二重积分的换元法
用二重积分换元法证明卷积公式
用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式是数学中的一种运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理、图像处理和数值计算等领域中经常用到卷积公式。
本文将使用二重积分换元法来证明卷积公式。
首先，我们先了解一下二重积分换元法的基本概念。
二重积分换元法是利用变量代换的方法，将原二重积分中的变量替换为新的变量，从而简化被积函数的形式，使得计算更加容易。
设有两个实值函数 f(x) 和 g(x)，定义它们的卷积函数 (f*g)(x)如下：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(x-t)g(t) dt其中，积分运算从负无穷到正无穷。
要证明卷积公式，我们需要证明以下等式成立：∫[-∞,∞] (f*g)(x) dx = ∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx为了方便计算，我们先对卷积公式做一个变形。
首先，我们令u = x-t，于是 t = x-u。
然后对变量 u 求导，得到 du = -dt。
将上述变换代入卷积公式中，得到：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(u)g(x-u) (-du)将上式中的积分限进行一下变换。
当 t = -∞ 时，有 u = x-(-∞)= ∞；当 t = ∞ 时，有 u = x-∞ = -∞。
所以，积分限可以变换为∞ 和 -∞。
(f*g)(x) = ∫[∞,-∞] f(u)g(x-u) (-du)现在我们开始证明卷积公式。
根据卷积公式的右边，我们有：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx根据二重积分换元法，我们令 v = x-u，于是 x = v+u。
对变量v 求导，得到 dv = dx。
将上述变换代入卷积公式中，得到：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv接下来，我们将积分限进行一下变换。
当 x = -∞ 时，有 v = -∞-u = -∞；当x = ∞ 时，有v = ∞-u = ∞。
所以，积分限可以变换为 -∞ 和∞。
∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv我们使用换元法，并令 u = x-t，v = x，则有 x = u+v。
二重积分换元法
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , O
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f (tx)(]u,v(t)), dy(tu,(vx))J(u(t,)v))
D
dudv
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uOv坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
D : r 1, 0 2 π
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
a r sin b r cos
abr
2 abc 2π d 1
0
0
1
r2
r
d
r
4 3
π
abc
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M3
D
M1 M 2
O u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
D
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
O
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
v
Ou
D
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分雅可比式换元
二重积分雅可比式换元《二重积分雅可比式换元》一、什么是二重积分雅可比式换元二重积分雅可比式换元，即多元函数的二重积分求解中，针对函数两个积分变量的换元法，也称为换根法。
在使用该方法时，先把一个高维函数通过定义域划分为若干个连续小段，利用秩一矩阵中的二重积分，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现对函数的求解。
二、求解积分的好处换元法是一种求解二重积分的很好的方法，求解积分的好处是可以让不同的函数的变量的求解更加简单，而且可以有效减少计算的复杂性，提高计算的效率。
换元法在求解二重积分类函数时，可以有效减少机器计算量，提高求解速度。
同时，换元法可以尽可能利用当前机器的计算速度，实现尽可能快的求解效率。
三、实际求解步骤1、将目标函数写成一般形式；2、把所有变量范围边界都明确定义；3、将要求求解的函数根据坐标系的变换变换为等价的形式；4、建立从原函数到等价函数的转换关系；5、将第四步中建立的关系引入到原函数中，得到换元后的函数；6、求出新函数的积分，建立积分关系；7、将求解的积分结果和关系引入到原函数中，得到换元前的积分结果。
四、注意事项在换元的过程中，由于函数的结构以及函数表达式的具体情况而有所不同，因此，每一步都要慎重考虑函数的结构。
因为二重积分的步骤是繁琐的，过程中存在很多的实际问题，要根据具体函数情况进行实际操作，把握住步骤，正确处理才能求得准确答案。
五、总结二重积分雅可比式换元是一种多元函数求解的方法，通过把一个高维函数分割为若干个连续小段，利用二重积分的换元法，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现多元函数的求解。
换元法可以有效减少机器计算量，提高求解速度，便于求解。
但在进行换元计算过程中，要根据具体函数情况进行实际操作，才能求得准确答案.。
