高中数学人选修1-1 第二章2.1.1 椭圆及其标准方程课件

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高中数学北师大版选修1-1课件：第二章 1.1 椭圆及其标准方程

②
由①－②得到|PF1||PF2|＝4.
故△F1PF2 的面积为 S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝ 3.
[答案] B
题目类型三、椭圆定义的应用
例 3 已知 B、C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、 C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是 ____________． (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[解析] (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆． (2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2. [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆线段F1F2
∵椭圆过 A(0,2)，B12，

3.

∴m401m＋＋4n＝3n＝11
，解得nm＝＝41 ，
即所求椭圆方程为 x2＋y42＝1. [答案] (1)x2＋y42＝1 (2)1x02 ＋＝1
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所求椭圆方程为xm2＋m＋y2 5＝1(m>0)，
[解析] 本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由 mn>0，若 m＝n，则方程 mx2＋ny2＝1 表示圆，故 mn>0⇒/ 方程 mx2＋ny2＝1 表示椭圆，若 mx2＋ny2＝1 表示椭圆 ⇒mn>0，故 mn>0 是方程表示椭圆的必要不充分条件．

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1，又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．

2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程

2
2
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由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15，解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
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7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程＋＝1 表示椭圆． k－2 5－k
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x y 1.如图所示，点 P 是椭圆＋＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆＋＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
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2.1.1 第一课时椭圆的定义及标准方程的求法课件(人教A选修1-1)

[自主解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋ |AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)．由已知条件得aa4122＋＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.，即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.

(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.1.2.1

合作探究课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚

【数学】2.1.1 椭圆及其标准方程课件1(人教A版选修1-1)

即 : ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 0
2
2 0
2
把x = x,y = 2y代入方程①,得点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M
0 0
x + 4y = 4, 与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方
2 2
即
程得到点M的坐标所满足的方程.
2 2
x 1、建系 2、设标 3、列 + y = 1. 4 式 4、化简 5、检验所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆. （可省略不写）
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系同点焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，
右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.
3、椭圆的标准方程小结
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中的椭圆
一、引入
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-1椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
∵a＝4，c＝ 15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， y2 ∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 16 x2 y2 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1 或＋ 16 16 x2＝1.
人教 B 版数学
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例3]
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 (1)将方程整理得， 2 ＋ 2 ＝1； k
人教 B 版数学
2 >2 依题意 k ，解得 0<k<1. k>0 x2 y2 (2)将方程化为：2m＋＝1， 1－m 2m>0 依题意1－m>0 2m>1－m 1 ，解得3<m<1.
人教 B 版数学
1 A(0,2)，B2，
3.
0 4 m＋n＝1 ∴ 1 ＋3＝1 4m n
m＝1 ，解得 n＝4
，
y2 即所求椭圆方程为 x2＋＝1. 4
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所 x2 y2 求椭圆方程为m＋＝1(m>0)， m＋5 4 9 又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1， m m＋5 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)， x2 y2 即所求椭圆的方程为10＋15＝1. [说明] 1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一
即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝ 10. ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16. 由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A，B，C三点不
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2.1.1 第二课时椭圆的定义及标准方程的应用课件(人教A选修1-1)

第
二章
2.1.
1
第二课时
2.
圆1 锥
椭圆及
椭圆的定义及
曲椭
其
标准
线圆
标
方程
与方
准
的
方
应用
程
程
名师课堂 ·一点通
考点一考点二考点三
解题高手
创新演练 ·大冲关
课堂强化课下检测
[例1] 如图，圆C：(x＋1)2＋ y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点， AQ的垂直平分线交CQ于M，求点 M的轨迹方程．
2．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝ OM＋ON，求动点Q的轨迹方程．解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0) (y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式：
(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式； (2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋ |PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．
3．设 F1、F2 为椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，
已知△PF1F2 为直角三角形，且|PF1|>|PF2|，求||PPFF12||的值．解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况： ①若∠PF2F1＝90°，则||PPFF11||2＋＝|P|PFF22|＝|2＋6，20 ∴有||PPFF21||＝＝4313，4，∴||PPFF21||＝72.

