高二入学考试数学试题+答案
高二第一学年入学考试(数学)试题含答案
高二第一学年入学考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）在下列各图中，相关关系最强的是（）A．B．C．D．2.（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）＝的定义域是（）A．[0，2]B．[0，2）C．[0，1）∪（1，2]D．[0，4]3.（5分）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝﹣|x|+3C．y＝﹣x2﹣1D．y＝2|x|4.（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关5.（5分）已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）6.（5分）已知cosα＝，则cos2α等于（）A．B．C．﹣D．﹣7.（5分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则用向量表示为（）A．B．C．D．8.（5分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为a2nD．这组新数据的方差不变9.（5分）若sin（）＝，则cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．10.（5分）已知sin（π﹣α）＝log8，且α∈（﹣，0），则tan（）＝（）A．﹣B．C．D．11.（5分）函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（）A．函数f（x）的图象可由y＝Acos（ωx）的图象向右平移个单位得到B．函数f（x）在区间上是单调递增的C．函数f（x）在区间上的值域为D．是函数f（x）图象的一条对称轴12.（5分）设实数a≠0，函数f（x）对任意的实数x都满足f（x）＝﹣f（x+4），当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝ax2sinx﹣，若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝，弧长为2π，则该扇形的面积为．14.（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m），（m＜0），则2sinα+cosα的值是．15.（5分）若A（2，﹣1），B（4，2），C（1，5），则+2＝．16.（5分）已知a＝sin78°，b＝cos10°，c＝tan55°，则a，b，c的大小关系为．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）化简f（x）；（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α+）的值．18.（12分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95，145]内）并制成频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩．（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）19.（12分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20.（12分）设，为两个不共线的向量，若＝+λ，＝2﹣．（1）若（+）∥共线，求实数λ的值；（2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值．21.（12分）已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．22.（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[0，]上的值域．答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）【答案】A【解析】解：对于A，图中各点成带状分布，这组变量具有较强的线性相关关系；对于B、C、D，图中所示的散点图中，样本点成片状分布，组中两个变量的线性相关关系相对较弱些．故选：A．2.（5分）【答案】C【解析】解：由函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，可得函数g（x）＝有意义，只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，解得0≤x≤2且x≠1．故选：C．3.（5分）【答案】D【解析】解：偶函数是A，B，C，因为x∈（0，+∞）时，y＝2|x|是增函数，故选：D．4.（5分）【答案】C【解析】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值．故选：C．5.（5分）【答案】D【解析】解：由已知得解得x＜0或x＞1，故选：D．6.（5分）【答案】C【解析】解：已知cosα＝，则．故选：C．7.（5分）【答案】A【解析】解：由题意可得，＝＝＝，＝＝．故选：A．8.（5分）【答案】D【解析】解：设这一组数据为X＝（a1，…an），由E（X+a）＝E（X）+a，D（X+a）＝D（X），故选：D．9.（5分）【答案】A【解析】解：∵sin（）＝，∴cos（）＝﹣cos[π﹣（）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣[1﹣2]＝﹣（1﹣2×）＝﹣，故选：A．10.（5分）【答案】D【解析】解：sin（π﹣α）＝sinα＝log8＝＝﹣，且α∈（﹣，0），∴cosα＝＝，则tan（）＝﹣cotα＝﹣＝，故选：D．11.（5分）【答案】A【解析】解：根据函数的部分图象，可得A＝2，2cosφ＝，故φ＝±．结合图象，可得φ＝﹣，则由五点法作图可得，ω×﹣＝，∴ω＝2，故函数的解析式为．把y＝Acos（2x）的图象向右平移个单位得到，y＝2cos（2x﹣）的图象，故A正确；在区间上，2x﹣∈[﹣，0]，函数f（x）单调递增，故B正确；由，由余弦函数的图象可得，y∈[﹣2，]，故C正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故不是f（x）的图象的对称轴，故D错误，故选：D．12.（5分）【答案】【解析】解：根据题意，函数f（x）对任意的实数x都满足f（x）＝﹣f（x+4），则有f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2021）＝f（﹣3+253×8）＝f（﹣3）＝﹣f（1），又由当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝ax2sinx﹣，则有f（﹣1）＝asin（﹣1）﹣＝﹣asin1﹣，f（1）＝asin1﹣＝asin1﹣，则f（﹣1）+f（1）＝﹣2，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣4，又由f（2021）＝﹣f（1），则f（2021）＝4，故选：A．二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）【答案】6π【解析】解：扇形的圆心角为，则半径R＝＝6，则扇形的面积S＝×2π×6＝6π，故答案为：6π14.（5分）【答案】【解析】解：角α的终边为点P（﹣4m，3m），所以x＝﹣4m＞0，y＝3m＜0，r＝|5m|＝﹣5m．sinα＝＝．cosα＝＝，∴2sinα+cosα＝．故答案为：．15.（5分）【答案】（﹣4，9）【解析】解：根据题意，A（2，﹣1），B（4，2），C（1，5），则＝（2，3），＝（﹣3，3），故+2＝（﹣4，9）；故答案为：（﹣4，9）．16.（5分）【答案】c＞b＞a．【解析】解：因为a＝sin78°＝cos12°＜cos10°＝b，即a＜b＜1，又因为c＝tan55°＞tan45°＝1，即c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）【答案】解：（I）f（x）＝．＝，＝，＝，＝﹣，（II）因为f（α）＝﹣＝﹣3，∴tanα＝2，tan（）＝＝﹣318.（12分）【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.004+a+0.028+0.032+0.016）×10＝1，解得a＝0.02．（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩为：100×0.004×10+110×0.02×10+120×0.028×10+130×0.032×10+140×0.016×10＝123.6．19.（12分）【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）＝sin2x+1+cos2x＝sin（2x+）+1，∴f（）＝sin（+）+1＝sin+1＝+1＝2．（Ⅱ）∵函数f（x）＝sin（2x+）+1，故它的最小正周期为＝π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．20.（12分）【答案】解：（1）根据题意，＝+λ，＝2﹣．则+＝3+（λ﹣1），若（+）∥，则设（+）＝k，即3+（λ﹣1）＝k（2﹣），则有，解可得λ＝﹣；（2）根据题意，，是夹角为的单位向量，则•＝﹣；若⊥，则•＝（+λ）•（2﹣）＝22﹣λ2+（2λ﹣1）•＝2﹣2λ+＝0，解可得λ＝；故实数λ的值为．21.（12分）【答案】解：（1）函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωx＝2sin（2ωx+），因为f（x）最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝2sin（2x+），f（）＝2sin＝1．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+＝kπ+可得x＝kπ+，k∈z．所以，f（x）图象的对称轴方程为x＝kπ+，k∈z．…（12分）22.（12分）【答案】解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx＝x＝因为函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π所以ω＝1因为f（x）＝，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z（2）f（x）＝∵x∈[0，]，∴，∴，∴，所以函数的值域为：．。
高二上学期入学考试数学试题及答案
高二（上）入学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=M ，{}0)2)(1(<-+=x x x N ，则=N M （ ） A ．{}0,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,02．=︒︒-︒︒70sin 160sin 70cos 20cos （ ） A ．0B ．21C ．23 D ．13．下列说法中正确的是( ).A 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 .B 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形.C 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体.D 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台4．若3tan =α，则=-)4tan(πα（ ）A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=+73a a （ ） A ．18B ．24C ．30D ．426． 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 0a b ->D ．21a b-<7．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m 8．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则此三角形是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列}{n a 的各项均为正数，且167465=+a a a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）A ．20B ．15C ．8D ．5log 32+10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( ).A 12尺 815尺 .C 1631尺 .D 1629尺 11．在ABC ∆中，4=a ，5=b ，6=c ，则=AC2sin sin （ ）A ．43B ．54C ．1D ．3412．设n S 是数列{}n a 的前项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则2021S =（ ）.111,.,.2021,202120212020AB C D-二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______ 14．若实数b a ,满足122=+ba，则b a +的最大值是___________.15．已知母线长为3m 的圆锥的轴截面的底角为α，且322sin =α，一只蚂蚁从底面圆周上一点A 出发沿圆锥侧面一周回到点A 所经过的最短路程为_____ 16.给出下列四个叙述:①化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒ ②已知向量a 与b 的夹角为45︒,||2a =,||4b =,则||10a b -=；③已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-,且3(,2)2παβπ+∈,(,)2παβπ-∈,则24sin 225α=； ④已知O 为ABC ∆的重心,动点P 满足112663OP OA OB OC =++,则点P 是ABC ∆的边AB 的中线的一个三等分点.⑤.已知0,0a b >>,且2a b +=,则14a b +的最小值是 92⑥若不等式2210x x k x R -+->∈对恒成立,则实数k 的取值范围是k<2其中所有正确叙述的序号是 .三．解答题17．（10分）已知函数2()3(5)f x x a a x b =-+-+. (Ⅰ)当不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求实数,a b 的值；(Ⅱ)若对任意的实数a ,若不等式(2)0f <恒成立,求实数b 的取值范围.18．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为x m ，由于地形限制,0x a <≤，水池总造价为)(x f 元．（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的最小值．19. (12分)如图，是四棱柱1111D C B A ABCD -的三视图。
四川省南充2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题含解析
南充高中高2023级高二上学期入学考试数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）考试范围：必修第一册、必修第二册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2的实部是（）A.2 B.C.2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据复数的定义，可得答案.【详解】由题意，可得复数2的实部是2，故选：A.2.已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B = （）A.{5} B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，求出集合,A B 的交集即可.【详解】∵{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，∴A B = {4,5}.故选：B.3.已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（）A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.||||x y y z>【答案】B 【解析】【分析】由0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定.取特值可得AD 错误；根据不等式的基本性质可判定BC 项.【详解】因为x y z >>，0x y z ++=，则303x x y z z >++=>，所以0x >，0z <.AD 选项，令2,0,2x y z ===-，满足条件x y z >>，0x y z ++=，但0xy yz ==，则0x y z y ==，故AD 错误；B 选项，由,0y z x >>，则xy xz >，故B 正确；C 选项，由,0x y z ><，则xz yz <，故C 错误.故选：B.4.已知函数()()2log 2,02,0xx x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()()23ff -=，则k =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据()22f -=，利用()()()223ff f -==可构造方程求得结果.【详解】()22log 42f -== ，()()()222243f f f k k ∴-==-=-=，解得：1k =.故选：C.5.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .6.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】由()11a xa y x y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当xa yy x =即=y时等号成立，19a ∴+≥，2≥或4(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4.故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.2-B.2-C.2-D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到7π7π())1212f ϕ=⨯+=进而求出π3ϕ=，最后，直接求函数值即可.【详解】由图得，A =，7πππ41234T =-=，2ππT ω∴==，得2ω=，所以，())f x x ϕ=+，则7π7π()1212f ϕ=⨯+=，得7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，由||2ϕπ<得，π3ϕ=，则π())3f x x =+，所以，πππ6)2332f ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭.故选：A.8.已知4AB =，π4ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC = ，当AP BP ⋅ 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（）.A.πB.3πC.4πD.5π【答案】D 【解析】【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC =，所以3BC BP = ，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC ==，设ABC V外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =，所以2π5πS R ==，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD10.