2018数一真题解析与答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1、下列函数中，在0x =处不可导的是（）（A ）()||sin ||f x x x =（B）()||sin f x x =（C ）()cos ||f x x =（D）()f x =【答案】：（D ）【分析】因为对选项（A ），2200000()(0)||sin ||||lim lim lim lim lim 0(0)x x x x x f x f x x x x x f x x x x →→→→→-'======对选项（B ），000()(0)lim lim lim lim 0(0)x x x x f x f f x →→→→-'===（无穷小乘以有界量）对选项（C ），200001||()(0)cos ||112lim lim lim lim 0(0)2x x x x x f x f x x f x x x →→→→--'=====对选项（D ），0000()(0)1||2lim lim lim lim2x x x x f x f x x x x→→→→-===不存在因此选择（D ）2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22z x y =+相切的平面方程为（）（A ）0z =与1x y z +-=（B ）0z =与222x y z +-=（C ）y x =与1x y z +-=（D ）y x =与222x y z +-=【答案】：（B ）【分析】设切点坐标为(,,)x y z ，则法向量为{2,2,1}x y -，故切平面的方程为2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量{1,1,0}-垂直，因此有220x y -=，即y x =…………………………………………①将y x =带入22z x y =+中，有22z x =…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220x x y z --+=……………………………………③由①②③可得0,0,0x y z ===或者1,1,2x y z ===带回2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=中，可确定平面方程为0Z =或者222X Y Z +-=。

因此选择（B ）3、023(1)(21)!n n n n ∞=+-=+∑（）（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）3sin1cos1+（D ）3sin12cos1+【答案】：（B ）【分析】0023212(1)(1)(21)!(21)!nn n n n n n n ∞∞==+++-=-++∑∑00211(1)2(1)(21)!(21)!nnn n n n n ∞∞==+=-+-++∑∑0011(1)2(1)(2)!(21)!nnn n n n ∞∞===-+-+∑∑cos12sin1=+因此选择（B ）4、设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰，221x xN dx e ππ-+=⎰，22(1K dx ππ-=+⎰，则（）（A ）M N K>>（B ）M K N >>（C ）K M N >>（D ）K N M>>【答案】：（C ）【分析】22222222222222(1)1211111x x x xM dx dx x x x ππππππππ----++++====+++⎰⎰⎰⎰对于221x x N dx e ππ-+=⎰，因为1xe x >+，所以11x x e +<，故N M <对于22(1K dx ππ-=+⎰，因为11>，故K M>因此K M N >>因此选择（C ）5、下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）（A ）111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（B ）101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（C ）111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（D ）101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】：（A ）【分析】对于110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，3()0E A -=对于（A ）：3()0E A -=；对于（B ）：2()0E A -=对于（C ）：2()0E A -=；对于（D ）：2()0E A -=（若两矩阵相似，要求它们的最小多项式相同）因此选择（A ）6、设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（）（A ）()()r A AB r A =（B ）()()r A BA r A =（C ）()max{(),()}r A B r A r B =（D ）()()TT r A B r AB =【答案】：（A ）【分析】因为AB 的每一列可以由A 的列向量组线性表出，因此()()r A AB r A =因此选择（A ）7、设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，2()0.6f x dx =⎰，则{0}P X <=（）（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.6【答案】：（A ）【分析】因为(1)(1)f x f x +=-，所以说明()f x 以1x =为对称轴，因此1{1}2P X <=，又因为2()0.6f x dx =⎰，故由对称性可知{01}0.3P X <<=，故{0}{1}{01}0.50.30.2P X P X P X <=<-<<=-=因此选择（A ）8、给定总体2~(,)X N μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则（）（A ）若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H （B ）若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H （C ）若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H （D ）若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H 【答案】：（D ）【分析】因为显著性水平0.05α=0.025u >，而显著性水平0.01α=的0.005u >0.005u >0.025u >的子区间，因此要是落在0.005u >0.025u >中，也就是说在显著性水平0.01α=时拒绝0H ，则在0.05α=时也拒绝0H ，反之，在显著性水平0.05α=时接受0H ，则在0.01α=时也接受0H 因此选择（D ）二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

9、已知1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭，则k =。

【答案】：2-【分析】0111tan lim1sin sin 1tan 01tan lim 1tan x x kxkx xx x ex →-⎛⎫-⎪+⎝⎭→-⎛⎫= ⎪+⎝⎭011tan 1tan lim1tan x x x kx x e →---⎛⎫ ⎪+⎝⎭=012tan 2lim1tan x x kx x keee→-⋅-+===所以2k =-因此填写2-10、设曲线()y f x =的图像过点(0,0)，且与曲线2xy =相切于(1,2)，则1()xf x dx ''=⎰。

【答案】：2ln 22-【分析】由已知可得(0)0f =，(1)2f =，(1)2ln 2f '=11100()()()xf x dx xf x f x dx''''=-⎰⎰(1)((1)(0))2ln 22f f f '=--=-因此填写2ln 22-11、设向量场(,,)F x y z xyi yzj xzk =-+，则(1,1,0)|rotF =。

【答案】：i k -或者{1,0,1}-【分析】(1,1,0)(1,1,0)(1,1,0)|()ij k rotF yi zj xk i kx y z xyyzxz∂∂∂==--=-∂∂∂-因此填写i k -或者{1,0,1}-12、曲线S 是曲面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，则Sxyds =⎰。

【答案】：13π-【分析】由于积分曲线对,,x y z 具有轮换性，因此SSSxyds yzds zxds==⎰⎰⎰又因为22221()()2SSxy yz zx ds x y z x y z ds ++=++---⎰⎰11111222S S ds ds =-=-=-⎰⎰乘以曲线的长度因为两者交线为球的大圆，因此1()22S xy yz zx ds ππ++=-⋅=-⎰因此所求13S xyds π=-⎰因此填写13π-13、设二阶方阵A 有两个不同特征值，二维列向量1α和2α是A 的线性无关的特征向量，且21212()()A αααα+=+，则||A =。

【答案】：1-【分析】由于21212()()A αααα+=+，因此说明1为2A 的特征值，因此若A 的特征值为λ，则有21λ=，因此A 的特征值为1和1-，故||1A =-因此填写1-14、设随机事件,A B 相互独立，,A C 相互独立，且BC φ=，已知1()()2P A P B ==，1(|)4P AC AB C =，则()P C =。

【答案】：14【分析】(())(|)()P AC AB C P AC AB C P AB C =(()())()P AC AB ACC P AB C =()()P ABC AC P AB C =()()()()P AC P AB P C P ABC =+-1()1214()4P C P C ==+解之可得1()4P C =因此填写14三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本题满分10分）求不定积分2arctan xe⎰。

【分析与解答】本题是不定积分的计算题，用换元法和分部积分法来求解t =，则21xe t =+，2xe dx tdt=则原不定积分2arctan xe⎰2222222222233222(1)arctan 111(1)arctan (1)22111(1)arctan 122111(1)arctan []223111(1)]223x x t t tdtt t t dt t t t t dt t t t t C e e C =+=+-++=+-+=+-++=-+⎰⎰⎰16、（本题满分10分）将长为2米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。