世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(二十八) 5.1
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三十一) 5.4
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课时提升作业(三十一)数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n= ( )【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n==.【加固训练】若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15【解析】选A.因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2015·青岛模拟)已知S n=+++…+,若S m=10,则m=( ) A.11 B.99 C.120 D.121【解析】选 C.因为==-,所以S m=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于( )A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=4.(2015·杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{}的前n项和为S n,则S2016的值为( )A. B.C. D.【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n,所以===-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.5.数列{a n}的通项公式a n=ncos,其前n项和为S n,则S2016等于( )A.2016B.1008C.504D.0【解析】选B.因为a n=ncos,所以当n为奇数时,a n=0,当n为偶数时,a n=其中m∈N*,所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2016=a2+a4+a6+a8+…+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+…+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2014+2016)=2×504=1008.故选B.【加固训练】(2015·合肥模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2016=( )A.22016-1B.3×21008-3C.3×21008-1D.3×22016-2【解析】选B.依题意得a n〃a n+1=2n,a n+1〃a n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为.【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,研究函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+ =+×=,共计配成13对,故所求的和为.答案:7.(2015·郑州模拟)设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .【解析】由a n=2n-10(n∈N*)知{a n}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,a n<0,当n≥5时,a n≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015·郑州模拟)若数列{a n}是1,,,…,1+++…+,…,则数列{a n}的前n项和S n= .【解析】a n=1+++…+==2,所以S n=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2015·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=,a3=f(3)=f(2)〃f(1)=[f(1)]3=,…,a n=f(n)=[f(1)]n=,所以S n=+++…+==1-,因为n∈N*,所以≤S n<1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·洛阳模拟)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n 及S n . (2)令b n =(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,则由已知得31571a a 2d 7,a a 2a 10d 26,=+=⎧⎨+=+=⎩解得1a 3,d 2.=⎧⎨=⎩所以a n =3+2(n-1)=2n+1, S n =3n+×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n=2n+1,即数列{b n }的前n 项和T n =.【误区警示】(1)在解答本题时有两点容易造成失分:①利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a 1和公差d;②在求解数列{b n }的前n 项和时,不能熟练准确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注: ①对通项公式与前n 项和公式记忆错误; ②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;③判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.【加固训练】(2015·漳州模拟)在数列{a n }和{b n }中,已知a 1=2,a 2=6,a n+2a n=3(n∈N*),b n=,(1)求证:数列{b n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.(3)若p n=,S n为数列{p n}的前n项和,求S n.【解析】(1)因为a n+2a n=3(n∈N*),所以====3,所以数列{b n}是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到b n=b1q n-1=q n-1=×3n-1=3n,所以b n==3n,所以=31,=32,=33,……=3n-1,所以×××…×=31×32×33×…×3n-1,所以=31+2+3+…+(n-1)=.又因为a1=2,所以a n=a1×=2×.(3)由(2)得:a n=2×,所以p n=====-,所以S n=p1+p2+p3+…+p n=+++…+=2-=.10.(2014·安徽高考)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列{}是等差数列.(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由已知可得所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)=n,所以a n=n2,从而b n=n〃3n,S n=1〃31+2〃32+3〃33+…+n〃3n, ①3S n=1〃32+2〃33+3〃34+…+(n-1)〃3n+n〃3n+1.②①-②可得-2S n=31+32+33+…+3n-n〃3n+1=-n〃3n+1=【加固训练】已知数列{a n}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设b n+2=3l o a n(n∈N*),数列{c n}满足c n=a n·b n.(1)求数列{b n}的通项公式.(2)求数列{c n}的前n项和S n.【解析】(1)由题意,知a n=(n∈N*),又b n=3lo a n-2,故b n=3n-2(n∈N*).(2)由(1),知a n=,b n=3n-2(n∈N*),所以c n=(3n-2)×(n∈N*).所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×.两式相减,得S n=+3++…+-(3n-2)×=-(3n+2)×.所以S n=-×(n∈N*).(20分钟40分)1.(5分)(2015·重庆模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前n项和S n为( )A. B. C. D.【解析】选B.a n==,所以b n===4(-),2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和S2015等于( ) A.2008 B.2010 C.1 D.0【解析】选C.由已知得a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以a n+1=a n-a n-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.因为2015=6×335+5,所以S2015=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1),记S n为{a n}的前n项和,则S2015= .【解析】由a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015 =503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=a x(0<a<1),且f(1)+f(-1)=,若数列{f(n)}(n∈N*)的前n项和等于,则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,则数列{f(n)}是首项为a1=,公比q=的等比数列,所以S n==×=1-,由1-=得=,解得n=5,故选B.4.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n ,数列{b n }满足b 1=-1,b n+1=b n +(2n-1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)若c n =,求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(1)因为S n =3n ,所以S n-1=3n-1(n ≥2), 所以a n =S n -S n-1=3n -3n-1=2×3n-1(n ≥2). 当n=1时,2×31-1=2≠S 1=a 1=3,所以a n =n 13,n 1,23,n 2.-=⎧⎨⨯≥⎩又因为b n+1=b n +(2n-1),所以b 2-b 1=1,b 3-b 2=3,b 4-b 3=5,…,b n -b n-1=2n-3. 以上各式相加得 b n -b 1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.因为b 1=-1,所以b n =n 2-2n.所以数列{a n }的通项公式为a n =n 13,n 1,23,n 2,-=⎧⎨⨯≥⎩数列{b n }的通项公式为b n =n 2-2n. (2)由题意得c n =()n 13,n 1,2n 23,n 2.--=⎧⎪⎨-⨯≥⎪⎩ 当n ≥2时,T n =-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1, 所以3T n =-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n , 相减得-2T n =6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n . 所以T n =(n-2)×3n -(3+32+33+…+3n-1) =(n-2)×3n -=.【加固训练】已知数列{a n}和{b n},数列{a n}的前n项和记为S n.若点(n,S n)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,b n)在函数y=2x的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.【解析】(1)由已知得S n=-n2+4n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-2n+5.又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式,所以a n=-2n+5.(2)由已知得b n=2n,结合(1)可得a n b n=(-2n+5)2n,所以T n=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n①,2T n=3×22+1×23+(-1)×24+…+(-2n+5)2n+1②,②—①可得T n=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1=+(-2n+5)2n+1-6=(-2n+7)2n+1-14.5.(13分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(2)证明:++…+<.【解题提示】(1)将a n+1=3a n+1进行配凑,得“a n+1+”与“a n+”的关系,得证,然后求得{a n}的通项公式.(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式.【解析】(1)因为a1=1,a n+1=3a n+1,n∈N*.所以a n+1+=3a n+1+=3(a n+).所以{a n+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以a n+=,所以a n=.(2)=.=1,当n>1时,【加固训练】等差数列{a n}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为S n,且a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式.(2)证明:≤++…+<.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以a n=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{b n}的公比为==3,b1==1.所以b n=3n-1.(2)由(1)知S n=n2+2n.所以==,所以++…+===-<.因为+≤+=,所以-≥,所以≤++…+<.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】2016届高考数学总复习 课时提升作业(四) 2.1函数及其表示 文 新人教A版