在ABC V 中，下列结论正确的是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B.若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C.若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D.若coscoscos222ab c A B C ==，则ABC V 是等边三角形【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB ；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C ；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A ，ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则有22A B =或2π2A B =-，当22A B =时，A B =，ABC V 为等腰三角形；当2π2A B =-时，π2A B =-，ABC V 为直角三角形，故A 选项不正确，对于B ，ABC V 中，若πsin cos sin 2B A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则π2B A =-或ππ2B A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即π2A B +=或π2B A =+，因此ABC V 不一定是直角三角形，故B 选项不正确；对于C ，ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则根据正弦定理得222a b c +<，余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，则C 为钝角，ABC V 是钝角三角形，故C 选项正确；对于D ，ABC V 中，若coscoscos 222ab cAB C ==，则sin sin sin cos cos cos 222A B CA B C ==，即sin sin sin 222A B C ==，由,,(0,π)A B C ∈，得π,,0,2222A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222A B C==，A B C ==，ABC V 是等边三角形，故D 选项正确．故选：CD ．11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（）A.沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B.沙漏的体积是3128πcm C.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）【答案】ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】对于A ，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=，体积2312164ππcm 33398231h V r =⋅=⋅⋅=，A 选项正确；对于B ，沙漏的体积222112562π2π48πcm 3233h V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C ，设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：211024π1π8132h h ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11024π16π813h =，所以1 2.37cm h ≈，C 选项正确；对于D ，因为细沙的体积为31024πcm 81，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：1024π1024 3.14815019850.0281⨯≈⨯≈秒，D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(3,2),(1,)m m =-= a b ，若a b ⊥ ，则m =______.【答案】3-【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.因为a b ⊥ ，所以320m m -+=，则3m =-.故答案为：3-.13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．【答案】50【解析】【分析】设总人数为n ，得到1201200360n=，求得3600n =，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为120 ，设总人数为n ，则1201200360n=，可知3600n =，故该校的总人数为3600，由高一、高二、高三年级人数的比为150:120:905:4:3=，可知高一年级人数为536001500543⨯=++，则抽样时应从高一年级抽401500501200⨯=(人).故答案为：50.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为______.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】【分析】由已知可得()f x 在(0,)+∞上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，则可得()33log 25log 8x ->，再对数的性质要求得结果【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB 且交AC 于点F ，（1）求|2|BE DF +的值（2）求()DE DF DA +⋅的最小值.【答案】（1）1（2）1120【解析】【分析】（1）设BE x =，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【小问1详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ， //DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=.【小问2详解】//DF AB ，DE DF ∴⊥，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.16.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .3.9≈，215925281=，216928561=.（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；（3）如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.【答案】（1）40；（2）166,7μσ≈≈；（3）平均数为159，方差为203.【解析】【分析】（1）根据样本数据在[]160,165范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X ，再利用混合样本的方差公式计算2S ,最后对μ，σ进行估计即可；（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出1021256150ii x==∑，再由公式1022211(1699)9i i s x x ==-''-∑计算出方差.【小问1详解】因女生样本中，身高在[]160,165范围内的占比为42105=，故该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数估计为2100405⨯=；【小问2详解】记总样本的平均数为X ，标准差为S ，由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为169y =，方差为239y s =，女生样本（10人）的身高平均数为160x =，方差215x s =，则201691016016630X ⨯+⨯==，2222121[39(169166)](160166)]4851493333S =+-++-=⨯+⨯=，故166,7μσ≈≈=；【小问3详解】因160x =，s =，则()2,2x s x s -+，即(160-+，约为()152.2,167.8，由样本数据知，169(160∉-+，为离群值，剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：1(16010169)1599x '=⨯-=；由10102222111110256000151010xi i i i s x x x ==⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑可得，1021256150i i x ==∑，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：10222211120(1699)(25615028561925281)993i i s x x ='=--=--⨯='∑.17.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．（1）若3AC =，求ACD 周长的最大值；（2）若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）9（2）3+【解析】【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设DAC α∠=，在ACD 和ACB △中使用正弦定理，联立得到()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，由正弦和角公式得到sin1054+︒=，从而得到αα-=，求出tan DAC ∠的值.【小问1详解】在ACD 中，222222cos AC AD DC AD DC D AD DC AD DC=+-⋅=+-⋅2222()()3()324AD DC AD CD AD DC AD DC AD DC ++⎛⎫=+-⋅≥+-=⎪⎝⎭，即2()94AD CD +≥，解得：6AD DC +≤，当且仅当3AD DC ==时取等号．故ACD 周长的最大值是9．【小问2详解】设DAC α∠=，则120DCA α∠=︒-，45BCA α∠=-︒．在ACD 中，sin sin 60CD ACα=︒，在ACB △中，()sin 45sin105AB AC α=︒-︒，两式相除得，()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，因为()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，∴αα=，故tan tan 3DAC α∠===+18.已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143xx a f x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质()00f =，()()f x f x =--，即可求出函数()f x 的解析式；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m 的取值范围.【小问1详解】∵()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且[]4,0x ∈-时，()143xx af x =+，∴()0010043=+=af ，解得1a =-，∴[]4,0x ∈-时，()1143=-x xf x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则()()113443x x x x f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．∴函数()f x 的解析式为()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩【小问2详解】∵[]2,1x ∈--时，()1143=-xx f x ，∴11114323x x x x m --≤-在[]2,1--有解，整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()12223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，∴()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()11min1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m ≥∴实数m 的取值范围是[)5,+∞．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB .（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）存在；14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，进而得AB PD ⊥，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使//BM 平面PCD ，则0BM n ⋅=，由此列式求解λ可得.【小问1详解】∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；【小问2详解】取AD 中点为O ，连接,CO PO ，又∵PA PD =，∴PO AD ⊥．则1AO PO ==，∵CD AC ==CO AD ⊥，则2CO ===，以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,1,0)D -，(2,0,0)C ，则(1,1,1)PB =-，(0,1,1)PD =-- ，(2,0,1)PC =- ，(2,1,0)CD =-- ，设(),,n x y z = 为平面PCD 的一个法向量，则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令1z =，则1,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则3sin cos ,3n PB n PB n PBθ⋅===‖；【小问3详解】假设在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD .设AM AP λ=，[]0,1λ∈，由（2）知，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，则(0,1,1)AP =- ，(1,0,0)BA =-uu r，()(1,0,0)(0,,)1,,BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--，由（2）知平面PCD 的一个法向量1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若//BM 平面PCD ，则112022BM n λλλ⋅=-++=-= ，解得14λ=，又BM ⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)
长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。
福建省高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则“”是“”的（ ） {}012M =,,{}1,0,1,2N =-a M ∈a N ∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为,所以“” “”，但“”推不出“”， M N ⊆a M ∈⇒a N ∈a N ∈a M ∈所以“”是“”的充分不必要条件. a M ∈a N ∈故选：A.2．已知，，则的值为（ ）πsin 2sin 2αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan αA B C ．D ．【答案】B【分析】利用倍角的正弦公式和诱导公式化简可得，再求． 1sin 2α=tan α【详解】∵，则πsin 22sin cos ,sin cos 2ααααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin cos cos ααα=又∵，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α≠∴，即，则1sin 2α=π6α=tan α=故选：B ．3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复()2i i z a =+数”，则实数的值为（ ） a A ． B ．C ．2D ．1-0-2【答案】D【分析】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等， ()2i i=2i z a a =+-复数为“等部复数”，所以，所以. z 2a -=2a =-故选：D.4．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（ ） 8,5,8,7,8,6,97,7,5A ．该组数据的平均数为7，众数为 7.5B ．该组数据的第60百分位数为6C ．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小D ．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 【答案】C【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得； 【详解】解：这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 5567778889故平均数为，众数为和，中位数为，故A 错误； ()152673839710⨯++⨯+⨯+=787方差为， ()()()()2222157******** 1.610⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=⎣⎦因为，所以第60百分位数为，故B 错误； 1060%6⨯=787.52+=如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为， 77此时的方差为，故C 正确； ()()()()22221165726787397 1.61111⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=<⎣⎦对于D ：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D 错误； 故选：C5．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，//EF） 12,2EF AB AE ===A B ． C D ．32π【答案】A【分析】根据给定条件，求出点E 到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结ABCD 合球面的性质求解作答.【详解】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形中心O ，EF 中点，连接，如ABCD 2O 2,,,EN MN FM OO 图，依题意，平面，，点O 是MN 的中点，， 2OO ⊥ABCD ////EF AB MN 4MN AB ==等腰中，，，同理AED △AD EN⊥EN ==FM =因此，等腰梯形的高 EFMN 2OO =刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径1O 2OO 11,,O E O A OA ABCD OA =则有，而， 222112221221O A OA OO O E O E O O ⎧=+⎨=+⎩1121,12O A O E O E EF ===当点在线段的延长线（含点O ）时，视为非负数，若点在线段（不含点O ）1O 2O O 1OO 1O 2O O 上，视为负数，1OO 即有，即，解得，21211O O O O OO OO =+=222111)OO OO +=+10OO =因此刍甍的外接球球心为O ，半径为 OA =所以刍甍的外接球的体积为. 