湘教版高中数学选修1-1第2章 2.1.1 椭圆的定义与标准方程

2．1椭__圆2．1.1椭圆的定义与标准方程[读教材·填要点]1．椭圆的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程[小问题·大思维]1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的定值，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆x2＋y22＝1的焦点坐标是什么？提示：∵x2＋y22＝1，∴a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，∴c＝1. ∴焦点坐标为(0，±1)．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．[自主解答] 如图，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .椭圆上的点到两定点F 1，F 2的距离的和为定值，所以知道椭圆上点到一个焦点的距离就可以利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|求出该点到另一个焦点的距离．1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，求线段ON 的长．解：由椭圆方程x 225＋y 29＝1，得a ＝5.设椭圆的另一个焦点为F ′，则|MF |＋|MF ′|＝10，∴|MF ′|＝10－|MF |＝8. ∵N 为MF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴ON ＝12|MF ′|＝4.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[自主解答] (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝(5＋3)2＋0＋(5－3)2＋0＝10. ∴a ＝5. 又∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵P (0，－10)在椭圆上， ∴a ＝10.又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.求椭圆标准方程的一般步骤为：2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上；(2)经过定点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．解：(1)∵a ＝5，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝25－4＝21. 又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 225＋x 221＝1.(2)由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1.∴椭圆的焦点坐标为(0，±5)．设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1，∴9a 2＋4b 2＝1.又a 2－b 2＝5.∴a 2＝15，b 2＝10. ∴所求椭圆的标准方程为y 215＋x 210＝1.求经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.在求椭圆的标准方程时，若椭圆焦点的位置未确定，可分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .3．若椭圆的焦距为2，且过点P (－5，0)，求椭圆的标准方程．解：①若椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.②若椭圆的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5.∴椭圆方程为y 26＋x 25＝1.综合①②可得，椭圆的标准方程为 x 25＋y 24＝1或y 26＋x 25＝1.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．[解] 法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由x 29＋y 24＝1⇒c 2＝5，∴a 2－b 2＝5.①又Q (2,1)在椭圆上，则4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得：a 2＝5＋5，b 2＝5，即所求的方程是x 25＋5＋y 25＝1.法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是： x 29＋k ＋y 24＋k ＝1(k >－4)．则49＋k ＋14＋k＝1，整理得：k 2＋8k ＋11＝0，解得k ＝－4±5，又∵k >－4， ∴k ＝－4＋5，故所求的椭圆的标准方程是x 25＋5＋y 25＝1.[点评] 利用点Q (2,1)在椭圆上，以及a ，b ，c 之间的关系求得a ，b 的值，从而求得椭圆的标准方程．1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7. 答案：B2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．满足条件a ＝13，c ＝5的椭圆的标准方程为( ) A.x 2169＋y 2144＝1 B.y 2169＋x 2144＝1C.x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1 D ．不确定解析：∵a ＝13，c ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144.∴椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或x 2144＋y 2169＝1.答案：C4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________．解析：由题意得m －2＞10－m ＞0，解得6＜m ＜10，且a 2＝m －2，b 2＝10－m ，则c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4，m ＝8.答案：85．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：∵方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.即⎩⎪⎨⎪⎧k <5，k >3，k ≠4.∴3<k <5且k ≠4. 答案：(3,4)∪(4,5)6．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，求椭圆C 的标准方程．解：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、选择题1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定解析：|F 1F 2|＝2c ＝225－9＝8，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. ∴△PF 1F 2的周长为18. 答案：B2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：m >n >0⇒1n >1m >0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.答案：C3．已知椭圆x 24＋y 2＝1上一点P 的横坐标为－3，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12 C.⎝⎛⎭⎫－3，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－3或⎝⎛⎭⎫－12，－3解析：依题意知点P 的横坐标为－3，代入椭圆方程得(－3)24＋y 2＝1，y ＝±12，从而点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12. 答案：B4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B 二、填空题5．椭圆25x 2＋16y 2＝400的焦点坐标为________．解析：由25x 2＋16y 2＝400，得x 216＋y 225＝1. ∴a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2－b 2＝9. 又∵焦点在y 轴上，∴焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．答案：(0,3)，(0，－3)6．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴c ＝1.又∵2a ＝6，即a ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝17．已知x 216＋y 2m 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为________．解析：由题意知0<m 2<16，即0<m <4或－4<m <0. 答案：(0,4)∪(－4,0)8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且P Q ⊥PF 1.若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，则椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义得，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1三、解答题9．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1， ∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1. ∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.。

