圆与方程讲义
高二数学 讲义：圆与方程
讲义:圆与方程圆得标准方程与一般方程1、圆得标准方程:222()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222x y r +=。
2、圆得一般方程:()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->(1)当2240D E F +->时,表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、特点:(1)①2x 与2y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项(2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了(3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--典型例题例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。
例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。
例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。
例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。
巩固练习:1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( )A.22(2)5x y -+=B.22(2)5x y +-=C.22(2)(2)5x y +++=D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。
圆的方程 高中数学讲义
圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。
圆的方程专题讲义
圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。
《圆的方程》 讲义
《圆的方程》讲义一、圆的定义在平面直角坐标系中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
我们可以想象一下，在一个平面上，有一个固定的点，然后有很多点到这个固定点的距离都相等，这些点连起来就形成了一个圆。
二、圆的标准方程圆的标准方程是：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$ ，其中$（a, b)＄是圆心的坐标，＄r$是圆的半径。
这个方程是怎么来的呢？我们假设圆心的坐标是$（a, b)＄，那么圆上任意一点$P(x, y)＄到圆心的距离就可以用两点间的距离公式来表示：＄＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2} ＝ r$两边平方，就得到了圆的标准方程$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$ 。
举个例子，如果圆心坐标是$（2, 3)＄，半径是 5，那么这个圆的方程就是$（x 2)＾2 ＋（y 3)＾2 ＝ 25$ 。
三、圆的一般方程圆的一般方程是：＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$ （其中$D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$）那这个一般方程是怎么从标准方程变过来的呢？我们将圆的标准方程展开：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$＄x^2 2ax ＋ a^2 ＋ y^2 2by ＋ b^2 ＝ r^2$＄x^2 ＋ y^2 2ax 2by ＋ a^2 ＋ b^2 r^2 ＝ 0$令$D ＝－2a$，＄E ＝－2b$，＄F ＝ a^2 ＋ b^2 r^2$ ，就得到了圆的一般方程。
通过一般方程，我们也可以求出圆心坐标和半径。
圆心坐标为$（＼frac{D}｛2}，＼frac{E}｛2}）＄，半径$r ＝＼frac{＼sqrt{D^2 ＋ E^2 4F}｝｛2}＄。
四、圆的参数方程圆的参数方程为：＄＼begin{cases}x ＝ a ＋ r\cos\theta ＼＼ y ＝ b ＋ r\sin\theta\end{cases}＄（其中$＼theta$为参数）参数方程在解决一些与圆相关的问题时非常有用。
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
圆与方程复习讲义
第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②kk ，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程，先求出切线方程的斜率k ，然后根据点斜式求出切线方程。
y-y 0=k(x-x 0)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
圆的方程-讲义
圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程(1) 标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a ,b)，半径为r.(2) 一般方程x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E2−4 F>0)(3) 求圆方程的方法(i) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ,b ,r；若利用一般方程，需要求出D ,E ,F；(ii) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔ d<r；b.点在圆上⇔ d=r ；c.点在圆外⇔ d>r .(2) 给定点M(x0 ,y0)及圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2.◆M在圆C内⇔(x0−a)2+(y0−b)2<r2；◆M在圆C上⇔(x0−a)2+(y0−b)2=r2；◆M在圆C外⇔(x0−a)2+(y0−b)2>r2.(3) 某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=OM+r；4 直线、圆的位置关系(1) 三种位置关系(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)◆相离⇔没有公共点⇔ d>r;◆相切⇔ 只有一个公共点⇔ d=r;◆相交⇔ 有两个公共点⇔ d<r.(3) 联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程{A x+B y+C=0x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：◆当Δ>0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；◆当Δ=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；◆当Δ<0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.(4) 圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.5 弦长弦长公式：AB=2 √r2−d2(r是圆的半径，d是圆心O到直线l的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【例题1】若圆C过点(0 ,−1) ,(0 ,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为2 √2 ，求圆C的标准方程.【例题2】已知A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)，则过这三点的圆方程为.课堂练习1已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+ b＝.2圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为.3过点A(1 ,1)， B(−3 ,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【题型二】点与圆的位置关系【例题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是()A．点P在圆C内B．点P在圆C上C．点P在圆C内或圆C上D．点P在圆C上或圆C外【例题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则√x2+y2的最大值是.课堂练习1若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=0内，则实数m的取值范围为．