34π3⨯=故选：A【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.6．在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对应边，设A ＝2C ，则的取值范围是2cc b+（ ）A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得()22sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin c C C Cc b C B C B C A C ===+++++()2sin 2sin sin sin 2sin sin 2cos cos 2sin C CC C C C C C C C ==++++()222sin sin 2sin cos 2cos 1sin CC C C C C=++-()22222214cos 2cos 12cos 2cos 1C CC C ===++-又因为三角形是锐角三角形，所以，即，也即, π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩()π022π0π2π02C A C C ⎧<<⎪⎪⎪<-+<⎨⎪⎪<<⎪⎩π04ππ63π02C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩所以， ππ64C <<，， cos C <213cos 24C <<2312cos 2C <<， 221132cos C <<所以的取值范围是， 2c c b +2,13⎛⎫⎪⎝⎭故选：A7．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，()cos 2(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭2π()f x 6π再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是()g x （ ） A ．B ．的图象关于点对称(0)0g =()g x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象关于对称D ．在上的最大值是1 ()g x 4x π=-()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到，再依次判断选项即可. ()sin 2g x x =-【详解】因为，所以，.222T ππω==2ω=()cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度，得到， ()f x 6πcos 4sin 466y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. ()sin 2g x x =-对选项A ，，故A 正确.()0sin 00g =-=对选项B ，，所以的图象关于点对称，故B 正确.sin 02g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对选项C ，，所以的图象关于对称.故C 正确.sin 142g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()g x 4x π=-对选项D ，，，所以， ,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦1sin 212x -≤≤所以，故在上的最大值是，故D 错误.()112g x -≤≤()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12故选：D8．如图，在平面四边形ABCD ，，，，．若点E 为AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒1AB AD ==边上的动点，则的取值范围为（ ）CD AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22116⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由已知条件可得，则，由BC DC ==DE x =(0CE x x =≤≤，展开后，利用二次函数性质求解即可. ()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+【详解】∵()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+,AD BC AD CE DE BC DE CE =⋅+⋅+⋅+⋅ 因为，，， AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒所以，60BCD ∠=︒连接，因为，AC 1AB AD ==所以≌， Rt ADC A Rt ABC △所以， 30ACB ACD ∠=∠=︒所以，则 2AC =BC DC ==设，则，DE x =(0CE x x =≤∴，，，312AD BC ⋅=︒= 0AD CE ⋅=60DE BC x ⋅=︒=，2)(1)DE CE x x x ⋅=-=所以，22233212216AE BE x x x ⎛⋅=+=+=+ ⎝因为， 0x ≤≤所以.21316AE BE ≤⋅≤故选：A.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列选项正确的是（ ） 0b a <<A ． B ． C ．D ．22a b >a b ab +<a b <2ab b >【答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,由得:，故错误； 0b a <<22a b <对于B ，因为，所以，故正确； 0b a <<00a b ab +<>，对于C;由得:，故正确；0b a <<a b <对于D,由于，故，故错误；()20ab b b a b -=-<2ab b <故选：BC10．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） 123,,z z z 30z ≠A ．若，则 B ．若，则 12=z z 12=±z z 1323z z z z =12z z =C ．若，则 D ．若，则2313z z z =13z z =21z z =1323z z z z =【答案】BD【分析】由反例可知AC 错误；由可得，得到，知B 正确；设1323z z z z =()3120z z z -=12z z =，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D 正确.1i z a b =+3i z c d =+1323z z z z =【详解】对于A ，若，，则，此时，A 错误；11i z =+21i z =-12=z z 12z z ≠±对于B ，，，又，，即，B 正确； 1323z z z z = ()3120z z z ∴-=30z ≠120z z ∴-=12z z =对于C ，若，则，若为虚数，则，C 错误； 13z z =213333z z z z z ==13,z z 13z z ≠对于D ，设，，则，1i z a b =+3i z c d =+21i z z a b ==-，，()()()()13i i i z z a b c d ac bd ad bc ∴=++=-++()()()()23i i i z z a b c d ac bd ad bc =-+=++-，==，D 正确. 1323z z z z ∴=故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ()sin lg sin f x x x =+A ．的最大值为1B ．2π是的周期()f x ()f x C ．关于，对称 D ．在上单调递增()f x (π,0)k Z k ∈()f x π(0,)2【答案】ABD【分析】求得的最大值判断选项A ；依据周期定义判断选项B ；举反例否定选项C ；依据复合()f x 函数单调性判定规则判断选项D.【详解】定义域为，()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈选项A ：的单调递增区间为，()sin lg sin f x x x =+π(2π,2π)2k k +Z k ∈单调递减区间为，π(2π,2ππ)2k k ++Z k ∈则在，时取得最大值.判断正确；()f x π2π2x k =+Z k ∈π(2π)1lg112f k +=+=选项B ：由 (2π)sin(2π)lg sin(2π)sin lg sin ()f x x x x x f x +=+++=+=可得2π是的周期.判断正确；()f x 选项C ：由定义域为 ()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈可得点在图象上，π(,1)2P ()f x 但关于的对称点不在图象上，π(,1)2P (0,0)π(,1)2P '--()f x 则不关于，对称.判断错误；()f x (π,0)k Z k ∈选项D ：当时，单调递增，且，则单调递增，π(0,)2x ∈sin x sin (0,1)x ∈lg sin x 则当时，单调递增.判断正确.π(0,2x ∈()f x12．下列命题正确的是（ ）A ．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件m n λλ= m n 0m n ⋅<u r rB ．点是边的中点，若在的投影向量是 D ABC A BC AB AC AB AC += BA BC BD C ．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最D ABC A BC P AD BP BA BC λμ=+λμ大值为18D ．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底1e 2e 12e e + 12e e -【答案】ABC【分析】对A ，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B ，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C ，根据、、ABC A CAB ∠A P 三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t 表示，根D (1),01BP tBA t BD t =+- ……BD 12BC λμ据二次函数性质即可判断；对D ，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可【详解】对A ，若存在负数，使得，则成立；λλ= m n 20m n n λ⋅=< 当时，可能夹角为钝角，不满足，故A 正确；0m n ⋅<u r r,m n λ= m n对B ，由同向的单位向量和与同向的AB AC AB AC += AB 1e AC 单位向量，1e和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.AD 3e 2CAB π∠=AD CAB ∠又是边的中点，D ABC A BC 由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.ABC A CAB ∠BA BC BD对C ，如图所示：∵在上，即、、三点共线， P AD A P D 则可设，(1),01BP tBA t BD t =+-……又∵，∴， 12BD BC =(1)2t BP tBA BC -=+∵，则，，BP BA BC λμ=+ 12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩01t ……令， 21111(2228t y t t l m -==´=--+时，取得最大值为，故C 正确 12t =λμ18对D ，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对1e 2e 12e e + 12e e -1e 2e 角线，故，一定不共线，故能作为一组基底，故D 错误； 12e e + 12e e -故选：ABC三、填空题13．已知非零向量，的夹角为，则______．a bπ3()a ab ⊥- b =【答案】【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量，的夹角为得：，即a b π3()a ab ⊥-()0⋅-= a a b 20a ab -⋅= ，于是得，所以2π3||||cos |3aa b a b b ==⋅==||b = 故答案为：14．圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________． 【答案】28π【分析】求出圆台的高，结合圆台的体积公式即得解.【详解】解：设这个圆台的高为h ，画出圆锥圆台的轴截面，可得，解得h =3， 2646h -=所以这个圆台的体积是.2213(24)283πππ⨯⨯⨯+⨯=故答案为：28π15．甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平60kg 均数为，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为，那么甲､乙两队全部队员的方64kg 1:3差等于___________. 【答案】178【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可知甲队的平均数为，乙队体重的平均数为， 60kg 64kg 甲队队员在所有队员中人数所占权重为， 11134=+乙队队员在所有队员中人数所占权重为， 33134=+则甲、乙两队全部队员的平均体重为，4136064634x kg =⨯+⨯=甲、乙两队全部队员体重的方差为．22213[100(6063)][200(6463)]17844s =+-++-=故答案为178．16．如图，在中，角、、的对边分别为、、，若，，，若ABC A A B C a b c 3cos 4A =2B A =3b =点在边上，且平分，则的面积为____________.M BC AM BAC ∠ABM A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用二倍角公式可求得、，进而sin A sin B cos B 可求得的值，利用正弦定理可求出、的值，利用角平分线的性质可求得、的长，sin C a c BM CM 再利用三角形的面积公式可求得的面积.ABM A 【详解】因为，，，则为锐角，且3cos 4A =2B A =3b =A sinA ===所以，， 3sin sin 22sin cos 24B A A A====由得， sin sin a b A B =sin 2sin b A a B ===， 2231coscos 22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭所以，()13sin sin sin cos cos sin 84C A B A B A B =+=+=+=由正弦定理得. sin sin b c B C =sin 5sin 2b C c B ===又平分，则，AM BAC ∠36552ACM BAM S CM CA S BM BA ====A A又，所以，，， 2CMBM BC +==1211CM =1011BM =所以，. 11510sin 22211ABM S BA BM B=⋅=⨯⨯=△四、解答题17．在中，.ABC A 222a a c b =+-=(1)若，求；b =sin C (2)若存在且唯一确定，求的取值范围.ABC A b 【答案】(1)答案见解析(2)或2b =b ≥【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然222a c b +-=B c 后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范sin C ABC A sin b a B =b a ≥b 围.【详解】（1）因为，222a c b +-=所以. 222cos 2a c b B ac +-===因为，0B π<<所以.4B π=由余弦定理知2222cos .b c a ca B =+-.2224c c π=+-⨯得.2430c c -+=所以，或.1c =3c =由正弦定理知. sin sin c b C B=所以，当时，1c =sin C当时，3c =sin C =（2）由（1）得，存在且唯一确定，则，或 4B π=ABC A sin 2b a B ===b a ≥=综上，当或时，存在且唯一确定.2b =b ≥ABC A18．已知函数．()22cos cos sin f x x x x x =+-(1)若，求的单调递增区间；()0,x π∈()f x (2)若，且，求的值． ()65f θ=263θππ<<sin 2θ【答案】(1)单调递增区间为， 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先化简函数，再求函数的单调递增区间； ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）的结果求得，再利用角的变换，结合两角3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=差的正弦公式，即可求解.【详解】（1）， ()cos 22=+f x x x 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，，则，，222262k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 因，所以的单调递增区间为，. ()0,x π∈()f x 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以．因为，所以， ()65f θ=3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭263θππ<<32262πππθ<+<所以，所以 4cos 265πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 2cos cos 2sin 6666ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=⨯=19．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，2πCD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，2ABC BAD π∠=∠=因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE ∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG ∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝（BC +AD ）＝3，12故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，， 2tan 3BFE ∠=因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠=1sinGH BFE =⨯∠=故，tan DHG ∠==因为∠DHG 为三角形的内角，故cos DHG ∠=所以二面角D ﹣BF ﹣E． 20．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，AB O P O O C 2AC BC =点是的中点，与交与点，点是上的一个动点.D PA PO BDEF PC（1）若平面，求的值； //EF ABC PC FC（2）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.F PC 2PC AB ==P BEF -【答案】（1）3；（2）. 