均值不等式讲义

A．3a+2b≤4 B．﹣2 ≤3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定 【解答】解：已知 a2+b2=4 和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） 故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52 即：﹣2 ≤3a+2b≤ 故选：B．
13．（2016•义乌市模拟）若 a，b，c＞0，且 a（a+b+c）+bc=16，则 2a+b+c 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：因为 a（a+b+c）+bc=16， 所以 16×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2， 所以 2a+b+c≥8， 所以 2a+b+c 的最小值为 8． 故选：D．
当且仅当 a=c= b 时等号成立．
∴
的最小值是
．
故选 D．
7．（2017•江西二模）求证
（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2 若 则一定有（ ） A．P＞q B．P＜q C．P、q 的大小不定 D．以上都不对 【解答】解：设 f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2， 则 f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2
328 均值不等式大山作业帮讲义
一．选择题（共 13 小题） 1．若 n＞0，则 n+ 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8 2．函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．已知 x，y∈R+，且满足 x2y=32，则 x+y 的最小值为（ ）
=15，
当且仅当 2.5x= ，即 x=2 时，函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为 15． 故选：B．
3．（2013 春•沙坪坝区校级期中）已知 x，y∈R+，且满足 x2y=32，则 x+y 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．4
【解答】解：∵x2y=32，∴
，
又∵x，y∈R+，∴x+y=x+ = ∴x+y 的最小值为 6．
∵
=（y﹣2z）2；
∴﹣（2y﹣x）（x﹣4z）≥﹣（y﹣2z）2； ∴x2﹣2xy﹣4xz+8yz≥﹣（y﹣2z）2=﹣（y2﹣4yz+4z2）；
∴wk.baidu.com
；
∴
．
故答案为：﹣1．
16．（2011 秋•赣榆县校级月考）点 P 在直径为 4 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦 PA，PB，PC，
用 S1、S2、S3 分别表示△PBC、△PCA、△PAB 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是 8 ． 【解答】解：设 PB=b，PC=c，PA=a，PB，PC，PA 两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质， 有 42=a2+b2+c2． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
第 1页（共 12页）
9．若 a，b，c∈R+，且 a+b+c=6，则 lga+lgb+lgc 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，lg6] B．（﹣∞，3lg2] C．[lg6，+∞） D．[3lg2，+∞）
10．函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．3 D．4
11．设 a，b 是不相等的两个正数，且 blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2； ③ + ＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
即当 x=1 时，函数 f（x）取得极大值，
则
=
，等价为 f（a）=f（b），
则 a，b 一个大于 1，一个小于 1，
不妨设 0＜a＜1，b＞1．
则 a+b﹣ab＞1 等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，则 a+b﹣ab＞1 成立，故①正确，
②由即
=
，
得
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∴a=8c﹣8＞0，b=15﹣9c＞0， ∴1＜c＜ ， ∴2x+1+3y+5z﹣1= ﹣1， ∴2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是（ ，11）． 故答案为：（ ，11）．
15．x，y，z∈R，则（
）min= ﹣1 ．
【解答】解：x2﹣2xy﹣4xz+8yz=x（x﹣2y）﹣4z（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣4z）=﹣（2y﹣x）（x﹣4z）；
=6，当且仅当
时取等号．
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故选 C．
4．（2013 春•黄州区校级期中）已知 a，b，c 是正实数，且 ab+bc+ac=1，则 abc 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．
【解答】解：∵a，b，c 是正实数，且 ab+bc+ac=1，∴ =
≥
，
∴（abc）2≤ ，∴abc≤ ，即 abc 的最大值为 ，
，即 a= ，
6．（2011 秋•龙港区校级月考）设 a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，则
A．9 B．12 C．
D．
【解答】解：∵a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，
∴
=（a+2b+c）（
）
第 5页（共 12页）
的最小值为（ ）
=4+ + + + + + ≥4+2 +2+2 =6+4 ，
二．填空题（共 3 小题） 14．若 2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11，则 2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是 （
，11） ．
【解答】解：设 a=2x，b=3y，c=5z，则 a＞0，b＞0，c＞0， ∵2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11， ∴a+b+c=7，0.5a+b+5z=11，
当
时，f（x）取得最小值，
即 P＜q． 故选 B．
，q=（x1﹣a）2+
8．（2013 春•路南区校级期末）已知 x，y，z∈R，且 x+y+z=8，x2+y2+z2=24，则 x 的取值范围是（ ）
A．[ ，4] B．[ ，4] C．[ ，3] D．[ ，3] 【解答】证明：由 y+z=8﹣x，y2+z2=24﹣x2，知 yz= [（y+z）2﹣（y2+z2）]=x2﹣8x+20， 故 y，z 是方程 t2﹣（8﹣x）t+x2﹣8x+20=0 的两个实根， 由△≥0 得到（8﹣x）2﹣4（x2﹣8x+20）≥0 整理得 3x2﹣16x+16≤0，解得 ≤x≤4， 故答案为：B