2在圆(x－2)2+(y+3)2=2上与点(0,－5)距离最大的点的坐标是．3在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆(x+3)2+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是．4已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．5已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是．6设点M(x0 ,1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，那x0的取值范围．7如果圆(x−a)2+(y−a)2=8上总存在到原点的距离为√2的点，那实数a的取值范围．8在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1= 0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．【题型三】直线与圆的位置关系【例题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是．【例题2】求过点P(−1,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【例题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP 面积的最大值和最小值之和为．【例题4】已知圆C：(x−√3)2+(y−3)2=3，过直线√3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为．课堂练习1点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定2已知过点P(2,2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，则直线l的斜率为()A．1B．12C．2D．−123【多选题】已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0),B(0,2)，则() A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|=3√2D．当∠PBA最大时，|PB|=3√24已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T 为切点)，则|PT|最小值是．5过直线x+y−2√2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°，则点P的坐标为．6直线x+y+a=0与半圆y=−√1−x2有两个交点,则a的值是．7若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为√2，则k的取值2范围．8已知P(x,y)是圆(x−1)2+(y−2)2=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+ 16|是定值，则实数r的取值范围是．9已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．10若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N)，则|MN|的最小值是．【题型四】弦长问题【例题1】已知圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=9 ，P(2 ,2)是该圆内一点，过点P的最长弦与最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积.【例题2】设O为原点，直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点，那△ABO面积最大值为．课堂练习1 直线x−y+3=0被圆(x+2)2+(y−2)2=2截得的弦长等于．2已知圆心在x轴上，半径为√5的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．3已知直线l：y=m(x−2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．4已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为．。
高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义
高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义第四章圆与方程一、圆的标准方程(某a)(yb)r222特殊：某2y2r2点M(某0,y0)与圆(某a)2+(yb)2=r2的关系的判断方法：(1)(某0a)2+(y0b)2r2,点在圆外.(2)(某0a)2+(y0b)2=r2,点在圆上.(3)(某0a)2+(y0b)2r2,点在圆内.二、圆的一般方程某yD某EyF0(其中DE4F0)22221、某2和y2的系数相同，不为0.2、没有某y这样的项.D2E2D2E24F圆的一般方程标准方程：(某)+(y)=224配方DE可知圆心为(-,),半径r22D2E24F2三、直线与圆的位置关系1、代数法0相交A某ByC0一元二次方程20相切2某yD某EyF00相离2、几何法相交圆心到直线的距离d半径r相切相离说明：几何法比代数法更简便。
四、圆的切线1、求过圆O上一点P(某0,y0)的切线l的方法：步骤：1、求kop;2、由kopkl=-1,求出kl;3、用点斜式:yy0kl(某某0),得出切线方程.2、求过圆O外一点P(某0,y0)的圆的切线方程的方法：步骤：1、设直线为yy0k(某某0),2、由dr列出方程，解出k,从而得到切线方程.五、圆与圆的位置关系设圆O1与圆O2的半径分别为r1,r2.O1O2d.则圆与圆有以下5种位置关系：（1）相离：dr1r2（2）外切：dr1r2（3）相交：r1r2dr1r2（4）内切：dr1r2（5）内含：dr1r2说明：判断圆与圆的位置关系有代数法和几何法，几何法运算量小，是常用方法。
六、求弦长1、几何法AB=2r2d22、代数法弦长公式AB=1k2某1某21k2(某1某2)24某1某2或AB=1112yy1(yy)4y1y2121222kk七、空间直角坐标系1、空间直角坐标系(1)点M对应着唯一确定的有序实数组(某,y,z)，某、y、z分别是P、Q、R在某、y、z轴上的坐标(2)有序实数组(某,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点(3)空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(某,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(某,y,z)，某叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
圆与方程讲义
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载圆与方程讲义地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容圆与方程1．圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种关系：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．考点一求圆的方程【例1】已知圆的半径为 eq \r(10) ，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x －y＝0截得的弦长为4 eq \r(2) .【训练1】(1)(2014·济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求 eq \f(y,x) 的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【训练2】(2014·江西九校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )．A. eq \r(2) B．2 eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 eq \r(3)考点三与圆有关的轨迹问题【例3】(2013·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 eq \r(2) ，在y轴上截得线段长为2 eq \r(3) .(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为 eq \f(\r(2),2) ，求圆P的方程．【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC中点M的轨迹方程．