市场风险的度量

❖ 则R*=μ+σZα ❖ 相对VaR = - W0 (R*-μ)= - W0σZα ❖ 绝对VaR = W0-W* = - W0 R* = - W0（μ+σZα） ❖ 由于时间Δt内收益率分布的均值为Δt，标准差为σ t ，
则时间Δt所对应的绝对VaR和相对VaR为
相 V 对 a W R 0 Z t
❖ （1）当ρ＝0时 VP A W R P W 1 2 1 2 2 2 2 2 2( 1 W )2 1 2 2( 2W )2 2 2(1W 1)2(2W 2)2
VA1R 2VA2R2 VA1R VA2R
❖ （2）当ρ＝1时 V P A W P R W 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 W （ 11 22）
二、参数VaR
❖ 1.正态收益分布
❖ 如果R服从均值为μ的正态分布，标准差为σ，则：
f ( R) 1
1Rμ2
e2 σ2
zπσ
❖ 如果c代表置信水平，如99％，则可以把R*界定为下述形式：
p
r R o R * b R *f -
(d R R p)r Z oR * b 1 c
❖ VaR（均值）=相对VaR =E(W)- W*= - W0(R*-μ) ❖ VaR（0） =绝对VaR = W0 - W*= - W0 R*
基于正态分布的风险价值
❖ 假定投资组合未来价值分布的概率密度函数为f(W)，则对于 给定的置信水平c下的投资组合最低价值W*，应该有
c f(t)dt W*
百度文库
220.052120.122
3
3
VaPR P W1.6 5
220.025120.122300
3
3
=1.65×15.620499
=25.7738
Va1 R1 W 11.6 50.0 520=106.5
Va2 R2 W 21.6 50.1 210=0 19.8
V1 a V R2 aR 3.3 6 VaP R Va1R Va2 R
绝 V W 对 0 a t R Z t
❖ 结论：计算VaR 值只需确定三个变量:置信度、持有期和资
产组合未来回报的概率分布。其中前两者是风险管理者根据 需要主观确定的，所以资产组合未来回报的概率分布的确定 就成为VaR 计算的关键。
二、Var的计算步骤
❖ 1.N日Var
Va(N R ;c) NVa(1;R c)
假定A付出浮动利率，收到固定利率
VBfiexdBfloat
dV Pdr DPdr
r
这样利率互换的风险价值的计算就变成了固定利率债券 风险价值的计算。
3、期权
c S y N e T d 1 K rN T d e 2
p S q N e T d 1 K r N T d e 2
VB a C R VR aM R 1 2 ..6 35 31 04 .4V 6R aM R
第二节 非参数VaR与参数VaR
❖ 一、非参数VaR
❖ 非参数VaR的推导是以按历史数据构造的价格分布为基础的。 这类VaR之所以被称为非参数VaR，是因为其计算不涉及对 某种理论分布的估计。VaR是根据敞口在1年内的每日收益 数据的历史分布来计算的。在这种非参数VaR计算中，没有 对敞口收益的具体分布做出任何假定。
d c S cd S 1 2 S 2 c 2d2 S cd r cd r y cd y T cdT d p S p d S 1 2 S 2 p 2d2 S p d p rd r p y d y T p dT
dcScdS12S2c2dS2 d S1/2 d S 2
第四节 在险价值的测定方法
❖ 一、得尔塔-正态法——（方差-协方差法 ）
❖ 基本假设是：资产组合中的所有证券的投资回报率满足正态 分布，从而资产组合也满足正态分布。
N
E(Rp)p wii i1
NN
V(Rp)p2
wiwj ij
i1 j1
❖ 资产组合的VaR度量，中心问题就是对协方差矩阵的估算。
VA1R VA2R
❖ 一个由两种外汇投资组成的资产组合：加拿大元（CAD）和 欧元（EUR）。假定两种货币是不相关的，且波动性分别为 5%、12%。资产组合为投资$200万美元于CAD、投资$100万美
元于EUR，求在95%置信水平下的资产组合的VaR值。
2 P 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12
R*
❖ Z 是一个服从标准正态分布N(0，1)变量，均值为0，
单位标准差。
❖ R*可以表示为：R*＝μ＋Zσ ❖ 根据VaR(均值)定义和VaR(0)定义，可以得到： ❖ VaR（均值）＝－ασW ❖ VaR（0） ＝－（ασ＋μ）W
❖ 2.Student—t收益分布
❖ 很多资产的收益并不遵循正态分布，出现了所谓的“厚尾”。 但是，中心极限定理认为，在大样本的情况下众多相互独立
W（ 1122） 2 W 1 1 W 2 2
VA1R VA2R
❖ 一个由两种外汇投资组成的资产组合：加拿大元（CAD） 和欧元（EUR）。假定两种货币是不相关的，且波动性分别 为5%、12%。资产组合为投资$200万美元于CAD、投资 $100万美元于EUR，求在95%置信水平下的资产组合的VaR
第六章 市场风险的度量
❖ 教学目的和要求：
❖ 通过学习，掌握度量市场风险的VaR方法； ❖ 了解非参数VaR与参数VaR方法； ❖ 掌握远期、期货、互换、期权等各种金融工具在险价值的计
算方法； ❖ 理解VaR的测定方法； ❖ 熟练掌握边际VaR、成分VaR、增量VaR及其应用方法； ❖ 了解巴塞尔协议度量市场风险的标准化模型。
V1 a V R2 aR 3.3 6
VaP R Va1R Va2 R
VaR参数的转换
❖ J.P. Morgan开发的“风险计量(Risk Metrics)”系统选择的置 信水平为95％(即1．65σ)，目标期间为1天；而巴塞尔委员 会建议的置信水平为99％(即2．33σ)，目标期间为10天。对 一个金融机构而言，两种要求下得出的在险价值是能相互转 换Mo的rg。an假的定标V准aR。B那C是么巴：塞尔委员会的标准，而VaRRM是J.P.
