圆与方程讲义

圆与方程

【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点

【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．

【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】若圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】若圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_______________． 【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的方程为_______________．

【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．

【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．

（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．

（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．

【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．

【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．

【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．

（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53( ]124

，

B ．78(

]243

，

C ．8[ )3

+∞，

D ．7

2( )

( )243

-∞+∞，， （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )

A ．(

B ．(，0)(0⋃

C ．[

D ．(-∞，⋃，)

+∞

【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）y

x

； （2）1

4

y x --； （3）

736

x

y +； （4）y x -；

（5）23x y +；

（6）22x y +；

（7）221014x x y y -+-．

【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）

1

4

y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-．

（4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．

【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．

（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．

【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )

A ．2

B ．4

C ．

D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则3

2x x y ---的取值范围是( )

A ．[1，4]

B ．19

[17

，4]

C ．[1，

11]3

D ．19[17

，11]3

（3）设点()P x y ，是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0

C ．3

D ．6

【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．

【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．

（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5

C ．6

D ．7