潍坊一中学案高一数学学案单位圆与三角函数线

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山东省潍坊第一中学高中数学 1.2.1任意角的三角函数(2)导学案(无答案)新人教A版必修4

1．2．1任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。

2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。

3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。

4．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。

根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；tan y xα==__________。

【典型例题】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：()31π ()π652 ()π323- ()64π-例2．利用三角函数线比较大小()ο30sin 1______ο150sin : ()ο25sin 2______ο150sin : ()π32cos 3_____π54cos ; ()π32tan 4_____π32tan例3．解下列三角方程()23sin 1=x ()21cos 2=x ()1tan 3=x变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()21cos 2≤x()1tan 3>x变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.【巩固练习】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 ()π6111- ()π3222．利用余弦线比较cos 64,cos 285o o 的大小；3．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）3cos 2θ< ；（2）tan 1θ>- ；（3）3sin 2θ>-5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =6．若3cos 2θ<，3sin 2θ>-，写出角θ的取值范围。

单位圆与三角函数线教案

单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。

二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。

三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。

四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。

3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。

Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。

2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。

4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。

6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。

7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。

Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。

3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。

4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。

Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。

2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。

4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。

Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。

7.2.2单位圆与三角函数线教案- 高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

7.2.2单位圆与三角函数线教案教学课时：1课时教学目标：1、学生通过类比第一象限余弦线的作法，得到第二、三、四象限余弦线的作法；2、学生通过类比任意角的余弦线的作法，得到正弦线的作法;3、学生通过小组合作探究，能够准确作出任意角的正切线;4、让学生在利用正弦线、余弦线、正切线求解相关三角函数值以及比较大小的过程中，训练学生数学抽象、数学运算的学科素养.教学重点：借助单位圆明确正弦值、余弦值、正切值的直观表示.教学难点：借助单位圆能够找出三角函数和三角函数线间的关系并进行相关的计算.教学过程：一、创设情景---引入课题被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮，我们是否想过：摩天轮在转动的过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？学完本节课我们会受到启发.任意角的正弦、余弦的定义：在角的终边上任取异于原点的任意一点P （x,y），，.从定义可以看出正弦、余弦是一个比值.换句话说是个数，我们知道数形结合可以使问题直观化，那么本节课我们就从形的角度重新认识任意角的三角函数的定义.角的正弦、余弦、正切值与点P的位置有关吗？没有关系，点P取在哪个位置对于我们研究这个比值比较简单呢？引出单位圆的概念：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆.角的终边与单位圆交点为P（x,y），这样，如果过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M,则可以直观地表示，当角的终边落在第一象限时，的方向与x轴的正方向相同，此时是正数，且；习惯上，称为角的余弦线.问题1：若是第二、第三、第四象限角，能否用直观表示？特别地，当角的终边落在第二或第三象限时，的方向与x轴的正方向相反时，表示是负数，且.问题2：设角是任意象限角，能找到某一个向量直观表示吗？你能画出正弦线吗？请同学们独立完成，然后小组交流，小组代表展示成果.我们已经知道，如果的终边不在y轴上，且P（x,y）是终边上异于原点的任意一点，则.很容易看出，如果取坐标满足x=1的点P，则.因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过点A（1，0）的直线l，所以如果角的终边与直线l的交点为P（l,y），则.设角的终边与直线x=1交于点T，则可以直观表示，因此称成为角的正切线.不难看出，当角的终边在第二、第三象限或者轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但是终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值.因此角的正切线为，而且容易看出，.这就是说，角的正切等于角终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标.例1作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出他们的正弦、余弦和正切.（课本P20例1）解：作的终边与单位圆的交点P,过P作x轴的垂线，垂足为M,延长线段PO，交直线x=1于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为.类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为.根据直角三角形的知识可知，,所以，，,.例2把摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm，记以OP为终边的角为rad，点P离地面的高度为hm，试用l，r与表示h.（课本P20例2）解：过点P作轴的垂线，垂足为M，则当的终边在第一、第二象限或y 轴正半轴上时，，此时；当的终边在第三、第四象限或y轴负半轴上时，，此时；当的终边在x轴上时，，此时，，所以不管的终边在何处，都有.利用三角函数线指出的值.已知，利用正弦线和余弦线比较和的大小.参考答案：.【探索与研究】如果一个角的大小为xrad且，那么x，，都是实数，请你给出x的一个具体的值，比较3个实数的大小.然后想一想，你得到的大小关系是否对于区间上的任意x都成立.参考答案：，对任意x都成立.。

人教B版高一数学(必修4)导学案：1.2.2单位圆和三角函数线(无答案)

