黑龙江省高三上学期期中考试数学(文科)试题

高三上学期期中考试数学（文科）试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）1．复数21i-的共轭复数是（）A．1﹣i B．1＋i C．﹣1﹣i D．﹣1＋i2．已知集合2{|6}=0A x x x--≤，函数()=(1)f x ln x-的定义域为集合B，则A B=（）A．[21]-，B．[21)-，C．[1]3，D．(13]，3．已知等比数列{}n a中，10a>，则“14a a<”是“35a a<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.函数()f x是定义在[2,]m m-上的奇函数，当0x<时，()31xf x=-，则()f m的值为（）. A．2 B．2-C．23D．23-5．若变量x，y满足约束条件y1x y0x y20≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的最大值为A.2B.4C.3D.16.函数y＝1－1x－1的图象是( )7．已知65a=，0.216b⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log2c=，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >> D．c b a >>8.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3108cmB ．3100cmC ．392cmD ．384cm第8题图9．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞ B ．[1,2]- C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-10.已知向量m ＝(1，a )，n ＝(2b ﹣1，3)(a ＞0，b ＞0)，若1=•→→n m ，则12a b+的最小值为（ ） A. 7 B.3227+ C. 347+ D.34 11．已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，可以将)(x f 的图象（ ） A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位第11题图12．给出下面四个推理：①由“若a ，b 是实数，则b a b a +≤+”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”． 其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A.1 B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 15．若πtan 34θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3πcos 22θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和_____________．三、解答题 (共70分)17. （本小题满分10分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+ （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）已知函数()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-.（1）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）若()23fα=-，且0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求cos2α的值. 21．（本小题满分12分）已知点)2,1(A 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：21k k +为定值．22．（本小题满分12分）已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，0)(>x f ，求a 的取值范围．2018级高三上学期期中考试数学（文科）试题参考答案1.A.2.B.3.A.4.C5.C6.B7.C.8.B.9.D.10.B.11.A.12.C13.()12,0- 14.y=2x ﹣e 15.4516.4 17. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 18.(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,19,c a b ab C c =+==-所以19257572,sin 3c R R C ====(12分) 19.【解析】（1）∵51545+=52S a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵n b 的前n 项和122n n G +=- ∴1n=时，21222b =-=2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+= ∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）12n n T c c c =+++，123(3)2(1)212(25)2n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n T n +-=---⋅ 114(27)2n n T n +=+-.20.【答案】（1）[]1,2-；（2）261+. 【解析】（1）()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-3sin 2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭. 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]1,2-. （2）由()23f α=-，知1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 又因为52666πππα-≤-≤，所以22cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭⎝ 2231126132326+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.21.【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，利用椭圆的离心率，椭圆经过的点以及a2＝b2+c2，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）设直线BD的方程为，m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），联立，得，利用韦达定理，转化求解直线AB，AD的斜率的和推出结果即可．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率，代入，得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，，所以椭圆C的方程；（2）证明：设直线BD的方程为，又A，B，D三点不重合，∴m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，所以△＝﹣8m2+64＞0，所以，，，设直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，则＝＝＝，所以k 1+k 2＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 22．解：（1）()(2)xf x ax a e '=-+，当0a =时，()20x f x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减． 当0a >时，令()0f x '<，得2ax a-<； 令()0f x '>，得2ax a->． ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 当0a <时，令()0f x '<，得2ax a->； 令()0f x '>，得2ax a-<． ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）当0a =时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0f x f <=，不合题意当0a <时，()222(2)(22)(2)2220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意． 当1a ≥时，()(2)0xf x ax a e '=-+>，()f x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0f x f >=，故1a ≥满足题意． 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， ∴min 2()(1)0a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意．．综上，a的取值范围为[1,)。