445【分析】（1）先证明，再证明点为的重心，即得解； PF PE FC EO =E PAB A （2）分析得到，再求出即得解. 13P BEF P BOC V V --=14,315P BOC BOC V S PC -=⨯=A 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面//EF ABC EF ⊂ABC POC ⋂ABC OC =所以，所以． //EF OC PF PE FC EO=因为，分别为，的中点，D O PA AB 所以点为的重心，E PAB A 所以，即，所以. 2PE EO=2PF FC =3PC FC =（2）点为的重心，所以, E PAB A 23PE EO =又点为的中点，所以, F PC 12PF PC =所以, 211323PEF POC S S =⨯=A A 所以. 13P BEF B PEF PEF P BOC B POC POC V V S V V S ----===A A 在直角中，, ABC A 122,2,25BOC ABC AB AC BC S S ==∴==A A所以 11242,33515P BOC BOC V S PC -=⨯=⨯⨯=A 所以. 1144331545P BEF P BOC V --==⨯=A 所以三棱锥的体积为. P BEF -44521．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：123 344 423 114 423 453 354 332 125 342534 443 541 512 152 432 334 151 314 525(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；(2)计算甲获胜的概率.【答案】(1)0.65(2)0.648【分析】（1）由频率可得到概率估计值；（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、三次比赛胜利，第二次比赛失败.【详解】（1）设事件为 “甲获胜”，A 计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次：A 对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314， 用频率估计事件的概率近似值为； A ()130.6520P A ==（2）设事件为第局“甲获胜”，则，i A i ()0.6i P A =12123123A A A A A A A A A =++根据概率的加法公式和事件独立性定义，得∴.()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯=22．为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估计该地区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使用户在第一档（最低一档），用户在第二75%20%档，用户在第三档（最高一档）.5%①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；αβ②市政府给出的阶梯电价标准是：第一档元/千瓦时，第二档元/千瓦时，第三档元/千瓦0.40.550.8时，即：设用户的用电量是千瓦时，电费是元，则x ()f x ，试估计该地区居民的户月均电费平均值.()()()()0.4,0.40.55,0.40.550.8,x x f x x x x x ααααβαβαββ⎧≤⎪=+-<≤⎨⎪+-+->⎩【答案】(1)；(2) ①,；②.6776α==90β27.14【分析】（1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值作代表进行求解即可；（2）①利用频率分布直方图中的频率分别列式求解即可；②利用平均数的计算方法求解即可.【详解】（1）设户月均用电量的平均值为，x 则；450.1550.2650.375x =⨯+⨯+⨯+0.25850.1950.0567⨯+⨯+⨯=（2）①因为前三组的频率为，()0.010.020.03100.6++⨯=第四组的频率为，所以在，则有0.025100.25⨯=α[70,80)，解得，()0.025700.750.6α⨯-=-76α=区间的频率为，区间的频率为，[40,80)0.60.250.085+=[80,90)0.1所以；=90β②设该地区居民户月均电费的平均值为，依题意得w0.4(450.1550.2650.3750.25)w =⨯⨯+⨯+⨯+⨯0.4760.10.5590.10.4760.05+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 0.55140.050.850.0527.14+⨯⨯+⨯⨯=。
2023年高二上学期开学考试数学试题(含答案)
高二数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若z(2-i)²=-i (i 是虚数单位),则复数z 的模为A. B. C. D. 2.如图所示，△A'O B '表示水平放置的△AOB 的直观图，B '在x’轴上c あ 和x '轴垂直，且AdO=1, 则△AOB 的边OB 上的高为 ( )A. 4√2B.2√2C. 4D. 23.设a=(- 1,3),b=(1. 1),x 容+kb,若b ⊥ā,则ā与こ夹角的余弦值为()A. B. C. D.4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地 区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.估算月经济损失的平均数为m, 中位数为n, 则A.50B.75C.90D.1005. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代已具有很高的数学水平，其求法是："以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式，即, 其 中a 、b 、C 分别为△ABC 内 角A 、B 、C 的对边.若,b=2, 则△ABC 面积S 的最大值为( )A.√3B.√5C.2D.√26. 在下列条件中，使M 与 A,B,C 一 定共面的是( )A. OM=OA-OB-OCB.C. MA+MB+MC=0D. OMA+OB+OC=0 7.已知直线L:xsinα+2y - 1=0, 直线l ₂:x-ycos αt3=0, 若L ⊥L ₂, 则tan 2α=( )A. B. C. D.8.若过直线3x-4y+2=0上一点A :(x-2)²+(y+3)²=4 作一条切线于切点T, 则|MT|的最 小值为( )A.√ 10B.4C. 2√2D. 2√3二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得分 )9.已知三条不同的直线l,m,n 和两个不同的平面α,β,下列四个命题中不正确的为( )A 若m//α,n//α, 则 m//nB. 若l//m,mcα, 则l//aC. 若l//α,l/β, 则α//βD. 若l//a,l ⊥β, 则α⊥β10.如图，已知正方体ABCD-AB₁C₁D₁的棱长为2, E、F 分别为AD、AB 的中点，G 在线段A₁C 上运动(包含两个端点),以下说法正确的是( )A. 三棱锥C-EFG 的体积与G 点位置无关B. 若G 为AC 中点，三棱锥C-EFG 的体积》C. 若G 为AC₁中点，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是D. 若G 与G 重合，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，截面为三角形11.在锐角△A B C中，若,且√3sinC+cosC=2,则a+b不能取到的值有( )A. 2 C 2√3B D.√312.下列命题正确的是( )A. 已知空间向量元=(3.13),i=(A)), 且而/后，则实数B. 过点(3,2),斜率是的直线分程是2x-3y=0C. 已知直线mx+2y+3=0 与直线3x+(m- 1)y+m=0 平行，则实数m 为2D. 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是(x-2)²+(y- 1)²=1三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分 . 将答案填在题中横线上)13.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本 情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为14.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2 √6,则该正四棱锥外接球的表面积为15.已知△ABC 是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且CP|=√3, 则FC.(PA+PB) 的取值范围.16.与圆x²+y²-4y=0 相交所得的弦长为2,且在y 轴上截距为-1的直线方程是四 、解答题(本大题共4小题，共40分 . 解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤 )17.如图， BC=2, 原点O 是 BC 的中点，点A 的坐标为) , 点D 在平面yOz 上，且 ∠BDC=90°, ∠DCB=30° .(1)求向量CD 的坐标.(2)求AD 与BC 的夹角的余弦值.18.某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查， 每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据是自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这0名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图.下图是根据本学期第二次抽样调查师生打众结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40, 50),(50,60),...,[90,100].(1)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(2)学校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量. 校长的做法是让学生在"差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者"没有出现好评",会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况，若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在(40,60)之间的会给“差评”,评分在(60,80)之间的会给“中评”,评分在[80,100]之间的会给“好评”,已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率.19. 在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD, 底面ABCD 为直角梯形，BC//AD,∠ADC=90°, 1,PA=PD,E,F 为AD,PC 的中点.(I) 求证： PA//平面 BEF;( Ⅱ) 若PC 与AB 所成角为45°,求PE 的长；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,·b,c.(1)若(2a c)cosB=bcosC.b=Z;5, 求sinC的值.(2)若△ABC为锐角三角形中，b²=4c²,求cosC的取值范围.。
高二入学考试数学试题答案
D.-的图象向左平移一个单位，所得的函数图象的一条对称轴方程是6 4C. xD.x3 12+2k 兀,k€ Z, q： y=cos （3 x + 0 ）（ 3 丈0）是奇函数，贝U p 是q的（B.充分不必要条件D. 既不充分也不必要的条件5、设a>0, b>0,且不等式上+ 土+史一X）包成立，则实数k的最小值等丁（）a & a+bxln x6、函数y——的图象可能是（）x7、已知一个确定的二面角a-l -和白是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使口和占所成的角也确定的是（）A. 口础伊口/穿且占］B C.Q匚疵且b上B D.Q 1 Q且A _L p8、已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球。
的球面上，球O的体积为2好 ,则OA3与半向ABCD所成的角的余弦值为（）A.二1010 B. -55C. -105D. -155高二全一、选择题（本大题共1、已知集合A x|x2A. A，B2、1 tan17' tan 28'tan17，tan 28, 能知识竞赛时量：120分钟总分：150分12小题，每小题5分，共60分）4x 3 0 ,BB. A B等丁（）x|y Vxl ,见J ()C. B A数学试题D. A B3、将函数y sin 2x （）A. x 一12兀4、若p： 0 =2A.充要条件C.必要不充分条件B. x -6三、解答题(共6道大题，共70分，解答应写出文字说明、 算步骤。
) 17、在S B 皿角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已藉。
裟。
)(1) 求角C 的大小；(2) 若c=2,求zXABCH 积最大值.(本小题满分10分)18、(本小题满分12分)已知函数 f(x) = x 2 — 2x- 8, g(x) = 2x 2-4x - 16, ⑴ 求不等式g(x)<0的解集;9、设实数x, y 满足约束条件A.B.it+y - 7<0 K -3y+l< 0 3x _ y一 5》。
四川省高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。
高二数学上学期入学考试试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校石室二零二零—二零二壹高二数学上学期入学考试试题〔含解析〕一、选择题〔一共12小题；一共60分〕()(){}120A x x =-+<，集合{}|13B x x =-<<，那么A B =〔〕A.{}|11x x -<<B.{}|23x x -<<C.{}|12x x <<D.{}|13x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】此题结合一元二次不等式的解法，考察集合的并集运算。
【详解】可解得集合A {}|21x x =-<<，{}|23A B x x ⋃=-<<，选B.【点睛】解决一元二次不等式应注意大前提是二次项系数大于零时才满足：小于取中间，大于取两边。
{}n a 中，1210a a +=，3460a a +=，那么78a a +=〔〕A.110B.160C.360D.2160【答案】D 【解析】【分析】34a a +应当做整体处理，可看做212()q a a +，求出2q ，再进展求解。
【详解】()2341260a a q a a +=+=，可求出2q =6，()3623781212()()6102160a a q a a q a a +=+=+=⨯=，选D.【点睛】等比数列的求法主要是解决q 的问题，整体代换解决q 是数学中常用的方法，考生应强化指数的相关运算。
3.αβ，为平面，,,a b c ) A.a α⊂，假设b a //，那么b α//B.,c b c αβαβ⊥⋂=⊥，，那么b β⊥C.,a b b c ⊥⊥，那么a c //D.,,,,a b A a b a b ααββ⋂=⊂⊂////，那么αβ// 【答案】D 【解析】A 选项直线b 有可能在平面内；B 选项需要直线b 在平面α内才成立；C 选项两条直线可能异面、平行或者相交.D 选项符合面面平行的断定定理，故正确.210x y +-=的直线方程为〔〕A.20x y +=B.220x y +-=C.20x y +=或者220x y +-=D.20x y +=或者220x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】此题考察平行直线间的间隔公式。
高二数学上学期开学考试题含解析 试题(共10页)
高新部高二开学(kāi xué)考试数学试题一、选择题(一共12小题，每一小题5分,一共60分)1. 函数在，)上的大致图象依次是以下图中的( )A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③【答案】C【解析】对应的图象为①，对应的图象为②，对应的图象为④，对应的图象为③.应选C.2. 在同一坐标系中，曲线与的图象的交点是( )A. B.C. D. (kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线与的图象，观察图形可知选项B正确，应选B.3. 关于函数，以下说法正确的选项是( )A. 是周期函数(zhōu qī hán shù)，周期为πB. 关于直线对称C. 在上的最大值为D. 在上是单调递增的【答案】D【解析】.4. 函数x的最小值、最大值分别是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故函数的最小值为，最大值为 .应选A.5. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】2. ∴当时，，当时，，应选C.6. 的值是( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】 .应选B.7. 使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，所以＝，所以，排除A和D；因为在区间]上为减函数，又，所以为奇数，应选C.【点睛】此题的关键步骤有：利用辅助角公式化简表达式；根据奇函数的特征求得＝.8. 假设α是锐角，且)＝，那么的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】是锐角，∴，又)，∴sin(x＋)，∴sinα＝sin[(α＋)－])).应选A.9. 的大小关系是( )A. cos 1＞cos 2＞cos 3B. cos 1＞cos 3＞cos 2C. cos 3＞cos 2＞cos 1D. cos 2＞cos 1＞cos 3【答案(dá àn)】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，应选A.10. 角的终边上一点)，那么等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】角的终边上一点)，那么，那么.应选A.11. 化简式子＋＋的结果为( )A. 2(1＋cos 1－sin 1)B. 2(1＋sin 1－cos 1)C. 2D. 2(sin 1＋cos 1－1)【答案】C【解析】＋＋＝＋＋.【点睛】解决此类问题的要拥有：被开方式化简成完全平方；纯熟运用公式；结合三角函数值断定的符号，再去绝对值.12. 如图是函数)的图象，那么( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案(dá àn)】C【解析】由点在图象上，，，此时.又点在的图象上，且该点是“五点〞中的第五个点，，∴2π，∴，综上，有，应选C.【点睛】解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法〔即按顺序求解〕.2、排除法〔抓住局部特征进展排除〕.分卷II二、填空题(一共4小题,每一小题5.0分,一共20分)13. ________.【答案】－【解析】∵，∴原式.故答案为14. ________.【答案】1－【解析】原式··.故答案为1－15. ________.【答案(dá àn)】【解析】∵,∴，∴原式.故答案为16. 化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】此题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.三、解答题(一共6小题,17.10分。