高一数学导学案编号：
教学课题
课型主备教师把关教师使用教师使用时间、班级单位圆与三角函数线新授课
学习目标：学会正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

重点难点:用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

教学手段：
教学过程
课前预习
1.单位圆与有向线段
一般地，我们把半径为的圆叫做单位圆，有向线段是指既有又有的线段，如果有向线段在直角坐标系中，我们取和坐标轴同向的线段为，反向的为。

2.三角函数线
如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，过()0,1A 作单位圆的切线交直线OP 或其反向延长线于点T ，则把有向线段OM ,MP ,AT 分别叫做α的，
，，=αcos ，=αsin ，=αtan 。

教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！ α的终边
认真听讲是学习高效的捷径！
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
落实是成功的保证！。

7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》

高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。

三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。

可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。

学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。

利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。

2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。

3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。

教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。

2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。

教学重点认识三角函数线的意义。

教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。

如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。

因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

高中数学(新教材)《单位圆与三角函数线》导学案

7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合．教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标．知识点二三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM→，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM→|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM→|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON→|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT→的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT→|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换． P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP→，正切线AT → D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )A.3π4或π4B.5π4或7π4C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝23； (2)cos α＝－35； (3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON→，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)．2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON→，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线. 题型二利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)cos 2π3与cos 4π5； (3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|， ∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5. (2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|， ∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5. 金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( )A ．sin θ＋cos θ<0B ．sin θ－cos θ>0C ．|sin θ|<|cos θ|D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接P A ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α，在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|，∴sin α＋cos α>1.∵S △OP A ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α， S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α，S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OP A ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α.证明在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT→，∵△OP A 面积<扇形OP A 面积<△OAT 面积， ∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|，即|MP→|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上C ．x 轴的正半轴上D ．y 轴的正半轴上答案 B解析若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线．解如图所示，MP→＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等答案 B解析当三角形的角为90°时，不是象限角，∴A 不正确，B 正确；终边在第二象限的角的范围是π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴C 不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，∴D 不正确．∴选B.2．有三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0答案 B解析 ①②正确，③错误．3．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4 答案 B解析由三角函数线知，在[0,2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，故θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.4．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5，其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析利用单位圆中的三角函数线，可知sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5.故②④正确．5．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．sin α<cos α<tan α B ．tan α<sin α<cos α C ．cos α<sin α<tan α D ．cos α<tan α<sin α 答案 C解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP→、余弦线OM →、正切线AT →，很容易地观察出|OM →|<|MP →|<|AT →|，又π4<α<π2，所以cos α＝|OM →|，sin α＝|MP →|，tan α＝|AT→|，所以cos α<sin α<tan α.6.已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 答案 D解析由图(1)可知cos α<cos β；由图(2)可知tan α<tan β；由图(3)可知cos α<cos β；由图(4)可知tan α>tan β.二、填空题7．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．答案 cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5 解析由图可知cos 6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0，∵当0<α<π2时，sin α<tan α， ∴cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5. 8．下列结论：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．其中正确结论的序号是________．答案 ①④解析由三角函数线定义，显然①④正确，若正弦线相等，则两角可相差2π的整数倍，π2和3π2都不存在正切线，故②③不正确．三、解答题9．比较下列各组数的大小： (1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7； (3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5. 解 (1)sin1<sin π3.如图1所示， sin1＝|MP →|<|M ′P ′→|＝sin π3.(2)cos 4π7>cos 5π7.如图2所示，cos 4π7＝－|OM→|>－|OM ′→|＝cos 5π7. (3)tan 9π8<tan 9π7.如图3所示，tan 9π8＝|AT →|<|AT ′→|＝tan 9π7.(4)sin π5<tan π5.如图4所示，sin π5＝|MP →|<|AT →|＝tan π5. 10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合． (1)sin α<－12；(2)cos α≥32.解 (1)如图①所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P 和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12. ∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6. ∴满足条件的所有角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于点P ，P ′，则cos∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32.∴∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6. ∴满足条件的所有角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π6＋2k π≤α≤π6＋2k π，k ∈Z.B 级：“四能”提升训练1．若θ∈[0,2π)，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π解析由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 2．求y ＝lg (2sin2x ＋3)－9－x 2的定义域．解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin2x ＋3>0，9－x 2≥0，即⎩⎨⎧sin2x >－32，①－3≤x ≤3.②对sin2x >－32可结合图(1)得－π3＋2k π<2x <(1)4π3＋2k π(k ∈Z )，所以－π6＋k π<x <2π3＋k π(k ∈Z )．当k ＝0时，－π6<x <2π3；当k ＝－1时，－7π6<x <－π3；当k ＝1时，5π6<x <5π3.又有－3≤x ≤3，可结合图(2)利用数轴得定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，3.。

