二阶矩阵与二元一次方程组

=
1 1
的解的情况.
2 2
cd
n
将a
c
m n

记为Dy，于是：

x y

DX D Dy
D
.
b d
记为Dx，
2x 3y 1 0 例1、利用行列式解方程组：4x 5 y 6 0 ．
用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程：
对于二元一次方程组acxx

by dy

m n
，若将X=
在切变矩阵
1 0
了向量
3 2
．
1
2 1
的作用下变成
例2、用逆矩阵的知识解方程组：42xx
3y 5y
1 0 60
．
练习：用逆矩阵的知识解方程组.
(1)
2x 3 y 0

x y5
；(2)
x
3y 8 y7
2
.
例3、试从几何变换的角度说明
a b 称为二阶行列式， cd
它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为：
a
det(A)=
b =ad－bc．
cd

m

x y
md bn

x

ad bc an cm
记为：

ad bc


n a c a c
y
a

c
b d b
d.
m n b d
为方便起见，将 a b 记为D，将 m
二阶矩阵与二元一次方程组
关于x，y的二元一次方程组
ax

cx

by dy

m n
的解为：

x y

md bn
ad bc an cm
ad bc
特点：x，y的分母一样，是将线性方程组的系
数矩阵
a c
b d

中主对角线上两数的积减去副对
角线上两数之积的结果．

x y

看成是原先的向量，而将B=
m

n
看成是经过
系数矩阵A=
a c
b d
(ad－bc≠0)对应的变换作
用后的向量，则可将其记为矩阵方程AX=B，
a b x m
c
d


y



n

在它的两边同时左乘A-1，得到X=A-1B．
x

1 2
y

3
解
y 2
的存在性和唯一性．
1 0 0 1
1 0
例4、已知二元一次方程组AX=B，A=
2
1
0 ，
B= 2，试从几何变换角度研究方程组解的情况．
练习：从几何变换的角度说明方程组
1 1

2 1
2 1


x y
从几何变换的角度看，解方程组实际上就是已知变
换矩阵
a c
b d

和变换后的象
m

n
，去求在这个变换
的作用下的原象．
如方程组
x 1 y 3 2
可以理解为：
y 2
因为该方程组的解为
x

y

2 2
，因此该方程组表示
的是向量
2 2