离散傅里叶变换

其中：RN(n)为矩形序列。 符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) 的图形表示： x(n)
0
n
~x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出每个主值在各 频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
离散பைடு நூலகம் 谐 波性 衰减 性
密度性 连续性 衰 减性
采样
周 期
连续 离散 周期 FS DFS
周 期
非周期 FT DTFT
采样
0 离散性 谐波性 周期性
密度性 连续性 周期性
频率ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，
如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应 关系。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的， 因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要 条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅 里叶分析。
与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶 级数的特点：
（1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有 无穷多。而周期为N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量 只有N个是独立的。
（2）周期序列的频谱
~
X
(k
)
也是一个以N为周期的周期序列。
例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周 期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要 求：
例：一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一个周期的 采样点数为10点，要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。 重复周期数分别为：1，4，7，10.
clear;
xn=[ones(1,5),zeros(1,5)];
Nx=length(xn);
%单周期序列长度
Nw=1000;
dw=2*pi/Nw;
%把2*pi分为Nw份频率分辨率为dw
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)x~(n) 0nN1
0
其余 n
为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ~x(n)
，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：
x(n)~ x (n )~ x(0nr) x0(n其 nrN N )它 n1
周期序列的主值区间与主值序列：
§0、离散时间傅立叶变换
“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写。传统的傅立叶 变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离 散的数字编码消息，所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立 叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。
subplot(4,2,2*r+1),
stem(nx,x);
axis([0,K*Nx-1,0,1.1]);
ylabel('x(n)');
subplot(4,2,2*r+2),
plot(k*dw,abs(Xk));
axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]);
ylabel('X(k)');
（1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。
（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。
clear; N=16; xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)]; xn=[xn,xn,xn]; n=0:3*N-1; k=0:3*N-1; Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k); %DFS变换 x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n‘*k))/N; %IDFS变换 subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)'); axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); %显示IDFS结果 title(‘IDFS|X(k)|’); axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk)); %序列幅度谱 title('|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4); stem(k,angle(Xk)); %序列相位谱 title('arg|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
12 10
8 6 4 2
0
x(n)
10
20
30
40
|X(k)|
10
20
30
40
9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
2.5 2
1.5 1
0.5 0
-0.5 -1
-1.5
0
IDFS|X(k)|
10
20
30
40
arg|X(k)|
10
20
30
40
比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要 因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。 可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);
~ x(n )ID[X ~ F (k)S ]1N 1X ~ (k)ej 2 N nk N k 0
X ~ (k)DF [~ x(n S )] N 1~ x(n )ej 2 N nk n 0
习惯上：记
j 2
WN e N
~
X ( k ) 是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的 频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~ x(n)~ x(nrN )(,r为整 ) 数
j(2)n
基频序列为 e1(n)e N
k次谐波序列为
j(2)nk
ek(n)e N
e k r( N n ) e j2 N n (k r)N e j2 N n ke k(n )
e ∴
j
2 N
nk
也是以N为周期的周期序列
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40 |X(k)|
12 10
8 6 4 2
0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40 arg|X(k)|
2 1 0 -1
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响： 理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
离散傅里叶变换
• 傅立叶级数（DFS） • 傅立叶变换（DFT） • DFT应用 • DFT存在的问题
FS FT DFS DTFT ：
FS：傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期信号可以分解为 无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应 频域离散非周期的特点 。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
X(ej) x(n)ejn n
x(n) 1 X(ej)ejnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
m m
k k
则DFS变换对可写为
X~(k) N1~x(n)WNkn DFS~x(n) n0
~x(n)
1 N
N1 k0
X~(k)WNkn
ID
FSX~(k)
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知 道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都 知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因 此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
故 独所立有成谐分波将~x成(分n)中展{开e。j
2 N
nk
} 只有N个是独立的，可以用这N个
因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成 离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1).
X ~(k)~ x(n)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对 称关系可表为：
x(n)
0
0
20
40
60
80
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
结论：序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当序列信号的周期
数N为无穷大时，频谱转化为离散谱。
DFS的局限性 ：
在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间 n 上是离散的，在频率ω上也是离散的，且频谱是ω的周期函数， 理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种 频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列， 它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时 域离散非周期对应频域连续周期的特点。
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
n6142 (6 ()4 )2
因此: n1(1)43 ( (1)4 )3
~ x ( 6 ) x ( 2 )~ x ( , 1 ) x ( 3 )
x(n)
0 23
n
~x(n)
的频率为
2 N
k
，幅度为
1 N
~
X (k)
WN的性质:
WN
ej
2
N
1.周期性
WN n WN (nrN)
2.共轭对称性 WN n (WN n)*
3.可约性
Wrn rN
WNn
4.正交性
N 1N n 0 1 W N k( n W N m)n *N 1N n 0 1 W N (m k)n 1 0
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序 列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还 有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。
§ 2、 离散傅里叶变换（DFT）
1）主值区间与主值序列
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
end
1 4
0.5 2
X(k)
x(n)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4
0.5 2
X(k)
x(n)
0
0
5
10 15 20 25 30 35
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4
0.5 2
X(k)
x(n)
0
0
10
20
30
40
50
60
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4
0.5 2
X(k)
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。