高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.2.2单位圆与三角函数线学案新人教B版必修4(2021学年)

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１.2。

２单位圆与三角函数线学习目标1。

了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。

2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。

知识点一单位圆思考１什么叫单位圆？思考2 点的射影是如何定义的？梳理（1)单位圆把＿_＿___＿_的圆叫做单位圆。

（2)单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的＿___＿___和_____＿__.知识点二三角函数线思考１三角函数线的长度等于三角函数的值吗?思考２三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？梳理三角函数线类型一三角函数线例1 作出-＼f(5π,8）的正弦线、余弦线和正切线。

反思与感悟 (１)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线。

(2)作正切线时，应从点A(１，0）引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT。

跟踪训练1 在单位圆中画出满足siｎα=12的角α的终边,并求角α的取值集合。

类型二利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较sin错误!和sin错误!,cos错误!和cos错误!,taｎ错误!和taｎ错误!的大小。

〖2021年整理〗《《单位圆与三角函数线》教学设计》优秀教案

《单位圆与三角函数线》教学设计教学设计一、问题引入1角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？角α的正弦、余弦、正切与角α终边上α(,)P x y α22r x y =+y r x r ααy r αsin αx r αcos αsin ,cos y x r r αα==αy x αy x αtan αtan yx α=AB α1r =1r =221x y +=α(cos ,sin )ααααPM x ⊥,M PN y ⊥,||||sin ,||cos N MP ON OM αα===αααcos ,sin x y αα==αMP sin αOM cos αααOM cos αOM cos αcos ||;OM OM α=cos αcos ||OM α=-OM αMP sin αMP αα(,)P x y α1x =tan αtan ;y P α=1x =(1,0)α(1,)P y tan y α=α1x =T ATtan αAT ααα1x =1x =βAS tan 0,|tan ||tan |ββα<<αα1x =αPM x ⊥MP αOM ααAT α(,)P x y (1,0)A α,,MP OM AT α23π34π-sin1cos1sin1||,cos1||MP OM ==14π>MP OM >sin1cos1>1cos 2x >121212PP 22,33x k x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，点α，试用，r 与α表示h解：过点，则：当α的终边在第一、二象限或轴正半轴上时，sin MP r α=，此时sin h OT MP l r α=+=+；当α的终边在第三、四象限或轴负半轴上时，因为sin 0α<，所以sin MP r α=-，此时sin h OT MP l r α=-=+：当α的终边在轴上时，sin 0α=，此时sin h OT l r α==+所以，不管α的终边在何处，都有sin h l r α=+四、课堂小结本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获？还有什么疑惑吗？五、布置作业教材第21~22页练习A 第3，4题，练习B 第2，3题板书设计单位圆与三角函数线1单位圆的定义一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足221x y +=的点组成的集合称为单位圆2正弦线与余弦线3正切线正弦线、余弦线、正切线都称为三角函数线例1例2例3例44课堂小结5布置作业教学研讨整节课以学生自主探究为主展开，在学习过程中充分发挥学生的主体性，由学生自己解读问题，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

高中数学第五章三角函数5..1第课时单位圆与三角函数线学案含解析第一册

第2课时单位圆与三角函数线[目标］ 1.了解三角函数线的意义;2。

会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切；3.掌握三角函数线的简单应用．［重点］三角函数的正弦线、余弦线、正切线．［难点] 三角函数线的应用．知识点一单位圆[填一填］（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．知识点二有向线段及三角函数线[填一填]1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．（2）表示：用大写字母表示起点、终点,如有向线段OM，MP.2．三角函数线：如图为角α的三种三角函数线，则:sinα＝MP；cosα＝OM；tanα＝AT.［答一答］1．当角α的终边与x轴、y轴重合时，正弦线、余弦线、正切线如何？提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点,正切线不存在，正弦线不变．2．如图为角α，β的三角函数线，请根据图中的三角函数线,完成下列填空：(用“〉”或“<”填空)(1）sinβ>sinα。

（2）cosα〉cosβ。

(3）tanβ>tanα。

类型一任意角的三角函数线[例1］(1)作出－错误!的正弦线;(2)作出4π3的正切线．［分析］作三角函数线时，应根据三角函数线的定义，先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.[解](1)作出－错误!的正弦线如图①所示．（2）作出43π的正切线如图②所示．三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT。

