2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题
2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；
（1） t 2
2
2dt
u d +t dt du +( t 2
-1)u=0 （2）
dx dy =x 2+y 2
; （3）dx dy +2x
y =0
3.求曲线族y=C 1e x
+C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e
x 2+ C 2
e
x
2-是微分方程y ``
-4y=0的解，进一步验证它是通解。

5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程
dx
dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？
7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解
（1）
y `＝sinx
（2）
x 2y 2y `+1=y （3）
tgx dx
dy
=1+y （4）
dx
dy
=exp(2x-y) （5） dx
dy =21y 2-
（6） x 2
ydx=(1- y 2
+x-2
x
2
y 2
)dx
（7）( x 2
+1)( y 2
-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义
11．试给出一阶方程y `
＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。

说明二个方程的关系。

12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？
13．求解下列方程
dx dy
＝222y
x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0
(2)
dx dy =x y +y x 2 15.
dx dy =2
2y x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17.
dx dy =5
242+---y x x y 18―――――19
20―――――――27
28――――37
38――――44 45――――49
50――――56 57――――62 63――――68
69―――71 72――――81
82――――87 88――――92 93――――94
95――――97 98――――100
101――――105 106――――113 114――――122
2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。

（2） 为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

（3） 果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线
性方程。

3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0 4． 直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d(x 2
),故y= x 2
+C
6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。

因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。

微分方程的解又称为（一个）积分。

7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8． y `
＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

9
（1） 积分得x=-cosx+c
（2） 将方程变形为x 2
y 2
dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x
dx
，当xy ≠0,y ≠1时积分得
22x ＋y+ln 1-y +x
1=c (3)方程变形为
y dy +1＝x
x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得
y=Csinx-1
(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得
exp(y)＝
2
1
exp(2x)＋C (5)当y ≠±1时，求得通积分ln 1
1
+-y y =x+c
(6)方程化为 x 2
ydx=(1- y 2
)(1+x 2
)dx 或2
2
1x
x +dx=y y 21-dy,积分得 x －arctgx －ln y +
2
1y 2
=C (7)当x(y 2--1)≠0时，方程变形得
x x 12+dx+1
2-y ydy
=0
两边积分并化简得 y 2
＝1＋
2x
C exp(-x 2
) 10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数。

11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `
＝f(x,y)称为齐次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

如果q ≠0则
dx
dy
＝－y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故
y `
＝f(x,y)为齐次方程。

12． 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得
dx dy =x dx
dz
＋z 13． 这是齐次方程。

令y=zx,
dx dy =x dx
dz ＋z,将方程化为 z+x dx dz =212z z -,并即x dx dz ＝231z z z -+分离变量得x dx
z z dz z -=+-)1()1(2
2积分得ln|n|+ln(z 2
+2)-ln|z|=ln|C|,或z
z x )1(2+＝C 用z=y\x 代入得原来的变量。

x 2＋y 2
＝Cy.
注意y=0方程的解。

14．
（1）
当x ≠0时，方程化为
dx dy =1＋2x
y
令y=ux,则原方程化为x dx du =1+u,当1+u ≠0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx 2+x
（2）
作变换y=ux,则原方程化为2udu=
x
dx
于是u 2=ln|x|+C,代回原变量，得通积分： y 2＝x 2（ln|x|+C ）
15. 这是齐次方程。

令y=zx 原方程化为
－321u u +du=x dx 两边积分得 2
21z
－ln|z|=ln|cx| 用z=
x
y
代入得 y=c 1exp(2
22y x ) y=0也是原方程的解。

16.变形为
dx dy = y x 2+x y 2 ，令y=ux 得2
12u
u -==x dx 积分得-ln|1-u 2|=ln|x|--c,代原变量得通积分 x 2
- y 2
=cx
17. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0 , y 0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为
du dv ＝v u u v --22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得1
22--z z dz=u du
,积分得33)1(1u z z +-＝C
原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3 18―――――――19
20――――27
28―――――37
38――――44
45――――49
50――――56
57――――62 63――――68
69――――71
72――――81 82――――87
88――――92
93――――94
95――――97
98――――100
101――――105 106――――113
114――――122。