专题训练等腰三角形的综合

专题训练等腰三角形的

综合

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专题训练(三) 等腰三角形的性质和判定的综合

一、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的综合应用

1．如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线，交BC 的延长线于点F ，连接AF.求证：∠BAF ＝∠ACF.

2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E.求证：(1)△ADC ≌△BEA ；(2)BC 垂直平分DE.

3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 交于点G.

(1)求证：BF ＝AC ； (2)求证：CE ＝12

BF ； (3)CE 与BG 的大小关系如何试证明你的结论．

二、等腰三角形的判定

4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列三 个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②BE ＝CD ；③OB ＝OC.

(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．

5．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，以点C 为旋转中心，顺时针旋转△ABC 到△EDC 的位置，使点A 落在BC 边的延长线上的E 处，连接AD 和BD.

(1)求证：△ADC ≌△BCD ；

(2)请判断△ABE 的形状，并证明你的结论．

6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将此三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC ，CB 于点D ，E ，图①，②，③是旋转得到的三种图形．

(1)观察图①，②，③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；

(2)△PBE是否能构成等腰三角形若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．

三、等边三角形性质和判定的综合

7．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长；

(2)求当AD取何值时，DE＝EF.

8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A(0，1)，B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.

(1)当点B运动到(0，4)时，AC＝_______；

(2)∠CAP的度数为_______；

(3)当点B运动时，AE的长度是否发生变化若不变，求出AE的值；若变化，说明变化的规律．