[变式训练1]有三个命题：①π6和错误!的正弦线相等;②错误!和错误!的正切线相等；③错误!和错误!的余弦线相等．其中正确的说法有(B)A．1个B．2个C．3个D．0个类型二利用三角函数线比较三角函数值的大小［例2]比较下列各组数的大小．（1)cos错误!和cos错误!。

高中数学第一章基本初等函数(Ⅱ)1.2.2 单位圆与三角

1.2.2 单位圆与三角函数线[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负． [预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .要点一利用三角函数线比较大小例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan 2π3<tan 4π5.规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小．解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. 解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解 ∵点P 在第一象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π. 可知π4<α<π2或π<α<5π4.要点三利用三角函数线求函数的定义域例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域．解由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .规律方法求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域．解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z ).1．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦值的符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4D.3π4或7π4答案 D 2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 答案 C3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π答案 B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 2π3________sin 3π4；(2)cos 2π3________cos 3π4；(3)tan 2π3________tan 3π4.答案 (1)> (2)> (3)< 解析作出2π3和4π5的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin 2π3＝MP >sin 3π4＝M ′P ′；cos 2π3＝OM >cos 3π4＝OM ′；tan 2π3＝AT <tan 3π4＝AT ′.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了．一、基础达标1．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相等；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C 解析π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.2．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内随角的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin 1.2>sin 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z答案 C解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z .4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT .∴b >a >c ，即c <a <b .5．cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是( ) A ．sin 1<cos 1<tan 1 B ．tan 1<sin 1<cos 1 C ．cos 1<tan 1<sin 1 D ．cos 1<sin 1<tan 1 答案 D 解析分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设1弧度角的终边与单位圆交于点P (x ，y )，x 轴正半轴与单位圆交于点A (1,0)，过P 作PM ⊥Ox ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线与OP 的延长线交于点T ，则有OM <MP <AT ，即cos 1<sin 1<tan 1. 6．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1.解(1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z .即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z .二、能力提升8．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α答案 A解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .10．把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________________________________________________________________. 答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析如图可知，sin π12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0.而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ，∴0<sin π12<sin 512π<tan 512π.而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.11．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域．解由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．所以所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋2π3，k ∈Z. 12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥22；(2)cos α≤12. 解(1)由图①知：当sin α≥22时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z.(2)由图②知：当cos α≤12时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z .三、探究与创新13．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。

《单位圆与三角函数线》教学设计

《单位圆与三角函数线》教学设计一、教学背景与设计二、教学过程共同举例思考学生回答：在终边上任意取的点，函数值是相等。

相似三角形可对应边成比例。

让分母相同让分母为1回答：单位长1—如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).独立思考问题后交流合作：过单位圆与射线的交点P，向x轴做垂线，垂足为M。

50°所应用的垂线段比70°所对应的垂线段短∴sin50°< sin70分组讨论;画出余弦线；个别同学展示；说出余弦线的画法个垂直x 轴向量，使它的数量为α的正切？ 2）角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x 轴向量，其数量为tan α？3轴上向量AT 叫做α的正切线AT OAAT x y ===αtan预设多种答案帮助学生选择更适合的向量表述函数值正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 三角函数线把代数问题几何化，对我们理解函数有什么便捷之处？学习函数的方法和手段不但扩充，是一个持续待完善的过程。

怎样体现函数知识呢？课下探究。

具体的应用 1 画出-32π正弦线，余弦线和正切线？（同学之间相互评价） 2比大小： sin75° tan75° sin(-75°) tan(-75°) cos15° cos75° 3在 24πθπ<<三、相关预案学习探究作业一、课题：单位圆与三角函数线二、学习目标知识与技能：掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单三角函数的问题。

过程与方法：借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。

情感态度价值观：通过对探究过程的引导，提高学习数学的兴趣，培养主动探究的习惯，形成可持续发展的价值观。

人教B版高一数学必修四导学案：1.2.2单位圆和三角函数线

单位圆与三角函数线学习目标：1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。

2.培养分析、探究问题的能力。

促进对数形结合思想的理解和感悟。

学习重点：三角函数线的探究与作法。

学习难点：利用三角函数线比较大小以及求角的大小。

学习过程：一、新知导学：1.一般的，我们把半径的圆叫做单位圆，有向线段是指既有又有的线段，如果有向线段在直角坐标系中，取和坐标轴同向的线段为，反向的为。

2.三角函数线：设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，在y 轴上的正射影为N,, 过A （1,0）做单位圆的切线交直线OP 或反向延长线于T ，则把有向线段,,分别叫做α的，，，其中AT ON OM ===αααtan ,sin ,cos .(依次做出各象限角的三角函数线．．．．．．．．．．．．．．)探究讨论：上述三角函数线定义中，ON OM ==ααsin ,cos 其中OM 、ON 表示的含义是什么？二、典型例题：类型一做三角函数线例1：分别作出3π和23π-的正弦线、余弦线和正切线。

