习题几个典型的代数系统
几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
第六章 几种典型的代数系统
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
离散数学(第二版)第6章几个典型的代数系统
第三篇 幅代数结构
6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环 6.7 域 6.8 有限域 6.9 例题选解 习题六
第六章 几个典型的代数系统
6.1 半 群 与 群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统， 群是半群 的特殊例子。 事实上， 群是历史上最早研究的代数系统， 它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引 进的。
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
〈P(S), 是独异点，
〈 P(S), , ；
〈Σ*, τ〉是独异点， 幺元是λ(空串)， 〈Σ*, τ, λ〉；
〈SS, 是独异点， 幺元是IS， 〈SS, , IS〉；
但〈 ZE, ×〉不是独异点， 因为无幺元 ， (1 ZE， ZE：
偶数集)。
半群与独异点的差别就在于独异点含有幺元， 但独异点
b2 0
S , 取a2
a1,
则
a1 0
b1 a2 0 0
b2 0
a1 a2 0
b1
b2 0
且a1
a2
0, 所以 a1
a2 0
因此 运算不封闭。
b1 b2 S, 0
所以〈S, +〉不是半群。
证毕
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
第三章 代数系统(2)
a b c
a a
b a b c
c c
解：
a b c
a c a b
b a b c
c b c a
3.1 群的定义和性质
3.2 变换群
3.3 有限群
3.4 循环群
3.5 子群
3.4 循环群
定义3. (G , )是群， G , 令 a
a0 e a n 1 a n a a n (a 1 ) n
定理1
(G , )为群， (G , )与代数系统 ,＊) 同构， 若 (H 则(H ,＊)也为群。
［证］ 结合律，单位元，逆元性质均保持。
3.1 群的定义和性质
3.2 变换群
3.3 有限群 3.4 循环群 3.5 子群
3.2 变换群
［复习定义］ 集合S上的变换：
: S S为一一映射， 为S上的 变换； 称
§2 半群与单元半群
2.1 半群
定义1. 代数系统 S , ) (其中“ ” ( 是二元运算 ) 若满足结合律， 则称为半群。 若半群满足交换律， 则称为 可换半群。
例1. 代数系统(I , +)是一个半群， 而且可换； 而(I , -)不是半群。 例2. 代数系统(R , max)为半群，且为可换。
但(S , ) 不是一个可换半群。 a b b a) (如
返回
定理1. 半群( S , )的子代数必是半群 。 (称为( S , )的 子半群 )
[证] 半群(S , )满足结合律， 则其子代数必也满足结合律， 故也是半群。
定义2. 代数系统 (S , ) 为半群， S , a n定义如下 a 1 a1 a 2 a n 1 a n a
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
《离散数学》几个典型的代数系统-2(环域格)
格的并运算与交运算
并运算
在格中，任意两个元素的上确界称为它们的 并，并运算满足幂等律、交换律和结合律。
交运算
在格中，任意两个元素的下确界称为它们的 交，交运算也满足幂等律、交换律和结合律。
子格与商格
子格
格的一个非空子集，如果它关于原有的二元 运算也构成一个格，则称该子集为格的一个 子格。
商格
在格中定义一个等价关系，将格划分为若干 个互不相交的等价类，然后在这些等价类上 定义新的二元运算，所得到的集合和运算构
PSK等调制方式都是基于代数系统的理论基础。
代数系统在计算机图形学中的应用
几何变换
代数系统中的矩阵和向量等概念在计算机图形学中得到了 广泛应用，如平移、旋转、缩放等几何变换都可以通过矩 阵运算来实现。
图形渲染
基于代数系统的图形渲染技术，如光线追踪、纹理映射等， 提高了计算机图形的真实感和视觉效果。
示例
整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C等在加法和乘法 运算下都构成环；矩阵环、多项式环等也是常见的环的例子 。
环的零元与幺元
零元
环中关于加法运算的单位元称为零元， 通常用0表示。对于任意元素a∈R， 都有a+0=a和0+a=a。
幺元
如果环中存在一个元素e，使得对于任 意元素a∈R，都有e·a=a和a·e=a，则 称e为环的幺元。并非所有环都有幺元， 有幺元的环称为幺环。
《离散数学》几个典型的代数系统 -2环域格
目录
• 环的基本概念与性质 • 域的基本概念与性质 • 格的基本概念与性质 • 环、域、格之间的关系与转换 • 代数系统在计算机科学中的应用 • 总结与展望
01 环的基本概念与性质
环的定义及示例
离散数学几种典型的代数系统
在独异点<S , >中，对任意a ∈ S,有
a0=e a n 1 a n a( n 0 , 1 ,2 , )
( )式中的两个等式在独异点中亦成立。
三、 子半群和子独异点
定义5-3 设<S；>是一个半群 ，若 <T； >是
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。
因此 ，a1b 是方程 axb的解
假设 xG也使得 axb成立，则
x ex(a1a)xa1(ax) a1b
因此 xa1b是满足 axb的唯一的元素。
定理5-3 设<G；*>是一个群，则对任意 的a,b,c∈G
（1）若a*b=a*c, 则 b=c； （2）若b*a=c*a，则 b=c。
证 明 （1）令a*b=a*c=d，根据定理5-2， 方程a*x = d 在G中只有唯一的解，故得 b=c。
定理5-7 在有限群<G；*>中，每个元素均具有有限周
期，且周期不超过群<G；*>的阶。
证明 设<G；*>是有限群，#G = n，对任意a ∈ G，
构造序列a,a2,a3…,an,an+1,
因为#G=n，所以序列中必存在ai=aj (1ijn1). 于是 a i a i a j a i 得 a j i e (0 j i n )
<I；+>、<R；+>和<R-｛0｝；·> 都是群。
例2 设有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法运算
定义为 a 4bre 4(a s b )。构成代数
系统< Z4; >。 4
习题几个典型的代数系统
第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
几个典型的代数系统 环域格布尔代数
有补格
设<L,∧,∨,0,1>是有界格,若L中所有元素都 有补元存在，则称L为有补格。
L2,L3和L4是有补格，L1不是有补格
布尔代数
如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格 或布尔代数。
题型