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【最新整理，下载后即可编辑】高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13答案：B 8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36 答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B ．18C.14D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235C ．1735D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2mm ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.→|＝________.则|AM答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：球与性别有关．(请用百分数表示)附表：答案：三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知，f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32， f(x)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ， ∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4. 而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)； (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24 24＋16×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0， 即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
湖南高二下学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则=（ ）{}12A x x =-≤{}2|60B x x x =∈--≤N A B ⋂A ． B ． []1,3-{2,1,0,1,2,3}--C ． D ．{0,1,2,3}{1,2,3}【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集运算求解. ,A B 【详解】解：因为， {}{}[]122121,3A x x x x =-≤=-≤-≤=-解得，且，所以，260x x --≤23x -≤≤x N ∈0,1,2,3x =所以，所以=. {}0,1,2,3B =A B ⋂{0,1,2,3}故选：C.2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ） z ()1i sin i cos z αα+=+i z =A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得z ，再求模. 【详解】因为，()1i sin i cos z αα+=+所以，()()()()sin i cos 1i sin i cos sin cos sin cos i 1i 1i 1i 22z αααααααα+-++-+===+++-解得z ==故选：B3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）m>222121x y m m -=--A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可22121x y m m -=--()()210m m --<【详解】方程表示双曲线等价于，即或，22121x y m m -=--()()210m m --<1m <m>2故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.m>222121x y m m -=--故选：A4．已知 ，直线 ，若l 与⊙O 相离，则（ ） 222:O x y r +=A 223l x y r +=：A ．点 在l 上 B ．点在上 (2,3)P (2,3)P O A C ．点在 内 D ．点在外(2,3)P O A (2,3)P O A 【答案】C【分析】根据l 与相离,，即可推出O A r >，即可得答案.||r OP >【详解】由已知l 与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，O A不妨设为， r 222:O x y r +=A r =>故，由于，所以, r >(2,3)P ||r OP >则点在内， (2,3)P O A 故选：C ．5．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线a b c lg a lg b lg c ax by a +=的位置关系为（ ）bx cy b +=A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可. 2ac b =【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即， lg a lg b lg c lg lg 2lg a c b +=2ac b =对于直线与直线，满足， ax by a +=bx cy b +=a b a b c b==所以直线与直线重合. ax by a +=bx cy b +=故选：D6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个0R 感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传0R 染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个0 3.8R =初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这0R 0R 个人每人再传染个人为第二轮传染……) 0R A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为， 0nR 经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- 即，解得，11 3.8=10001 3.8n +-- 4.94n ≈所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染， 故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．7．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的α容积最大时，扇形的圆心角为（ ） αA ．BCD2π3【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式r h V 222r h R +=（），利用导数求出函数的最大值，得到结果．223111333V r h R h h πππ==-0h R <<【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么r h V 222r h R +=因此，（）223111333V r h R h h πππ==-0h R<<2213V R h ππ'∴=-令得 0V '=hR =当时， 0h <<0V'>时， h R <<0V '<时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． h ∴=V 把代入，得 h =222rh R +=r =由，得 2R r απ=α=即圆心角弧度时，漏斗容积最大 α故选：D.8．，，，则的大小关系为（ ）. 1sin 0.1a =+0.1e b =1716c =,,a b c A ． B ． b c a >>b a c >>C ． D ．a b c >>c b a >>【答案】B【分析】分别构造函数证明与，利用这两个不等式可判断；构造e 1,(0)x x x >+>sin ,(0)x x x >>b a >函数，可证得，即可判断，从而得出答案.()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭5sin 8x x >a c >【详解】令，则，()e 1),(0)(x f x x x +-=>e ()10x f x '=->则在上单调递增，故，则． ()f x (0,)+∞()(0)0f x f >=e 1,(0)x x x >+>令，则，()sin ,(0)g x x x x =->()1cos 0g x x '=-≥则在上单调递增，故，则． ()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=sin ,(0)x x x >>所以，即；0.1e 10.11sin 0.1>+>+b a >令，则，()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()5cos 8h x x '=-因为，则，故， π06x <<cos 1x <<5cos 8x >>()0h x '>所以在上单调递增，则，即，()h x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()()00h x h >=5sin 8x x >易知，所以，则，即；π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51sin 0.10.1816>⨯=1171sin 0.111616+>+=a c >综上：. b a c >>故选：B.二、多选题9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）()y f x =A ．在上是增函数()f x ()2,1--B ．在上是减函数 ()f x ()2,4C ．当时，取得极小值 =1x -()f xD ．当时，取得极大值 1x =()f x 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；()f x ()()2,1,2,4--在上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错. ()f x ()()1,2,4,5-故选：BC10．已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，1111ABCD A B C D -a M 1CC 则（ ）A ．任意，0a >1A M BD ⊥B ．存在，直线与直线相交 0a >11A C BMC ．平面与底面 1A BM 1111D C B A D ．当时，三棱锥外接球表面积为 2a =11B A BM -3π【答案】AC【分析】对于A ，由题意可得平面，从而可得，即可判断； BD ⊥11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，根据异面直线的定义可得；对于C ，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D ，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A ，，，，，平面， BD AC ⊥1BD AA ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11ACC A平面，平面，，故正确； BD ∴⊥11ACC A 1A M ⊂11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，因为平面，平面，B ∈11A BC M ∉11A BC所以平面，BM ⊄11A BC 与异面，故不相交，故错误；BM ∴11A C 对于C ，延长，交于点，连接交于，为中点，BM 11B C N 1A N 11D C P M 1CC， 1()NC M BCM ASA ≅A A 所以, 1NC CB =所以, 1112,1NB A B ==所以，1NA =平面平面， 1A BM 11111A B C D A N =平面与底面交线为， 1A BM 1111D C B A 1A P其中为中点，所以 P 11C D 1A P =对于D ，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，2a =11A B B △1A B圆心设为，半径P '12=A B 取中点，则平面，， 1BB Q MQ ⊥11ABB A 12P Q '=所以，2222541(1)4P O R P O R⎧+=⎪⎪⎨''⎪-+=⎪⎩所以， 254R =，故错误.24π5π3πR =≠故选：．AC 11．已知数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 11a =12n n a a n ++=A ．B ．618S =,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C ．数列为等差数列 D ．为奇数时，{}n a n ()212nn S n -=+【答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD 选项；利用等差数列的定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项，，A 对； ()()()()6123456213518S a a a a a a =+++++=⨯++=对于B 选项，因为，则，122a a +=2121a a =-=对任意的，由可得， N n *∈12n n a a n ++=()2121n n a a n +++=+上述两个等式作差可得，22n n a a +-=所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列， {}n a 12数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，{}n a 12当为奇数时，设，则，n ()21N n k k *=-∈()2112121n k a a a k k n -==+-=-=当为偶数时，设，则，n ()2N n k k *=∈()221211n a a k k n =+-=-=-综上所述，，B 对；,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数对于C 选项，，故数列不是等差数列，C 错；32211a a a a -=≠-{}n a 对于D 选项，当为奇数时，设，则， n ()21N n k k *=-∈12n k +=则()()()2212342122n k k k k k S S a a a a a a a a -=-=++++++-()()()()221212132121212212k k k k k k k +-=+++---=--=-+⎡⎤⎣⎦ ，D 对. ()()2221112112222n n n n n -+⎛⎫=⨯-++=+=+ ⎪⎝⎭故选：ABD.12．设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：的焦点，过焦点F 且倾斜角为的直线与22(0)x py p =>θl 抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当时，，则下列说法正确的是30θ= ||2MF =（ ） A ．3p =B ．△MON 的面积的最小值为92C ．存在直线，使得l 90OMF ONF ∠∠> ＋D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联3p =l 32y kx =+立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最121322MON S x x =⨯-A 值，求出则可判断C ，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则0OM ON ⋅< 12119x x =-可判断D.【详解】作出如图所示图形：对A ，由抛物线定义及题意得，222sin 302M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，解得，故A 正确；2212M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3p =对B ，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，3p =30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭l设()()1122,,,M x y N x y 设直线的方程为，联立抛物线得l 32y kx =+22x py =，则，2690x kx --=12126,9x x k x x +==-， 1139222MON S x =⨯≥A 当且仅当时等号成立，故B 正确；0k =对C ，121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()221212393927191624244k x x k x x k k k =++++=-++⋅+=-故为钝角，则不存在直线，使得，故C 错误； MON ∠l 90OMF ONF ︒∠+∠>对D ，，即，故， 26x y =216y x =13y x '=故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,M 113x N 213x 故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D 正确.12119x x =-故选：ABD.三、填空题13．已知，，若，则m 的值为______. ()1,5,2a =- (),2,2b m m =+ a b ⊥【答案】6【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可.【详解】解：∵，a b ⊥∴，即，0a b ⋅=()()1,5,2,2,20m m -⋅+=∴，解得. 10240m m +--=6m =故答案为：6.14．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，，则___________. 12103a a a =≠，105S S =【答案】4.【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 1a d 【详解】因，所以，即，213a a =113a d a +=12a d =所以． 105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直22221x y a b+=x 1222+=1x y 线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________AB 【答案】22154x y +=【详解】∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的1212右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB12上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是＋＝1． 25x 24y16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，xOy ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆20BA BC DA DC ⋅+⋅= AC E 22218x y b+=0b >B 上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.E D E E【答案】4【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D 的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距. ()0,b 2b 【详解】由题意得，，设，.