课时提升作业(四)函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是( )A.f:x→y=18x B.f:x→y=14xC.f:x→y=12x D.f:x→y=x【解析】选D.按照对应关系f:x→y=x,对集合A中某些元素(如x=8),集合B中不存在元素与之对应.选项A,B,C都符合题意.2.(2015·某某模拟)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为( )A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选D.由1-x2≥0得-1≤x≤1,故RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).3.(2015·模拟)下列四组函数中,表示同一函数的是( )2xB.f(x)=lg x2,g(x)=2lg xC.f(x)=2x1x1--,g(x)=x+1x1+x1-2x1-【解析】选A.A中2x=|x|,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数; B中的两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;C中,f(x)=2x1x1--=x+1(x≠1),与g(x)=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;D中,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以不是同一函数.4.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=x2,x0,x1,x0.⎧>⎨+≤⎩若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故选A.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.故选A.方法二:验证法,把a=-3代入得f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=则f(f(10))= ( )A.lg101B.2C.1D.0【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.(2015·某某模拟)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7【解析】选B.g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,令t=x+2,则g(t)=2t-1,故g(x)=2x-1.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,液体的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.(2015·某某模拟)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为c ,x A,x f(x)c ,x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.因为组装第A 件产品用时15分钟,所以c A=15,① 所以必有4<A,且c c 24==30.② 联立①②解得c=60,A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=x 1x++ln(2-x)的定义域为. 【解析】由已知得x 10,x 0,2x 0,+≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩解得-1≤x<2且x ≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.设函数f(x)满足f(x)=1+flog 2x,则f(2)=. 【解析】由已知得f=1-f ·log 22,则f =,则f(x)=1+·log 2x,故f(2)=1+·log 22=.答案:10.(2015·某某模拟)若f(x)=x 221+ +sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+ f(2)=. 【解析】因为f(x)=x 221++sin x, 所以f(-x)=x 221-+-sin x=x x 2221⨯+-sin x, 故f(x)+f(-x)=2,则有f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而f(0)=0221++sin 0=1, 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.答案:5(20分钟 40分) 1.(5分)(2015·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【解析】选 C.由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是2222故值域为{1,3}的同族函数共有3个.【加固训练】具有性质:f(1x )=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①f(x)=x-1x ;②f(x)=x+1x; ③f(x)=x,0x 1,0,x 1,1,x 1x⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选B.①f(1x )=1x -x=-f(x),满足. ②f(1x )=1x+x=f(x),不满足. ③0<x<1时,f(1x)=-x=-f(x),x=1时,f(1x)=0=-f(x), x>1时,f(1x )=1x =-f(x),满足. 2.(5分)(2015·某某模拟)若f(x)=x 5,x 6,f(x 2),x 6,-≥⎧⎨+<⎩则f(3)为( ) A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选A.f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.3.(5分)设函数f(x)=2(x 1),x 1,4x 1,x 1,⎧+<⎪⎨--≥⎪⎩则使得f(x)≥1的自变量x 的取值X 围是.【解析】f(x)≥1等价于2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩或x 1,4x 11,≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩由2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩得x ≤-2或0≤x<1. 由x 1,4x 11≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩得1≤x ≤10. 综上所述,x 的取值X 围是x ≤-2或0≤x ≤10.答案:x ≤-2或0≤x ≤104.(12分)(2015·某某模拟)设函数f(x)=x ax b,x 0,2,x 0,+<⎧⎨≥⎩且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得2a b 3,a b 2,-+=⎧⎨-+=⎩解得a=-1,b=1,所以f(x)=x x 1,x 0,2,x 0.-+<⎧⎨≥⎩ (2)f(x)的图象如图:5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=22x 1.x 1-+ (1)求f(2)1f()2的值. (2)求f(3)+f(4)+…+f(2 015)+f(13)+f(14)+…+f(12 015)的值. 【解析】(1)因为f(x)=222x 121,x 1x 1-=-++ 所以2221f(2)211.12f()112()12-+==--+ (2)由f(x)=1-22x 1+得,f(1x )=22222x 11,1x 1()1x-=-++所以,两式两边分别相加,得f(x)+f(1x )=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2 015)+ f(13)+f(14)+…+f(12 015)=0× 2 013=0.。
世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业（二十九）5.2
世纪⾦榜2016最新版数学⽂科课时提升作业（⼆⼗九）5.2温馨提⽰：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动⿏标滚轴，调节合适的观看⽐例，答案解析附后。
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课时提升作业(⼆⼗九)等差数列及其前n 项和(25分钟 60分)⼀、选择题(每⼩题5分,共25分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于 ( ) A.49 B.42 C.35 D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a 1+5d)=a 1+7d+6,即a 1+3d=6, 所以S 7=7a 1+d=7(a 1+3d)=7×6=42.【加固训练】(2013·安徽⾼考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( )A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选 A.由S 8=4a 3?8a 1+d=4×(a 1+2d);由a 7=-2?a 1+6d=-2,联⽴解得a 1=10,d=-2,所以a 9=a 1+8d=10-16=-6.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=3,S 9-S 6=27,则该数列的⾸项a 1等于( )A.-B.-C.D. 【解析】选D.由111a 2d 3,9a 36d (6a 15d)27,+=??+-+=?得11a 2d 3,a 7d 9,+=??+=?解得a1=.故选D.3.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若数列{}为等差数列,则a等于( )11A.0B.C.D.-1【解析】选B.设{}的公差为d,则=+4d,即4d=-=,所以d=,4.(2015·吉林模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),当⾸项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是⼀个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.⼜因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( )A.S5>S6B.S5C.S6=0D.S5=S6【解题提⽰】根据已知得到a3+a9=0,从⽽确定出a6=0,然后根据选项即可判断. 【解析】选D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.(2015·马鞍⼭模拟)等差数列{a n}中,“a1A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.等差数列中,由a10,所以a n+1=a n+d>a n,即a n反过来,由a n0,所以a3=a1+2d>a1,即a1等差数列{a n}中,“a1⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .【解析】由=+知,数列{}为等差数列,则=1+(n-1),即a n=.所以a10==.答案:7.已知等差数列{a n}的⾸项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最⼤值为.【解题提⽰】等差数列前n项的和S n是关于n的⼆次函数,可将S n的最⼤值转化为求⼆次函数的最值问题.【解析】因为等差数列{a n}的⾸项a1=20,公差d=-2,代⼊求和公式得,⼜因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n取得最⼤值,最⼤值为110.答案:110【⽅法技巧】求等差数列前n项和的最值的常⽤⽅法(1)利⽤等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利⽤性质求其正负转折项,便可求得S n的最值.(2)利⽤公差不为零的等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)为⼆次函数,根据⼆次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和S n的最值和S n的符号.【加固训练】在数列{a n}中,a1=-18,a n+1=a n+3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n 的最⼩值为.【解析】由a n+1=a n+3知{a n}是等差数列,⾸项为-18,公差为3,所以a n=-21+3n. 当n=7时,a n=0,当n≤6时,a n<0,所以当n=6或7时,S n有最⼩值-63.答案:-638.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满⾜条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中c11,c12,…,c21是以1为⾸项,2为公差的等差数列,则c2= .【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为⾸项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19,⼜{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19三、解答题(每⼩题10分,共20分)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满⾜a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}是等差数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n=S n-S n-1(n≥2),⼜a n=-2S n·S n-1,所以S n-1-S n=2S n·S n-1,S n≠0,所以⼜==2,故数列{}是以2为⾸项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,所以S n=.当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-,⼜因为a1=,不适合上式,【加固训练】已知数列{a n}是⼀个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式.(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以T=log 2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.10.(2015·成都模拟)数列{a n}中,a1=-23,a n+1-a n-3=0.(1)求数列的前n项和S n.(2)求使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围.【解析】(1)因为a n+1-a n-3=0,所以a n+1-a n=3,即数列{a n}是等差数列,公差d=3.⼜a1=-23,所以数列{a n}的前n项和为S n=-23n+n(n-1)·3,即S n=n2-n.(2)S n=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是⼀条抛物线,其开⼝⽅向向上,对称轴为x=.当x≥时,函数f(x)是增函数.因为8<<9,且-8<9-,所以f(8)综上,可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8,n∈N*}.【加固训练】(2015·郑州模拟)数列{a n}满⾜a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:为等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设b n=-1,数列{b n}的前n项和为B n,对任意n≥2都有B3n-B n>成⽴,求正整数m的最⼤值.【解析】(1)a n+1=,===-1+,所以-=-1,所以为⾸项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n=.(2)b n=-1=,令C n=B3n-B n=++…+,所以C n+1-C n=++…+--…-=-+++=-+>-=0,所以C n+1-C n>0,所以{C n}为单调递增数列,所以(B3n-B n)min=B6-B2=+++=,所以<,所以m<19,⼜m∈N*,所以m的最⼤值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015·唐⼭模拟)在等差数列{a n}中,a1=-2015,其前n项和为S n,若-=2,则S2015的值等于( )A.-2015B.-2014C.-2013D.-2012【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,因为-=2,根据等差数列的性质可得也为等差数列,所以d=2.所以S2015=2015a1+=-2015.【加固训练】(2015·延吉模拟)等差数列{a n}中,是⼀个与n⽆关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选 B.等差数列{a n}中,设=是与n⽆关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成⽴,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n 恒成⽴,故由第⼀个⽅程得d=0或者m=.若d=0,代⼊第⼆个⽅程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代⼊第⼆个⽅程得d=a1.2.(5分)(2015·⼤连模拟)下⾯是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题: p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列{}是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.3.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-6n,则{|a n |}的前n 项和T n = ( ) A.6n-n 2 B.n 2-16n+18C.()226n n (1n 3)n 6n 18n 3?-≤≤??-+>?? D.()226n n (1n 3)n 6n n 3?-≤≤??->??【解析】选C.因为由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且⾸项为-5,公差为2. 所以a n =-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n ≤3时,a n <0,n>3时,a n >0,所以T n =()226n n (1n 3),n 6n 18n 3.