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分换元法雅可比行列式 -回复
二重积分换元法雅可比行列式 -回复雅可比行列式是一个非常有用的工具，在计算二重积分时经常会用到。
换元法就是在给定的积分上进行一定的代数变换，将其转换为另一个形式，以便更容易地计算。
二重积分换元法雅可比行列式就是其中的一种方法。
首先，我们来看一下什么是二重积分。
二重积分就是对二维空间中的某个区域内的函数进行积分。
具体来说，如果我们有一个函数f(x,y)，那么它在一个区域D上的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分。
在进行二重积分时，我们经常会遇到需要进行换元的情况。
这时，我们可以采用雅可比行列式的方法，将原来的积分变为新的积分，以便更加方便地进行计算。
接下来，我们来看一下何为雅可比行列式。
雅可比行列式是一个矩阵的行列式，记作：J = |Δx/Δu Δx/Δv||Δy/Δu Δy/Δv|其中，Δx/Δu和Δx/Δv分别表示在u和v方向上，x的变化量。
同理，Δy/Δu和Δy/Δv分别表示在u和v方向上，y的变化量。
通过雅可比行列式，我们可以将原来的积分变为新的积分：∬R f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv其中，R为u和v所在的区域。
我们可以通过对R内的u和v进行积分来计算新的积分。
需要注意的是，积分范围需要通过原来的变换来进行计算。
以一个简单的例子来说明如何使用雅可比行列式。
假设我们需要计算二重积分：其中，D为一个以原点为圆心，半径为1的圆盘。
我们采用极坐标变换来进行转换。
假设x = rcosθ，y = rsinθ，那么雅可比行列式为：J = |co sθ sinθ||-rsinθ rcosθ|求出J的行列式为r，那么原积分就变成了：∬R (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) r dθdr其中，R为r的范围为0到1，θ的范围为0到2π。
我们可以对r和θ进行分别积分，最终得到积分结果为π/2。
二重积分的换元法
Dxy {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 1}.
于是所求立体体积为
V
Dxy
2 2 2 2 [ 2 x x 2 y y x y 1 ( x y )]d 0 0 0 0
[1 ( x x0 ) D
( x, y) 1 1 J 1, ( u, v ) 0 1
D : x y 1 u 1, x 0 u v 0, y 0 v 0.
O
x uv D
v
O
u
原式 f ( u, v ) | J | dudv
D
du
0
1
即 z 2 x0 x 2 y0 y x y 1,
2 0 2 0
该切平面与曲面 z x 2 y 2交线为
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y x0 y0 1 2 2 z x y
消去z得 : ( x x0 )2 ( y y0 )2 1,
y x y x
vu vu x ,y . 2 2
1 1 1 ( x, y) 2 2 , J 1 1 2 ( u, v ) 2 2
v v2 D u v u v
2
O
2 u
故
e D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
b
O
x a cos , y b sin ,
a
x
D D {( , ) 0 1 , 0 2π},
( x , y ) a cos J ( , ) b sin
a sin b cos
第三讲 二重积分的换元法
第三讲 二重积分的换元法回顾上节内容直角坐标系下二重积分的计算本节教学内容1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
【教学目的与要求】1.掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
【教学重点与难点】换元公式和极坐标系下二重积分的计算§7.3 二重积分的换元法一、二重积分的换元公式在某些情况下，利用直角坐标计算二重积分很不方便，而利用其它坐标如极坐标等可能会很容易求得结果，这就需要对直角坐标系下的二重积分进行变量代换．关于二重积分的变量代换，有如下定理．定理 设),(y x f 在D 上连续，),(),,(v u y y v u x x ==在平面uOv 上的某区域*D 上具有连续的一阶偏导数且雅可比.)Jacobi,( C.G.J 行列式0≠''''=vu vu y y x x J ， *D 对应于xOy 平面上的区域D ，则⎰⎰Df dudv J v u y v u x f dxdy y x D )],(),,([),(*⎰⎰=． （１）公式（１）称为二重积分的换元公式．二、极坐标系下二重积分的计算极坐标与直角坐标的关系为θθsin cos r y r x ==⎪⎩⎪⎨⎧ ． （２）其中，r 是极径，θ是极角．由极坐标的特殊性，以坐标原点O 向外发散的区域D ，如圆、圆环、扇形等，用极坐标表示是比较方便的，而且如果二重积分的被积函数也能够用极坐标简单表示（比如被积函数为)(22y x f +等），则利用极坐标，计算更方便．利用公式（１）可给出极坐标下二重积分的计算公式．由式（２）θθy y x x J rr''''=r r r r =+=-=)s i n (c o s c o ss i n s i n c o s 22θθθθθθ． 即r r J ==，从而极坐标系下二重积分的计算公式为⎰⎰⎰⎰=*)sin ,cos (),(D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ． （３）例１ 计算积分dxdy e Dy x⎰⎰--22，D 是圆心在原点，半径为R 的闭圆．解 这里D ={}222),(R y x y x ≤+，在极坐标系下}20,0),{(*πθθ≤≤≤≤=R r r D ，且222r y x =+，于是dxdy e Dy x⎰⎰--22为)1(212222*220R Rr r R D r e e dr red rdrd e-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰⎰ππθθπ．