基础巩固题组一、选择题1．(2014·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ eq \r(2) C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝42．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b ＝0一定不经过( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3．(2014·镇安中学模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )．A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝04．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1))B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,5))) ∪(1，＋∞)C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1))D. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,5))) ∪[1，＋∞) 5．(西交大附中模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1二、填空题6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．直线与圆圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r eq \o\al(2,1) (r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r eq \o\al(2,2) (r2＞0).考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2012·江西卷)过直线x＋y－2 eq \r(2) ＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．【训练1】【2008高考北京理第7题】过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（）A． B．C．D．(2)(2014·南昌模拟)直线y＝－ eq \f(\r(3),3) x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是( )．A．( eq \r(3) ，2) B．( eq \r(3) ，3) C. eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D. eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))【例2】【2006全国2，理15】过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .【答案】练习：1. 【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a= 【答案】A（A）（B）（C）（D）22 【2005高考北京理第4题】从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）[来源:学科网]A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B[来源:Z+xx+]【例3】【2014新课标，理16】设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.【答案】练习：【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )[来源:学科网]A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【例4】. 【2008全国1，理10】若直线通过点，则（）A．B．C．D．【答案】D．练习. 【2005全国1，理3】已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．考点二圆与圆的位置关系【例5】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【训练5】 (1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．A．相离 B．相交C．外切 D．内切(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )．A．4 B．4 eq \r(2) C．8 D．8 eq \r(2)【例6】【2013课标全国Ⅰ，理20】(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.考点三有关圆的弦长问题【例7】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P 且被圆C截得的线段长为4 eq \r(3) ，求l的方程．2. 【2005高考北京理第4题】从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）[来源:学科网]A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B[来源:Z+xx+【训练7】设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y 轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．基础巩固题组一、选择题1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )．A．相切B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心D．相离2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )．A．内切 B．相交 C．外切D．相离3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．(2013·安徽卷)直线x＋2y－5＋ eq \r(5) ＝0被圆x2＋y2－2x－4y ＝0截得的弦长为( )．A．1 B．2 C．4 D．4 eq \r(6)5．(2014·陕西五校联考)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )．A．k＝ eq \f(1,2) ，b＝－4 B．k＝－ eq \f(1,2) ，b＝4 C．k ＝ eq \f(1,2) ，b＝4 D．k＝－ eq \f(1,2) ，b＝－4二、填空题6．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．7．过点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．8．(2014·宜川中学模拟)两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m、c均为实数，则m＋c＝________.三、解答题9．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2 eq \r(2) 时，求直线l的方程．。
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆与方程ppt课件
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
《圆的一般方程》 讲义
《圆的一般方程》讲义一、圆的标准方程在探讨圆的一般方程之前，我们先来了解一下圆的标准方程。
对于平面直角坐标系中，以点$（a,b)＄为圆心，以$r$为半径的圆，其标准方程为：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$ 。
例如，以点$（2, －3)＄为圆心，半径为 5 的圆，其标准方程为$（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 25$ 。
从标准方程中，我们可以很直观地看出圆心的坐标和圆的半径。
二、圆的一般方程的推导现在，让我们从圆的标准方程出发，来推导圆的一般方程。
将圆的标准方程展开：＼＼begin{align}（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＆＝ r^2\＼x^2 2ax ＋ a^2 ＋ y^2 2by ＋ b^2 ＆＝ r^2\＼x^2 ＋ y^2 2ax 2by ＋ a^2 ＋ b^2 r^2 ＆＝ 0＼end{align}＼令$D ＝－2a$，＄E ＝－2b$，＄F ＝ a^2 ＋ b^2 r^2$，则圆的方程可以写成：＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$ 。