一、单选题（本大题共15题，每题2分，共30分。 二、填空题(本大题共11空，每空2分，共22分) 三、画图分析题（本大题共2题，每题4分，共8分） 四、综合题（本大题共5题，每题8分，共40分）
有界格与补元
设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a ≤ x,则称a为 L的全下界；若存在b∈L使得 x∈L有x ≤ b,则 称b为L的全上界。 可以证明,格L若存在全下界或全上界,一定是唯 一的。全下界记作0，全上界记作1 设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界 格,并将L记为<L,∧,∨,0,1>。 设<L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈L,若存在b∈L 使 得： a∧b=0 和 a∨b=1 成立,则称b是a的补元。
离散数学
CH6 几个典型的代数系统 6.2 环与域 6. 3 格与布尔代数
今日内容
环 域 格 布尔代数
环与域
环的定义与性质
环的定义与性质
定义6.8 设< , , >是代数系统,+和· 是二元 运算。如果满足以下条件: (1) <R,+>构成交换群， (2) <R,· >构成半群， (3) · 运算关于+运算适合分配律， 则称<R,+,· >是一个环。 为了区别环中的两个运算,通常称+运算 为环中的加法,· 运算为环中的乘法。
第五章习题几个典型的代数系统
第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f 1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f 4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
2(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
6几个典型的代数系统
不是所有的群都是交换群
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Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此， 我们可以概括地说： 代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合 运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
9
Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明 当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元， 否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
20
6.2环与域
是一个代数系统，如果满足： 设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算 对于运算★是可分配的，则称 A, ★， 是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
21
Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群
几个典型的代数系统
2020/4/24
离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
2020/4/24
离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
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离散数学
四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
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几个典型的代数系统
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
证明：设 G 为阿贝尔群，
则 a,bG，有 abba ，
故 (ab)2(ab)(ab)a(ba)b a (a b )b(a a )(b b )a 2 b 2
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
x y(xy)m o dn， x y(xy)m odn。
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二、域。
定义：环 F , , 满足：
(1) F 至少两个元素，
(2) F , 含有幺元， (3) F , 是可交换的， (4) F , 除加法幺元外，其余元素均有逆元， 则称 F , , 为域。
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例2、 Q , , ， R , , 都是域，但 Z , , 不是域，
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab)(aa)(bb)， 即 a(ba)ba(ab)b， 由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
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例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a,bG ， 由题设知，a 1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab(ab) 1b 1a 1ba，
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
6 8
4
2
3
2
1
1
S 8,D
S6,D
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
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第五章习题几个典型的代数系统
.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,
其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算
如下：
x,y∈Z,x y=x+y-2
问Z关于运算能否构成群为什么
.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：
f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,
f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1
令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律.