例２ 计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，D 是由圆122=+y x 及422=+y x 所围成的环形区域.解 环区域D 在极坐标系中可表示为}20,21),{(*πθθ≤≤≤≤=r r D ，所以⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r dxdy x θθ222cos =⎰⎰πθθ203212cos dr r d π415=. 例3 计算⎰⎰--Ddxdy y x a 2224，D 是半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图7-9）．解 在极坐标系中，域D 可表示为}20,cos 20),{(*πθθθ≤≤≤≤=a r r D ，于是⎰⎰--Ddxdy y x a 2224⎰⎰-=*224D rdrd r a θ图7－10图7－9⎰⎰-=20cos 20224πθθa rdr r a d=⎰-=-20333)322(38)sin 1(38ππθθa d a ．例4 计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D {}x y x y y x 21,0),(22≤+≤>=．解 区域D 见图7－10（阴影部分），在极坐标下*D {}0,cos 21),(πθθθ≤≤≤≤=r r ,于是⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⋅⋅=*sin cos D rdrd r r θθθ⎰⎰=3cos 213sin cos πθθθθdr r dθθθθπd r cos 214041sin cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰θθθθπd )41cos 4(sin cos 04⎰-=图7—11 θθθπcos )cos 41cos 4(305d --=⎰169cos 64cos 81062=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ． 例5 计算⎰⎰Ddxdy ，其中D 为椭圆12222=+by a x 所围成的闭区域．解 作广义极坐标变换⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x 其中πθ20,0,0,0≤≤≥>>r b a ，在此代换下，与D 相应的区域{}πθθ20,10),(*≤≤≤≤=r r D雅可比行列式 θθy y x x J rr ''''=abr br b ar a =-=θθθθcos sin sin cos ，从而⎰⎰Ddxdy ab abrdr d drd J D πθθπ===⎰⎰⎰⎰120*．由二重积分的几何意义，ab π即为椭圆12222=+by a x 所围成的面积．例6 计算⎰⎰Ddxdy y x 22，其中D 是由曲线2,1==xy xy 和直线xy x y 4,==所围成的第一象限的区域（图7－11）．解 该积分利用直角坐标或极坐标比较麻烦，根据积分区域，作变换.,v x y u xy ==⎩⎨⎧ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==.,v u x uv y 可得v J 21=． 于是⎰⎰D dxdy y x 22dv v du u dudv v u D ⎰⎰⎰⎰==41212212121*[]2ln 37ln 312141213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u ．三、广义二重积分前面我们讨论的都是有界区域D 上有界函数的二重积分．若将积分区域推广到无界区域，或者被积函数有无穷型间断点，则有广义二重积分．其定义与计算与一元函数的广义积分类似． 定义 设函数),(y x f z =在xOy 平面上的无界区域D 上连续．在D 上任取一有界区域1D ，则),(y x f z =在1D 上的二重积分存在，若此积分当D D →1时的极限存在，则称该极限为无界区域D 上的广义二重积分，即⎰⎰⎰⎰→=11),(lim ),(D DD Dd y x f d y x f σσ．可以证明，若),(y x f z =在D 上不变号，则广义二重积分的值与D D →1的方式无关．例7 证明概率积分π=⎰∞+∞--dx e x 2．证明 考虑广义二重积分σd e Dy x⎰⎰--22，其中D 是xOy 平面．取1D 为圆心在原点，半径为R 的圆，当D D →1时，+∞→R ．根据例1求得的结果，σd e Dy x ⎰⎰--22=DD →1limππ=-=-+∞→--⎰⎰)1(lim 2122R R D y x e dxdy e ．另一方面，令{}R y R x y x D ≤≤=,),(2（图7－12）， 则当D D →2时，+∞→R ．dxdy e dxdy e D y x DD Dy x⎰⎰⎰⎰--→--==222222limπ图7－12⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰----+∞→R R R R y x R dy e dx e 22lim2222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞----+∞→dx e dx e x R R x R ，于是 π=⎰∞+∞--dx e x 2．若函数),(y x f z =在xOy 平面上的有界区域D 上有无穷间断点，或在D 内的某一条曲线上有无穷间断点，此时，可取D D ⊂1，而),(y x f 在1D 上连续，定义广义二重积分⎰⎰⎰⎰→=11),(lim),(D DD Dd y x f d y x f σσ．例8 计算广义积分,22⎰⎰+Dyx d σ其中，{}222),(R y x y x D ≤+=．解 对于被积函数来说，点)0,0(为其无穷间断点．设R a <<0，则在环型区域1D {}2222),(R y x a y x ≤+≤=上，被积函数连续，且当D D →1时，0→a ，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→=+=+R aa D DD Drdr rd yx d yx d 22022221lim lim11πθσσR a R a ππ2)(2lim 0=-=→．小结1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
