波动方程

0
2
波动方程为：
y = 5 cos 50π( t － x )+ π 600 2
( m）
(本题结束)
例题：有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波它在
t ＝ 0 时刻的波形如图所示，试求其波长。
y (m)
A
2
Q
.
12
u
解：根据
A x (m)
0
.P
上坡下行 下坡上行 的规律
Q点向下运动，P点往上运动。t ＞0 时波形图为虚线状 t＝0时刻 分析法：
5
0
·
10m
A
··
B
5m
x
o
· ·
0.5 1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程（标准像） y = A cos w ( t - x - xo ) +j u
u＝20 m/s
y(m) 5
0
·
10m
A
··
B
5m
x
o
· ·
0.5 1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
从图（b）中可知t =0时，质点在正 的最大位移处并向y 轴的负方向运动 从图（b）中可知T =2.0(s) π 由 w ＝ 2 ＝π T 对照振动方程标准像： （1） A点的振动方程： y = A cos ω t ＋j） （
解：
u =120 l = 60 A= 5
由： l = u T
1 υ = T = 2 ω = 2π υ
l = 1 （s） T= u 2
π =4
由标准方程： y = A cos ω (t ＋ x ) + j u
对照后除了 j ，其它的特征量都知道了，所以关键 是要求出初相位，这也是解波动题目的难点。 根据题意：在t = 0时刻质点在y =A/2 处并向y 轴正方向运动
y
0
（b）是振动图 ，t ＝0处
t
质点振动是过平衡位置， 向y 轴正方向运动的。
质点的振动曲线图
（b）
由此画出旋转矢量图:
解题体会：做此类 题目，切不可盲目 判断，要加以分析!
.
0
π － 2
y
所以取 2 － （C）均为
π （A） 均为零 （B） 均为
（D）
π
2
π 与－π 2 2
－π 与 π （E） 2 2
y ＝y（x、t）
各质点相对平 衡位置的位移 波线上各质 点平衡位置
★ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。
★平面简谐波：波面为平面的简谐波。
各种不同 的简谐波
y
合成
复杂波 分解 简谐波 的波形图
x
简谐波1 简谐波2
0
y
0
x
y
合成 复杂波
0
u＝20 m/s
因为是右行波，B点的振动相位比A 点的振动相位落后，而且相距5m
∴
20
0
B为原点的波动方程:
y = 5 cos t － x +5 π
B
·
10m
公式可查处： 教材P153
π jP - j = - 2 x l
π jP = - 2 x + j l π jP = - 2 x + j = -ω x + j u u
π 2 ω= T
l = uT
T
2.相位比较方法
y = A cos( t + jP ) ω
P
P点的相位比 0点的相位落后: △j = jP - j
平面简谐波的波函数 波动方程
Equation of wave
定量地描述前进中的波动（也称行波） ，用数学 形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化 的规律。这样的函数式称为行波的波动方程。
§6-2
平面简谐波的波函数
一 . 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间t 的变化关系，称为波函数。
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
1. 平面简谐波波动方程的推导 时间推迟方法 推导的方 法有两种： 相位比较方法
y
u
A
注意： 波动图的纵横坐标
o
·
P
分别为x、y。它们表示振动 状态传到的地方和振动质 x 点离开平衡位置的距离。
在此时间t 是隐函数， 不在波形图上。
P
π jP - j = - 2 x l
x
y = A cos ω (t － u ) + j 波波 动 函 方 波向x 轴负方向 x 数程 y = A cos ω (t ＋ u ) + j 传播也称左行波
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。 当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
P
y
π -π （- ） 2 π 2 4 =－ l 12
l = 32
m
(本题结束)
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
负方向传播，已知：A点的振动方程为：
（SI） （1）以A点为坐标原点，写出波动方程
（2）若以距离A点负方向5m处的B点为坐标
y = 3 cos 4π t
原点，再写出波动方程。
P
= A cos ω (t － u ) + j 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
x
2.相位比较方法
y
u
A
o
·
P
已知振源（波源） 的振动方程为：
x
ω y = A cos( t + j )
0
x
P点的相位比 0点的相位落后: △j = jP - j yP= A cos( t + jP ) ω
l
y = A cos ( t －k x ) + j ω
π 2 k=
l
k
角波数
角波数:表示单位长度上波的相位变化，
在数值上等于2π长度上的完整波数目。
例题：平面简谐波的波函数为： y = A cos Bt －C x ) （
式中A、B 、C 为正常数，求波长、波速、波 在传播方向上相距为d 的两点间的相位差。
1 2
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
y(m) 0.02m
（练习册P32计算题3·版书）
u
t1 t2
0
.
P
.
.
x (m)
0.45 m
例题：一平面简谐波，振幅A＝5m ,向x 轴负方向传
播，波速为u =120m/s ,波长为60m ,以原点处质点 在y =A/2处并向y 轴正方向运动作为计时零点。试写 出波动方程。
∴振幅＝
x
A ，角频率ω＝B
2 π π 周期T ＝ω ＝ 2 B
波速 u ＝ B C 初相位 j ＝0
波长 l＝uT B 2 π ＝ C B π ＝2 C
与波源相距为d 处的振动表达式为：
y = A cos Bt －C x ) = A cos Bt －C d ) （ （
波传播方向上相距为d 的两点间的相位差:
（1）0点的振动方程 （2）波动方程 （3）标出a 、b 两点的运动方向（4）x ＝0.2m 质点的振动方程。 （练习册P16计算题1·版书）
y(m) 0.04
u＝0.08 m/s
.a
0
b
.