-≤≤-+>4.(12分)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列,偶数项是公差为d 2的等差数列.S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a2=2. (1)若S 5=16,a 4=a 5,求a 10.(2)若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n ,求当d 1最⼤时,数列{a n }的通项公式.【解析】(1)由题意,当n 为奇数时,a n =1+d 1;当n 为偶数时,a n =2+(-1)d 2. 由S 5=16,a 4=a 5可得122133d 4d 16,2d 12d ,+++=??+=+?解得d 1=2,d 2=3, 所以a 10=2+4d 2=14.(2)因为d 1≠0,d 2≠0,且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n , 所以m,n 中必然⼀个为奇数,⼀个为偶数. 不妨设m 为奇数,n 为偶数,由a m =a n ,得1+d 1=2+（-1）d 2,将d 1=3d 2代⼊,化简得d 1=.因为m 为奇数,n 为偶数,所以3m-n-1的最⼩值为2,此时d 1=3,d 2=1,【加固训练】已知数列{a n },a n ∈N *,S n =(a n +2)2. (1)求证:{a n }是等差数列.(2)设b n=a n-30,求数列{b n}的前n项和T n的最⼩值.【解析】(1)因为S n=(a n+2)2, ①所以S n-1=(a n-1+2)2(n≥2). ②①-②得S n-S n-1=(a n+2)2-(a n-1+2)2(n≥2),即a n=(a n+2)2-(a n-1+2)2.所以(a n-2)2=(a n-1+2)2,所以a n+a n-1=0或a n-a n-1=4.因为a n∈N*,所以a n+a n-1=0舍去,所以a n-a n-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{a n}是⾸项为2,公差为4的等差数列.(2)b n=a n-30=(4n-2)-30=2n-31.b n+1-b n=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{b n}是以b1=-29为⾸项,d=2为公差的等差数列.T n=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以T n=(n-15)2-225.当n=15时,数列{b n}的前n项和有最⼩值为-225.5.(13分)(能⼒挑战题)设同时满⾜条件:①≤b n+1(n∈N*);②b n≤M(n∈N*,M是与n⽆关的常数)的⽆穷数列{b n}叫“特界”数列.(1)若数列{a n}为等差数列,S n是其前n项和,a3=4,S3=18,求S n.(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列,并说明理由.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以S n=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列{S n}适合条件①.则当n=4或5时,S n有最⼤值20,即S n≤20,故数列{S n}适合条件②.综上,数列{S n}是“特界”数列.关闭Word⽂档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十九) 3.5
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课时提升作业(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·重庆模拟)计算sin20°cos70°-cos160°sin70°= ( )A.0B.-sin50°C.1D.-1【解析】选C.原式=sin20°cos70°-cos(180°-20°)sin70°=sin20°cos70°+cos20°sin70°=sin(20°+70°)=sin90°=1.【加固训练】(2015·成都模拟)cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°的值为.【解析】cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°=cos 38°cos 8°+sin 38°sin 8°=cos 30°答案:22.计算1-2cos2= ( )A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-=-cos=-.3.(2015·张家口模拟)计算:tan 15°+1=( )tan 15B.2C.4【解析】选C.tan 15°+1tan 15︒22sin 15cos 15cos 15sin 15sin 15cos 152 4.sin 15cos 15sin 30︒︒=+︒︒︒+︒===︒︒︒4.(2015·成都模拟)已知锐角α满足cos 2α=cos(4π-α),则sin 2α等于()【解析】选A.由cos 2α=cos(4π-α), 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=2(cos α+sin α), 由α为锐角知cos α+sin α≠0. 所以cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12.所以sin 2α=12.【一题多解】本题还可如下解答:因为α是锐角,所以0<2α<π,-4π<4π-α<4π. 又因为cos 2α=cos(4π-α), 所以2α=4π-α,即α=12π. 故sin 2α=sin 162π=.5.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+2π)的值为( ) A.725B.-725C.-1D.1【解题提示】根据题意求得sin θ和cos θ的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案.【解析】选B.依题意知sin θ=-45,cos θ=35, 所以sin(2θ+2π)=cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=9167252525-=-,故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·南宁模拟)已知α为钝角,且cos =-,则sin2α= .【解析】因为cos =-sin α=-,所以sin α=,又因为α为钝角,所以cos α=-=-, 所以sin2α=2sin αcos α=2××=-.答案:-7.(2015·兰州模拟)计算:= . 【解题提示】拆角,50°=30°+20°,利用两角和的正弦公式展开合并计算. 【解析】原式= ===1.答案:1【加固训练】(2014·武汉模拟)计算:= .【解析】原式= ===sin30°=.答案:8.(2015·汉中模拟)设θ为第二象限角,若tan θ+=,则sin θ+cos θ= .【解题提示】先由tan=,求tanθ的值,再利用同角的三角函数关系式及θ的范围分别求sinθ,cosθ的值.【解析】因为tan=,所以tanθ=tan===-,即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=-+=-.答案:-【加固训练】已知tan=2,则sin2α+tan2α= .【解析】因为tan=2,所以tanα=tan===.所以sin2α====,tan2α===,故sin2α+tan2α=+=.答案:三、解答题9.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<π,所以π<π+α<π,-<-β<0.又sin=,cos=,所以cos=-,sin=-,所以cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos sin-β=-.【方法技巧】1.给值求值问题的关键解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.2.拼角、凑角的技巧用已知角表示未知角:2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α=+,β=-;=-等.【加固训练】已知cosx+cosy=,sinx+siny=. (1)求cos(x-y)的值. (2)求cos(2x-2y)的值.【解题提示】(1)把已知两式平方相加求cos(x-y)的值. (2)用二倍角的余弦公式求解.【解析】(1)因为cosx+cosy=,sinx+siny=, 所以(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2=+, 即2+2cosxcosy+2sinxsiny=, 所以2cos(x-y)=-, 即cos(x-y)=-.(2)由(1)得cos(2x-2y)=2cos 2(x-y)-1 =2×-1=.(20分钟 40分)1.(5分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α=23,则cos 2(α+4π)=( )【解题提示】利用“降幂公式”将cos 2(α+4π)化简,建立与sin 2α的关系,可得结果.【解析】选A.因为2.(5分)(2015·宝鸡模拟)已知cos(4π+θ)cos(4π-θ)= 14,则sin 4θ+cos 4θ的值等于( )【解题提示】先化简已知条件,再把要求的式子变形,代入求值. 【解析】选C.因为cos(4π+θ)cos(4π-θ)θsin θ2cos θ2sin θ) =12(cos 2θ-sin 2θ)= 12cos 2θ=14. 所以cos 2θ=12, sin 4θ+cos 4θ=221cos 21cos 2195()().2216168-θ+θ+=+= 3.(5分)(2015·兰州模拟)设α为锐角,若cos(α+6π)=45,则sin(2α+12π)的值为 .【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角2α+12π转化为(2α+3π)-4π. 【解析】因为cos(α+6π)=45,所以α+6π∈(0,2π),所以sin(α+6π)=35,所以sin (2α+3π)=2sin(α+6π)cos(α+6π)=2×35×45=2425,cos(2α+3π)=2cos 2(α+6π)-1=725, 所以sin(2α+12π)=sin[(2α+3π)-4π]=sin(2α+3π)cos 4π-cos(2α+3π)sin 4π=50.答案:504.(12分)(2014·江西高考改编)已知函数f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x,若2f ()45α=-,α∈(2π,π),求sin(α+3π)的值.【解析】f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-12sin 4x,因为2f ()45α=-, 所以f ()4α=-12sin α=-25,故sin α=45,又α∈(2π,π),所以cos α=-35,sin(α+3π)=45×12+(-35. 5.(13分)(能力挑战题)已知sin α-cos α=,α∈[0,π]. (1)求sin2α的值. (2)求cos2α的值.【解析】(1)因为sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=,1-2sin αcos α=, 2sin αcos α=,即sin2α=. (2)因为α∈[0,π],由(1)知,sin2α=2sin αcos α=>0, 所以α∈,又因为sin α-cos α=>0, 所以α∈,故2α∈,所以cos2α=-=-.关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(二十三) 4.1
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课时提升作业(二十三)平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )A.b-aB.b+aC.a+bD.a-b【解析】选A.=-=+-=+-=-=b-a.2.(2015·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是( )A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选 B.因为AD AB BC CD=++=3a+6b=3(a+2b)=3AB,又AB,AD有公共点A.所以A,B,D 三点共线.4.(2015·攀枝花模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,1CD CA CB,3=+λ则实数λ=( )2112A. B. C. D.3333-- 【解析】选D.如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F,连接CD,则CD CE CF.=+1CD CA CB,31CE CA,CF CB.3DE AE 2ADE ABC,,BC AC 322ED CF CB,.33=+λ==λ====λ=因为所以由∽得所以故【加固训练】已知△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,则可知点M 是三角形ABC 的重心,设BC 边的中点为D,则可知()()2211AM AD AB AC AB AC ,3323==⨯+=+所以AB AC 3AM,+=故m=3.5.(2015·兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点.M 在DC 上且满足5=+3,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D. 【解题提示】只要明确DM 与DC 之比即可,故利用已知转化为与之间关系即可.【解析】选C.由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-), 即2=3, 故=,故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5, 故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.6.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AB mAM,AC nAN,==则m+n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为O 是BC 的中点, 所以()1AO AB AC .2=+ 又因为AB mAM,AC nAN,== 所以m nAO AM AN.22=+ 因为M,O,N 三点共线,所以m n22+=1,所以m+n=2.7.(2015·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=12a-b;②BE=a+12b;③CF=-12a+12b;④AD BE CF++=0.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,3AN NC=,M为BC的中点,则MN= .(用a,b 表示)【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2014·海口模拟)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足BD 2DC =,则AD = .【解析】如图,因为在△ABC 中, AB = c , AC =b ,且点D 满足BD 2DC =,答案:23b +13c9.(2015·长春模拟)已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n |=,则|m +n |= .【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB DC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足111=++则点P一定为三角形ABC的( )OP(OA OB2OC),322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点【解析】选B.设AB 的中点为M,则()11112OA OB OM,OP OM 2OC OM OC,22333+==+=+所以即3OP OM 2OC =+,也就是MP 2PC =,又MP PC 与有公共点P,所以P,M,C 三点共线,且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点.2.(5分)(2015·大理模拟)O 是△ABC 所在平面外一点且满足,λ为实数,则动点P 的轨迹必经过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心 【解题提示】明确是AB,AC 方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为AP 与共线后可解.【解析】选B.如图,设AB AF,AB=AC AE,AC=已知AF,AE 均为单位向量,故▱AEDF 为菱形,所以AD 平分∠BAC, 由AB AC OP OA ()ABAC=+λ+得AP AD,AP AD =λ又与有公共点A, 故A,D,P 三点共线,所以P 点在∠BAC 的平分线上,故P 的轨迹经过△ABC 的内心.3.(5分)(2015·重庆模拟)若∀k ∈R,BA kBC CA -≥恒成立,则△ABC 的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设BD kBC,BA kBC BA BD DA,则=-=-=由对任意k∈R,都有DA CA≥恒成立知AC BC⊥,故△ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2015·贵阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若AE mAB AD=+,求实数m 的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线,故AE AN,=λ.故实数m=13【加固训练】已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP OA=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由OP OA=+λa+λb,得OP OA-=λ(a+b),即()AP AB AC.=λ+如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则AP AD,=λ所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=3a+b-2a+b=a+2b,AB OB OA=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,BC OC OB故BC2AB,=-又BC与AB有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为AC AB BC=+=a+b+2a-3b=3a-2b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,故存在实数λ使得CD AC,=λ即2a-k b=3λa-2λb,关闭Word文档返回原板块。