二重积分换元法证明及推广新思路
二重积分换元法证明：首先，我们考虑一个定义在[a, b]上的函数f(x)，并且它在[a, b]上可导。
我们假设要求的是函数f(x)的积分，即：∫a b f (x) dx 假设我们将[a, b]分成n等分，每一等分的宽度为h=b-a/n，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∑i=1 n f(x_i) 其中，x_i 为[a, b]区间内的每一等分的中点。
接下来，我们考虑一个新的变量y，它的定义域为[0, 1]，值域为[a, b]，其函数关系式为： y=a+h(x-1) 根据此关系式，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∫0 1 f (y) dy 于是，我们可以得到：∫a b f (x) dx = ∫0 1 h f (a+h(x-1)) dx 这就是所谓的“二重积分换元法”。
推广新思路：在二重积分换元法中，我们可以把原来的定积分变成一个双重积分，从而使得数学计算变得更加简单。
因此，我们可以推广这种思路，将复杂的数学问题转化为更为简单的形式，从而使得计算变得更加容易。
此外，我们也可以考虑用此思路更深入地研究函数的性质，从而更好地理解函数的特性。
14-7.二重积分的换元法PPT
D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
二重积分的坐标变换
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
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J ( x, y) abr.
(r, ) J 在 D内仅当 r 0 处为零， 故换元公式仍成立，
D
1
x2 a2
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
证明见本课件末,不做要求.
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yx
例题7 计算 e yx dxdy,其中D是由x轴、y 轴和支线 x y 2 D
换是一对一的．
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定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足
(1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
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二重积分的换元法
二重积分换元法
哎，说起二重积分换元法，那可真是个让人又爱又恨的家伙。
为啥子这么说呢？因为它能帮咱们解决好多复杂的积分问题，但要是没搞懂，那可就让人头疼了。
二重积分，说白了就是算二维平面上的面积嘛。
有时候，直接算x、y的积分，简直就像是在走迷宫，绕来绕去都找不到出口。
这个时候，换元法就派上用场了。
咱们可以把x、y换成u、v，这样一来，原来的复杂积分就变成了新的、相对简单的积分。
但是，换元不是随便换的，得有个规矩。
这个规矩就是雅可比行列式。
啥子是雅可比行列式呢？说白了，它就是个描述坐标变换关系的工具。
咱们换元之后，原来的面积元素dxdy就变成了新的面积元素dudv，而这个变化关系，就是由雅可比行列式来描述的。
换元的时候，咱们得注意几点。
首先，得找到合适的u、v来替换x、y，这个得靠经验和直觉。
其次，得算出雅可比行列式，这个可是个技术活，得仔细点儿。
最后，还得把原来的积分区域变成新的积分区域，这个也得靠画图和推理。
举个例子来说，要是咱们要算一个椭圆的面积，直接算可能很难，但是咱们可以把它变成圆的形式，然后再用极坐标来算，这样就简单多了。
这个过程中，就用到了换元法和雅可比行列式。
所以说，二重积分换元法虽然复杂，但是只要咱们掌握了它的规律，就能用它来解决好多实际问题。
这就像走迷宫一样，虽然路很难找，但是只要咱们找到了出口，就能顺利地走出去。
8_3重积分的换元法
αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。
【精品】第一章2重积分计算的换元法分析
绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名：李婷婷学号：200854100专业：应用数学年级：2008级一班指导教师：齐秀丽副教授Suihua UniversityGraduationPaperStudentnameLiTingtingStudentnumber200854100MajorAppliedchemistry SupervisingteacherQiXiuliSuihuaUniversit摘要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难点。
本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。
关键词：二重积分；三重积分；换元法目录SuihuaUniversityGraduationPaper ......................... 错误!未指定书签。
SuihuaUniversit ............................................ 错误!未指定书签。
摘要 ....................................................... 错误!未指定书签。