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

思考为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa，为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为，所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.

《2.1.1 椭圆的定义与标准方程(一)》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品

点评
并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就
一定是椭圆，只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆．
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1．命题甲：动点 P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB| ＝ 2a(a>0且 a为常数 ) ；命题乙：点 P的轨迹是椭圆，且 A、 B是椭圆的焦点．则命题甲是命题乙的( A．充分不必要条件 C．充分且必要条件解析答案当2a<|F1F2|时无轨迹，所以选B. B )． B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
x2 y2 2＋ 2＝1(a>b>0) a b 2．焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为，焦
点坐标是 F1(－c，0)、F2(c，0) ，焦距为 2c；焦点在 y 轴上的椭圆的
y2 x2 2＋ 2＝1(a>b>0) a b 标准方程为，焦点坐标是 F1(0，－c) 和 F2(0，c)，
2 2 2 焦距为 2c ，其中 a，b，c 之间的关系是 a ＝b ＋c ．
(2)焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3，1)两点．
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解 (1)法一因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方 x2 y2 程为a2＋b2＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知 2a＝
5 2 3 2 ＋2 ＋－＋ 2 2 5 2 32 －2 ＋－ 2 2
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典例剖析题型一椭圆定义的理解【例1】平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2
a(a>0)，则点M的轨迹为(
A．椭圆 C．无轨迹

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-2《椭圆的简单几何性质》

2 A. 2 C．2－ 2
2－1 B. 2 D. 2－1
()
[答案] D
[解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)如图， ∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得 ac22＋yb2P2＝1，∴y2P＝ba42， ∴|PF1|＝ba2＝|F1F2|，即ba2＝2c，又∵b2＝a2－c2，∴a2－a c2＝2c， ∴e2＋2e－1＝0，又 0<e<1，∴e＝ 2－1.
[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2 －b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
[点评] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2) 确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写出标准方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程． (1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)． (2)长轴的长为10，离心率等于
已知 A(4,0)、B(2,2)是椭圆2x52 ＋y92＝1 内的两个点， M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
[解析] 如下图所示，由2x52 ＋y92＝1，得 a＝5，b＝3， c＝4.
所以点 A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为 F(－ 4,0)．
又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10，所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，又|BF|＝2 10，所以－2 10＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2 10.

人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件

例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了，获得了一个大公司的面试机会，很不想失去这个机会，一天只吃一顿饭在恶补基础知识。不禁要问，之前做什么去了？机会当真就那么少？在我看来到处都是机会，关键看你是否能抓住。运气并非偶然，运气都是留给那些时刻准备着的人的。只有不断的积累知识，不断的进步。当机会真的到来的时候，一把抓住。相信学习真的可以改变一个人的运气。在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙，比房子、比车子、比票子、比小孩的教育、比工作，往往被压得喘不过气来。而另外总有一些人会运用自己的心智去分辨哪些快乐或者幸福是必须建立在比较的基础上的，而哪些快乐和幸福是无需比较同样可以获得的，然后把时间花在寻找甚至制造那些无需比较就可以获得的幸福和快乐，然后无怨无悔地生活，尽情欢乐。一位清洁阿姨感觉到快乐和幸福，因为她刚刚通过自己的双手还给路人一条清洁的街道；一位幼儿园老师感觉到快乐和幸福，因为他刚给一群孩子讲清楚了吃饭前要洗手的道理；一位外科医生感觉到幸福和快乐，因为他刚刚从死神手里抢回了一条人命；一位母亲感觉到幸福和快乐，因为他正坐在孩子的床边，孩子睡梦中的脸庞是那么的安静美丽，那么令人爱怜。。。。。。

