3、图像几何、频域变换

F (4) 1 2 F (5) 1 2 F (6) 1 2 F (7) 1 2
F F F F
0 (0) w8 F (1) ( 0) 1 (1) w8 F (1) ( 0) (2) w82 F (1) ( 0) ( 0) 3 (3) w8 F (1)
2、快速Fourier变换（FFT）
例：设对一个函数进行快速Fourier变换，函数为：
f 0 , f1 , f 2 , f3 , f 4 , f5 , f 6 , f 7
分成偶数、奇数为：
f0 , f2 , f4 , f6 f0 , f4 f2 , f6
f1 , f 3 , f 5 , f 7 f1 , f 5 f3 , f7
wN exp( j ) wN
F ( M )
1 Fe ( ) wN Fo ( ) 2


2、快速Fourier变换（FFT）
二、FFT的设计思想是:
首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通 过不断的一个奇数一个偶数的相加（减）， 最终得到需要的结果。 也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数 相加（减）的简单运算的重复。
问题的提出： 我们人类视觉所感受到的是在空间 域和时间域的信号。但是，往往许多问 题在频域中讨论时，有其非常方便分析 的一面。
1、二维离散Fourier变换 Fourier变换有两个好处：
1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。
1、二维离散Fourier变换
傅立叶频谱特点： （1）从分布上看，频谱中心处于屏幕中心，从中心 向四周呈辐射状分布；离中心越远，频率越高， 能量越小； （2）中心点即直流分量点对应着图像的平均亮度； 低频区域对应图像的实体细节；高频区域对应图 像的边缘轮廓。
图像变换
主要内容： 图像的几何变换 图像的频域变换
一、图像的几何变换
我们知道，图像是对三维实际景物 的平面投影。为了观测需要，常常需要 进行各种不同的几何变换。注意一点， 实际上几何变换不改变像素值，而是改 变像素所在的位置。
1、图像的位置变换
一、图像的平移
y
x' x x y' y y
1、二维离散Fourier变换
1、二维离散Fourier变换：
因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换，即：
F (,) f行{ f列[ f ( x, y)]}
所以二维离散Fourier变换实际上是对其进行了2次 的一维DFT变换。
2、快速Fourier变换（FFT）
一、快速Fourier变换的推导
(3) 1 2 1 2
f w f f w f f w f
1 0 2 5 3 3 0 2 7 0 2 7
0 F (1) (0) 1 F (1) (0) w4 F (3) (0) 2
F (1) (1) 1 2 F (1) (2) 1 2 F (1) (3) 1 2

