明一些数学序列或函数 的不等式关系。
均值不等式讲义
一元二次不等式讲义
一目标：
1．利用均值定理求极值.
2.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用
3.ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实
数，而后者要求a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是等价
二、例题讲解
（1)已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2+
281x 的值最小，最小值是多少？
（2）已知x>1,求y=x+
11-x 的最小值
（3）已知x ∈R ，求y=
1222++x x 的最小值
（4）已知x>1,求y=x+
x 1+1
162+x x 的最小值
（5）求y=x 21x -的最大值
（6）要建一个底面积为12m 2，深为3m 的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？
（7）一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（8）、若+
∈R c b a ,,，则c b a a c c b b a ++≥++2
22
（9）、已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++。
《均值不等式》课件
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
均值不等式-中等难度-讲义
一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a b +a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-=+=≥，即a b +≥2a b +三、均值不等式的几何解释 解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即CD ．这个圆的半径为2a b +，显然2a b +点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．四、均值不等式的理解 1.对于任意两个实数a b ，，2a b +叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． 2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b +> 3.注意222a b ab +≥和2a b +>a b R ∈，，后者是+a b R ∈， 五、极值定理 1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥ 【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． abba D 'DC B A1．已知x+y=1x +4y+8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5√3B．9 C．4+√26 D．102．设实数x，y满足条{4x−y−10≤0x−2y+8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A．256 B．83C．113D．43．若不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．(34，+∞) C．(0，34) D．(−∞，34)4．已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3a +2b的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．265．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式2x +1y＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜26．已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则x 2+y2+4x−2y+5xy−x+2y−2的最大值为（）A．2 B．136C．103D．1747．正实数ab满足1a +2b=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．408．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则1m +1n的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．369．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则1m +2n最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2√210．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．32B．1+√3 C．2√3﹣2 D．2﹣√311．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）A．√3 B．2 C．√5 D．312．已知a＞0，b＞0，1a +4b=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．913．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．16．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，a 2+c22+b2=k，求b（a+c）的最大值．。
均值不等式课件
利用二次函数的性质证明
二次函数具有一些重要的性质，如开口方向、判别 式等。
将二次函数配方，得到一个常数项，从而证明不等 式。
在利用二次函数的性质证明均值不等式时，需要 注意到配方的技巧和判别式的正负号。
利用基本不等式证明
基本不等式是指在加法和乘法运算中，一些项之间存在 的不等关系。
均值不等式课件
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 均值不等式的证明 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的练习题 • 结论与总结
01
引言
均值不等式的定义
均值不等式的数学表达
a1^2+a2^2+...+an^2 >= (a1+a2+...+an)^2/n
均值不等式的几何解释
均值不等式的形式
均值不等式有多种形式，如基本形式、推广形式等。这些形式在应用上有所不同，但它们 都是由基本形式推导出来的。
均值不等式的应用前景
在数学中的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，如在分析、代数、几何等领域都有它的身 影。特别是在解决一些优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具。
在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中也有着广泛的应用，如在经济、工程、物理等领域都有 它的身影。特别是在解决一些最优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具 。
均值不等式的学习方法建议
01
掌握基本概念
要学好均值不等式，首先需要掌握它的基本概念，包括算术平均数和
几何平均数的概念、柯西不等式等。
02
多做习题
学习均值不等式最好的方法是多做习题，通过做习题可以加深对定理
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
课件3：§3.2均值不等式
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，
作出长度为 a b 和
2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
OC a b 2
【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常 数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求 长与宽的乘积的最大值.
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题
意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以
x y≥ 2
xy
，
因此，即2(x+y)≥40.