这就是圆的一般方程。
需要注意的是，对于圆的一般方程，存在一定的条件限制。
当$D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$时，方程表示一个圆；当$D^2 ＋ E^2 4F ＝ 0$时，方程表示一个点；当$D^2 ＋ E^2 4F ＜ 0$时，方程不表示任何图形。
三、圆的一般方程的特点1、方程中$x^2$和$y^2$的系数相等且都为 1。
2、没有$xy$这样的交叉项。
四、用圆的一般方程确定圆心和半径对于圆的一般方程$x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$，我们可以通过以下方式确定圆心和半径。
圆心的坐标为$（＼frac{D}｛2}，＼frac{E}｛2}）＄，半径$r$的值为$＼sqrt{＼frac{D^2 ＋ E^2 4F}｛4}｝＄。
例如，对于方程$x^2 ＋ y^2 4x ＋ 6y 3 ＝ 0$，其中$D ＝－4$，＄E ＝ 6$，＄F ＝－3$。
圆的方程 - 简单 - 讲义
圆的方程知识讲解一、圆的标准方程⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= ⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=二、圆的一般方程方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项． ⑶表示以(,)22D E --为圆心，22142D E F +-为半径的圆． a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2Ey =-，方程①表示一个点(,)22D E-- b)当2240D E F +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形三、圆的参数方程概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数)．圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理．四、圆心的三个重要的几何性质1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2.圆心在模一条弦的中垂线上．3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．五、判断点与圆的位置关系的方法1. 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立．2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点M 到圆心的距离大于圆的半径，则若点M 在圆外；当点M 到圆心的距离小于圆的半径，则若点M 在圆内；当点M 到圆心的距离等于圆的半径，则若点M 在圆上．即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上典型例题一．选择题（共5小题）1．（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选：B．2．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．3．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．4．（2015•漳州二模）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．5．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．二．填空题（共4小题）6．（2015•浦东新区一模）若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是m＜5（或（﹣∞，5））．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．7．（2005•上海）直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是x+2y﹣4=0．【解答】解：设点P（x，y），则=（x，y）因为A（1，2）所以=（1，2）因为，所以（x，y）•（1，2）=4即x+2y=4，即x+2y﹣4=0故答案为：x+2y﹣4=08．（2016春•泉州校级期末）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．【解答】解：设圆心为C，由A（﹣3，﹣1）和B（5，5）得到C（，）即C（1，2），又圆的半径r=|AC|==5，所以圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=259．（2015•上海学业考试）以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y﹣6）2=1．【解答】解：以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．三．解答题（共3小题）10．已知定点A（1，2）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0的外部，求k的取值范围．【解答】解：∵定点A（1，2）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0的外部，∴化简得，∴∴k的取值范围：＜k＜﹣3或2．11．求出下列圆的方程，并画出图形：（1）圆心在点C（﹣1，1），过直线x+3y+7=0与3x﹣2y﹣12=0的交点；（2）过点A（﹣1，1）和D（1，3），圆心在x轴上；（3）已知点A（﹣2，4），B（8，﹣2），且AB为圆的直径．【解答】解：（1）联立解得，交点P（2，﹣3）．∴r=|PC|==5．∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=25．（2）∵点A（﹣1，1）和D（1，3），∴中点M（0，2），k AD==1，∴其垂直平分线的斜率k=﹣1．∴线段AD的垂直平分线的方程为：y=﹣x+2．∴圆心为N（2，0），半径r=|AN|=．∴圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=10．（3）∵点A（﹣2，4），B（8，﹣2），∴中点Q（3，1）即为圆心，半径r=|AQ|==．∴圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=34．12．求过三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0）的圆的方程．【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0），∴BC⊥AC，BC=AC=2，∴△ABC为等腰直角三角形．取斜边AB的中点M（0，﹣1），则MC===AB，∴M它的外接圆的圆心，半径为，∴要求的圆的方程为x2+（y+1）2=2．。
圆的标准方程ppt课件完整版x
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
《圆的标准方程》 讲义
《圆的标准方程》讲义一、引入在我们的日常生活中，圆是一种非常常见的几何图形，比如车轮、盘子、月亮等等。
那么如何用数学的语言来精确地描述一个圆呢？这就需要用到圆的方程。
今天，我们就来学习圆的标准方程。
二、圆的定义在平面直角坐标系中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
定点称为圆心，定长称为半径。
设圆心的坐标为$（a,b)＄，半径为$r$，圆上任意一点的坐标为$（x,y)＄，那么根据两点间的距离公式，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径$r$，我们可以得到：＼＼begin{align}＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2}＆＝r\＼（x a)＾2 ＋（y b)＾2&＝r^2＼end{align}＼这就是圆的标准方程。
三、圆的标准方程的形式圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a,b)＄是圆心的坐标，＄r$是圆的半径。
当圆心在原点$（0,0)＄时，圆的标准方程就变成了$x^2 ＋ y^2 ＝r^2$。
四、圆的标准方程的特点1、方程中有三个参数$a$、＄b$、＄r$，分别表示圆心的横纵坐标和圆的半径。
2、圆的标准方程明确地给出了圆心的位置和半径的大小，使我们能够直观地了解圆的特征。
3、对于给定的圆心和半径，可以很容易地写出圆的标准方程；反之，对于给定的圆的标准方程，也能快速确定圆心和半径。