《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习课时提升作业(十七)3.3三角函数的图象与性质
课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sin x+1,x ∈[-π,π]的单调性是( ) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在,22ππ-[]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[2π,π]和[-π,-2π]上是增函数,在[-2π,2π]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x ∈[-π,π]时,在[-2π,2π]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-2π,2π]上是减函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是增函数,故选D. 2.(2015·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin =-cos2x 为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2015·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=6π对称,则|φ|的最小值为( )A. 6πB.4π C.3π D.2π【解析】选A.由题意,得sin(2×6π+φ)=±1. 所以3π+φ=2π+k π,即φ=6π+k π(k ∈Z), 故|φ|min =6π.4.已知函数f(x)=cos x 在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π 【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x 的图象解答. 【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cos x 的图象知 区间[a,b]的中点是2π+2k π,(k ∈Z), 所以a+b=2(2π+2k π)=π+4k π(k ∈Z), 故a+b 的可能值是π.5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=2π时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=13, 因为当x=2π时,f(x)有最大值,所以13×2π+φ=2π+2k π(k ∈Z),φ=3π+2k π(k ∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=3π.所以f(x)=2sin(x3+3π),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数的定义域是 . 【解析】由tan x-1≥0,得tan ≥1.所以k π+4π≤x<k π+2π (k ∈Z).答案:[k π+4π,k π+2π)(k ∈Z)7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是 . 【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°. 因为余弦函数y=cos x 在[0,π]上是单调递减的. 且22°<23°<97°,所以cos 97°<cos 23°<cos 22°. 答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°8.(2015·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈[0, 2π]的最大值是 .【解题提示】先由x 的取值范围确定2x-4π的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x ∈[0, 2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π. 根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为-2.故f(x)=-sin(2x-4π)的最大值为2.答案:2【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.若x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,求函数的最大、最小值. 【解题提示】先求x 的取值范围,然后换元求解. 【解析】由x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,得 x ∈[2π,π].=令t=sin x,则t ∈[0,1],=所以y max =min =2. 10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+4π)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,2π]上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+4π)的最小正周期为π,且ω>0.从而有22πω=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+4π).若0≤x ≤2π,则4π≤2x+4π≤54π.当4π≤2x+4π≤2π,即0≤x ≤8π时, f(x)单调递增;当2π<2x+4π≤54π,即8π<x ≤2π时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间[0, 8π]上单调递增,在区间(8π,2π]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin 2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin 2ωx 在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即 sin 2ω=1,所以2ω=2π+2k π,k ∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin(2ωx+2π+2k π)=Acos 2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2015·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[,]34ππ-上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.23B.32C.2D.3 【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-3πω≤ωx ≤4πω,由题意,结合正弦曲线易知,- 3πω≤-2π,即ω≥32.故ω的最小值是32.3.(5分)(2015·浦东模拟)若Sn=sin 7π +sin 27π+…+sin n 7π(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sinx7π的最小正周期为 T=14,又sin 7π>0,sin 27π>0,…,sin 67π>0,sin 77π=0,sin 87π<0,…,sin 137π<0,sin 147π=0,所以在S 1,S 2,S 3,…,S 13,S 14中,只有S 13=S 14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S 1,S 2,…,S 100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+4π),x ∈[0,2π],关于x 的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A. 2π或52πB.2π C. 52πD.不确定【解析】选A.对称轴x=4π+k π∈[0,2π], 得对称轴x=4π或x=54π, 所以x 1+x 2=2×4π=2π或x 1+x 2=2×54π=52π, 故选A.4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为[0, 2π],函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.【解题提示】先求出2x-3π的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解. 【解析】易知a ≠0.因为0≤x ≤2π,所以-3π≤2x-3π≤23π. 所以-2≤sin(2x-3π)≤1. 若a>0,则2a b 1,b 5,+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得a 12b 23⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若a<0,则2a b 5,b 1,+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a 12b 19⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩综上可知或. 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(34π,0)对称. (1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间. (3)x ∈3[,]42ππ-,求f(x)的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R 上的偶函数, 所以φ=2π +k π,k ∈Z,且0≤φ≤π,则φ=2π, 即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M(34π,0)对称, 所以ω×34π=2π+k π,k ∈Z,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-32π≤x ≤ 3k π,k ∈Z,所以函数的递增区间是[3k π-32π,3k π],k ∈Z.(3)因为x ∈[-34π,2π],所以23x ∈[-2π,3π], 当23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-2π时,即x=-34π,函数f(x)的最小值为0. 【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×8π+φ=k π+2π,k ∈Z,所以φ=k π+4π,又-π<φ<0,则-54<k<-14,所以k=-1,则φ=-34π.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-34π),令-2π+2k π≤2x-34π≤2π+2k π,k ∈Z,可解得8π+k π≤x ≤58π+k π,k ∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[8π+k π, 58π+k π],k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十三) 8.1
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课时提升作业(四十三)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l 经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l 的方程为( ) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0【解析】选A.直线l 的方程为y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.2.(2015·枣庄模拟)将直线l 沿y 轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x 轴正方向平移a+1个单位得直线l ′,此时直线l ′与l 重合,则直线l ′的斜率为( )A.a a 1+B.-a a 1+C.a 1a+D.-a 1a+ 【解析】选B.结合图形,若直线l 先沿y 轴的负方向平移,再沿x 轴正方向平移后,所得直线与l 重合,这说明直线l 和l ′的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l ′的倾斜角为θ,则tan θ=-aa 1+. 3.(2015·成都模拟)若直线(a+1)x+2y=0与直线x-ay=1互相垂直,则实数a 的值等于( )A.-1B.0C.1D.2 【解析】选C.由(-a 12+)×1a=-1,得a+1=2a,故a=1.4.(2015·嘉兴模拟)如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.直线Ax+By+C=0的斜率k=-A B <0,在y 轴上的截距为-CB>0,所以,直线不通过第三象限.5.(2015·石家庄模拟)已知b>0,直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab 的最小值等于( ) A.1 B.2【解题提示】先由两直线垂直可得到关于a,b 的一个等式,再将ab 用一个字母来表示,进而求出最值.【解析】选B.因为直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直,所以(b 2+1)-b 2a=0,即a=22b 1,b+所以ab=(22b 1b +)b=2b 1b+=b+1b ≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab 的最小值等于2.6.经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0 B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0 C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0 D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0【解析】选D.由题意设所求方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由12·|5k-4|·|4k -5|=5得,k=85或k=25.