§3.2 均值不等式
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a b) 2
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a,b R ab
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
3.我们把不等式
ab 2
ab (a≥0,b≥0)
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b
的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt
上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时，可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相 加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式，必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件．化归的方 法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些 基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字， 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)． 以上三式相加即得 ：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式1.均值不等式知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数，则12n a a a n+++≥L 123a a a a n ====L ）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数,n Q , 12nn a a a A n+++=L L,n G =, 12111n nnH a a a =++L L ,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当123a a a a n ====L ) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++(5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==⋅≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使用前要注意两个方面,一个是观察题目中不等式证明方向,另外一个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型 ，不断尝试，最终解决问题 。
均值不等式课件
要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y，它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k，使 得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4，得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$，即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中，均值不等式常常被 用作一种重要的分析工具。例如，在研究 经济增长、通货膨胀、就业等问题时，可 以通过运用均值不等式来分析这些问题的 内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中，均值不等式被广泛应用于风 险型决策、不确定型决策以及多目标决策等 问题中。通过运用均值不等式，可以获得各 种决策问题的最优解，从而实现决策的科学 化和最优化。
THANKS
感谢观看
应用
柯西不等式在数学多个领域有着广 泛的应用，如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式 ，它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域 有着广泛的应用。
在投资组合理论中，CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期 收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式，资产的预期收益越高，其风险也越高 ，投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。
均值不等式简单难度讲义
均值不等式简单难度讲义均值不等式知识讲解一、等号成立条件条件：对于任意实数a b，，222ab ab+≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222ab ab∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b，，是正数，那么2a bab +≥，当且仅当a b=时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2222()()()0a b ab a b a b +-=+=-≥，即a b ab+≥2，所以2a bab +≥三、均值不等式的几何解释3.注意222a b ab+≥和2a bab +成立的条件不同．前者是a b R∈，，后者是+a b R ∈，五、极值定理1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ；【证明】x y ，都是正数，2x yxy +有x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y=时，xy取得最大值是24s ；2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是2p ；【证明】x y ，都是正数，2x yxy +x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥2p【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy最大值时，应看和x y+是否是定值；求和+最小值时，看xy是否为定值．x y③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2019•海拉尔区校级二模）已知正实数x ，y 满足2x+y=1，则xy 的最大值为（ ）A ．18B ．23C ．14D ．252．（2019•延边州模拟）若a ＞0，b ＞0，lga+lgb=lg （a+b ），则a+b 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．（2019春•聊城期末）已知a 、b 是不相等的正数，x=√a+√b √2，y=√a +b ，则x 、y 的关系是（ ）A ．x ＞yB ．y ＞xC ．x ＞√2yD ．不能确定 4．（2019秋•莲湖区校级期末）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=1a +4b的最小值是（ ）A ．92B ．72C ．5D ．45．（2019秋•陆川县校级期末）已知x ，y ＞0，且1x +1y=2，则x+2y 的最小值为（ ）A ．3−2√2B ．3−2√22C ．3+2√2D ．3+2√226．（2019春•昌吉市期末）当x ＞0，y ＞0，1x +9y=1时，x+y 的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019春•沙坪坝区校级期末）实数a ，b 均为正数，且a+b=2，则1a +2b的最小值为（ ）A ．3B ．3+2√2 C ．4D ．32+√28．（2019春•南关区校级期末）若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．6D ．59．（2019秋•武邑县校级期末）若x ，y 是正数，且1x +4y=1，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116C ．最小值16D ．最大值11610．（2019•红桥区模拟）已知x ＞﹣2，则x+1x+2的最小值为（ ）A ．﹣12B ．﹣1C ．2D ．0二．填空题（共4小题）11．（2019•金山区二模）函数y =x +9x ，x ∈（0，+∞）的最小值是 ．12．（2019秋•杨浦区校级期末）若正数a 、b 满足log a （4b ）=﹣1，则a+b 的最小值为 ．13．（2019春•秦淮区校级期中）已知正实数x ，y 满足xy=3，则x+y 的最小值是 ．14．（2019春•宿迁期末）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为．三．解答题（共1小题）15．（2019•南通模拟）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．1 B．2 C．6 D．4 4．已知 a，b，c 是正实数，且 ab+bc+ac=1，则 abc 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．
