二重积分的换元法

∂(x, y)
∂(r,θ )
=
cosθ sinθ
− r sinθ
= r,
r cosθ
所以 ∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D
D′
一般地,如果区域 D能用某种曲线坐标表示,使得
积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简
积分的计算.
y− x
y(u,
v )]
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
.
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
一般曲线坐标系中二重积分的计算
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
面积微元.
注: 对极坐标变换 x = r cosθ , y = r sinθ .因为
在 D′上有一阶连续偏导数,且在 D′上,雅可比式
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
则有
∫∫ f ( x, y)dσ
D
=
∫∫
D′
f [ x(u, v),
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
∫∫ 例1 计算其中e y由+ x轴dx、dy轴, 和直D x
y
D
线所x +围y成= 的2 闭区域．
y
x+ y=2
D
o
x
v
v=2
u = −v D′ u = v
o
u
例2 求曲线
xy = a2 , xy = 2a2 , y = x, y = 2x ( x > 0, y > 0)
所围平面图形的面积.
例3 计算由
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
第二节
第九章
二重积分的计算法
二重积分的一般变换
一般曲线坐标系中二重积分的计算
设函数 f ( x, y)在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x(u, v),y = y(u, v)
将 uOv平面上的闭区域 D′一一对应地变为xOy
平面上的闭区域 D,其中函数
x = x(u, v)、y = y(u, v)
=2
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
ຫໍສະໝຸດ Baidu−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
∫∫ 2. 计算重积分
x
y +
σ e d ( x+ y)2
y
,
其中
D 是由直线
D
x + y = 1, x = 0和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、∫∫ x 2 y 2dxdy, 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 D xy = 2,直线 y = x 和 y = 4x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域.
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结