故选D.7.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )54A.(,][,)2345B.(,)3245C.(,][,)3254D.[,]23-∞-⋃+∞--∞-⋃+∞-【解析】选B.直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a, 因为k MA =()325,202--=---k MB =()224,303--=- 由图可知:-a>-52且-a<43, 所以a ∈(-43,52).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·郑州模拟)已知直线l 1的倾斜角α1=15°,直线l 1与l 2的交点为A,把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°,则直线l 2的斜率k 2的值为 .【解析】设直线l 2的倾斜角为α2,则由题意知:180°-α2+15°=60°,α2=135°,所以k2=tanα2=tan 135°=-1.答案:-19.(2015·哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.【解析】设所求直线l的方程为x ya b+=1,由已知可得221,a b1a b1, 2⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a1,a2, b2b1.=-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本原因是误将截距当成距离而造成的.10.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α不是钝角,则实数a的取值范围是.【解题提示】可先求出倾斜角α为钝角时,实数a的范围,其补集应为不是钝角时的范围.【解析】由题知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的斜率k=1a 2a 1a a 1,1a 3a 2a 2+---==----+若直线的倾斜角α为钝角, 则k=a 1a 2-+<0,解得-2<a<1. 所以满足直线的倾斜角α不是钝角的a 的取值范围是a ≤-2或a ≥1. 答案:a ≤-2或a ≥1(20分钟 40分)1.(5分)直线x+a 2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a 的值为( ) A.3或-1 B.0或3 C.0或-1 D.-1或0或3【解析】选C.两直线无公共点,即两直线平行. 当a=0时,这两条直线分别为x+6=0和x=0,无公共点; 当a ≠0时,由21a 2,a 3a--=- 解得a=-1或a=3. 若a=3,这两条直线分别为x+9y+6=0,x+9y+6=0,两直线重合,有无数个公共点,不符合题意,舍去;若a=-1,这两条直线分别为x+y+6=0和3x+3y+2=0,两直线平行,无公共点. 综上,a=0或a=-1.【误区警示】本题易忽视对a=3时的验证.事实上,当两直线平行且斜率存在时,斜率相等;而当两直线的斜率相等时,两直线不一定平行,要注意两直线重合的情况.2.(5分)若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab 的最小值为 .【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xy a b+=1.又C(-2,-2)在该直线上,故221,a b--+= 所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥.又ab>0,4, 故ab ≥16,即ab 的最小值为16. 答案:16【一题多解】斜率法:因为A,B,C 三点共线,所以k AB = k AC , 即b 020111,,0a 2a a b 2---=+=----所以以下同题目解析.距离法:由题意得a<0,b<0,且|AC|+|CB|=|AB|,= 解得2a+2b+ab=0,以下同题目解析. 【方法技巧】研究三点共线的常用方法(1)方程法:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程. (2)斜率法:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.(3)向量法:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.(4)距离法:设B 点在A,C 点之间,如果|AB|+|BC|=|AC|,则A,B,C 三点共线. 3.(5分)设集合A={(x,y) |y 3x 1--=2},B={(x,y)|4x+ay-16=0},若A ∩B=∅,则a 的值为 .【解析】显然集合A 表示直线2x-y+1=0(除去点(1,3)),集合B 表示直线4x+ay-16=0,因为A ∩B =∅,所以两直线平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),因此a=-2或a=4. 答案:-2或4【误区警示】本题易出现漏解的错误,错误原因是对集合A 认识不正确,误认为是一条直线.4.(12分)已知两点A(-1,2),B(m,3). (1)求直线AB 的方程.(2)已知实数m ∈求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 【解析】(1)当m=-1时,直线AB 的方程为x=-1. 当m ≠-1时,直线AB 的方程为y-2=1m 1+(x+1). (2)①当m=-1时,α=2π;②当m ≠-1时,m+1∈∪(0,所以k=1m 1+∈(-≦,-3∪3≦), 所以α∈[,62ππ)∪(2,23ππ]. 综合①②知,直线AB 的倾斜角α的取值范围为[2,63ππ]. 5.(13分)(能力挑战题)已知直线l :kx-y+1+2k=0(k ∈R). (1)证明:直线l 过定点.(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围.(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S,求S 的最小值及此时直线l 的方程.【解析】(1)方法一:直线l 的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).方法二:设直线过定点(x 0,y 0),则kx 0-y 0+1+2k=0对任意k ∈R 恒成立,即(x 0+2)k-y 0+1=0恒成立,所以x 0+2=0,-y 0+1=0,解得x 0=-2,y 0=1,故直线l 总过定点(-2,1).(2)直线l 的方程可化为y=kx+2k+1, 则直线l 在y 轴上的截距为2k+1, 要使直线l 不经过第四象限,则k 0,12k 0,≥⎧⎨+≥⎩解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为12k,k+-在y 轴上的截距为1+2k,且k>0, 所以A(12k,k +-0),B(0,1+2k), 故S=12|OA||OB|=12×12k k +(1+2k)=12(4k+1k +4)≥12(4+4)=4.当且仅当4k=1k ,即k=12时,取等号, 故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x-2y+4=0.【加固训练】已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴,y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.【解析】设直线l 的方程为x y ab+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),△ABO 的面积S=12ab,因为直线l 过点P(3,2),所以321a b +=≥即ab ≥24. 当且仅当32,ab=即a=6,b=4时取等号.所以S=12ab ≥12,当且仅当a=6,b=4时有最小值12.此时直线l的方程为x y=1,即2x+3y-12=0.64关闭Word文档返回原板块。
《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习课时提升作业(五十六)10.3几何概型
课时提升作业(五十六)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做试验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率约为(保留三位有效数字) ( )A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16【解析】选A.根据几何概型的定义有21()21=,得π≈3.13.2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A. B. C. D.【解题提示】以时间的长短作为度量,用几何概型求解.【解析】选B.以时间的长短进行度量,故P==.【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键. 3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC 的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P==.4.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是( )【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的4倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为18.5.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为( )【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的.所以该事件的概威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R=12率P=二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分画圆弧,点P在两圆之外的概率别以O,B为圆心,半径为2为.【解析】依题设知所求概率答案:1-47.(2015·贵阳模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内,则此长方任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14体的体积是 .【解题提示】设长方体的高为h,用h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h 的方程,求出h 后再求解体积.【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知()()24h 122h 12h 4+=++,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3. 答案:38.已知m ∈[1,7],则函数f(x)=3x 3-(4m-1)x 2+(15m 2-2m-7)x+2在实数集R 上是增函数的概率为 .【解析】f ′(x)=x 2-2(4m-1)x+15m 2-2m-7,依题意,知f ′(x)在R 上恒大于或等于0,所以Δ=4(m 2-6m+8)≤0,得2≤m ≤4.又m ∈[1,7],所以所求的概率为421713-=-. 答案: 13三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?【解析】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.设A=“粒子落在中间带形区域”,则依题意得正方形面积为:25×25=625(cm2).两个等腰直角三角形的面积为:2××23×23=529(cm2),带形区域的面积为:625-529=96(cm2).所以P(A)=.10.如图所示,圆O的方程为:x2+y2=4.(1)已知点A的坐标为(2,0),B为圆周上任意一点,求的长度小于π的概率.(2)若P(x,y)为圆O内任意一点,求点P到原点距离大于的概率. 【解析】(1)圆O的周长为4π,所以弧的长度小于π的概率为=.(2)记事件A为P到原点的距离大于,则Ω(A)={(x,y)|x2+y2>2},Ω={(x,y)|x2+y2≤4},所以P(A)==.【加固训练】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36个;由a·b=-1有-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};画出图形如图,正方形的面积为S正方形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.(20分钟40分)1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆的概率为落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,)2( )【解析】选A.由题意,易知:(1)点P 在以A 点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P 在以DC 为直径的圆上,则∠DPC=2π,若点P 在以DC 为直径的圆内,则∠DPC>2π,故只有点P 在以DC 为直径的圆外时满足∠DPC 为锐角.因此,点P 落入图中的阴影部分,故所求概率为43421416ππ--π=-. 【方法技巧】解决几何概型的关键解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.2.(5分)(2015·贵阳模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+≤1”发生的概率为()【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A 表示取出的x 满足≤1这样的事件,对条件变形为1sin(x )32π+≤,即事件A 包含的区域长度为2π.所以P(A)=122π=π. 3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 .【解析】要使2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax ≤2x 2+8,即a ≤2x+8x 在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x ≥当且仅当x=2时等号成立,故只需a ≤8,因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8041005-=-. 答案: 45 4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x ∈A,y ∈B},在集合M 内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率.(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于2的概率. 【解析】(1)集合M 内的点形成的区域面积S=8.因圆x 2+y 2=1的面积S 1=π,故所求概率为1S S 8π=. (2)2≤,即-1≤x+y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S 2=4,所求概率为2S 1.S 2= 5.(13分)(能力挑战题)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n 的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.(ⅰ)记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依题意=,得n=2.(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s), (k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足“a+b=2”的有4种:(s,k),(s,h)(k,s),(h,s).所以所求概率为P(A)==.(ⅱ)记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B构成的区域为B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率为P(B)=1-.关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(二十) 3.6
12
5.(2015·临沂模拟)已知函数 f(x)=sin x+2 3 cos2 x ,设 a f( ), b f (),c f () ,则
a,b,c 的大小关系是( )
A.a<b<c
C.b<a<c
【解题提示】先化简函数 f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.
