分式不等式解法
高中数学 必修5 简单分式不等式的解法
课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。
相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。
含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f ( x) g ( x)
0
f (x) g ( x)
g(x) 0
0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
0 问：如果不等式是
x2 3x2 x2 2x3
该如何解？
例题2：解不等式
x2 2x 24 x2 7x 12 2
解：移项通分得
3x2 16x x2 7x 12
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3 x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0
x
5
0
即原不等式的解集为
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
分式不等式的解法
2）一般地，分式不等式分为三类：
1）判断下列不等式组中，哪些解集相同。
2）把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组）
3）解下列分式不等式：
1、分式不等式的概念 2、分式不等式的解法
练习册：P18 习题2.3 A组 1~3； B组 1
其他不等式的解法（1）
—分式不等式的解法
格致中学 蔡青
1、分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程
2、分式方程的解法： 1)去分母转化为整式方程 2)解整式方程 3)验根
1、分式不等式定义：分母中含有未知数的不等式
主要研究形如
的不等式
研究： 改变：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、分式不等式的解法：
1）基本思路：把未知的问题转化成我们熟悉的问题。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
分式不等式求解
分式不等式求解：1.一般分式不等式求解：ax−bcx−d>0(仅针对ac≠0的情况)解法一：ax−b>0 或ax−b<0cx−d>0 cx−d<0解法二：（ax−b）（cx−d）>0等价于函数：y=（ax−b）（cx−d）图像（曲线）在x轴上方时候x的取值范围。
y=ac x2- (ad + cb )x+ bd[1]ac>0时，不等式解集为（x1，x2），x1=min{ba ,dc}; x2=max{ba,dc};[2]ac>0时, 不等式解集为（-∞, x1）U ( x2 , +∞），x1=min{ba ,dc}; x2=max{ba,dc};2.易错题型及其解法：ax−bcx−d>m(m≠0)正确解法：先移项后通分再求解。
ax−bcx−d>m步骤一：ax−bcx−d−m>0步骤二：ax−bcx−d −m cx−dcx−d>0ax−b−m（cx−d）cx−d>0解法如1所示。
错误解法：ax−b>mcx−d解：ax−b>m(cx−d)并以此求解，属于错误解法。
错误原因：无法确定(cx−d)的正负性，若(cx−d)为正数，则ax−b>m(cx−d)成立；若(cx−d)为负数，则ax−b>m(cx−d)不成立，需改为ax−b<m(cx−d)。
因为从ax−b>mcx−d转化为：ax−b>m(cx−d) ax−b<m(cx−d)或等价于方程左右两边同时乘以(cx−d)，此时若(cx−d)为正数不等号无需改变，若(cx−d)为负数，需改变不等号。
>1例如：x−42x−5>1；错误解法：因为x−42x−5所以x-4>2x-5明显不大于1，故而答案错误。
可得：x<1（错误）例如x=0时，45>1正确解法：x−42x−5-1>0解：x−42x−51−x>02x−5（1−x）（2x−5）>0因为-1x2=-2<0所以解集为（-∞, 1）U ( 2.5, +∞）。
分式不等式解法公式
分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。
首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。
$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。
接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。
根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。
因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。
$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。
例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。
首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。
因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。
以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。
-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。
-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。
对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。
综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。
我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。