变式1：比较下列函数值大小sin3π c o s 3π tan 3π 引申1: 若02πα<<，试比较sin α,cos α, tan α的大小关系.变式2：求下列三角函数值（1）2sin 3π+2cos 3π= (2)sin 3cos 3ππ= tan 3π= 引申2：设α是第一象限的角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式：（1）2sin α+2cos α=1 （2）tan α=sin cos αα引申3：如果α是第二、三、四象限的角，以上等式仍然成立吗？类型二利用三角函数线确定三角函数的定义域例2：利用三角函数线求下列函数的定义域(1)y =(2)y=2lg(34sin )x -变式：在【π2,0】上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（） A ⎢⎣⎡⎥⎦⎤60π， B ⎢⎣⎡⎥⎦⎤656ππ， C ⎢⎣⎡⎥⎦⎤326ππ， D ⎢⎣⎡⎥⎦⎤ππ，65 三、当堂检测1、若π4 <θ < π2 ，则下列不等式中成立的是（）A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ． tan θ>sin θ>cos θD ．sin θ>tan θ>cos θ2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（）A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4 或 7π43、若0<α<2π，且sin α<23 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（） A ．（－π３，π３） B ．（0，π３） C ．（5π３，2π） D ．（0，π３）∪（5π３，2π）4、比较下列各组数的大小(1)sin1和sin 3π(2)cos 74π和cos 75π(3)sin 5π和tan 5π5、利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合（1）1sin 2α=-（2）1sin 2α>- (3) tan α≤。

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学案十九单位圆与三角函数线命题人：范允龙审核人：冯纪群 2014.3
学习目标：
1．有向线段的概念．
2．用单位圆中的线段表示三角函数值．重点：怎样用三角函数线表示三角函数值．
难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定．
（一）复习回顾
1.任意角三角函数的定义。

2.任意角α的三角函数的符号：。

3.什么是有向线段？。

（二）自主学习
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴的交点分别为A( )，A’( ).而与y 轴的交点分别为B( )，B’( )。

2.三角函数线
设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y ），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；做PN 垂直y 轴于点N ，则点M 、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的 . 根据三角函数的定义有点P 的坐标
为，MP = ， = 。

过点A 作X 轴的垂线与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或
T ’)，则= 。

有向线段MP 称为角α的，即：；有向线段称为角α的，
即：；有向线段AT
称为角α的，即：。

题型一：作任意角的三角函数线
例1：分别作出
2
3ππ和—
的正弦线、余弦线、正切线。

练习1..
1① sin α=2 ；② cos α=3
- ； ③ tan α=2
2、已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（）
A.（sin α，cos α）
B.（cos α，sin α）
C.（sin α，tan α）
D.（tan α，sin α）
题型二：利用三角函数线求解不等式
例2、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sin α2）cos α≤
OM
B'(0,
T
OM
练习：利用单位圆解不等式3tanα+3>0
例3：借助三角函数线比较下列各组值的大小：
①
3
sin
5
π
，
4
sin
5
π，
9
sin
10
π
；
_________（由大到小排列）；
②cos1，cos1.2，cos1.5；__________（由大到小排列）；
349
练习：1、在（0，2）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为__________
2、已知点P（sinα－cosα,tanα）在第一象限，在[0,2π）内求α的取值范围。

3、用三角函数线比较sin1与cos1，tan1的大小，结果是。

4、比较α
α
αtan
,
sin
,
题型五：利用三角函数线证明不等式
例5、已知0
2
π
α
<<，求证：sinα+cosα>1.
练习：证明1
cos
sin2
2=
+α
α
、
1、在[0，2π）内，使cosα≤成立的α的取值范围是.
2、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
21
cos>
x
3、利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1）
2
sin
3
π
____
4
sin
5
π
（2）
2
tan
3
π
_____
4
tan
5
π
（3）
2
cos
3
π
____
4
cos
5
π
4、利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有（）
A、sin1>sin1.2>sin1.5
B、sin1>sin1.5>sin1.2
C、sin1.5>sin1.2>sin1
D、sin1.2>sin1>sin1.5
5、若0≤θ<2π且不等式cosθ<sinθ和tanθ<sinθ成立，那么角θ的取值范围是（）
A、
3
(,)
44
π
πB、(,)
2
π
πC、
3
(,)
2
ππD、
35
(,)
44
ππ
6、函数y=。