x (m)
0.2
0.4
－0.04
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t =0和 t =0.25s时的波形如图。
根据题意：在t = 0时刻质点在y =A/2 处并向 y 轴正方向运动
分析法：
A = A cos( t + j ) ω 2 cosj = 1 j = + π (究竞取哪一个 - 3 值作为初相位？) 2 u =120 l = 60 A= 5
) －
旋转矢量方法：
0
π 3
y
得波动方程： y = 5 cos 4 ( t＋ x π
例题：如图所示简谐
波以余弦函数表示， 求：Q、a、b、c 各点 振动相位。
Q点 A
t =0
y
u
A
0
a ·
b ·
t=T/4
c·
x
-A · Q
j =π
o
0
·
y
按照 上坡下行 下坡上行 的原则
b点
0
j =0
b
·A
y
a点
A
0
ja = π2
y
C点
0
·
求出初相位是 解题的关键。
A
·
y
jc = π2
－
例题：如图所示，为t=0时刻的简谐波形，试求
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：
y
0
u
x
y
0
t
t＝0时的波形图
（a）
质点的振动曲线图 2
（ b）
π （A） 均为零 （B） 均为 π 与－π （D） 2 2
π － （C）均为
2
π 与π － （E） 2 2
提示：分清波动图和振动图上各点运动的方向。
1
u 600 = = = 50 l 12
由旋转矢量法：
π 2
0
从波形图中可知：
y
A = 5m = u = 600 = 50 ( s l 12 ω = 2 = 50π π
( rad. s
1
l = 24m
1
)
)
0点在t 稍＞0 时 过平衡位置向y 负方向运动 原点处质点的振动方程为： y = 5 cos( 50 t + π ) π
y
u
A
o
·
P
x
ω ω = A cos ( t － u )+ j 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置来自百度文库位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
π ω= 2 T
l = uT
π jP = - 2 x + j x l π jP = - 2 x + j = -ω x + j u u
T y = A cos( t + jP ) ω
π △j ＝ 2 △x ＝ 2
l
π d ＝C d π 2
C
(本题结束)
判断各点运动 方向的技巧 上坡下行 下坡上行
例题：有一列横波向右
传播， 画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各 点的运动方向和四分之 一周期后的波形曲线。
y C
· A ·
0
B
·
D ·
u F · x
T 4 E·
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
l = uT
平面简谐波波动方程的标准像
必 须 牢 记 x y = A cos ω (t － u ) + j 做 题 对 照
y = A cos 2 ( t － x )+ j π T l
y = A cos ω (t － xu x )+ j
0
波动方程的 另外几种形式
y = A cos 2 ( t－ x )+ j π
例题：平面简谐波的波函数为： y = A cos Bt －C x ) （
式中A、B 、C 为正常数，求波长、波速、波 在传播方向上相距为d 的两点间的相位差。
x 解： y A cos （Bt －C x ) = A cosB t － （ = ) B
以上式对照波动方程的标准像 C
y = A cos ω (t － u ) + j
x
波向x 轴正方向 传播也称右行波
可理解为将Q点 作为计时原点。
y = A cos( t + jP ) ω
Q
波函数:
y = A cos ω (t － u )+ j
0
x -x
x y = A cos ω (t － u ) + j
y = A cos 2 ( t － x )+ j π T l
π ω= 2 T
u＝20 m/s
.
B
5m
A
.
x
（练习册P30填充题9·版书）
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
正方向传播，如（a）所示。如果波线上A点的振动曲线 如图（b）所示。求：（1）A点的振动方程（2）分别以A、 B、0为原点的波动方程。 （练习册P14计算题2）
u＝20 m/s
y(m)
A = A cos(ω t + j ) 2 = A cos j
j = cos-1 2
0
2
j = ＋π 0
4
y (m)
A
2
Q
旋转矢量法判定
u
.
12
0
.P
A x (m)
0
π 4
A
0
y
同理： yP = 0 过平衡 位置向 y 正方向运动
o
j = ＋π ∴ 4
A
－
π 由 △j =－2 △x
π 2
l
j =- π 2
x
已知振源（波源） 的振动方程为： ω y0= A cos( t + j ) 1.时间推迟方法
1.时间推迟方法
y
u
A
o
·
P
已知振源（波源） 的振动方程为：
x
ω y = A cos( t + j )
0
x
振源的振动状态从0点以传播速度 x u传送到P 点，显然时间要落后：t＝ u ´
y = A cos ω (t －t ´) + j
120
π 3
（m）
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为： u = 600m/s 。试写出波动方程。
y(m) 5
0
u
解：
x (m)
上坡下行 下坡上行
.
12
0点在t 稍＞0 时 过平衡位置向y 负方向运动
从波形图中可知：
l = 24m
A = 5m
(s )
y
0
u
x
y
0
t
（a）
t＝0时的波形图
质点的振动曲线图
（ b）
判断波动图上各 点运动的方向：上坡下行、下坡上行
（a）是波形图，注意到它 的传播方向，x ＝0处质点振 动是过平衡位置 ，向y 轴负
方向运动的（理由：上坡下 行、下坡上行）
π － .2
0
y
t 稍＞0时的波形图是红色曲线 由此画出旋转矢量图。
∴
0
j ＝0
yA = 5 cos π t + 0 ) （ = 5 cosπ t （m）
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
由波函数的标准方程（标准像）
y = Acos ω ( t
A为原点的波动方程:
x j u )+
yA = 5 cos t － x π
初相位j＝0