【解析】选 B.f(x)= sin x 2 3A1 cos x sin x 3cos x 3 2sin(x ) 3,
2 26 2
【解析】因为
3sin
1 cos x 1
2
sin(x ), 6
所以 f(x)max=1.
答案:1
f(x)= 2sin
x sin2 x 1
22
22
x (
3 cos
x
1 sin
22 22 2 2
x) 1
【加固训练】(2015·咸阳模拟)函数 y=4cos2 x +1,x∈[-π,π]的最小值是 .
【解析】选 A.角 是 的 2 倍,
24
所以 sin2
4
1 cos
因为 α∈(0,2π),所以 ∈(0, ),
42
所以 sin = 1 10 .
4 10 10
2.化简: 1 cos =( )
1 cos
A.sin2α
2
2
1 4 5
B.tan2α
【解题提示】用二倍角公式化简,α 是 的二倍.
因为函数 f(x)在[0, ]上单调递增,所以 f( ) f( ) ,而 c= f( )
6
=2sin 2 + 3 =2sin + 3 =f(0)< f( ) ,所以 c<a<b.
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单元评估检测(六)第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·大庆模拟)若a<b<0,则下列不等式不成立的是( )A.>B.>C.|a|>|b| >b2【解析】选A.特值法:令a=-2,b=-1,代入可知A不成立.2.(2015·湖北八校联考)不等式组表示的平面区域是( ) A.矩形 B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选D.由(x-y+3)(x+y)≥0,得或且0≤x≤4,故所求平面区域为等腰梯形.3.已知集合A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则A∩B=( )A.(-3,2]B.(-3,+∞)C.[2,+∞)D.[-3,+∞)【解析】选C.由y=lg(x+3),得到x+3>0,即x>-3,所以A=(-3,+∞),因为B=[2,+∞),所以A∩B=[2,+∞).故选C.4.有以下结论:(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确【解析】选D.用反证法证题时一定要将对立面找全.在(1)中应假设p+q>2.故(1)的假设是错误的,而(2)的假设是正确的,故选D.5.(2015·广州模拟)将正偶数2,4,6,8,…,按表的方式进行排列,记a ij表示第i 行第j列的数,若a ij=2014,则i+j的值为( )B.256【解析】选C.因为2014=16×125+2×7,2014=8×252-2,所以可以看作是125×2行,再从251行数7个数,也可以看作252行再去掉2个数,也就是2014在第252行第2列.即i=252,j=2,所以i+j=252+2=254.故选C.6.(2015·铜川模拟)若变量x,y满足约束条件y 2x,x y1,y1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z=x+2y 的最大值为( )B.0C.D.【解析】选C.根据x,y满足约束条件y2x,x y1,y1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩画出线性区域如图:则线性目标函数z=x+2y过A(,)时有最大值,最大值为.7.(2015·昆明模拟)已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=( )B.-2 D.【解析】选 B.根据不等式与对应方程的关系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的两个根,所以-1×=-,所以a=-2,故选B.8.已知关于x的方程x2+2px+(2-q2)=0(p,q∈R)有两个相等的实数根,则p+q的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-2,2)C.[-,]D.(-,)【解题提示】利用Δ=0,得到p,q的关系,再利用基本不等式的变形公式求得p+q 的范围.【解析】选A.由题意知4p2-4(2-q2)=0,即p2+q2=2,因为≤=1,所以-1≤≤1,即-2≤p+q≤2,故选A.9.(2015·杭州模拟)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=a x(a>0,a≠1)的图象过区域M 的a的取值范围是( )A.[1,3]B.[2,]C.[2,9]D.[,9]【解析】选C.作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得A(1,9),C(3,8).当y=a x过A(1,9)时,a取最大值,此时a=9;当y=a x过C(3,8)时,a取最小值,此时a=2,所以2≤a≤9.10.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于( ) (1)+2f(1)+…+nf(1)(n+1)(n+1)f(1)【解析】选D.由已知f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=6,…,依此类推,f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=...=nf(1)=2n,所以f(1)+f(2)+...+f(n)=2+4+6+ (2)==n(n+1).故C正确,显然A,B也正确,只有D不可能成立.11.(2015·六盘水模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是( )B.-1 +2【解题提示】先利用已知条件确定出a,b的关系,再用均值不等式求最小值. 【解析】选C.由x2+y2-2x-4y-6=0得(x-1)2+(y-2)2=11,若直线2ax+by-2=0平分圆,则2a+2b-2=0,即a+b=1,所以+=+=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,且a+b=1,即a=2-,b=-1时取等号.12.(2015·郑州模拟)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是( )A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)【解题提示】由已知不等式组得到m,n的不等式组,利用线性规划解得取值范围. 【解析】选C.依题意得-f(n2-8n)=f(2-n2+8n),于是题中的不等式组等价于又函数f(x)是R上的增函数,所以上述不等式组等价于即注意到m2+n2=可视为动点(m,n)与原点间的距离的平方,因此问题可转化为不等式组表示的平面区域内的所有的点(m,n)与原点间的距离的平方的取值范围,该不等式组表示的平面区域是如图所示的半圆及直线m=3所围成的区域(不含边界),结合图象不难得知,平面区域内的所有的点与原点间的距离的平方应大于原点与点(3,2)间的距离的平方,应小于原点与点(3,4)间的距离再加上2的和的平方,即当m>3时,m2+n2的取值范围是(13,49).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·衡阳模拟)已知点C在直线AB上运动,O为平面上任意一点,且=x+4y(x,y∈R+),则x·y的最大值是.【解析】由题易知x+4y=1,xy=x·4y≤=,当且仅当x=4y=时取等号.答案:14.(2015·北京模拟)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= .【解析】该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为·4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x(万元),·4+4x≥160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:2015.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数c的值为.【解析】由值域为[0,+∞),当x2+ax+b=0时有Δ=a2-4b=0,即b=,所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=,所以f(x)=<c,解得-<x+<,--<x<-.因为不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),所以-=2=6,解得c=9.答案:916.(2015·福州模拟)对于30个互异的实数,可以排成m行n列矩形数阵,如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为a1,a2,…,a m,并设其中最小的数为a;把每列中最小的数选出,记为b1,b2,…,b n,并设其中最大的数为b.两位同学通过各自的探究,得出结论如下:①a和b必相等; ②a和b可能相等;③a可能大于b; ④b可能大于a.以上四个结论中,正确结论的序号是(请写出所有正确结论的序号).【解析】由题意可得a的值最小为6,最大为30;而b的值最小为6,最大为26,且在同一个5行6列的矩形数阵中,一定有a≥b, 故②③正确,而①④不正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)=ax2+x-a,a≥0,求不等式f(x)>1的解集.【解析】f(x)>1,即ax2+x-a>1,(x-1)(ax+a+1)>0,①当a=0时,解集为{x|x>1};②当a>0时,(x-1)·>0,因为1>-1-,所以解集为;综上a=0时不等式解集为{x|x>1};a>0时,不等式解集为.18.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,当且仅当2x=8y时取等号.所以≥8,所以xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,所以x+y=(x+y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18,当且仅当x=2y时取等号.故x+y的最小值为18.19.(12分)观察此表:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,…问:(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少?(2)此表第n行的各个数之和是多少?(3)2015是第几行的第几个数?【解析】(1)此表第n行的第一个数为2n-1,第n行共有2n-1个数,依次构成公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式,此表第n行的最后一个数是2n-1+(2n-1-1)×1=2n-1. (2)由等差数列的求和公式,此表第n行的各个数之和为=22n-2+22n-3-2n-2.(3)设2015在此数表的第n行.则2n-1≤2015≤2n-1可得n=11.故2015在此数表的第11行,设2015是此数表的第11行的第m个数,而第11行的第1个数为210,因此,2015是第11行的第992个数.20.(12分)(2015·无锡模拟)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.【解析】(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12000≥1600+12000=36000(元),当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立. 即污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.(2)记g(x)=x+(0<x≤,显然是减函数,所以x=时,g(x)有最小值,相应造价f(x)有最小值,此时宽也不超过14.5米.21.(12分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0).(2)求f(x).(3)不等式f(x)>ax-5当0<x<2时恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)令x=1,y=0,得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,所以f(0)=f(1)-2=-2.(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,所以f(x)=x2+x-2.(3)f(x)>ax-5化为x2+x-2>ax-5,ax<x2+x+3,因为x∈(0,2),所以a<=1+x+.当x∈(0,2)时,1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号,由∈(0,2),得所以a<1+2.22.(12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c的一个零点是-1,且满足[f(x)-x]·≤0恒成立.(1)求f(1)的值.(2)求f(x)的解析式.【解析】(1)由均值不等式得≥=x,若[f(x)-x]·≤0恒成立,即x≤f(x)≤恒成立,令x=1得1≤f(1)≤=1,故f(1)=1.(2)由函数零点为-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,又由(1)知a+b+c=1,所以解得a+c=b=.又f(x)-x=ax2+x+c-x=ax2-x+c,因为f(x)-x≥0恒成立,所以Δ=-4ac≤0,因此ac≥①,于是a>0,c>0.再由a+c=,得ac≤=②,故ac=,且a=c=,故f(x)的解析式是f(x)=x2+x+.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】2016届高考数学总复习 课时提升作业(十三) 2.10变化率与导数、导数的计算 文 新