五、用圆的标准方程解决问题例 1：已知圆的圆心为$（2,－3)＄，半径为 5，求圆的标准方程。
解：因为圆心为$（2,－3)＄，半径为 5，所以圆的标准方程为$（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 25$。
例 2：求以点$（－1, 4)＄为圆心，且过点$（3, 0)＄的圆的标准方程。
首先，计算圆心到已知点的距离，即半径$r$：＼＼begin{align}r&＝＼sqrt{（－1 3)＾2 ＋（4 0)＾2}＼＼＆＝＼sqrt{（－4)＾2 ＋ 4^2}＼＼＆＝＼sqrt{16 ＋ 16}＼＼＆＝＼sqrt{32}＼＼＆＝4\sqrt{2}＼end{align}＼所以圆的标准方程为$（x ＋ 1)＾2 ＋（y 4)＾2 ＝ 32$。
第03讲圆的方程(八大题型)(讲义)-1
第03讲 圆的方程目录01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航03 考点突破·题型探究知识点1：圆的定义和圆的方程知识点2：点与圆的位置关系判断题型一：求圆多种方程的形式题型二：直线系方程和圆系方程题型三：与圆有关的轨迹问题题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件题型五：点与圆的位置关系判断题型六：数形结合思想的应用题型七：与圆有关的对称问题题型八：圆过定点问题 04真题练习·命题洞见05课本典例·高考素材06易错分析·答题模板易错点：忽视圆的一般方程成立的条件答题模板：求圆的方程考点要求考题统计考情分析（1）圆的方程2024年北京卷高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．（2）点与圆的位置关系第3题，5分2023年乙卷（文）第11题，5分2023年上海卷第7题，5分2022年甲卷（文）第14题，5分2022年乙卷（文）第15题，5分复习目标：（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1：圆的定义和圆的方程1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的四种方程r r>（1）圆的标准方程：222()()-+-=，圆心坐标为（a，b），半径为()0x a y b r（2）圆的一般方程：2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，圆心坐标为,22D E æö--ç÷èø，半径r =（3）圆的直径式方程：若1122()A x y B x y ,,(,)，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0--+--=x x x x y y y y （4）圆的参数方程：①222(0)x y r r +=>的参数方程为cos sin x r y r qq =ìí=î（q 为参数）；②222()()(0)x a y b r r -+-=>的参数方程为cos sin x a r y b r qq=+ìí=+î（q 为参数）．【诊断自测】1．已知点()4,2A --，()4,2B -，()2,2C -，则ABC V 外接圆的方程是（ ）．A ．22(3)20x y +-=B ．22(3)5x y ++=C ．22(3)5x y ++=D ．22(3)20x y -+=知识点2：点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：①222()()-+->Ûx a y b r 点P 在圆外；②222()()x a y b r -+-=Û点P 在圆上；③222()()-+-<Ûx a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220x y Dx Ey F ++++=的位置关系：①2200000++++>Ûx y Dx Ey F 点P 在圆外；②2200000++++=Ûx y Dx Ey F 点P 在圆上；③2200000++++<Ûx y Dx Ey F 点P 在圆内．【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）2．若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),2-¥B ．()2,+¥C ．(),2-¥-D ．()2,-+¥题型一：求圆多种方程的形式【典例1-1】3．已知直线3440x y +-=与圆C 相切于点()0,1T ，圆心C 在直线0x y -=上，则圆C 的方程为（ ）A ．()()223313x y -+-=B ．()()223325x y -++=C ．()()223313x y ++-=D ．()()223325x y +++=【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）4．圆心为()1,2--，且与y 轴相切的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(1)(2)1x y +++=D ．22(1)(2)4x y +++=【方法技巧】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a ，b ）和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．【变式1-1】5．过点()4,2P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PAB V 的外接圆方程是（ ）A ．()()22215x y -+-=B ．()()224220x y -+-=C ．()()22215x y +++=D ．()()224220x y +++=【变式1-2】6．圆心在直线:230l x y --=上，且经过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的方程为．【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）7．已知直线1:260l x y +-=与2:240l x y ++=均与M e 相切，点()2,2在M e 上，则M e 的方程为.【变式1-4】8．与直线40x y --=和圆()()22112x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A ．()()22112x y +++=B ．()()22114x y +++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y -+-=题型二：直线系方程和圆系方程【典例2-1】9．过圆1C ：22640x y x ++-=和圆2C ：226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线240x y ++=上的圆的方程为（ ）A ．()()221225x y +++=B ．()()221220x y +++=C ．()()221625x y -++=D ．()()221620x y -++=【典例2-2】10．圆C 经过点(0,1)，且经过两圆221:430C x y x +--=和圆222:430C x y y +--=的交点，则圆C 的方程为 ．【方法技巧】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：11112222()()0+++++=A x B y C A x B y C l l 2212(0)+¹l l 简记为：221122120(0)+=+¹l l l l l l 当10l ¹时，简记为：120+=l l l （不含2l ）（2）圆系方程：若圆221111:0C x y D x E y F ++++=与圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交于A ，B 两点，则过A ，B 两点的圆系方程为：2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F l l +++++++++=¹-简记为：120(1)+=¹-C C l l ，不含2C 当1l =-时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()(E )0l D D x E y F F -+-+-=注意：与圆C 共根轴l 的圆系:0+=C C l l l 【变式2-1】11．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为 .【变式2-2】12．曲线2233x y -=与228y x x =--的四个交点所在圆的方程是．【变式2-3】13．过圆2220x y x y +-+-=和225x y +=的交点，且圆心在直线3410x y +-=上的圆的方程为（ ）A ．2222110x y x y ++--=B ．2222110x y x y +-+-=．C ．2222110x y x y +---=D ．2222110x y x y +++-=题型三：与圆有关的轨迹问题【典例3-1】14．