连接，()0,A b ()0,C b -()11,B x y ()22,D x y BD 由，，可知，，，在以为直径的圆上，且， AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D BD M πABC ADC ∠+∠=又原点为圆的弦的中点，O M AC 所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，AC x 120y y +=20BA BC DA DC ⋅+⋅=所以， cos 2cos 0BA BC ABC DA DC ADC ∠+∠=因为，所以，πABC ADC ∠+∠=cos cos 0ABC ADC ∠+∠=所以， ()2cos 0BA BC DA DC ADC -∠⋅= 当时，则0，cos 0ADC ∠≠2BA BC DA DC -=若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， cos 0ADC ∠=ABCD D E D E 所以，所以，故圆的圆心坐标为， 2ABCADC S S =A A 122x x =-M 1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭所以圆的方程为，将代入可得，又，M 22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭()0,b 2221112b x y =+2211218x y b +=所以，故椭圆的焦距为. 24b =E 4=故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，AB AD ⊥CB CD ⊥20BA BC DA DC ⋅+⋅=A ，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.B C D BD M四、解答题17．已知数列的首项，且满足. {}n a 123a =121n n n a a a +=+(1)求证：数列为等比数列；11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若，求满足条件的最大整数. 121112023na a a +++< n 【答案】(1)证明见解析 (2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列的通项，然后可得的通项，最后分组求和可得.11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由题设可得， 111111222n n n na a a a ++==+⨯所以. 1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭又1111,2a -=所以是以首项，为公比的等比数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212（2）由（1）可得，即， 111()2n n a -=1112n n a =+所以212111111112222n n n n n a a a ⎛⎫+++=++++=+- ⎪⎝⎭显然右边是递增数列， 112nn +-易知，当时，，2022n =202212022120232+-<时，不满足题意，2023n =202312023120232+->所以满足条件的最大整数是2022.18．已知曲线（，为常数）在处的切线方程为. 3y ax b =+a b 2x =440x y --=（1）求，的值；a b （2）求曲线过点的切线方程.()2,4P 【答案】（1），；（2）或.13a =43b =44y x =-2y x =+【分析】（1）求出导函数，由，解出，再由在切线上可求.22324x y a ==⨯='a ()2,4b （2）设切点，求出在切点处的导数值，根据切点既在切线上，也在曲线上，代入曲()00,x y ()00,x y 线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解. 【详解】（1），依题意可得，∴，23y ax '=22324x y a ==⨯='13a =当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得； 2x =4y =()2,443b =（2）设切点，则，切线方程为，()00,x y 020x x k y x =='=()2042y x x -=-切点既在切线上，也在曲线上， ()00,x y 从而有，①()200042y x x -=-，② 3001433y x =+联立①②消去，整理可得，0y 3200340x x -+=，()()()()()23222000000000240222210x x x x x x x x x --+=⇒--+-=-+=解得或，切点为或，0024x y =⎧⎨=⎩0011x y =-⎧⎨=⎩()2,4()1,1-从而切线方程为或.44y x =-2y x =+19．在中，角、、所对的边分别为、、，. ABC A A B C a b c cos cos b C c B c -=(1)证明：.2B C =(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. ABC A 1c =a 【答案】(1)证明见解析； (2) ()1,2【分析】(1)由已知可得出，利用正弦定理化简得出，求出cos cos b C c B c -=()sin sin B C C -=的取值范围，讨论与的关系，可证得结论成立；B C -B C -C (2)由为锐角三角形求出的取值范围，利用正弦定理化简得出关于的函数关系式，结合ABC A C a C 余弦函数的基本性质可求得的取值范围.a 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： cos cosb Cc B c -=，则.sin cos sin cos sin B C C B C -=()sin sin B C C -=因为，，所以，， 0πB <<0πC <<ππB C -<-<因为，则. ()sin sin 0B C C -=>0πB C <-<所以，或（舍去），即.B C C -=πB C C -+=2B C =（2）由为锐角三角形，可得，即， ABC A π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得，所以，，则， ππ64C <<ππ232C <<10cos 22C <<由正弦定理可得， sin sin a cA C=则 ()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====.()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C +==+=+∈故的取值范围是.a ()1,220．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且4AC BC ==.将沿着DE 折起，形成四棱锥，其中点A 对应的点为点P ，如图2.DE AB ⊥ADE V -P BCDE(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得∥平面PDE ？若存在，请求出的值，并说CF PFPB明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.3π-P BCDE 【答案】(1)当时，∥平面PDE ，理由见解析 13PF PB =CF (2) 289【分析】（1）利用线线平行即可证得平行.（2）利用向量法求得四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）当时，∥平面PDE . 13PF PB =CF理由如下：过点作，垂足为H ，C CH ED ⊥在PE 上取一点M ，使得，连接HM ，FM ，13PM PE =因为，，所以∥，且13PM PE =13PF PB =FM EB FM =13EB 因为D 是AC 的中点，且，所以∥，且 DE AB ⊥CH EB CH =13EB 所以∥且，CFMH 是平行四边形，即∥，CH FM CH =FM CF HM又因为平面PDE ，平面PDE ，所以∥平面PDE ； CF ⊄HM ⊂CF （2）易知，，且，DE PE ⊥DE BE⊥PE DE ==作平面，以向量为x ，y ，z 轴的正方向，EN ⊥EBCD ,,DE EB EN建立空间直角坐标系，设，PEB θ∠=则，，，()D()C-()P θθ则，，()DC =)DP θθ=设平面的法向量为， PCD (),,m x y z =则0,0,m DC m DP y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=⋅+⋅=⎪⎩ 取，则，，sin x θ=sin y θ=cos 1z θ=--所以，()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--易知平面的法向量，设平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角为， PBE ()1,0,0n =rα由题意可知，， 1cos 2m n m n α⋅===⋅ 整理得，解得或（舍去）.23cos 2cos 10θθ+-=1cos 3θ=cos 1θ=-所以sin θ所以四棱锥的高， -P BCDE 43h θ==又四边形的面积，BCDE 22114722S =⨯-⨯=所以四棱锥的体积. -P BCDE 14287339V =⨯⨯=21．已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为2222:1x y C a b-=0a >0b >y =(1)求双曲线的方程；C(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线交AB 于，点的横坐标为A B C l M M 2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若P l P P 不存在，请说明理由.【答案】(1)；2213y x -=(2)存在，定圆： P 22(8)1x y -+=【分析】（1）设双曲线的右焦点，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及()2,0F c c ，求出，，即可得解；222c a b =+b a （2）先利用“点差法”写出直线的方程，再写出的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆AB AB l l 的圆心，然后写出圆的方程即可.P 【详解】（1）设双曲线的右焦点，则点()2,0F c ()2,0F c 0y +=即，又渐近线方程为，即，d ==2c =y =b a =222c a b =+解得，，所以双曲线方程为.b 1a =2213y x -=（2）设，AB 的中点为，1122(,),(,)A x y B x y 00(,)M x y 由中点的横坐标为2可得，AB 120120222x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩因为，是双曲线上不同的两点，所以 ， A B C 221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②得，①-②()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=当存在时，， AB k 12121212003()3462ABy y x x k x x y y y y -+⨯====-+因为AB 的中垂线为直线l ，所以，即，00(2)6y y y x -=--0:(8)6yl y x =--所以过定点，l (8,0)T 当不存在时，，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过， AB k A B x AB l x l (8,0)T 所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值.P 22(8)1x y -+=l P 2【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法22．已知函数．()e -=x kf x x(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+k (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．()()ln g x f x k x =-()2ln k -ln 2e k k +>【答案】(1)； 1k ≥(2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()0,∞+()e 1xk x ≥-利用导数求出的最大值即可；()()=e 1xx x ϕ-（2）求出，分、、、四种情况讨论的单调性，然后可得()g x '1k ≤1k e <<e =k e k >()g x ，令、，然后利用ln ln e e e tt t t t t ==()()ln 1x h x x x =>()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<()h x 、的单调性可证明.()G x 【详解】（1）因为在上单调递增，()e -=x kf x x ()0,∞+所以在上恒成立，且不恒等于，()()2e e 0x x x kf x x--'=≥()0,∞+()f x '0由可得，()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()e 1xk x ≥-令，则，()()=e 1x x x ϕ-()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<所以在上单调递减，()()=e 1xx x ϕ-()0,∞+所以；()01k ϕ≥=（2）因为，其定义域为，()()ln g x f x k x =-()0,∞+所以， ()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=①当时，，所以当时，单调递减，1k ≤e 0x k -≥()0,1x ∈()0g x '<()g x当时，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()2ln 0k -≤②当时，由可得或， 1k e <<()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,ln x k ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()ln ,1x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()20ln k -<③当时，，在上单调递增，不合题意， e =k ()0g x '≥()g x ()0,∞+④当时，由可得或， e k >()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()1,ln x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增， ()ln ,x k ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，()g x ()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-令，则，()ln 1,t k =∈+∞2e ln t t t =所以，ln ln e e e tt t t t t ==令，则，，()()ln 1x h x x x=>()()e t h t h =()21ln xh x x -'=所以在上单调递增，在上单调递减，所以， ()h x ()1,e ()e,+∞1e e t t <<<令， ()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<则 ()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+-()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以在上单调递增，所以，()G x ()1,e ()()e 0G x G <=所以当时有， ()1,e x ∈()ln 2e ln 2e x x x x-<-因为，所以， 1e e tt <<<()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t -=<-又因为在上单调递减，所以， ()h x ()e,+∞e 2e t t >-所以，即.e 2e t t +>ln 2e k k +>。
高二上开学考数学试题及答案
高二上开学考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：B2. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为：A. -25B. 25C. -1D. 1答案：A3. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, 2)答案：A4. 函数y = x^2 - 6x + 8的对称轴为：A. x = 3B. x = -3C. x = 2D. x = -2答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A6. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-2, 2]B. [-√2, √2]C. [-1, 1]D. [0, 2]答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，则三角形ABC的面积为：A. 6B. 12C. 9D. 15答案：A8. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B9. 函数y = 1/x在点(2, 1/2)处的切线斜率为：A. -1/2B. 1/2C. -2D. 2答案：C10. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 1/2，则第5项b5的值为：A. 1/16B. 1/8C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(2)的值。
答案：112. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。
答案：513. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。
开学入学考试高二数学试卷含详解答案
含1980 年与1989 年)出生， 90 后是指在1990 1999 年(包含1990 年与1999 年)出生，
80 前是指在1979 年及以前出生)（ ）
A．互联网行业从业人员中 80 后的人数不超过一半 B．互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的 20%
试卷第 2页，总 6页
x2 2 ，则 t
2
，
f
(t)
t
1
，
t
设 t1 t2
2
，所以
f
(t1 )
f
(t2 )
t1
1 t1
t2
1 t2
t1
t2
t1t2 1 ， t1t2
因为 t1 t2
0 ， t1t2
1
0 ，所以 t1
t2
t1t2 t1t2
1
0，
f
(t1 )
f
(t2 ) ，
所以 f (t) 在 t 2 上是单调递增函数，所以 f (t) f 2 3 2 ， 2
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．B
【分析】
设直角三角形较短的直角边长为 a ，可得出较长直角边长为 a ，由此可计算出小正方形 tan
和大正方形的边长，进而可得出关于 的三角等式，进而可解得 tan 的值.
