非线性最优化模型
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• 最优化模型获得了很大成功。模型最初为 Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节 约为2700万美元。节约成本的大部分来自 于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞 机使用率也增加了10%。
• 资料来源：基于Richard Hicks et al.,”Bombardier Flexjet Significantly Improves Its Fractional Aircraft Ownership Operations Interfaces 35,no.(January/February 2005):49-60
的价格是如何用售出的标准包数目来表示 的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替 （8-3）式中的Ps，标准包的利润是
•
PsS-70S=(150-S/15)S-
70S=80S-S/15
(8-4)
• 假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美 元。用得到式（8-4）相同的逻辑，豪华包 的利润是
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• 最后的模型很大，不能用商用最优化软件 模型来直接求解。拥有太多直接求解的变 量的模型。常常使用分解法来求解。分解 法采用只包含全部变量的一小部分的主要 问题来求解。通过子问题确定的解是部分 最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子 问题是非线性整数规划。非线性的中心是 一个二维变量和一个连续变量的乘积，如 果一段航程被使用，这个二维变量即为1， 这个连续变量用于给飞行时间加上时间窗。 子问题使用称为动态规划的技术来优化。
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• 由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤 人员和航程的问题甚至比商务航空行业还 复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。 然而，这项任务很快被证明是不可行的。 事实上，不适当的手工安排致使Flexjet供养 着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余 的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为 每飞行时数几百美元。一个利用最优化原 理的排程系统变得非常必要了。
• 在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而， Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描 述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线性规划。
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• 专栏8-1 实践中的管理科学
• 为Bombardier Flexjet 安排航程和全体人 员
• Bombardier Flexjet 是一家发展迅速的支线 飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行 50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。 拥有部分所有权的公司被保证能在24小时 以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用 飞机的公司每月需支付管理费和使用费。 为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权 的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人 员。
第八章 非线性最优化模型
许多商业过程都以非线性方式运行。 例如，一个债券的价格是利率的非 线性函数，一个优先购股权的价格 是优先股票价格的非线性函数。生 产的边际成本常常随着生产数量的 增加而减少，一个产品的需求数量 常常是价格的非线性函数。这些和 其他的许多非线性关系出现在各种
商业应用中。
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• 非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项 是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变 量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应 用的研究。在第8..2节中，我们建立了一个关于设计有价 证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第 8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔奖的Markowitz模型， 其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合 模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混 合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个 用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对 非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管 理科学《为Bombardier Flexjet安排航程和全体人员》， 讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。
• PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5
• 总利润是标准包利润和豪华包利润之和。 因此，总利润可写为
•
总利润=80S-
S/15+150D-D/5
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• 注意两个线性需求函数，式（8-1）和式 （8-2），给出了一个非线性总利润函数式 （8-5）。这个函数是二次函数的一个例子， 因为非线性项有一个2次幂。
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源自文库
• 8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考 • 通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的
扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线 性最优化问题。我们首先考虑价格和销售 数量间关系造成目标函数非线性的情形。 接着求解得到无约束非线性规划，并且我 们观察到无约束最优解不能满足生产约束 条件。把生产约束条件添加到问题中去， 我们给出了一个受约束非线性规划的形式 和解。在这一部分的最后，我们还讨论了 局部和整体的最优化。
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• 8.1.1 一个无约束问题
• 让我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记 得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在 为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它 可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是， 依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。 价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价 格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每 种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假 定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：
• S=2250-15Ps
(8-1)
• D=1500-5PD
(8-2)
• 标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出 的标准包数目S。如果生产一个标准包的成本是 70美元，生产S个标准包的成本是70S。因此生产 和销售S个标准包的利润（收益-成本）是
•
PsS-70S
(8-3
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• 我们求解（8-1）式中的Ps,可以得到标准包
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• 为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非 线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工 使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了 基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制 度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件， 也包含了关于成本权衡的“软性”约束条 件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤 人员。