已知定点B （3,0），点A 在圆x 2＋y 2＝1上运动，∠AOB 的平分线交线段AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是．【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）15．已知直线1:50l x ty +-=，直线2:320l tx y t --+=，1l 与2l 相交于点A ，则点A 的轨迹方程为．【方法技巧】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x ，y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）16．已知(1,0)A -，(1,0)B ，C 为平面内的一个动点，且满足AC =C 的轨迹方程为．【变式3-2】（2024·广东·二模）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中放置着一个边长为1的等边三角形PAB ，且满足PB 与x 轴平行，点A 在x 轴上.现将三角形PAB 沿x 轴在平面直角坐标系xOy 内滚动，设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .【变式3-3】18．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点()1,0N 的直线l 与圆M 交于,A B 两点，D 是AB 的中点，则D 点的轨迹方程为．【变式3-4】19．如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线y ＝2上运动，过点B 作圆O 的切线，切点为C ，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程为 ．【变式3-5】20．点()1,0P ，点Q 是圆224x y +=上的一个动点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（ ）A ．22112x y æö-+=ç÷èøB ．22142x y æö+-=ç÷èøC ．22112x y æö+-=ç÷èøD ．22142x y æö-+=ç÷èø【变式3-6】21．已知动点M 与两个定点()1,0O -，()2,0A 的距离之比为1:2，则动点M 的轨迹方程为 .【变式3-7】22．已知(4,0)P 是圆2236x y +=内的一点,,A B 是圆上两动点，且满足90APB °Ð=，求矩形APBQ 顶点Q 的轨迹方程．【变式3-8】23．在边长为1的正方形ABCD 中，边AB 、BC 上分别有一个动点Q 、R ，且BQ CR =．求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．【变式3-9】24．如图，已知点A (-1，0)与点B (1，0)，C 是圆x 2+y 2=1上异于A ，B 两点的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD|=|BC|，求线段AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.【变式3-10】25．已知圆224x y +=上一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ Ð=°，求线段PQ 中点的轨迹方程．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件【典例4-1】26．若方程2220x y mx my ++-+=表示一个圆，则m 可取的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）27．关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是（ ）.A ．0B =，且0A C =¹B ．1B =，且2240D E A F +->C ．0B =，且0A C =¹，2240D E AF +-³D ．0B =，且0A C =¹，2240D E A F +->【方法技巧】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,22D E æö--ç÷èø，半径r 【变式4-1】28．若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a £-B ．2a ³C ．2a <-或2a >D ．2a £-或2a ³【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）29．已知曲线C 的方程2222480x y x y F ++++=，则“10F £”是“曲线C 是圆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式4-3】30．已知方程22220x y y +++=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(1,)+¥B ．(2,)+¥C ．(3,)+¥D ．(4,)+¥参考答案：1．B【分析】根据条件可得ABC V 是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．【详解】由题()()·0,4·2,00BA BC =-=uuu r uuu r 得ABC V 是直角三角形，且BA BC ^，所以圆的半径为12AC ==()3,0-，所以ABC V 外接圆的方程为()2235x y ++=.故选：B.2．C【分析】由点A 在圆外代入圆的方程可得2m <，再由圆的一般方程中2240D E F +->可得2m <-，最后求交集即可.【详解】由题意知22214250m +--+>，故2m <，又由圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，可得2240D E F +->，即22(2)(2)450m -+--´>，即2m <-或2m >，所以实数m 的范围为2m <-.故选：C.3．D【分析】根据题意设出圆心C 的坐标，利用43CT k =求出点C 坐标，进而求出半径r CT =，得解.【详解】由题意，设(),C a a （0a ¹），圆C 的半径为r ，143CT a k a -\==，解得3a =-，所以圆心()3,3C --，半径5=，所以圆C 的方程为()()223325x y +++=.故选：D.4．C【分析】由圆心坐标排除AB ，再由相切性质得半径可得选项.【详解】由题意，圆心坐标为(1,2)--，可知AB 错误；设圆心半径为r ，且圆心(1,2)--到y 轴的距离为1，则由圆与y 轴相切可得1r =，故圆的方程为：()()22121x y +++=.故选：C.5．A【分析】由切线性质得O 、A 、B 、P 四点共圆，OP 为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．【详解】由圆224x y +=，得到圆心()0,0O ，由题意知O 、A 、B 、P 四点共圆，PAB V 的外接圆即四边形OAPB 的外接圆， 又()4,2P ，从而OP 的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||2OP =22(2)(1)5x y -+-=.故选：A6．()()221210x y +++=【分析】直线l 和线段AB 的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A 点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点3(2,)A -和(2,5)B --，12AB k =，AB 中点为()0,4-，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y x =--24．联立方程组23024x y y x --=ìí=--î，解得12x y =-ìí=-î．所以，圆心坐标为()1,2C --，半径=所以，此圆的标准方程是()()221210x y +++=．故答案为：()()221210x y +++=.7．()2215x y +-=【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径r =，根据()2,2为切点，联立直线方程可得另一个切点()2,0-，即可求解圆心为(0,1).【详解】由于直线1:260l x y +-=与2:240l x y ++=平行，且均与M e 相切，两直线之间的距离为圆的直径，即2r r =Þ=又()2,2在1:260l x y +-=上，所以()2,2为切点，故过()2,2且与1:260l x y +-=垂直的直线方程为()1222y x =-+，联立()122220240x y x y x y ì=-=-+ìïÞíí=îï++=î，所以2:240l x y ++=与M e 相切于点()2,0-，故圆心为()2,2与()2,0-的中点，即圆心为(0,1)，故圆的方程为()2215x y +-=，故答案为：()2215x y +-=8．