的 2 2 列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有 99% 的把握认为选择科目与性别有
关，说明理由； （3）在抽取的选择地理的学生中用分层抽样的方法再抽取 6 名学生，然后从这 6 名学 生中抽取 2 名学生了解学生对地理的选课意向情况，求这 2 名学生中至少有 1 名男生的 概率.
2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案
B ) １－
(
所以 P (
B )＝
３
１
＝ , ６ 分
４
８
)
１
, ７ 分
２
所以乙、丙各自解出该题的概率为
１ ３
, ． ８ 分
２ ４
(
２)设“甲、乙、丙 ３ 人中至少有 １ 人解出该题”为事件 D ,
【高二数学试题参考答案 第
３ 页(共 ５ 页)】
＝A
B
C
, ９ 分
则D
因为 P (
A )＝
)＝
所以 P (
A
２
１
３
,
P(
B )＝ ,
５－x)]
＋ [(
２－x)－ (
２x－１)]
＝ １４x２ －３２x＋１９
＝ １４ x－
(
当 x＝
８
７
)
２
＋
５
, １１ 分
７
８
３５
时,AB 有最小值
． １３ 分
７
７
a＋i (
b２ ≥ ＋２,
a b
b
a b
a
２
a ３
b ２a ３
b
２
a ３
b
＝２ ６(当且仅当 ２a＝ ３b 时取等号),
∴a２ ＋b２ ≥３＋ ＋ ,又 ＋ ≥２
b a
b a
b a
１ ２ １
３ ２ ２
∴a２ ＋b２ ≥３＋２ ６,故 C 正确;∵a≥ ＋ ＞ ,∴a＞１,∵b≥ ＋ ＞ ,∴b＞ ２,故 D 正确,故选 CD．
１２
１２
１２ １２ ２ ２
|ω|
π
高二上学期开学考试数学试卷(含解析)
4．AB
【解析】
【分析】
参考公式与临界值表： ，
其中：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
（2）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？
19．函数
（1）求方程 的解；
（2）若函数 的最小值为 ，求 的值.
D不正确；
令 ，则 ，即
A正确；
若 在 上有最小值－1，即对 ， ，使得
当 时， ，即 在 上有最大值1
B正确；
根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；
故选：AB．
3．BD
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式化简函数 ，再判断函数的性质.
【详解】
，
，故A不正确；函数的最大值是 ，故B正确；函数的周期是 ，故C不正确； 时， ，所以函数在区间 上单调递增，故D正确.
参考答案：
1．AB
【解析】
【分析】
先用余弦定理求出 的长，再求出边AC上的高.
【详解】
由余弦定理得： ，解得： 或3，经检验均符合，设边AC上的高是 ，当 时， ；当 时，
故选：AB
2．AB
【解析】
【分析】
利用奇函数定义 ，使 ，结合奇函数与单调性的结论处理判断．
【详解】
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则 ，使
50
40
90
不喜欢吃月饼人数(单位：万人)
30
20
50
合计
80
60
140
四川省雅安市部分学校2023-2024学年高二下学期入学联考试题 数学含答案
数学开学考试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第8，9，10章，选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．110-+=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π2．双曲线2228x y -=的离心率为（）A B C ．2D ．33．抛物线2:8C y x =-的准线方程为（）A ．2x =-B ．2x =C ．132y =D ．132y =-4．一组数据3，5，6，8，12，10，则该组数据的第60百分位数为（）A ．6B ．8C ．9D ．75．点()3,0关于直线30x y -+=对称的点的坐标为（）A ．()3,6B ．()6,3-C ．()6,3-D ．()3,6-6．经过椭圆22:13616x y C +=的左焦点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，2F 是椭圆C 的右焦点，则2ABF △的周长为（）A ．24B ．12C ．36D ．487．一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．8．某学校开展关于“饮食民俗”的选修课程，课程内容分为日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个模块，甲、乙两名学生准备从中各选择2个模块学习，则甲、乙选修的模块中至少有1个模块相同的概率为（）A ．13B ．23C ．35D ．25二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆22:1828x y C +=，则（）A ．椭圆C 的长轴长为B ．椭圆C 的焦距为12C ．椭圆C 的短半轴长为D ．椭圆C 的离心率为710．2023年春节影市非常火爆，其中有三部电影票房不断刷新以往记录，为了解某校3000名学生（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）的观影情况，按年级采用分层抽样的方式随机调查了300名在校学生，看过这三部电影的学生共有240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，据统计观看过这二部电影的学生对这三部电影的综合评分的平均数和方差如下：高一高二高三平均数987方差321则下列说法正确的是（）A ．抽取的300名学生中高三学生有80人B ．估计该校高一学生观看这三部电影的概率为112C ．估计该校学生对这三部电影的综合评分的平均数为8D ．该校高三学生对这三部电影的综合评分波动最小11．已知圆22:6440C x y x y ++-+=，直线():110l a x ay +++=，则下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．直线l 与圆C 可能相切C ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4D ．当3a =时，圆C 上到直线l 距离为2的点恰有三个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一圆柱侧面展开图是边长为8的正方形，则该圆柱的体积为______．13．已知()()1,2,3,2,1,0a b == ，则a 在b方向上的投影向量的模为______．14．在三棱锥A BCD -中，ABD △和BCD △是边长为2的正三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，P 是棱BD上一点，点Q 是三棱锥A PCD -外接球上一动点，当PAC 的周长最小时，BQ 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线()1:2110l x a y +-+=，直线()2:4330l a x y +++=．（1）若12l l ∥，求实数a 的值；（2）若12l l ⊥，求实数a 的值．16．（15分）设抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点为()0,,9F A x -是抛物线C 上的点，且15AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线l 交抛物线C 于,M N 两点，且MN 的中点为()2,11--，求直线l 的方程．17．（15分）镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世．现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示．（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[)30,40和[]70,80内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在[)30,40内的概率．18．（17分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，11122AB A B ===，160,ABC AA ∠=︒⊥平面ABCD ．（1）求三棱锥11C BB D -的体积；（2）求平面1ACD 与平面11CC D D 夹角的余弦值．19．（17分）已知焦点在x 轴上的等轴双曲线C 的左、右顶点分别为,A B ，且A 到C ，直线y kx m =+与双曲线C 的左、右支分别交于点,P Q （异于点,A B ）．（1）当0k =时，证明：以PQ 为直径的圆经过,A B 两点．（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，若点(),2m k 在双曲线C 上，证明12k k 为定值，并求出该定值．数学开学考试卷参考答案1．A10-+=3=，所以其倾斜角为6π．2．B 双曲线2228x y -=的标准方程为22148x y -=．因为2,a b ==，所以c =，所以离心率为ca=．3．C 抛物线2:8C y x =-的标准方程为218x y =-，所以其准线方程为132y =．4．B因为660% 3.6⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8．5．D 设所求对称点的坐标为(),a b ，则330,221,3a bb a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得3,6.a b =-⎧⎨=⎩6．A 因为1212212,212AF AF a BF BF a +==+==，所以2ABF △的周长为24．7．D将圆台补形为圆锥，可得圆锥的底面半径为6．因为圆台的高为10，所以圆锥的高为15，母线长为则该圆台的侧面积为(126222ππ⨯⋅⋅-⋅=．8．C记6个模块分别为,,,,,A B C D E F ，则甲从中选择2个共有,,,,,AB AC AD AE AF BC ，,,,,,,,,,15BD BE BF CD CE CF DE DF EF 种不同的选择，而甲每种的选择中乙与甲都不同有6种，所以甲、乙各选2个共有1515⨯种不同选择，而甲、乙选择都不同有156⨯种不同选择，所以甲、乙选修的模块中至少有1个相同的概率1563115155P ⨯=-=⨯．9．AD因为a b c ===，且椭圆C 的焦点在y 轴上，所以椭圆C的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率7c e a ==．10．AD 因为3000人中抽取300人，所以按1:10抽取，所以抽取的300人中高三有80人，故A 正确；因为抽取的高一学生人数为120，其中观看这三部电影的有100人，所以观看这三部电影的频率为10051206=，所以估计该校高一学生观看这三部电影的概率为56，故B 错误；因为观看这三部电影的学生共240人，其中高一100人，高二80人，高三60人，设高一、高二、高三学生对这三部电影的综合评分的平均数分别为123,,x x x ，方差分别为222123,,s s s ，则2221231239,8,7,3,2,1x x x s s s ======，所以该校学生对这三部电影的综合评分的平均数1008060499872402402406x =⨯+⨯+⨯=，故C 错误；因为该校高三学生对这三部电影的综合评分的方差最小，所以D 正确．11．ACD 直线():110l a x ay +++=的方程整理可得()10x y a x +++=，由10,0,x x y +=⎧⎨+=⎩，得1,1,x y =-⎧⎨=⎩即直线l 恒过定点()1,1-，故A 正确．因为点()1,1-在圆C 内部，所以直线l 与圆C 不可能相切，故B 不正确．设点()1,1-为Q ，当CQ l ⊥时，直线l 被圆C截得的弦长最小．因为CQ ==，所以直线l 被圆C截得的弦长的最小值为4=，故C 正确．圆心()3,2C -，半径为3，当3a =时，直线l 的方程为4310x y ++=．因为圆心C 到直线l 的距离为3432115-⨯+⨯+=，所以圆C 上到直线l 距离为2的点恰有三个，故D 正确．12．128π设该圆柱的底面半径为r ，则28r π=，所以4r π=，故该圆柱的体积为2241288r h ππππ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭．13．5因为()()1,2,3,2,1,0a b == ，所以1221304a b ⋅=⨯+⨯+⨯= ，所以a 在b方向上的投影向量的模为5a b b⋅==．14．1572-如图1，当P 为BD 的中点时，PAC △的周长最小．此时,,AP BD AP PC BD PC ⊥⊥⊥，且1AP PC PD ===．三棱锥A PCD -的外接球为图2，所以外接球的半径为331722R ==．建立空间直角坐标系，可知()133,,1,0,0222O B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2BO =，所以min 2BQ BO R =-=．15．解：（1）因为12l l ∥，所以()()32140a a ⨯--+=，整理得()()2310250a a a a +-=-+=，解得2a =或5a =-．当2a =时，121:210,:6330,l x y l x y l ++=++=，2l 重合；当5a =-时，12:2610,:330l x y l x y -+=-++=，符合题意．