❖ 2、资产组合的VaR
N
RP iRi
i1
N N
N
NN
VRP 2 P
ijijij i2i22 ijij
i1j1
i1
i1 j1
11 12 1N1
VRP2 P1 N N1 N2 NN N 2
VaPR P W
❖ 相关系数和资产组合的VaR
2 P 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 V P A W P R W 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12
V （ d c ） a V R d S a 1 / 2 V R d S 2 aR
希腊字母群
❖ ①δ：基础资产现货价格对期权价值的线性影响
❖
SceyTNd1
S peyT Nd11
❖ ②Г：基础资产现货价格对期权价值的二阶影响
(伽) 玛 S 2c2e S y T T d1
❖ ③Λ：基础资产价格的波动性对期权价值的影响
W*
1c f(td) t -
❖ 如果收益率R服从均值为μ、标准差为σ正态分布，收益率R
的分布函数为
f(R) 1 e12R22
z
❖ 假设置信水平为c，根据正态分布和标准正态分布之间的转 换关系，投资组合在给定的置信水平c下的最小收益率R*可
以由下式决定
pr R o R * b -R *f(dr r p ) r Z oR * b 1 c
❖ 教学重点：
❖ 市场风险的VaR方法； ❖ 金融工具在险价值的计算方法； ❖ 边际VaR、成分VaR、增量VaR；
第一节 市场风险测度的VaR方法
❖ 一、VaR的界定
❖ VaR：value at risk， “风险中的价值”，简称风险价值， 是指在市场正常波动下，在给定的置信水平下,某一金融资 产或投资组合在未来特定的一段时间内（一天、一周或十天 等）可能遭受的最大损失值。 ❖ prob (ΔP>VaR) =c 或 prob (ΔP＜VaR) =1-c
cSeyTT d1
❖ ④ρ：无风险利率和基础资产收益率对期权价值的影响
rcKreT TN d2
p rKreT TN d2
y cSeyTTNd1 p ySeyTTNd1
❖ ⑤Θ：时间对期权价值的影响
c dT T
S y 2 e T T d 1 y S ye N T d 1 rK rN T d 2 e
❖ 协方差估算方法有两种：
❖ 一种是利用各个证券回报率的历史数据来估算
❖ 另一种是因子模型
ij (T1 1) (xt,ii)(xt,j j)
❖ 得尔塔一正态法的缺陷： ❖ 首先，它对事件风险无能为力。 ❖ 其次，许多金融资产收益率的分布都存在“厚尾”(Fat
❖ 其中，ΔP投资组合在持有期Δt内的损失 VaR为置信水平c下处于风险中的价值
绝对VaR和相对VaR
❖ W0、W分别为某一投资组合期初投资额和期末投资组合的 价值。μ、σ分别为投资期的期望收益率和收益率的波动性。 假设在置信水平c下的投资组合最小价值为W*= W0(1+R*)， R*为置信水平c下的最低投资回报率。
VSP P 再假定两债券都只有一次现金流量，即都是零息票债券，则
P PF erT,PPFerT
P*F为日元债券的面值，PF为美元债券的面值。
互换的价值为 VSP F erTPFerT
dV V Sd S V rd r r V d r P d S S D P d r DP
（2）利率互换
相关系数与VaR
❖ （1）当ρ＝0时
VP A W R P W 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2W 2 1 2 2 2 2W 2 2 2
(1W 1)2(2W 2)2 VA1R 2VA2R2
VA1R VA2R
❖ （2）当ρ＝1时 V P A W P R W 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
的随机变量组成的集合在总体上将收敛于正态分布。
第三节 金融工具在险价值的计算
❖ 一.固定收益证券的VaR
❖ 1.债券的VaR
N
P
t1
Ct 1y t
N
dP
dR
tCt
t1
1yt1
DP11y
dP
MD dy P
如果收益率很小，分母(1+y)近似于1
dPDdy
P
VaPR P WDdyW
举例：
N
1 2P 1 1
CPR2 P(1R)2
t
t1tCt 1Rt
P 1d dP yD1 2Cdydy
二、衍生金融工具的VaR ❖ 1．远期与期货 Fe-rTSe-yT
对于已订立的远期合约，根据同样的理论，其价格满足:
ft Se-yTKe-rT
dffdSfdrfd ye y T d S K rT T e d S r ye T T dy S r y
值。
2 P 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 220.052120.122
3
3
VaPR P W1.6 5
220.025120.122300
3
3
=1.65×15.620499
=25.7738
Va1 R1 W 11.6 50.0 520=106.5 Va2 R2 W 2 1.6 50.1 2100 =19.8
假定只有现货价格S这一风险因素，其他风险因素忽略不计
df f dS eyTdS
S 因此，远期合约的风险价值与基础资产的风险价值直接相关
V（ ad R ） S （ P d） S
V（ ad f） R e y T V（ ad S R ）
2．互换
❖ (1) 货币互换
❖ A借人日元，B借入美元，然后相互交换利息支付。P与P*分 别为日元债券和美元债券的价格
❖ 假定持有1亿美元的5年期美国国债，持续期为4.5年，在95％ 置信水平下，1个月内年收益率上升的最大值为O.38％，VaR为
VP a D R dy W
❖ VaR =持续期×收益率上升最大值×投资组合价值
❖
=4.5×l亿美元×O.38％=17l万美元
❖ 2.债券VaR的修正
P 1d dP y P 1d dP yd y21 Pd d2P 2yd2yDdy12Cdy2