C【分析】作出图形，由圆心C 作直线l 的垂线段CE ，则以OE 为直径的圆D 即为所求圆，另作一圆进行说明理由，再根据图形特征求出圆D 的圆心和半径即得方程.【详解】如图，过圆()()22112x y ++-=的圆心(1,1)C -作直线:40l x y --=的垂线CE ，垂足为E ，则以OE 为直径的圆D (设其半径为r )即为所求圆.理由如下：另作一个圆F ，与圆C 相切，与直线l 切于点G ，设其半径为r '，由图知||||||||CF FG CG CE +>>，22r r '+>，即r r '>，即圆D 是符合要求的最小圆.由点(1,1)C -到直线:40l x y --=的距离为||CE ==，则r ==设点(,)D x y ，由CD l ^可得，111y x -=-+，即y x =-①，由点(,)D x y 到直线:40l x y --==，联立①②可解得，3x =或1x =，由图知仅1x =符合题意，即得(1,1)D -，故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选：C.9．A【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可.【详解】经过圆1C ：22640x y x ++-=和圆2C ：226280x y y ++-=交点的圆可设为()2222646280x y x x y y l ++-+++-=，即22664280111x y x y l l l l l++++-=+++，圆心33,11l l l æö--ç÷++èø在直线240x y ++=上，故634011l l l --+=++，解得2l =，所以圆的方程为()()221225x y +++=.故选：A.10．226230x y x y -++-=【分析】利用圆系方程可求圆C 的方程.【详解】设圆C 的方程为：()()2222224343430x y x x y x x y y l éù+--++---+--=ëû，整理得到：()224340x y x y x l +--+-=，因为圆C 过(0,1)，代入该点得到：240l -+=即12l =，故圆C 的方程为：()224320x y x y x +--+-=即226230x y x y -++-=，故答案为：226230x y x y -++-=.11．2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出l 的值，即可确定所求圆的方程.【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y l +-+-+-=∵所求圆过点()1,0∴70l -+=解得7l =所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=.【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.12．22(4)(2)49x y -+-=【解析】根据题意得到：()222342483x y y x x -=----，化简得到答案.【详解】2233x y -=，228y x x =--，故()222342483x y y x x -=----，化简整理得到：2284290x y x y +---=，即22(4)(2)49x y -+-=.故答案为：22(4)(2)49x y -+-=.【点睛】本题考查了曲线交点求圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．A【分析】设所求圆的方程为()222250,(1)2x y x y x y l l +-+++-¹--=，求出圆心坐标代入直线3410x y +-=，求得l ，即可求得答案.【详解】由题意设所求圆的方程为()222250,(1)2x y x y x y l l +-+++-¹--=，即2210111125x y x y ll l l +-++-++=+，圆心坐标为()()11,2121l l æö-ç÷ç÷++èø，代入3410x y +-=中，即()()34102121l l --=++，解得32l =-，将32l =-代入2210111125x y x y ll l l +-++-++=+中，即2222110x y x y ++--=，满足222(2)4(11)0+--->，故所求圆的方程为2222110x y x y ++--=，故选：A14．2239416x y æö-ç÷èø＋＝．【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．【详解】设(,)A m n ，则221m n +=，设(,)M x y ，由AM 为AOB Ð的角平分线，可得||||1||||3AM OA MB OB ==，即有13AM MB =uuuu r uuu r ，可得(x m -,1)(3,0)3y n x y -=--，即113x m x -=-，13y n y -=-，可得413m x =-，43n y =，则2244(1)()133x y -+=，即为2239()416x y -+=．故答案为：2239()416x y -+=．15．22(4)(1)2x y -+-=【分析】设(),A x y ，先求出直线1l 和2l 恒过的定点()5,0C ，()3,2B ，由12l l ^可得0AC AB ×=uuu r uuu r ，即可得出答案.【详解】因为1:50l x ty +-=，所以直线1l 过点()5,0C ，直线()2:320l t x y --+=过点()3,2B ，因为()110t t ×+×-=，所以12l l ^，设(),A x y ，所以0AC AB ×=uuu r uuu r ，所以()()5,,3,2AC x y AB x y =--=--uuu r uuu r ，所以()()()5320x x y y ----=，化简可得：22(4)(1)2x y -+-=.故答案为：22(4)(1)2x y -+-=.16．22610x y x +-+=【分析】设(),C x y ，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解.【详解】依题意，设(),C x y ，由AC ==即()()2222121x y x y éù++=-+ëû，整得得22610x y x +-+=，所以点C 的轨迹方程为22610x y x +-+=.故答案为：22610x y x +-+=17． 3 2π3【分析】根据题设条件可得P 的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得()f x 的周期和相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积.【详解】设(P p ，如图，当三角形PAB 沿x 轴在平面直角坐标系xOy 内滚动时，开始时，P 先绕A 旋转，当B 旋转到1B 时，P 旋转到1P ，此时1(P p +，然后再以1B 为圆心旋转，旋转后P 旋转到2P ，此时25(,0)2P p +，当三角形再旋转时，P 不旋转，此时A 旋转到2A ，当三角形再旋转后，必以2A 为圆心旋转，旋转后P 旋转到3P ，点P 从开始到2B 时是一个周期，故()y f x =的周期为3MN =，如图，24,P P x x 为()y f x =相邻两个零点，()y f x =在42,P P x x éùëû上的图像与x 轴围成的图形的面积为：2212π2π211233´´´=故答案为：2π3,3【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可.18．223124x y æö-+=ç÷èø【分析】根据题意，由条件可得MD DN ^，从而可得0MD ND ×=uuuu r uuu r ，然后代入计算，即可得到结果.【详解】圆22:(2)4M x y -+=，所以圆心为()2,0M ，半径为2，设(),D x y ，由线段AB 的中点为D ，可得MD DN ^，即有()()()()2,1,210MD ND x y x y x x y y ×=-×-=--+×=uuuu r uuu r ，即223124x y æö-+=ç÷èø，所以点D 的轨迹方程为223124x y æö-+=ç÷èø．故答案为：223124x y æö-+=ç÷èø19．22(2)4x y +-=，(0)x ¹【分析】设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出H 的轨迹方程．【详解】设,()H x y ，(,)C x y ''，连结AH ，CH ，则AH BC ^，CH AB ^，BC 是切线OC BC ^，//OC AH \，//CH OA ，OA OC =，\四边形AOCH 是菱形．||||2CH OA \==，得2y y x x''=-ìí=î，又(,)C x y ''，满足()()224x y ''+=，所以22(2)4x y +-=，(0)x ¹即是所求轨迹方程．故答案为：22(2)4x y +-=，(0)x ¹20．A【分析】设出点M 坐标，得出Q 点坐标，代入圆方程，即可得到线段PQ 的中点M 的轨迹方程.