椭圆的定义及标准方程说课课件

3、标准方程（ 1 ）、焦点在轴上（ 2 ）、焦点在轴上
（1）详写（ 2 ）写关键步骤
总之，这节课是本着教师只是学生学习的引导者，知识是由学生自主构建的原则设计的．
a
2
c x a y a a c
2 2 2 2 2 2
2

引入b： b2 a 2 c 2
①
x y 1 2 2 a b ab0
②
2
2
焦点 x 在轴上的椭圆标准方程：
x y 1 a b 0 2 2 a b
y

2
2
P ( x, y )
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
两种形式的标准方程的比较：
y x x y 2 1a b 0 与 2 2 1 a b 0 2 a b a b
2 2
2
2
椭圆的焦点在x轴上
椭圆标准方程中x2
项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程中y2
教学过程分析
1.认识椭圆
问：什么是椭圆？“神十”沿椭圆轨道运行的轨迹方程是怎样的？
汽车贮油罐横截面的外轮廓线
教学过程分析
2.画椭圆
忆：圆是怎样定义的？
F1
F2
想：你认为椭圆应该怎样定义？
动画演示
教学过程分析
3.定义椭圆
与平面内两定点距离之和是常数（小于两定点间距离）的点的轨迹叫做椭圆。两定点叫做椭圆的焦点，它们之间的距离称为椭圆的焦距。
F2

F1
o
x
布置小作业：课后学生推导焦点在轴上的椭圆标准方程： y F2 M

第二章 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程(优秀经典公开课比赛课件)

人教A版数学·选修1 -1
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(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1，F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
提示：椭圆．
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(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．
[自我检测] 1．下列说法中，正确的是( ) A．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆 B．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C．到点 M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 D．到点 M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
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知识点二椭圆的标准方程预习教材P33－34，思考并完成以下问题观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？
提示：椭圆是对称图形，以两焦点 F1，F2 所在直线为一条坐标轴，F1F2 的中点为原点建立直角坐标系方程简单．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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人教A版数学·选修1 -1
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探究二椭圆的定义及其应用 [教材 P36 练习 3 题]已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB，交椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点． (1)求△AF1B 的周长； (2)如果 AB 不垂直于 x 轴，△AF1B 的周长有变化吗？为什么？

2.1.1椭圆及其标准方程课件数学人教A版选修1-1

（大于|F1F2 |）的点的轨迹（集合）．
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
２．注意：
M
①若|MF1| + |MF2| = 常数 = |F1F2| ,
则点M的轨迹是线段F1F2.
y
则|ＭF1|+|ＭF2|=2a
Ｍ( x , y )
2
即： x + c + y + x - c + y = 2a
2

x + c
2
2
2
+ y 2 = 2aF-1 -c ,x0 -Oc +Fy22 c , 0
2
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
5 ,0),
( 5 ,0) ．
x
焦点位于____轴上，焦点坐标是
___
y2 x2

1 中， = ___
２．在椭圆
２，
３ , = ___
9
4
y
0, 5___
, 0, 5 ．
焦点位于____轴上，焦点坐标是
_______
4
３．若椭圆的方程为 16 x 2 9 y 2 144，则 = ___，
椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
x2
y2
解：
（1）代入标准方程 2 2 1，得
a
b
2
x
y2 1
16
（2）由题意得
又b
=4，2 =10， =5，

高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)

人民教育出版社高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？
【解】设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝＝22xy＋，5，代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1，所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社高二年级|选修1-1
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【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社高二年级|选修1-1
人民教育出版社高二年级|选修1-1
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．