5．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
6．设 a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵n+ = + +
∴n+ = + +
（当且仅当 n=4 时等号成立）
故选 C
2．（2014 春•秦州区校级月考）函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：函数 f（x）=5x+ =2.5x+2.5x+ ≥
二．填空题（共 3 小题） 14．若 2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11，则 2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是 （
，11） ．
【解答】解：设 a=2x，b=3y，c=5z，则 a＞0，b＞0，c＞0， ∵2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11， ∴a+b+c=7，0.5a+b+5z=11，
故选 A．
5．（2012 秋•龙华区校级期末）设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底 面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
【解答】解：设底边边长为 a，高为 h，则 V=Sh= a2×h，
∴h=
，
表面积为 S=3ah+ a2
=
+ a2
=
+
+ a2
≥3
=定值，
等号成立的条件 故选 C．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．已知 a，b∈R，a2+b2=4，求 3a+2b 的取值范围为（ ）
A．3a+2b≤4 B．﹣2 ≤3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定 13．若 a，b，c＞0，且 a（a+b+c）+bc=16，则 2a+b+c 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8
当且仅当 a=c= b 时等号成立．
∴
的最小值是
．
故选 D．
7．（2017•江西二模）求证
（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2 若 则一定有（ ） A．P＞q B．P＜q C．P、q 的大小不定 D．以上都不对 【解答】解：设 f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2， 则 f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2
=
，
由对数平均不等式得
=
＞，
即 lna+lnb＞0，即 lnab＞0， 则 ab＞1， 由均值不等式得 a+b＞2，故②正确， ③令 g（x）=﹣xlnx+x，则 g′（x）=﹣lnx， 则由 g′（x）＞0 得﹣lnx＞0，得 lnx＜0，得 0＜x＜1，此时 g（x）为增函数， 由 g′（x）＜0 得﹣lnx＜0，得 lnx＞0，得 x＞1，此时 g（x）为减函数， 再令 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1， 则 h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0， 则 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在 0＜x＜1 上为增函数， 则 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0， 则 g（x）＜g（2﹣x）， 即 g（ ）＜g（2﹣ ），
A．9 B．12 C．
D．
7．求证
﹣a）2 若 则一定有（ ） A．P＞q B．P＜q C．P、q 的大小不定 D．以上都不对
，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn
8．已知 x，y，z∈R，且 x+y+z=8，x2+y2+z2=24，则 x 的取值范围是（ ）
A．[ ，4] B．[ ，4] C．[ ，3] D．[ ，3]
第 9页（共 12页）
∴a=8c﹣8＞0，b=15﹣9c＞0， ∴1＜c＜ ， ∴2x+1+3y+5z﹣1= ﹣1， ∴2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是（ ，11）． 故答案为：（ ，11）．
15．x，y，z∈R，则（
）min= ﹣1 ．
【解答】解：x2﹣2xy﹣4xz+8yz=x（x﹣2y）﹣4z（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣4z）=﹣（2y﹣x）（x﹣4z）；
又∵
，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac， ∴3（a2+b2+c2）≥1， ∴a2+b2+c2≥ ，
（当且仅当 a=b=c= 时，等号成立）， 故 a2+b2+c2 的最小值为 ． （法二）由柯西不等式可得， （1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1， 即 a2+b2+c2≥ ， 故 a2+b2+c2 的最小值为 ．
二．填空题（共 3 小题） 14．若 2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11，则 2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是 ．
15．x，y，z∈R，则（
）min= ．
16．点 P 在直径为 4 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦 PA，PB，PC，用 S1、S2、S3 分别表示△PBC、 △PCA、△PAB 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是 ．
三．解答题（共 1 小题） 17．设 a，b，c 均为正实数 （1）若 a+b+c=1，求 a2+b2+c2 的最小值．
第 2页（共 12页）
（2）求证： + + ≥ + + ． 第 3页（共 12页）
328 均值不等式） 1．（2016 春•海南校级期末）若 n＞0，则 n+ 的最小值为（ ）
328 均值不等式大山作业帮讲义
一．选择题（共 13 小题） 1．若 n＞0，则 n+ 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8 2．函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．已知 x，y∈R+，且满足 x2y=32，则 x+y 的最小值为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①由 blna﹣alnb=a﹣b，得 blna+b=alnb+a，即
=
，
设 f（x）=
，x＞0，
第 7页（共 12页）
则 f′（x）=﹣ =，
由 f′（x）＞0 得﹣lnx＞0，得 lnx＜0，得 0＜x＜1，
由 f′（x）＜0 得﹣lnx＜0，得 lnx＞0，得 x＞1，
10．（2003 秋•天河区校级期中）函数
A．
B．
C．3 D．4
【解答】解：由题意，
∵x＞0
∴
=4
当且仅当
，即 x=1 时，函数取得最小值 4
故选 D．
的最小值是（ ）
11．（2017•四川模拟）设 a，b 是不相等的两个正数，且 blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
∵
=（y﹣2z）2；
∴﹣（2y﹣x）（x﹣4z）≥﹣（y﹣2z）2； ∴x2﹣2xy﹣4xz+8yz≥﹣（y﹣2z）2=﹣（y2﹣4yz+4z2）；
∴
；
∴
．
故答案为：﹣1．
16．（2011 秋•赣榆县校级月考）点 P 在直径为 4 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦 PA，PB，PC，
用 S1、S2、S3 分别表示△PBC、△PCA、△PAB 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是 8 ． 【解答】解：设 PB=b，PC=c，PA=a，PB，PC，PA 两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质， 有 42=a2+b2+c2． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
，即 a= ，
6．（2011 秋•龙港区校级月考）设 a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，则
A．9 B．12 C．
D．
【解答】解：∵a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，
∴
=（a+2b+c）（
）
第 5页（共 12页）
的最小值为（ ）
=4+ + + + + + ≥4+2 +2+2 =6+4 ，
=15，
当且仅当 2.5x= ，即 x=2 时，函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为 15． 故选：B．
3．（2013 春•沙坪坝区校级期中）已知 x，y∈R+，且满足 x2y=32，则 x+y 的最小值为（ ）