目录 ..................................................................... 前言 ....................................................... 错误!未指定书签。
第1章重积分计算的换元法理论 ............................... 错误!未指定书签。
第1节二重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。
第2节三重积分换元法的理论分析.......................... 错误!未指定书签。
二重积分的换元积分法与极坐标法
二重积分的换元积分法与极坐标法在微积分中，二重积分是求解平面区域上的函数面积或质量等问题的重要工具。
在进行二重积分的计算时，有时候使用常规方法会十分繁琐，这时候就可以考虑使用换元积分法或者极坐标法来简化计算过程。
本文将介绍二重积分的换元积分法和极坐标法，并通过实例进行详细说明。
一、换元积分法1. 换元积分法的基本思想换元积分法是利用变量代换的方式，将原积分转化为新变量下的积分形式。
在二重积分中，换元积分法实质上是一种坐标变换。
通过适当选择变量代换，可以简化积分的计算。
2. 换元积分法的步骤（1）确定新的变量代换。
（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。
（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。
（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。
（5）将结果转换回原变量。
3. 实例分析例如，求解二重积分∬D x^2y dxdy，其中D为区域(x,y)∈[a,b]×[c,d]上的有界闭区域。
（1）选择变量代换 u = x^2，v = xy。
（2）计算雅可比行列式J = ∣∣∣ ∂(x,y) ∂(u,v) ∣∣∣ = ∣∣∣ ∂x/∂u ∂x/∂v ∂y/∂u ∂y/∂v∣∣∣= ∣∣∣ 2x y x ∣∣∣ = 2x^2y - xy^2（3）将被积函数 x^2y 用新变量表示为 xy。
（4）根据换元公式，进行积分求解。
原积分变为∬D xy(2x^2y -xy^2) dudv。
（5）将结果转换回原变量。
所得二重积分的结果即为所求。
二、极坐标法1. 极坐标法的基本思想极坐标法是将平面上的点用极坐标表示，将二重积分转化为在极坐标下的累次积分。
通过极坐标的特点，可以简化被积函数并简化积分区域。
2. 极坐标法的步骤（1）确定将二维平面上的点转化为极坐标系下的点的变换关系。
（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。
（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。
（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。
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1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
∫∫ 例1 计算其中e y由+ x轴dx、dy轴, 和直D x
y
Байду номын сангаас
D
线所x +围y成= 的2 闭区域．
y
x+ y=2
D
o
x
v
v=2
u = −v D′ u = v
o
u
例2 求曲线
xy = a2 , xy = 2a2 , y = x, y = 2x ( x > 0, y > 0)
所围平面图形的面积.
例3 计算由
y(u,
v )]
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
.
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
一般曲线坐标系中二重积分的计算
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
面积微元.
注: 对极坐标变换 x = r cosθ , y = r sinθ .因为
∂(x, y)
∂(r,θ )
=
cosθ sinθ
− r sinθ
= r,
r cosθ
所以 ∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D
D′
一般地,如果区域 D能用某种曲线坐标表示,使得
积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简
积分的计算.
y− x
∫∫ 2. 计算重积分
x
y +
σ e d ( x+ y)2
y
,
其中
D 是由直线
D
x + y = 1, x = 0和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、∫∫ x 2 y 2dxdy, 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 D xy = 2,直线 y = x 和 y = 4x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域.
在 D′上有一阶连续偏导数,且在 D′上,雅可比式
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
则有
∫∫ f ( x, y)dσ
D
=
∫∫
D′
f [ x(u, v),
第二节
第九章
二重积分的计算法
二重积分的一般变换
一般曲线坐标系中二重积分的计算
设函数 f ( x, y)在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x(u, v),y = y(u, v)
将 uOv平面上的闭区域 D′一一对应地变为xOy
平面上的闭区域 D,其中函数
x = x(u, v)、y = y(u, v)