复合函数和初等函数

w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
e1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
例3 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
(3) y cos2 (3x 9) (4) y lg(1 1 x2 )
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
（2）函数 y e 1x2 是由
y eu , u v , v 1 x2 复合而成的
y ln2 v ln2 (cos x 2)
例2 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基 本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的
（4） y lg(1 1 x2 ) 是由
y lgu, u 1 v, v z , z 1 x2
复合而成的
1
例4 y e sin2 x ：
y
eu
，u
1 v2
,
v sin x .
1 x,0 x 3.
（1）求函数的定义域； （2）求 f (2), f (1), f (0), f (1)； （3）作出函数的图象．
解：(1) 函数的定义域是 [2,3]．
(2)由于 2 [2,0)， f (x) x2 ，
故 f (2) (2)2 4；
同理 f (1) (1)2 1； f (0) 2； f (1) 11 2 ．
例5 y 3 x 1 x2 ：
y 3 u, u x w, w t ,
t 1 x2.
*例6 (1) y ln3 ln2 ln(1 x)
(2) y ln ln2 ln3(1 x)
解：（1）原函数由 y u3, u ln v, v w2 ,
w ln z, z ln t, t 1 x 复合而成 （2）原函数由 y ln u, u v2, v ln w,
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中，y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
4、注意复合次序：
（3）
y
4
y x2
2
1
-2
Ｏ
y 1 x
3x
思考：分段函数是初等函数吗？
1
符号函数
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
x x0Βιβλιοθήκη 而y|x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分 段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
们称这样的函数 y 为 y f (u) 和 u (x) 的复合函数， 记作 y f [(x)]，其中 u 称为中间变量．
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，
都是初等函数．
1.1.5 分段函数
定义 1.8 若函数 y f (x) 在它的定义域内
的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称 它为分段函数．
x, x 0 如 y | x | x, x 0
5,
0 x 4,
y 5 1.3(x 4),
4 x 10,
12.8 1.9(x 10), x 10.
注意:
(1) 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函 数，不能理解为几个函数;
(2) 它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;
(3) 求分段函数的函数值 f (x0 )时，要根据 x0所在的 范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.
x2 , 2 x 0; 例 7 设函数 f (x) 2, x 0;
复合后的函 数要有意义
f ( x) sin x, g( x) x2 ，
则 f [g( x)] sin x2 ，而 g[ f ( x)] sin2 x 。
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以 有多个。
例1 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为