【详解】设点M 的坐标为(),M x y ，因为M 点是线段PQ 的中点，可得()21,2Q x y -，点Q 在圆上，则22(21)(2)4x y -+=，即22112x y æö-+=ç÷èø.故选：A.21．2240x y x ++=【分析】设点(),M x y ，然后根据动点M 与两个定点的距离比为1:2列等式，整理即可得到动点M 的轨迹方程.【详解】设点(),M x y ，则=2240x y x ++=，所以动点M 的轨迹方程为2240x y x ++=.故答案为：2240x y x ++=.22．2256x y +=【分析】根据OM AB ^可得222||||AM OA OM =-以及Rt APB V 中||AM PM =可求点M 的轨迹，再根据M 为PQ 中点即可求解.【详解】连接AB ，PQ ，设AB 与PQ 交于点M ，如图所示．因为四边形APBQ 为矩形，所以M 为AB ，PQ 的中点，连接OM .由垂径定理可知,OM AB ^设(,),M M M x y 由此可得22222||||36().M M AM OA OM x y =-=-+①又在Rt APB V 中，有||AM PM ==②由①②得224100,M M M x y x +--=故点M 的轨迹是圆．因为点M 是PQ 的中点，设(,),Q x y 则4,,22M M x y x y +==代入点M 的轨迹方程中得，2244(()4100,222x y x +++-´-=整理得2256x y +=，即为所求点Q 的轨迹方程．23．221100,022x y y x y æö+-=££££ç÷èø【分析】构建平面直角坐标系，设(,)P x y 、(,0)Q t (01)t ££，确定R 坐标，写出直线,AR DQ 方程，将直线整理消去参数t ，即可得P 的轨迹方程，注意x 、y 的范围．【详解】分别以AB ，AD 边所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系．如图所示，则点(0,0)A 、(1,0)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ££，由BQ CR =知：AQ BR =，则(1,)R t ．当0t ¹时，直线AR ：y tx =①，直线DQ ：1x y t +=，则1x y t-=②，①×②得：(1)x y y tx t-=×，化简得220x y y +-=．当0t =时，点P 与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程．故点P 的轨迹方程为221100,022x y y x y æö+-=££££ç÷èø．24．()2214039x y y æö++=¹ç÷èø【分析】首先判断点P 是ABD △的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点P 的轨迹方程.【详解】设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心，由A (-1，0)，B (1，0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0-1，2y 0)，由重心坐标公式得001121323x x y y -++-ì=ïïíï=ïî，则()000312302x x y y y +ì=ïïíï=¹ïî代入221x y +=，整理得()2214039x y y æö++=¹ç÷èø故所求轨迹方程为()2214039x y y æö++=¹ç÷èø.25．(1)()()22112x y x -+=¹(2)2210x y x y +---=【分析】（1）设出线段AP 的中点坐标，表达出P 的坐标，代入224x y +=求出轨迹方程；（2）由几何关系得到PN BN =，故222OP ON BN =+，得到轨迹方程.【详解】（1）设线段AP 的中点M 的坐标为(),x y ，P 的坐标为()()000,2x y x ¹，∵002202x x y y +ì=ïïí+ï=ïî，∴00222x x y y =-ìí=î，又P (x 0,y 0)在圆224x y +=上，∴()()222224x y -+=，化简得()()22112x y x -+=¹，故线段AP 中点的轨迹方程为()()22112x y x -+=¹；（2）设PQ 的中点为(),N x y ，在Rt PBQ △中，PN BN =，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴22222OP ON PN ON BN =+=+，∴()()2222114x y x y ++-+-=，化简得221x y x y +--=故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=26．D【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得m 的范围，对选项进行判断即可.【详解】由方程2220x y mx my ++-+=分别对,x y 进行配方得：222()()2222m m m x y ++-=-，依题意它表示一个圆，须使2202m ->，解得：2m <-或2m >，在选项中只有D 项满足.故选：D.27．D【分析】根据圆的一般式方程可得答案.【详解】关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是220040B A C D E F A A A ìï=ïï=¹íïæöæöï+-×>ç÷ç÷ïèøèøî，即0B =，且0A C =¹，2240D E A F +->.故选：D28．C【分析】根据公式2240D E F +->，即可求解.【详解】若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则222420a +-´>，解得：2a >或2a <-.故选：C29．A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.【详解】2222480x y x y F ++++=，即222402F x y x y ++++=，∴曲线C 是圆222440102F F Û+-×>Û<，∴“10F £”是“10F <”的必要不充分条件.故选：A.30．D【分析】根据题意得到222420+-´>，再解不等式即可.【详解】因为方程22220x y y ++++=表示圆，所以222420+-´>，解得4m >.故选：D。
圆的方程ppt课件
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】若圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】若圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_______________． 【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53( ]124，B ．78(]243，C ．8[ )3+∞，D ．72( )( )243-∞+∞，， （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-．（4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点()P x y ，是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 1)A ，，(1 1)B -，，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0 3)A ，，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点( 0)A m -，、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2 0)A -，，(2 0)B ，，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】若当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．4()98 9，B ．2()94 9，C ．(2) 0，D ．(9) 0，【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1 ，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3 4)P -，作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，( 2)P x ，．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0 1)M ，，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1 0)-，作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2 0)A -，，(1 0)B ，，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。