课时提升作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·某某模拟)已知f(x)=x(2 013+ln x),f′(x0)=2 014,则x0等于( )A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】选B.因为f(x)=2 013x+xln x,所以f′(x)=2 013+ln x+1=2 014+ln x,又因为f′(x0)=2 014,所以2 014+ln x0=2 014,解得x0=1.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( )A.2B.0C.-2D.-4【解析】选D.f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(0)=2f′(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错,原因是不能将2f′(1)看成x的系数.3.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【解析】选A.由点P(0,b)在切线x-y+1=0知b=1,又y′=2x+a,由题意知y′|x=0=a=1.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是( )A.y=2x-2B.y=2x+2C.y=x-1D.y=x+1【解析】选C.因为y=x ln x.所以y′=1×ln x+x·1x=1+ln x,y′|x=1=1.又当x=1时y=0.所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=14x2-3ln x的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为( )A.-2B.3C.2或-3D.2 【解析】选D.设切点坐标为(x0,y0),因为y ′=13x ,2x- 所以0x x 00131y |x ,2x 2='=-=- 即20x +x 0-6=0,解得x 0=2或x 0=-3(舍),故选D.【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域.5.(2015·某某模拟)曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a 的值为 ( ) A.4B.-4C.8D.-8【解析】选C.y ′=,在x=1处的切线斜率k=a,当x=1时,y=aln1=0,即切点坐标为(1,0),因此切线方程为y=a(x-1),令y=0得x=1,令x=0得y=-a, 因为a>0,所以所围成的三角形的面积为×a ×1=4,解得a=8. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2013·某某高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x, 则f ′(1)=.【解题提示】利用换元法求出f(x),再求导. 【解析】令e x=t,则x=ln t. f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x. 所以f ′(x)=1+1x,从而f ′(1)=2. 答案:27.(2013·某某高考)若曲线y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于x 轴,则k=. 【解析】y ′=k+1x,则y ′|x=1=k+1=0.解得k=-1. 答案:-18.(2015·某某模拟)曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 【解析】若y=31x 3+x,则y ′|x=1=2,即曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线方程是y-43=2(x-1),它与坐标轴的交点是12(,0),0,),33-(围成的三角形的面积为19.答案:19三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知曲线y=31x 3+43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程. (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y ′=x 2, 所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y ′|x=2=4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. (2)设曲线y=31x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点30014A(x ,x ),33+则切线的斜率为02x x 0y |x ='=. 所以切线方程为()3200014y (x )x x x 33-+=-, 即y=230024x x x 33⋅-+.因为点P(2,4)在切线上,所以4=2300242x x 33-+, 即30x -320x +4=0,所以30x +20x -420x +4=0, 所以20x (x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0, 所以(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 10.已知函数f(x)=2ax 6x b-+的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得,-1+2f(-1)+5=0, 所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2). 又f ′(x)=()()()()()2222ax 6x b ax 6x b xb -'+--+'+()222ax 12x ab,xb -++=+所以()2a 62,1b a 12ab 1,21b --⎧=-⎪+⎪⎨--+⎪=-+⎪⎩解得a 2,b 3.=⎧⎨=⎩所以f(x)=22x 6x 3-+. (20分钟 40分)1.(5分)(2015·某某模拟)点P 是曲线x 2-y-ln x=0上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为( ) A.13 5 D.2【解析】选 D.将x 2-y-ln x=0变形为y=x 2-ln x(x>0),则y ′=2x-1x,令y ′=1,则x=1或x=-12(舍),可知函数y=x 2-ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P 到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离0222+=2.(5分)已知f 1(x)=sin x+cos x,记f 2(x)=f ′1(x),f 3(x)=f ′2(x),…,f n (x)= f ′n-1(x)(n ∈N *,且n ≥2),则12 2 014 2 015f ()f ()f ()f ()2222ππππ++⋅⋅⋅++=.【解题提示】分别求出f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x),发现其规律再求解. 【解析】f 1(x)=sin x+cos x,f 2(x)=cos x-sin x,f 3(x)=-sin x-cos x, f 4(x)=-cos x+sin x,f 5(x)=sin x+cos x,…, 因此,函数f n (x)(n ∈N *)周期性出现且周期为4. 又f 1(x)+f 2(x)+f 3(x)+f 4(x)=0,所以12 2 014 2 015123f ()f (f ()f ()f ()f ()f ()2222222πππππππ++⋅⋅⋅++=++） sincos cos sin sin cos 1.222222ππππππ=++---=- 答案:-13.(5分)(2015·某某模拟)已知曲线f(x)=x n+1(n ∈N *)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ,则log 2 015x 1+log 2 015x 2+…+ log 2 015x 2 014的值为.【解析】由题意知P(1,1),f ′(x)=(n+1)x n,k=f ′(1)=n+1,点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-1nn 1n 1=++,即x n =n n 1+, 所以x 1·x 2·…·x 2 014=123 2 013 2 0141234 2 014 2 015 2 015⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=, 则log 2 015x 1+log 2 015x 2+...+log 2 015x 2 014 =log 2 015(x 1·x 2·…x 2 014)=log 2 01512 015=-1. 答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x 3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l 为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标. (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上. 因为f ′(x)=(x 3+x-16)′=3x 2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f ′(2)=13. 所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2), 即13x-y-32=0. (2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f ′(x 0)=203x +1,所以直线l 的方程为y=(320x +1)(x-x 0)+30x +x 0-16. 又因为直线l 过点(0,0), 所以0=(320x +1)(-x 0)+30x +x 0-16, 整理得30x =-8,所以x 0=-2, 所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,所以直线l 的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)因为切线与直线y=-x4+3垂直, 所以切线的斜率为4. 设切点的坐标为(x 0′,y 0′),则f ′(x 0′)=3x ′20+1=4,所以x 0′=±1,所以00x 1,y 14'=⎧⎨'=-⎩或00x 1,y 18.'=-⎧⎨'=-⎩即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1). 即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2014·某某模拟)已知函数f(x)=x 3+(1-a)x 2-a(a+2)x+b(a,b ∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b 的值. (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值X 围. 【解析】f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得()()()f 0b 0,f 0a a 23,==⎧⎪⎨'=-+=-⎪⎩解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线.所以关于x 的方程f ′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a 2+4a+1>0,所以a ≠-12. 所以a 的取值X 围为11(,)(,)22-∞-⋃-+∞.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-2x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a 可得切线方程,再判断. 【解析】根据题意有f ′(x)=1+22x ,g ′(x)=-a x. 曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f ′(1)=3, 曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g ′(1)=-a. 所以f ′(1)=g ′(1),即a=-3. 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0. 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线.。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：4.4数系的扩充与复数的引入(含答案解析)
课时提升作业二十八数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安徽高考)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i【解析】选C.因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i,所以选C.2.已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】选C.由题意,得zi=4,所以z==-4i.3.若(m2+mi)-(4-2i)是纯虚数,则实数m的值为()A.0B.±2C.2D.-2【解析】选C.因为(m2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i是纯虚数,所以解得m=2.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了i的系数不为0.【加固训练】设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为.【解析】若===+i为纯虚数,则故a=2.答案:24.设复数w=,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为()A.-B.-C. D.【解析】选A.w====[(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]=a-i.由题意知a=2,故w的虚部为-=-=-.【加固训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位,=()A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.===-1.5.(2016·东营模拟)复数z=(m∈R,i为虚数单位)所对应复平面内的点在第二象限,则m 的取值范围是()A.m<4B.m<0C.-1<m<4D.m<-1【解析】选D.z==-i,因为复数所对应复平面内的点在第二象限,所以则m<-1.6.(2016·枣庄模拟)设复数z=(i为虚数单位),z的共轭复数为,则在复平面内i对应的点的坐标为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)【解析】选C.因为z==-1+i,所以i=i(-1-i)=1-i,其在复平面内对应的点的坐标为(1,-1).7.