• 最优化模型获得了很大成功。模型最初为 Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节 约为2700万美元。节约成本的大部分来自 于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞 机使用率也增加了10%。
• 资料来源：基于Richard Hicks et al.,”Bombardier Flexjet Significantly Improves Its Fractional Aircraft Ownership Operations Interfaces 35,no.(January/February 2005):49-60
的价格是如何用售出的标准包数目来表示 的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替 （8-3）式中的Ps，标准包的利润是
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PsS-70S=(150-S/15)S-
70S=80S-S/15
(8-4)
• 假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美 元。用得到式（8-4）相同的逻辑，豪华包 的利润是
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• 最后的模型很大，不能用商用最优化软件 模型来直接求解。拥有太多直接求解的变 量的模型。常常使用分解法来求解。分解 法采用只包含全部变量的一小部分的主要 问题来求解。通过子问题确定的解是部分 最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子 问题是非线性整数规划。非线性的中心是 一个二维变量和一个连续变量的乘积，如 果一段航程被使用，这个二维变量即为1， 这个连续变量用于给飞行时间加上时间窗。 子问题使用称为动态规划的技术来优化。
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• 由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤 人员和航程的问题甚至比商务航空行业还 复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。 然而，这项任务很快被证明是不可行的。 事实上，不适当的手工安排致使Flexjet供养 着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余 的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为 每飞行时数几百美元。一个利用最优化原 理的排程系统变得非常必要了。
• 在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而， Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描 述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线性规划。
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• 专栏8-1 实践中的管理科学
• 为Bombardier Flexjet 安排航程和全体人 员
• Bombardier Flexjet 是一家发展迅速的支线 飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行 50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。 拥有部分所有权的公司被保证能在24小时 以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用 飞机的公司每月需支付管理费和使用费。 为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权 的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人 员。
第八章 非线性最优化模型
许多商业过程都以非线性方式运行。 例如，一个债券的价格是利率的非 线性函数，一个优先购股权的价格 是优先股票价格的非线性函数。生 产的边际成本常常随着生产数量的 增加而减少，一个产品的需求数量 常常是价格的非线性函数。这些和 其他的许多非线性关系出现在各种
商业应用中。
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• 非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项 是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变 量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应 用的研究。在第8..2节中，我们建立了一个关于设计有价 证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第 8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔奖的Markowitz模型， 其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合 模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混 合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个 用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对 非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管 理科学《为Bombardier Flexjet安排航程和全体人员》， 讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。
• PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5
• 总利润是标准包利润和豪华包利润之和。 因此，总利润可写为
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总利润=80S-
S/15+150D-D/5
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• 注意两个线性需求函数，式（8-1）和式 （8-2），给出了一个非线性总利润函数式 （8-5）。这个函数是二次函数的一个例子， 因为非线性项有一个2次幂。
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源自文库
• 8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考 • 通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的
扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线 性最优化问题。我们首先考虑价格和销售 数量间关系造成目标函数非线性的情形。 接着求解得到无约束非线性规划，并且我 们观察到无约束最优解不能满足生产约束 条件。把生产约束条件添加到问题中去， 我们给出了一个受约束非线性规划的形式 和解。在这一部分的最后，我们还讨论了 局部和整体的最优化。
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• 8.1.1 一个无约束问题
• 让我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记 得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在 为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它 可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是， 依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。 价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价 格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每 种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假 定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：
• S=2250-15Ps
(8-1)
• D=1500-5PD
(8-2)
• 标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出 的标准包数目S。如果生产一个标准包的成本是 70美元，生产S个标准包的成本是70S。因此生产 和销售S个标准包的利润（收益-成本）是
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PsS-70S
(8-3
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• 我们求解（8-1）式中的Ps,可以得到标准包
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• 为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非 线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工 使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了 基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制 度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件， 也包含了关于成本权衡的“软性”约束条 件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤 人员。