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．已知 a，b∈R，a2+b2=4，求 3a+2b 的取值范围为（ ）
A．3a+2b≤4 B．﹣2 ≤3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定 13．若 a，b，c＞0，且 a（a+b+c）+bc=16，则 2a+b+c 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8
又∵
，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac， ∴3（a2+b2+c2）≥1， ∴a2+b2+c2≥ ，
（当且仅当 a=b=c= 时，等号成立）， 故 a2+b2+c2 的最小值为 ． （法二）由柯西不等式可得， （1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1， 即 a2+b2+c2≥ ， 故 a2+b2+c2 的最小值为 ．
三．解答题（共 1 小题） 17．设 a，b，c 均为正实数 （1）若 a+b+c=1，求 a2+b2+c2 的最小值．
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（2）求证： + + ≥ + + ． 第 3页（共 12页）
328 均值不等式大山作业帮讲义
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题） 1．（2016 春•海南校级期末）若 n＞0，则 n+ 的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．
D．
7．求证
﹣a）2 若 则一定有（ ） A．P＞q B．P＜q C．P、q 的大小不定 D．以上都不对
，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn
8．已知 x，y，z∈R，且 x+y+z=8，x2+y2+z2=24，则 x 的取值范围是（ ）
A．[ ，4] B．[ ，4] C．[ ，3] D．[ ，3]
A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵n+ = + +
∴n+ = + +
（当且仅当 n=4 时等号成立）
故选 C
2．（2014 春•秦州区校级月考）函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：函数 f（x）=5x+ =2.5x+2.5x+ ≥
∵g（ ）= ﹣ ln = + lna=
=
，
∴g（ ）=g（ ）
则 g（ ）=g（ ）＜g（2﹣ ），
第 8页（共 12页）
∵g（x）在 0＜x＜1 上为增函数， ∴ ＞2﹣ ， 即 + ＞2． 故③正确， 故选：D
12．（2016 春•哈密市校级期中）已知 a，b∈R，a2+b2=4，求 3a+2b 的取值范围为（ ）
第 6页（共 12页）
9．（2012 春•武侯区校级期中）若 a，b，c∈R+，且 a+b+c=6，则 lga+lgb+lgc 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，lg6] B．（﹣∞，3lg2] C．[lg6，+∞） D．[3lg2，+∞） 【解答】解：∵a，b，c∈R+，
∴abc≤
=8，
当且仅当 a=b=c 时等号成立， ∴lga+lgb+lgc=lg（abc）≤lg8=3lg2， 则 lga+lgb+lgc 的取值范围是（﹣∞，3lg2]． 故选 B．
二．填空题（共 3 小题） 14．若 2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11，则 2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是 ．
15．x，y，z∈R，则（
）min= ．
16．点 P 在直径为 4 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦 PA，PB，PC，用 S1、S2、S3 分别表示△PBC、 △PCA、△PAB 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是 ．
10．（2003 秋•天河区校级期中）函数
A．
B．
C．3 D．4
【解答】解：由题意，
∵x＞0
∴
=4
当且仅当
，即 x=1 时，函数取得最小值 4
故选 D．
的最小值是（ ）
11．（2017•四川模拟）设 a，b 是不相等的两个正数，且 blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
又
，当且仅当 a=b=c 取等号．
∴S1+S2+S3 的最大值是 8． 故答案为：8
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三．解答题（共 1 小题） 17．设 a，b，c 均为正实数 （1）若 a+b+c=1，求 a2+b2+c2 的最小值． （2）求证： + + ≥ + + ．
【解答】证明：（1）（法一）∵a+b+c=1， ∴（a+b+c）2=1， 即 a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=1，
A．1 B．2 C．6 D．4 4．已知 a，b，c 是正实数，且 ab+bc+ac=1，则 abc 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．
5．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
6．设 a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，则
的最小值为（ ）
=
，
由对数平均不等式得
=
＞，
即 lna+lnb＞0，即 lnab＞0， 则 ab＞1， 由均值不等式得 a+b＞2，故②正确， ③令 g（x）=﹣xlnx+x，则 g′（x）=﹣lnx， 则由 g′（x）＞0 得﹣lnx＞0，得 lnx＜0，得 0＜x＜1，此时 g（x）为增函数， 由 g′（x）＜0 得﹣lnx＜0，得 lnx＞0，得 x＞1，此时 g（x）为减函数， 再令 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1， 则 h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0， 则 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在 0＜x＜1 上为增函数， 则 h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0， 则 g（x）＜g（2﹣x）， 即 g（ ）＜g（2﹣ ），
故选 A．
5．（2012 秋•龙华区校级期末）设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底 面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
【解答】解：设底边边长为 a，高为 h，则 V=Sh= a2×h，
∴h=
，
表面积为 S=3ah+ a2
=
+ a2
=
+
+ a2
≥3
=定值，
等号成立的条件 故选 C．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①由 blna﹣alnb=a﹣b，得 blna+b=alnb+a，即
=
，
设 f（x）=
，x＞0，
第 7页（共 12页）
则 f′（x）=﹣ =，
由 f′（x）＞0 得﹣lnx＞0，得 lnx＜0，得 0＜x＜1，
由 f′（x）＜0 得﹣lnx＜0，得 lnx＞0，得 x＞1，