首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。
分式不等式的解法课件
转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元二次不等 式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次 不等式。然后，根据一元二次不等式的解法，求解这个不等 式组，得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识 相结合，如代数、函数、方程等。这些题 目通常需要学生综合运用多个知识点来解 题，旨在提高学生的数学综合素质和问题 解决能力。解决这些题目需要学生具备扎 实的数学基础和灵活的思维，能够从多个 角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观 看
THANKS
分子和分母同号时，解集为空集；分子和分母异号时，解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母，将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母，通过乘以适当的正数消去分母。然后，将不等式 两边进行整理，使其成为一元一次不等式的形式。最后，解这个一元一次不等 式组，得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后， 根据一元高次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。
课题分式不等式的解法(共6张PPT)
f(x) f(x)g(x)0(0) 也就是说：分母含有未知数的不等式，称为分式不等式。 0(0) 国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 g(x) g(x)0 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少
数学知识：分式不等式的解法 ，才能比来时用的时间少？
国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少 ，才能比来时用的时间少？ 课题：分式不去思考才能感受得到！
愿大家通过自己的努力分享 到这份成熟的美！
谢谢各位的参与！
第6页，共6页。
课题：分式不等式的解法
第1页，共6页。
引例：
国庆期间，全家决定从家里出发，开车去 世纪公园看立体花展，若全路程为90千米， 车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回 来时由于当天晚上有烟火表演的缘故，交 通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1 个小时，问接下来的三分之二的路程，车 速应该比原来去公园时的速度加快多少， 才能比来时用的时间少？
，才能比来时用的时间少？ 课题：分式不等式的解法 数学是种美，这种美需要大家去思考才能感受得到！ 国庆期间，全家决定从家里出发，开车去世纪公园看立体花展，若全路程为90千米，车速保持匀速，去公园时用了2个小时，回来时由于当天晚上 有烟火表演的缘故，交通堵塞，到达全程的三分之一处时已用去1个小时，问接下来的三分之二的路程，车速应该比原来去公园时的速度加快多少
分式不等式的解法
都是等价变换！ 求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！
例1：解不等式 ：
x −1 ≤1 2x +1
练一练： 7x + 3 >5 1. 2 x +1
x + 3 ≥ 0 2. 3 − 2 x
x−a <0 的不等式: 例2：解关于 的不等式 ：解关于x的不等式 2 x−a
(a ∈ R )
练一练：
分式不等式的解法
ห้องสมุดไป่ตู้
解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“ ” 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤” 等价转化 ”
分式不等式的解法： 分式不等式的解法：
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 ⇔ 或 g( x ) g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) 或 < 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) < 0 ⇔ g( x ) g( x ) < 0 g( x ) > 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≥0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≤ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≤0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) < 0 g( x ) > 0
练习：解关于 的不等式 的不等式: 练习：解关于x的不等式
高一数学分式不等式的解法
高一数学分式不等式的解法嘿，大家好，今天咱们聊聊高一数学里面的一个“老大难”——分式不等式。
这玩意儿一听名字就有点儿吓人，但其实呢，认真看一下，也没那么复杂。
你知道的，分式不等式就是把一个分式和一个数字比大小，像一场“谁更厉害”的比赛。
咱们得找出分式在哪些情况下比数字大，或者比数字小，这就像是在追求完美的爱情，得找对的人。
咱们得认识一下分式不等式的基本构造。
分式就是一个分子和分母组合在一起的家伙。
比如说，( frac{a{b ) 这样的形式。
这里，( a ) 和 ( b ) 都是表达式，( b ) 不能为零，否者就麻烦了，简直是自讨苦吃。
就像是你去买东西，结果发现钱包空空如也，尴尬得很。
然后，我们在解分式不等式的时候，最重要的就是要确定分母的符号。
没错，分母的正负号决定了结果的好坏。
