分式不等式解法

x

x

4 3
或x

5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为

x

x

2 或x 3

5
7

2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为

x2 x2
2x 24 7x 12

2
解：移项通分得 3x2 16 x 0 x2 7x 12
整理 x(3x 16) 0 (x 4)( x 3)
等价于 x(x 3)(x 4)(3x 16) 0
０
３
４
１６／３
所以原不等式的解集
x
x

0或3

x
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
-1 2/3
3
所以原不等式的解集为
x

1

x

2 3
或x

3
小结1:
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)

0
f (x)g(x) 0

4或x

16 3

x2 2x 2
练习４ 解不等式
x
3 2x x2
(x 2)(x2 x 1)
解： 整理得
0
(x 3)(x 1)
因为 x2 x 1 (x 1)2 3 0 24
原不等式等价于
(x 2)(x 3)(x 1) 0 (x 3)(x 1) 0


g
(
x)

0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f (x) g (x)

0


f g
(x)g(x) (x) 0

0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
所以原不等式解集为
x 3 x 2且x 1
解法小结3：
对于分子、分母可约分的分式不 等式，先约去公因式，(但要注 意到公因式不为零)再把它等价 转化为前面讨论过的形式。
(x 1)2 (x 2)
练习1:解不等式
0 (x 4)
(x 1)2(x 2)(x 4) 0 解: 原不等式同解变形为 x 4 0
所以原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
例１：解不等式 (x 1) 0
(3x 2)
解(一):原不等式等价于
13xx120
或
0
23xx120 0
不等式组（１）的解为 x 2
3
不等式组（２）的解为 x 1
所以原不等式的解集为
x
x

1或x

2
3

解(二):原不等式同解为 (x 1)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x

1或x

2 3

不 等 式 (x 1) 0解 法 比 较 (3x 2)
分类讨论
转化（化归）
需要解两个不等式 通过等价转化,变形为 组，再取这两个不 我们熟悉的不等式进行 等式组解集的并集. 求解.
繁简
例２：解不等式
（x 1) 0 (3x 2)
解:原不等式等价于
(x 1)(3x 2) 0 （１）
3x 2 0
（２）
解不等式（１）得 x 1 或 x 2
解不等式（２）得 x 2
3
3
所以原不等式的解集为
x x 1或x 2 . 3
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
-4
1
2
所以原不等式的解集为
x x 4或x 2或x 1
练习２：解不等式
x
2x 2
x
1
1

1
解：因x 1 x2 x 1
整理 x2 3x 2 0
所以原不等式的解集为 x1 x 2
练习３：解不等式