.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba.
.设H是群G的子群,x∈G,令
xHx-1={xhx-1|h∈H},
证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设
(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表
(2) 试找出G的所有子群
(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].
.令G={Z,+}是整数加群。
求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.
.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:G1→G2,说明f是否为群G1到G2的同态。
如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.
(1) G1=<Z,+>,G2=<R*,·>,其中R*为非零实数的集合,+和·分别表示数的加法和乘法。
f:Z→R*,f(x)=
(2) G1=<Z,+>,G2=<A,·>,其中+和·分别表示数的加法和乘法
A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。
f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx
(3) G1=<R,+>,G2=<A,·>,+和·以及A的定义同(2).
f:R→A,f(x)=cosx+i sinx
.设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。
.图中给出六个偏序集的哈斯图。
判断其中哪些是格。
如果不是格,说明理由。
.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。
(1) L={1,2,3,4,5}
(2) L={1,2,3,6,12}
(3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
(4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+
.(1)画出Klein四元群的子群格。
(2)画出模12的整数群Z12的子群格。
(3)画出3元对称群S3的子群格。
.设L是格,求以下公式的对偶式:
(1) a∧(a∨b) a
(2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
(3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a
.设L是格,a,b,c∈L,且
a b
c,证明
a∨b=b∧c
.针对图中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。
图
.针对图中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。
.说明图中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。
.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。
(1) S1={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。
(2) S2={a1,a2,...,a n},a i,a j∈S2,a i*a j=a i.这里的n是给定的正整数,且n≥2.
(3) S3={0,1},*为普通乘法。
(4) S4={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。
(5) S5={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。
.设B是布尔代数,B中的表达式f是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)
(1)化简f.
(2)求f的对偶式f* 。
.设<B,∧,∨,＇,0,1>是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，
a,b∈B,
（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)
（2）(a∧b)∨(a∧（b∧c)＇)∨c
.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。
.设<B,∧,∨,＇,0,1>是布尔代数,在B上定义二元运算
,
x,y∈B有
x y=(x∧y＇)∨(x＇∧y)
问<B,>能否构成代数系统如果能,指出是哪一种代数系统。
为什么
.设G1为循环群,f是群G1到G2的同态,证明f(G1)也是循环群。
.设G=<a>是15阶循环群。
(1) 求出G的所有的生成元。
(2) 求出G的所有子群。
.设σ,τ是5元置换,且
(1) 计算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ
(2) 将στ,τ-1,σ-1τσ表成不交的轮换之积。
(3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换。
设A=﹛1,2,5,10,11,22,55,110﹜是110的正因子集，〈A,≤〉构成的偏序集，其中≤为整除关系。
（1）画出偏序集〈A, ≤〉的哈斯图。
（2）说明该偏序集是不是构成布尔代数，为什么。