在复平面内,若复数z=(a2-8a+15)+(a2-5a-14)i对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围为()A.(3,5)B.(-2,7)C.(-2,3)∪(5,7)D.(-∞,3)∪(5,+∞)【解析】选C.由题意,得即所以-2<a<3或5<a<7.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.【加固训练】(2016·泉州模拟)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可采用如下解法:z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·重庆高考)复数(1+2i)i的实部为.【解析】(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2.答案:-29.(2015·天津高考)i是虚数单位,计算的结果为.【解析】===-i.答案:-i【一题多解】解答本题还可采用如下方法:===-i.答案:-i10.(2015·上海高考)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=.【解题提示】令z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等转化为实数运算.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为3z+=1+i,所以3(a+bi)+a-bi=1+i,即4a+2bi=1+i,所以即所以z=+i.答案:+i(20分钟40分)1.(5分)(2015·上海高考)设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当z1-z2是虚数时,z1,z2中至少有一个数是虚数成立,即必要性成立;当z1,z2中至少有一个数是虚数,z1-z2不一定是虚数,如z1=z2=i,即充分性不成立.【加固训练】(2016·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若=,则z1·=z2·D.若=,则=【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).=,=z··=(a2-b2)+2abi,=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证2.(5分)(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【解题提示】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,因为z2=3+4i,根据复数相等的定义知解得所以==.答案:3.(5分)已知复数z1=2+i,z2=1-2i,且=+,则z的共轭复数为.【解析】因为z1=2+i,z2=1-2i,所以=+=+=+=,所以z====-i,故z的共轭复数为+i.答案:+i4.(12分)解答下列各题.(1)计算·i.(2)若复数z与(z+2)2-8i都是纯虚数,求.【解析】(1)·i=i===-i=-i=-i.(2)设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i由题意,得解得b=-2,所以z=-2i,=2i.【加固训练】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+b i.又z+3=a+3+bi的实部与虚部互为相反数,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.5.(13分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则解得即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+3=1-2i+2i2-2+2i+3=1-2-2+3=0,即1-i满足方程x2-2x+3=0,所以1-i是所给方程的根.。
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课时提升作业(二十八)数列的概念与简单表示法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列{}的第k项为1+D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选C.由数列的定义可知,数列与集合不同.选项A错,数列中的数与顺序有关,选项B错,D应为{2n-2},因为a n==1+,所以a k=1+,故选C.2.数列,,,,…的一个通项公式是( )A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=【解析】选D.因为7-3=11-7=15-11=4.即--1=4,所以=3+(n-1)×4=4n-1,所以a n=.故选D.3.已知数列{a n}的通项公式为a n=log2(n2+7),则5是该数列的( )A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【解析】选C.令log2(n2+7)=5,则n2+7=25=32,所以n2=25,由n∈N*得n=5.4.(2015·重庆模拟)已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是( ) A.2n-1 B.C.n2D.n【解析】选D.因为a n=n(a n+1-a n),所以=,所以a n=×××…×××a1=×××…×××1=n. 5.(2015·北京模拟)已知a n=,把数列{a n}的各项排列成如图的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9………………………记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=( )A. B.C. D.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+…+17==81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为a n=,所以A(10,12)=a93=.【加固训练】(2015·盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:根据表中的规律,偶数2014应在第行第列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以2014÷2÷4=251余3,从表格可知奇数行从第2列开始,从小到大排列,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:252 2二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{a n}满足a n+2=a n+1+a n,若a1=1,a5=8,则a3= .【解析】由a n+2=a n+1+a n,得a n+3=a n+2+a n+1=2a n+1+a n,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列{a n}对于任意p,q∈N*,有a p+a q=a p+q,若a1=,则a36=( ) A. B. C.1 D.4【解析】选D.因为a p+q=a p+a q,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.在数列{a n}中,若a1=,a n = (n≥2,n∈N*),则a2015= .【解析】因为a1=,a n =(n≥2,n∈N*),所以a2=2,a3=-1,a4=.所以{a n}是以3为周期的数列.所以a2015=a671×3+2=a2=2.答案:2【加固训练】(2015·黄冈模拟)已知数列{a n},若a1=b(b>0),a n +1=-(n∈N*),则能使a n=b成立的n的值可能是( )A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-=-,a3=-=-,a4=-=b,a5=-=-,a6=-=-,…,所以数列{a n}的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.8.(2015·郑州模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=n123(n),2n5(n),-⎧⋅⎨-⎩为偶数为奇数则a3a4= .【解析】由已知得a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54, 所以a3a4=1×54=54.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·大连模拟)数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得a n=3n.当n=1时,符合上式.所以a n=3n(n∈N*).10.若a n=n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{a n}为单调递增数列,求实数λ的取值范围.【解析】因为{a n}为单调递增数列,所以a n+1>a n,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化简为λ>-2n-1对一切n∈N*都成立,所以λ>-3.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是[,+∞),而通项公式是a n=2n2-5n的数列{a n}对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,a n+k=a n,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以【加固训练】已知数列{a n}的通项a n=(n+1)(n∈N*).试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解题提示】要想判断一个数列有无最大项,可以判断数列的单调性,如果数列的前n项是递增的,从n+1项开始是递减的,则a n(a n+1)即为数列的最大项,故我们可以判断数列{a n+1-a n}的表达式,然后进行分类讨论,给出最终的结论.【解析】因为a n+1-a n所以当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n;故a1<a2<a3<a9=a10>a11>a12>….所以数列{a n}有最大项a9或a10,其值为10·,其项数为9或10.(20分钟40分)1.(5分)(2015·哈尔滨模拟)数列{a n}定义如下:a1=1,当n≥2时,a n=若a n=,则n的值等于( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为a1=1,当n≥2时a n=所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,又已知a n=,所以n=9.2.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若数列{a n}为递增数列,则有a n+1-a n>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<.由λ<1可得λ<,但反过来,由λ<不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的充分不必要条件.3.(5分)(能力挑战题)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律继续下去,第n个五角形数a n= .【解析】观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,a n=a n-1+3n-2,所以a n-a n-1=3n-2,所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=n2-n.答案:n2-n【加固训练】在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为.1【解析】由图可知,每行的第二个数构成一个数列{a n},a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a 3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,a n-a n-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式两边同时相加得a n-a2==n2-2n,故a n=n2-2n+3(n≥2),所以a9=92-2×9+3=66.答案:664.(12分)数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.(2)对于n∈N*,都有a n+1>a n,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.因为a n=n2-5n+4=-,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,a n有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由a n+1>a n知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.【加固训练】已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.【解析】(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).所以60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).所以a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).所以当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.所以当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式.(2)判断它的单调性.【解析】(1)a1=1,a2=,a3==,a4=,a5==,归纳得a n=.(2)方法一:因为a n+1-a n=-=-<0,所以数列{a n}是递减数列.方法二:因为函数f(x)=在x∈[1,+∞)上单调递减,所以数列{a n}是递减数列.关闭Word文档返回原板块。