故5a =-．（2）因为12l l ⊥，所以()()24310a a ++-=，解得1a =-．16．解：（1）因为9152pAF =+=，所以12p =，故抛物线C 的方程为224x y =-．（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为()()1122,,,,k M x y N x y ，则21122224,24,x y x y ⎧=-⎨=-⎩两式相减得()22121224x x y y -=--，整理得12121224y y x xx x -+=--．因为MN 的中点为()2,11--，所以121241246y y k x x --==-=-，所以直线l 的方程为()11126y x +=+，即6640x y --=．17．解：（1）因为()0.0080.018100.260.5,0.260.032100.580.5+⨯=<+⨯=>，所以该板栗园的板栗质量的中位数在[)50,60内．设该板栗园的板栗质量的中位数为m ，则()500.0320.260.5m -⨯+=，解得57.5m =，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在[)30,40内的板栗中抽取0.008520.0080.012⨯=+颗，分别记为,a b ；从质量在[]70,80内的板栗中抽取0.012530.0080.012⨯=+颗，分别记为,,c d e ．从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ，共10种，其中符合条件的情况有,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7种，故所求概率710P =．18．解：（1）在直角梯形11A ABB中，因为11122AB A B ===，所以11A A =连接11B D （图略）．因为(111111113B C D BCD B C D BCD V S S A A -=++△△，所以11113373134212B C D BCDV -⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭．因为11111111111,31233D B C D B C D C BCD BCD V S A A V S A A --=⋅==⋅=△△，所以1111111116C BBD B C D BCD D B C D C BCD V V V V ----=--=．（2）如图，以A 为坐标原点，以1,AB AA的方向分别为,x z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()11112,0,0,,,0,0,1,1,0,1,,,122B C D A B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,122D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =，因为()13,,,122AC CD ⎛⎫==--⎪⎝⎭，所以1111110,330,22m AC x m CD x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令11y =，得(m = ．设平面11CC D D 的法向量为()222,,n x y z = ，因为()11131,0,0,,,122C D C ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，所以11212220,330,22n C D x n CD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令22y =，得(3n = ．因为1cos ,7m n m n m n ⋅== ，所以平面1ACD 与平面11CC D D 夹角的余弦值为17．19．证明：（1）设双曲线222:C x y a -=，则(),0A a -，渐近线方程为0x y ±=，因为A 到C 222=2a =，所以双曲线C 的方程为224x y -=．当0k =时，设(),P t m ，则(),Q t m -，因为,22PAQA m m k k t t ==+-+，所以224PA QA m k k t =-．因为224t m -=，所以1PA QA k k =-，所以PA QA ⊥．同理可证PB QB ⊥，所以以PQ 为直径的圆经过,A B 两点．（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组22,4,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得()2221240k x kmx m ----=，则212122224,11km m x x x x k k--+==--．由()22Δ4440m k =+->，得2244m k +>．因为直线y kx m =+与双曲线C 的左、右支分别各有一个交点，所以()1,1k ∈-．因为点(),2m k 在双曲线C 上，所以2244m k -=．因为121212,22y y k k x x ==+-，所以()()()()()()12121212122222kx m kx m y y k k x x x x ++===+-+-()()221212122124k x x km x x m x x x x ++++--．因为()22222222221212222242441111k m k k m m k k x x km x x m m k k k k---+++=++==----，2121x x k -====-，所以2122241348211k k k m k k==---，所以12k k 为定值，且123k k =--．。
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高二全能知识竞赛 数学试题时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合，则（ ） A. B. C. D.2、等于（ ）A.-1B. 1C.D.3、将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象的一条对称轴方程是（ ）A. B. C. D.4、若p ：θ= +2kπ，k ∈Z ，q ：y=cos （ωx +θ）（ω≠0）是奇函数，则p 是q 的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要的条件5、设 a >0,b >0,且不等式恒成立,则实数 k 的最小值等于（ ）A.0B.4C.-4D.-26、函数ln x xy x=的图象可能是（ ）7、已知一个确定的二面角和是空间的两条异面直线,在下面给出的四个条件中,能使和所成的角也确定的是 （ ） A.//且//B.//且C.且D.且{}{}2|430,|1A x x x B x y x =-+<==-A B =∅A B ⊆B A ⊆A B =1tan17tan 28tan17tan 28-+2222-sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4π12x π=6x π=3x π=12x π=-8、已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A ． B ．C ．D ．9、设实数x ，y 满足约束条件，则z= 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．310、若为锐角，且满足，则（ ）A. B.C.D.11．等差数列的前项之和分别为若，则的值为（ ）． Ａ. Ｂ.Ｃ. Ｄ.12.设函数的定义域为D,若对于任意，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ） A. B. -4027 C. 4027 D.-8054,αβ()45cos ,cos 513ααβ=+=sin β=1665-636556653365{}{}n n b a ,n ,,n n T S 132+=n n b a n n 2121T S 15133523171194()y f x =12,x x D ∈122x x a +=()()122f x f x b +=(),a b ()y f x =()sin 3f x x x π=+-12402640272014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭80541225102925二、填空题（共4小题，共20分）13．直线l 过点P (－1，2)且点A (2，3)和点B (－4，6)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 。
14．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ，该正四面体的体积为 ．15=2-(1-)____0,c c-c-=0-=5-=3_____120t R t t a b a a a b a c a c 、已知平面向量，，满足，且与的夹角为，，则的最小值为已知向量向量满足（）（），，，则的最大值为αβααβααβ∈-⋅=⋅⋅16．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n +2=（1+cos 2）a n + sin 2，则该数列的前10项和为 ．三、解答题（共6道大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 =．（1）求角C 的大小；（2）若c=2，求△ABC 面积最大值． (本小题满分10分)18、 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围.19．(本题 12 分)已知函数，，且.(1)若，求实数a 的值；(2)若或，求实数a 的取值范围.20.（满分12分）已知圆C:2222440x y x my m +-++=，圆1C :2225x y +=，以及直线:l 34150x y --=．（1）求圆1C :2225x y +=被直线截得的弦长；（2）当m 为何值时，圆C 与圆1C 的公共弦平行于直线l ；（3）是否存在m ，使得圆C 被直线所截的弦AB 中点到点()2,0P 的距离等于弦AB 长度的一半？若存在，求圆C 的方程；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，，侧面为等边三角形，，。
（1）证明：；（2）求二面角的平面角的正弦值。
22．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值。
高二全能知识竞赛数学答案一选择题BBABC BDCBD CD填空题13，x+2y-3=0或x=-1，14，66,18215，3,18,16，7717，【解答】解：（1）∵=．∴，∴sinBcosC﹣2sinAcosC=﹣cosBsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴，∴．（2）∵，可得：ab≤4，∴，即：△ABC面积的最大值为，但且仅当△ABC为等边三角形时成立．18．【解】(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2<x<4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∵对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．经检验符合题意 ，(Ⅱ)设由于或 当时，总有不符合题意当时，由的图像可得 或成立则(Ⅱ)解法 2:设由于或当时，总有不符合题意当时，若 若，则则综上20.解：（1）因为圆1C :2225x y +=的圆心()0,0O ，半径5r =， 所以，圆心O 到直线:l 34150x y --=的距离d ：3d ==，由勾股定理可知，圆1C :2225x y +=被直线截得的弦长为8==．…………………4分 （2）圆C 与圆1C 的公共弦方程为2244250x my m ---=， 因为该公共弦平行于直线，令2434m=-，解得：1m =- 经检验1m =-符合题意，故所求1m =-；…………………7分 （3）假设这样实数m 存在．设弦AB 中点为M ，由已知得2AB =PM ，即AM =BM =PM 所以点()2,0P 在以弦AB 为直径的圆上．…………………10分设以弦AB 为直径的圆方程为：()22224434150x y x my m x y λ+-+++--=，则()2222243215023443415022m mλλλ⎧-⨯++⨯-=⎪⎨--⨯-⨯-=⎪⎩⇒24901625240m m λλ⎧-=⎨--=⎩ 消去λ得：21001442160m m -+=，22536540m m -+= 因为()2364255436362560∆=-⨯⨯=-⨯< 所以方程22536540m m -+=无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在．…………………12分21. 答案：（1）略 （2）（1） 解：取的中点，连结，,则四边形为矩形。
即：，,因为侧面为等边三角形，,所以，且又因为，所以，，所以，，而，，，所以。
------5分（2）过点作于，因为，，所以，又因为，即，由平面与平面垂直的性质，知,在中，由，得，所以。
过点作于，取中点,连结，则为二面角的平面角，因为，，所以，所以,在中，由，求得。
在中，， ,所以。
由，得，即，解得，所以,故二面角的平面角的正弦值为。
---12分22.答案：（1）（2）（3）（1）解析：（1）------3分（2）由可知，代入可得：时，代入可得：而，即是公比为的等比数列。
，在中，令可得：------8分（3）可知为递减数列为递增数列即的最大值为------12分。