1、图像的位置变换
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
2、图像的形状变换
一、图像的缩小 图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例 缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息 量小了，所以画布可相应缩小。
2、图像的形状变换
1. 图像按比例缩小：
最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇） 数行和偶（奇）数列构成新的图像。
f3
f7
2、快速Fourier变换（FFT）
0 F (0) (0) 1 f 0 w2 f 4 2
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
偶 数 区
f0 f4 f2 f6 f1
F (1)
( 0)பைடு நூலகம்
1 2
F ( 2) (0) 1 2 F ( 2) (1) 1 2
f f f
x'max 0.866* 3 0.5 2.098
y'min 0.866 0.5 1.366 y'max 0.866* 3 0.5 * 3 4.098
1、图像的位置变换
图像的旋转注意点： 1） 图像旋转之前，为了避免
信息的丢失，一定有平移 坐标，具体的做法有如图 所示的两种方法。
2、图像的形状变换
三、图像的错切变换 图像的错切变换实际上是景物在平面上的 非垂直投影效果。
x' x d x y ( x方向的错切) y' y x' x ( y方向的错切) y' y d y x
2、图像的形状变换
dx 1
d y 1
可以看到，错切之后原图像的像素排列方向改变。与 前面旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。
F F F
(1)
(1) w1 F (3) 4
0 (0) w4 F (3)
(1)
(1)
(1) w1 F (3) 4
(1) (0) (1)
2、快速Fourier变换（FFT）
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
0 F (0) 1 F (0) (0) w8 F (1) (0) 2 1 F (1) 1 F (0) (1) w8 F (1) (1) 2 F (2) 1 F (0) (2) w82 F (1) (2) 2 3 F (3) 1 F (0) (3) w8 F (1) (3) 2
2、图像的形状变换
四、几何畸变的矫正
受到错切变换效果的启发，将其进行简单的延伸， 当景物在图像上是非垂直投影时，可以通过几何变换 将其进行矫正。 矫正方法为：
x' a1 x b1 y c1 y ' a2 x b2 y c2
变换参数可通过对应点的坐标来确定。
二、图像的频域变换
2. Fourier变换在图像压缩中的应用
变换系数刚好表现的是各个频率点上 的幅值。在小波变换没有提出时，用来进 行压缩编码。考虑到低频反映图像实体、 高频反映边缘轮廓的特性。往往认为可将 高频系数置为0，骗过人眼。
3、二维Fourier变换的应用
3. Fourier变换在卷积中的应用:
从前面的图像处理算法中知道，如果 抽象来看，其实都可以认为是图像信息经 过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化 滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂 时，直接进行时域中的卷积运算是不可思 议的。
1、图像的位置变换
图像的旋转注意点： 2）图像旋转之后，会出现许多的空洞点，对 这些空洞点必须进行填充处理，否则画面 效果不好。称这种操作为插值处理。
1、图像的位置变换
插值最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐 标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法 是：空点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复到所有行。
1、二维离散Fourier变换
正变换：
F ( , ) f ( x, y) e
x 0 y 0
M 1 N 1
j 2 ( x y ) M N
反变换：
f ( x, y)
M 1 N 1 1 MN 0 0
F ( , ) e
j 2 ( x y ) M N
令：wNx exp( j 2x ) N
则：F ( )
N / 2 1
1 N
f ( x)wNx
x 0
N 1
2 2 N / 21 2 1 [ f (2 x)wNx f (2 x 1) wN ( 2 x 1) ] 2 N x 0 N x 1 1 1 M 1 1 M 1 x M N [ f (2 x)wM f (2 x 1) wMx wN ] 2 2 M x 0 M x 1 1 （分成奇数项和偶数项之和） [ Fe ( ) wN Fo ( )] 2
2、图像的形状变换
1.按比例放大图像 如果需要将原图像放大k倍，则将一个像 素值添在新图像的k*k的子块中。
放大5倍
2、图像的形状变换
2. 图像的任意不成比例放大： 这种操作由于x方向和y方向的放大倍数 不同，一定带来图像的几何畸变。 放大的方法是： 将原图像的一个像素添到新图像的一个 k1*k2的子块中去。
1、图像的位置变换
三、图像的旋转
x' x cos y sin y' x sin y cos
30
x' 0.866x 0.5 y y ' 0.5 x 0.866y
x'min 0.866 0.5 * 3 0.634
3、二维Fourier变换的应用
f (i, j )
G (S )
f g (i, j)
fg g f
(1) w1 F ( 2) 4
( 0)
0 (0) w4 F ( 2)
( 0)
(1) w1 F ( 2) 4
(1) (0) (1)
奇 数 区
f5 f3 f7
0 F (1) (0) 1 f1 w2 f5 2
F (1) (1) 1 2 F (0) F (3) (1)
0
2
2
w f w f w f
0 2 4
0 2 6 0 2 6
0 F (0) (0) 1 F (0) (0) w4 F ( 2) (0) 2
F (0) (1) 1 2 F (0) (2) 1 2
F (0) (3) 1 2
F F F
( 0)
(0) (1) (2) (3)
3、二维Fourier变换的应用
1.Fourier变换在图像滤波中的应用
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
3、二维Fourier变换的应用
2、图像的形状变换
如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列。 M*N大小的图像缩小为：kM*kN大小，（k<1）。 设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y)) c=1/k
K=1/3
2、图像的形状变换
2. 图像不按比例缩小：
这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不 同，一定会带来图像的几何畸变。
例：
F0 , F1 , F2 , F3 , ( F4 , F5 , F6 , F7 )
F0 , F1 (F2 , F3 )
(1)
( 0)
F0 , F1 (F2 , F3 )
(1)
F0 ( F1 )
( 0)
F0 ( F1 )
( 2)
F0 ( F1 )
F0 ( F1 )
( 3)
f0
f4
f2
f6
f1
f5
x 1, y 2
x
注意：平移后的景物与原图像相同，但“画 布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。
1、图像的位置变换
二、图像的镜像
x' x (水平镜像) y' y x' x (垂直镜像) y' y
水平镜像
垂直镜像
注意：做镜像时，实际上需要对坐标先进行 平移，否则将出错。因为矩阵的下标不能为 负。
2、图像的形状变换
图像不按比例缩小方法： M*N大小的图像缩小为：k1M*k2N大小， （k1<1，k2<1）。 设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y)) c1=1/k1 c2=1/k2
2、图像的形状变换
二、图像的放大
图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来 的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所 以较图像的缩小要难一些。
0 M
2、快速Fourier变换（FFT）
1 F ( M ) Fe ( M ) wN M Fo ( M ) 2 1 Fe ( ) wN M Fo ( ) 2




M wN M wN wN wN exp( j 2M ) N