就像生活中的各种选择，正面的选择总能带来好运，而负面的选择，嘿嘿，后果可就不妙了。
我们在解题时，可以把分式的分子和分母分别考虑，比如 ( frac{a{b > c )。
你得知道，当 ( b ) 是正数的时候，分式和右边的数是同向的，简直就是一对小情侣，心有灵犀。
而当 ( b ) 是负数的时候，情况就反转了，分式和右边的数就成了敌人，谁也不让谁。
接着呢，咱们就要把这个分式不等式化简一下了。
化简的过程就像是给生活中的复杂关系理顺一下，有时候会有些麻烦，但一旦理清楚，哇，清爽得很。
比如说，如果你遇到的是 ( frac{x2{x+1 > 3 )，那么首先我们就可以把 ( 3 ) 变成 ( frac{3(x+1){x+1 )，记得这里不能让 ( x + 1 ) 为零哦，那可不妙。
这样一来，分式就变成了一个新花样，简化成了 ( x 2 3(x + 1) > 0 )，这就是要好好把这条不等式化为线性不等式，轻松得像喝水。
接下来的步骤就比较简单啦，我们把一切移到一边，像在舞会上找舞伴一样，把自己最喜欢的都聚在一起。
分式不等式的解法笔记
分式不等式的解法笔记一、观察分式不等式的形式分式不等式有几种不同的形式，包括：1. 形如 (numerator/denominator) > 0 或(numerator/denominator) < 0 的不等式；2. 形如(numerator/denominator) ≥ 0 或(numerator/denominator) ≤ 0 的不等式；3. 更复杂的分式不等式，可能包含多个分式项，或者分母有根式等。
二、分式不等式的解法步骤1. 对于形如 (numerator/denominator) > 0 或(numerator/denominator) < 0 的分式不等式：步骤1：首先观察不等式的形式，确定是需要解不等式还是需要验证不等式的解。
步骤2：如果需要解不等式，将分式的分子分解因式，并使不等式两边的分母相同。
步骤3：通过移项、通分等方法，将不等式转化为若干个基本不等式的形式。
步骤4：解出每个基本不等式，得到原不等式的解集。
2. 对于形如(numerator/denominator) ≥ 0 或(numerator/denominator) ≤ 0 的分式不等式：步骤1：同样观察不等式的形式，确定需要解不等式还是验证不等式的解。
步骤2：如果需要解不等式，同样要将分式的分子分解因式，并使不等式两边的分母相同。
步骤3：通过移项、通分等方法，将不等式转化为若干个基本不等式的形式。
步骤4：对于每个基本不等式，分别考虑其正负性，得到原不等式的解集。
三、特殊情况的处理方法1. 对于形如|numerator/denominator| ≤ k 的分式不等式，其中 k 为常数，可以采用绝对值不等式的解法进行处理。
2. 对于形如numerator ≤ denomimator 的分式不等式，可先将分子与分母交换位置，再按上述方法进行处理。
3. 对于形如 (numerator + denomimator) / denomimator ≤ k 的分式不等式，可先移项再按上述方法进行处理。
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
初升高之分式不等式及其解法
初升高之分式不等式及其解法本节衔接概况在初中阶段,我们学习过分式和分式方程（可转化为一元一次方程的分式方程）的知识,却没有接触过分式不等式的概念和问题,而分式不等式的解法却是高一新生必须掌握的知识点,课本上并没有给出讲解,为此,我们在这里补充分式不等式的概念及其解法.本节知识要点（1）分式不等式的概念;（2）分不等式的解法;分式不等式分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.如012>+-x x ,11<x ,23282<+++x x x 等,都是分式不等式. 分不等式的解法解分式不等式的基本思路是把分式不等式转化为整式不等式.解分式不等式时,由于分母的正负不能确定,所以切忌去分母.通过移项通分、合并同类项,把分式不等式化为0>++d cx b ax （≥0）或0<++dcx b ax （≤0）的形式,再把分式不等式转化为同解的不等式组或整式不等式进行求解.具体转化如下:（1）⎩⎨⎧>+>+⇔>++000d cx b ax d cx b ax 或⎩⎨⎧<+<+00d cx b ax ,也可以转化为: ()()00>++⇔>++d cx b ax dcx b ax ; （2）⎩⎨⎧<+>+⇔<++000d cx b ax d cx b ax 或⎩⎨⎧>+<+00d cx b ax ,也可以转化为: ()()00<++⇔<++d cx b ax dcx b ax . 对于分式不等式dcx b ax ++≥0,能否转化为()()d cx b ax ++≥0呢? 答案显然是不能,我们还要考虑分式有意义的条件,即分母不等于0,于是,有下面的转化方法:（3）d cx b ax ++≥0⎩⎨⎧>+≥+⇔00d cx b ax 或⎩⎨⎧<+≤+00d cx b ax ,也可转化为: ()()⎩⎨⎧≠+≥++00d cx d cx b ax ; （4）d cx b ax ++≤0⎩⎨⎧<+≥+⇔00d cx b ax 或⎩⎨⎧>+≤+00d cx b ax ,也可转化为: ()()⎩⎨⎧≠+≤++00d cx d cx b ax . 在求解含参分式不等式时,往往要对参数展开讨论,注意不等式的基本性质的应用.例题讲解例1. 解不等式0231>-+x x . 解法一: 原不等式同解于不等式组⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+02301x x 解之得:32>x 或1-<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>1,32x x x 或. 点评 不等式的解集在高中阶段要表示为集合或区间的形式.解法二: 原不等式可转化为()()0231>-+x x ,解之得:32>x 或1-<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>1,32x x x 或. 例2. 解不等式231-+x x ≥0. 解法一: 原不等式可转化为不等式组()()⎩⎨⎧≠-≥-+0230231x x x ,解之得:32>x 或x ≤1-. