专题 抛物线与直线型交点个数

抛物线与直线型的交点个数问题专题
一、引入：
（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是 ；
（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是 ；
（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是 ；
二、问题：
例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （3
8，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？
（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？
（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。

y
x
D
B O
例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线
x a t ax y )4
1(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。

三、作业
1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。

2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (
32，1)， B (s ，t )，C (7
2，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．
(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．
直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．
3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。

（1）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求出此时二次函数的解析式；
（2）如图，抛物线顶点A 在直线x y 4
3 上运动，当△AOB 为直角三角形时，求b ，c 的值；
（3）当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此二次函数的解析式。

4.（2015年宜昌中考题24题）如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，
使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．
（1）填空：∠AOB=°，用m表示点A′的坐标：A′（，）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是
否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a 的取值范围．。