【压轴题】高考数学试题及答案

【压轴题】高考数学试题及答案

一、选择题

1．已知2a i

b i i

+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1

B ．1

C ．2

D ．3

2．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．

13

B ．

12

C ．

23

D ．

34

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

4．一动圆的圆心在抛物线2

8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,0)

5．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+

)2

π

α B ．s(+

)2

co π

α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+

6．已知()3

sin 30,601505

αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310

B ．310

C 433

- D 343

-7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）

A ．34

B ．

16 C ．1112

D ．2524

8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的

正切值为

A ．

22 B ．3 C ．5 D ．7

9．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若m α，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n α，则m n ⊥；

③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④

B ．①②③

C ．①③④

D ．①②④

10．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''

=,//'''B C y 轴,

则ABC 中AB 边上的中线的长度为( )

A 73

B 73

C ．5

D ．

52

11．已知tan 212πα⎛⎫

+=- ⎪⎝

⎭，则tan 3πα⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

（ ） A ．1

3-

B ．

13

C ．-3

D ．3

12．设双曲线22221x y a b

-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2

1y x =+相切，则该双曲

线的离心率等于（ ）

A ．3

B ．2

C ．6

D ．5

二、填空题

13．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则

sin sin sin a b c

A B C

________．

14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.

15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=

，则cos()αβ-=___________. 16．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1

()tan 2

g x x =

的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．

17．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．

18．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ

=+-<<的图象关于直线3

x π=对称，则ϕ的值是________．

19．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．

20．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设

OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则m

n

=__________． 三、解答题

21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；

(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.

22．已知函数

2

()(1)1

x

x f x a a x -=+

>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；

（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．

23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，

DC ，SC 的中点.求证：

（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .

24．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛

⎫

=-= ⎪⎝

⎭

. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）

112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

()33{,,.1

2

x t a t R a b b

y t =+∈=+为参数求的值 25．已知函数()|1|f x x =+

（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.

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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】