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤>1,32x x x 或. 解法二: 原不等式可转化为不等式组⎩⎨⎧>-≥+02301x x 或⎩⎨⎧<-≤+02301x x解之得:32>x 或x ≤1-. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤>1,32x x x 或. 例3. 解不等式232>+-x x 解: 原不等式可变形为038232>+--=-+-x x x x ∴038<++x x ,它同解于()()083<++x x 解之得:38-<<-x ∴原不等式的解集为{}38-<<-x x .例4. 解不等式23282<+++x x x . 分析:解分式不等式时不要轻易去分母,这是因为分母的正负不能确定.根据不等式的性质,在去分母时分母的正负直接影响不等号的方向,如果能够判断出分母的符号,那么我们可以去掉分母.解: ∵()213222++=++x x x∴对于任意实数x ,恒有0322>++x x∴原不等式两边同时乘以()322++x x 并整理得:02322>-+x x 解之得:221-<>x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>221x x x 或. 例5. 解关于x 的不等式xa ≥1. 分析:这是含参分式不等式,注意分类讨论.解: 原不等式可化为x a x x x a x a --=-=-1≥0 ∴xa x -≤0 原不等式同解于不等式组()⎩⎨⎧≠≤-00x a x x当0>a 时,原不等式的解集为x <0≤a ;当0<a 时,原不等式的解集为a ≤0<x ;当0=a ,原不等式无解,综上所述,当0>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤<0;当0<a 时,原不等式的解集为{}0<≤x a x ;当0=a ,原不等式的解集为∅.例6. 已知不等式02>--x a x 的解集为{}22<<-x x ,求不等式02>++a x x 的解集.分析:根据含参不等式的解集,可以确定参数的值,从而解决问题. 解: ∵02>--x a x ,即02<--x a x 的解集为{}22<<-x x ∴2-=a∴02>++a x x ,即()()02122>+-=-+x x x x解之得:2-<x 或1>x∴不等式02>++a x x 的解集为{}12>-<x x x 或.尝试练习:解不等式:（1）051<--x x ; （2）221->-+x x ; （3）x532-≤3.。
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。
设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。
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x
x
4 3
或x
5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 或x 3
5
7
2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x2 x2
2x 24 7x 12
2
解：移项通分得 3x2 16 x 0 x2 7x 12
整理 x(3x 16) 0 (x 4)( x 3)
等价于 x(x 3)(x 4)(3x 16) 0
０
３
４
１６／３
所以原不等式的解集
x
x
0或3
x
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
-1 2/3
3
所以原不等式的解集为
x
1
x
2 3
或x
3
小结1:
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f (x)g(x) 0
4或x
16 3
x2 2x 2
练习４ 解不等式
x
3 2x x2
(x 2)(x2 x 1)
解： 整理得
0
(x 3)(x 1)
因为 x2 x 1 (x 1)2 3 0 24
原不等式等价于
(x 2)(x 3)(x 1) 0 (x 3)(x 1) 0
g
(
x)
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
所以原不等式解集为
x 3 x 2且x 1
解法小结3：
对于分子、分母可约分的分式不 等式，先约去公因式，(但要注 意到公因式不为零)再把它等价 转化为前面讨论过的形式。
(x 1)2 (x 2)
练习1:解不等式
0 (x 4)
(x 1)2(x 2)(x 4) 0 解: 原不等式同解变形为 x 4 0
所以原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
例１：解不等式 (x 1) 0
(3x 2)
解(一):原不等式等价于
13xx120
或
0
23xx120 0
不等式组（１）的解为 x 2
3
不等式组（２）的解为 x 1
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
2
3
解(二):原不等式同解为 (x 1)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
2 3
不 等 式 (x 1) 0解 法 比 较 (3x 2)
分类讨论
转化（化归）
需要解两个不等式 通过等价转化,变形为 组，再取这两个不 我们熟悉的不等式进行 等式组解集的并集. 求解.
繁简
例２：解不等式
（x 1) 0 (3x 2)
解:原不等式等价于
(x 1)(3x 2) 0 （１）
3x 2 0
（２）
解不等式（１）得 x 1 或 x 2
解不等式（２）得 x 2
3
3
所以原不等式的解集为
x x 1或x 2 . 3
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
-4
1
2
所以原不等式的解集为
x x 4或x 2或x 1
练习２：解不等式
x
2x 2
x
1
1
1
解：因x 1 x2 x 1
整理 x2 3x 2 0
所以原不等式的解集为 x1 x 2
练习３：解不等式