(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案).docx

基本不等式及其应用

1．基本不等式

a＋b

若 a>0,，b>0，则2≥ ab，当且仅当时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．

注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：

(1)各项或各因式均正；（一正）

(2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式

(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．

(2) ab a

2

b a,b0

注：不等式 a2＋b2≥ 2ab和a b

≥ ab 它们成立的条件不同，前者只要求a、2

b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数 .其等价变形： ab≤（a

b ）2.

2

(3)ab≤a2

b(a，b∈R)．

2

b a

(4)a＋b≥ 2(a，b 同号且不为 0)．

(5) a

b

2a2＋ b2

2

(a，b∈R). 2

（6） a2

2b2 a b ab2a, b 0 211

a b

abc≤。a,b, c0 (7)

(8) ≥； a, b, c 0

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值： a>0，b>0，当 ab 为定值时， a ＋b ，a 2＋b 2 有，即 a ＋b ≥， a 2

＋ b 2≥.

(2)求最大值： a ＞0，b ＞0，当 a ＋b 为定值时， ab 有最大值，即；或 a 2

＋ b 2

为定值时， ab 有最大值 (a ＞0，b ＞0)，即 .

设 a ，b ∈R ，且 a ＋b ＝3，则 2a ＋2b 的最小值是 (

)

A.6

B.4 2

C.2 2

D.2 6

解：因为 2a

＞ 0，2b

＞ 0，由基本不等式得

2a ＋2b ≥2 2a ·2b ＝2 2

a ＋b

＝42，

3

当且仅当 a ＝b ＝ 2时取等号， 故选 B.

若 a ＞0，b ＞0，且 a ＋2b － 2＝ 0，则 ab 的最大值为 ( )

1

A.2

B.1

C.2

D.4

1

解： ∵a ＞0，b ＞ 0， a ＋ 2b ＝2，∴ a ＋ 2b ＝2≥2 2ab ，即 ab ≤2.当且仅当 a

1

＝ 1， b ＝ 2时等号成立 .故选 A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为

a 和 b(a ＜b)，其全程的平均时速为

v ，则 (

)

A.a ＜v ＜ ab

B.v ＝ ab

a ＋ b

a ＋ b

C. ab ＜ v ＜ 2

D. v ＝ 2

解：设甲、乙两地之间的距离为

s.

2s

2ab

2ab

∵a ＜b ，∴ v ＝

＝ ＜ ＝ ab.

a ＋b

又 v － a ＝ 2ab

－a ＝＞a 2－

a 2

＝0，∴ v ＞a.故选 A.

a ＋ba ＋

b a ＋ b ab －a 2

(

2014·上海

)若实数 x ，y 满足 xy ＝ 1，则 x 2＋ 2y 2 的最小值为 ________.

解：由 xy ＝ 1 得 x 2

＋2y 2

＝x

2

＋ x 22≥2 2，当且仅当 x ＝± 4

2时等号成立 .故填

2 2.

点(m ，n)在直线 x ＋y ＝ 1 位于第一象限内的图象上运动， 则 log 2m ＋log 2n

的最大值是 ________.

解：由条件知， m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，

所以 mn ≤

m ＋ n

2

1 2

＝ 4，

1

当且仅当 m ＝ n ＝ 2时取等号，

1

∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 24＝－2，故填－ 2.

类型一 利用基本不等式求最值

(1)求函数 y ＝(x ＞－ 1)的值域 .

解：∵ x ＞－ 1，∴ x ＋1＞0，令 m ＝x ＋1，则 m ＞ 0，且 y ＝＝ m ＋＋ 5≥2＋5＝ 9，当且仅当 m ＝2 时取等号，故 y min ＝9.

又当 m →＋∞ 或 m → 0 时， y →＋∞ ，故原函数的值域是 [9，＋ ∞ ).

(2)下列不等式一定成立的是 ( )

A.lg>lg x(x>0)

B.sinx ＋≥ 2(x ≠k π，k ∈ Z)

C.x 2

＋1≥2|x |(x ∈ R)D. 1

>1(x ∈R)

x 2＋ 1

解： A 中， x 2

＋

1

4≥ x(x ＞ 0)，当 x ＝ 1

2时， x

2

＋

1

4＝x.

1

B 中， sinx ＋sinx ≥ 2(sinx ∈(0，1]) ；