中大本科统计学练习五

习题五

1、用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）已知每个公共交通路口需要人员职守（处理各类冲突事件）的概率是0.3，求200个公共交通路口，刚好需要50至70个人职守的概率。

解：

(1)

Eξ= np = 30

Dξ= npq = 29.1

P(20≤ξ≤40)=p(-10≤ξ-30≤10)=p(-10≤ξ- Eξ≤10)

P( ∣ξ- Eξ∣≤10)≥ 1- Dξ/(10×10) = 0.709

(2) Eξ= np = 200×0.3=60

Dξ= npq = 42

P(50≤ξ≤70)=p(-10≤ξ-60≤10)=p(-10≤ξ- Eξ≤10)

P( ∣ξ- Eξ∣≤10)≥ 1- Dξ/(100) = 0.58

2、用积分极限定理（拉普拉斯定理）计算上题的概率。

解：(1) σξ= 5.39

P(20≤ξ≤40)= Φ。{（40-30）/5.39}- Φ。{（30-40）/5.39}=

=Φ。(1.855) - Φ。(-1.855)= 2Φ。(1.855)- 1= 0.936

(2) σξ= 6.48

P(50≤ξ≤70)= Φ。{（70-60）/6.48}- Φ。{（50-60）/6.48}=

=Φ。(1.543) - Φ。(-1.543)= 2Φ。(1.543)- 1= 0.876

3、如果X

1，…，X

n

是n个相互独立、同分布的随机变量，EX

i

=μ，D i X =8（i=1，2，…，n ）。对于X=1

/n

i i n =X ∑，写出X 所满足的切贝谢夫不

等式，并估计P （|X-μ|<4）。 解： )

EX = E （1

/n

i i n =X ∑）= ∑E (X i ) / n = n μ /n = μ DX= D (1/n i i n =X ∑) = 8/n

P （|X-μ|<4）≥ 1—（8/n ）/（4×4）= 1—1/2n

4、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为ξ。估计P （10<ξ<18）。

解： 令ξi= 第i 次抛骰子所得点数（i= 1、2、3、4），ξ=ξ1+ξ2+ξ3+ξ 4 则E ξi= 7/2 D ξi= 35/12

于是，E ξ= E （ξ1+ξ2+ξ3+ξ4）= 14 D ξ= D （ξ1+ξ2+ξ3+ξ4）= 35/3 于是

P （10<ξ<18）= P （—4<ξ—14<4）= P （∣ξ—E ξ∣<4）≥1— （35/3）/（4×4） =0.271

5、ξ～()ϕχ= ，估计P{0＜ξ＜2·（n+1）｝}

6、袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100克，标准差为10克，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20500克的概率。

!

n

n χ

χ- 0

χ≤0

χ>

解： Eξi= 100（克）, σi= 10（克）, Dσi= 100(克克)，

一大盒的净重为ξ，则

Eξ= 200×100 = 20（公斤）， Dξ= 20（公斤·公斤）,

σξ= 141.42(克)= 0.1412（公斤）

P（ξ＞20.5）= P（ξ— 20＞ 0.5）= P{（ξ— 20）/0.1412＞ 3.54} = 1— P（η≤00.25）= 1—Φ。（3.54）= 0.0002

(中心极限定理)

7、用局部极限定理（拉普拉斯定理）近似计算从一批废品率为0.05的产品中任取1000件，其中有20件废品的概率。

解：n=1000, p=0.05 ,q=0.95, k=20 , = 6.89

P(ξ=20)≒Φ。（）= (1/6.89) Φ。{(20-50)/6.89}=

= (1/6.89) Φ。(-4.35)= 1/6.89{1-Φ。(4.35)}=1.45×

8、生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800～6200的概率。（0。99995）

解：Eξ= np = 6000, Dξ= npq = 2400

P(5800＜ξ＜6200）＝P(-200＜ξ-6000＜200）= P(∣ξ- Eξ∣＜200）≥1-2400/(200×200)= 0.94

另，用积分极限定理：

9、从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽

率不低于0.88的概率。

解：即求1000粒种子中不低于880粒发芽的概率。

n=1000,p=0.9,np=900

npq = 9.49

p(ξ≥880) = 1- p(ξ＜880) = 1- Φ。（880-900/9.49）= 1-Φ。（-2.107）=Φ。（2.107）= 0.98257

10、某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产。

解： np= 200×0.7= 140, npq = 6.48

设其时对应的同时开动的机器数为ξ，满足本题要求的同时开动的机器数上限为K台，则

所求问题即P（ξ≤ K）= 0.95 = Φ。（（K-140）/6.48）

反查表：(K-140)/ 6.48 = 1.64

k = 151.36（台），此时对应的电能消耗是151.36×15 = 2270（单位）11、一大批种蛋中，良种蛋占80%。从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81%