关于圆的滚动问题的探讨
圆滚动时自转圈数的探究
圆滚动时自转圈数的探究
圆滚动是中学物理实验中常见的一种现象，它是一种动量守恒实验，圆盘从A点开始滚动，途径B滚过,C处滚出去依次连续循环，同时盘上有一个物体不停的自转.圆滚动的自转圈数对物理的发展有着十分重要的作用，但自转圈数的大小不定，如何用物理方法确定圆滚动自转圈数成为相关研究的一大难点.
为了确定圆滚动自转圈数，我们可以从牛顿第二定律和动量守恒定理出发，将圆滚动实验分为以下三步，使用数学分析和物理实验来解答：
第一，确定圆滚动运动轨迹上圆盘的质量以及滚动和自转的速度。
在滚动和自转过程中，有两个动量，一是滚动动量，另一个是自转动量。
动量守恒定理规定，滚动和自转动量的和应为常数。
所以，我们可以根据物体的质量和动量守恒定理求出该物体的滚动和自转速度。
第二，根据圆盘的质量和滚动和自转的速度，求出动量守恒定理下的动量关系式。
把物体的质量和滚动和自转的速度分别代入动量守恒定理的动量关系式，得到相应的动量与旋转周期之间的函数关系，从而计算出自转完一个周期所需时间.
第三，细分实验过程，计算滚动和自转运动完成一个周期的时间，从而确定自转的圈数，根据牛顿第二定律，在一定的时间内，物体的受力和加速度都是常数，结合圆滚动实验的运动轨迹，把实验过程细分为不同的时间单位，可以得到物体相应的受力和加速度，计算圆滚动一个周期之后，物体经历的加速度和力，从而得出物体转过的圈数.
以上便是确定圆滚动自转圈数的探究，它结合了动量守恒定理和牛顿第二定律，证明圆滚动自转圈数是固定的，它为进一步将动量守恒在教学活动中深入操作，提供了有力的理论依据。
滚动的圆研究报告
滚动的圆研究报告（孙佳44）2010-11-14 19:24:27| 分类：默认分类| 标签：|字号大中小订阅（一）两个半径相同的圆，一个为定圆，一个为动圆现在我们来证明“滚动的硬币自转2圈.如图设⊙A为定圆,⊙B为动圆,两圆的半径都是r,⊙B在⊙A上无滑动的滚动一周.圆心B的轨迹是大⊙A，也就是说,⊙B从起点转一周回来,走过的路程是大⊙A, 而大⊙A的周长是2(r+r)∏.所以,滚动圆自转的圈数是2(r+r)∏÷2∏r=2(圈)（二）两个圆的半径不同如果定⊙A的半径是6cm,动⊙B的半径是2cm, 同样动⊙B在定⊙A上无滑动的滚动一周,⊙B自转了多少圈? 答案为4第一种结论是; “两圆的半径之和除以动圆的半径所得之商.”是动圆自转的圈数.第二种结论是:“定圆半径与动圆半径之比加1”是动圆自转的圈数.推广：当两个半径不同圆，⊙O2半径为r和⊙O1 半径为R，⊙O2沿⊙O1外边缘滚动时，走过的路为径为以O1为圆心，R+r为半径的圆，路程为2π(R+r)。
小圆转过的圈数为2Π(r+R)/ 2Πr=(r+R)/ r（三）两圆内切定⊙A的半径仍是6cm,动⊙B的半径仍是2cm,只不过两圆是内切关系.当⊙B在⊙A上滚动一周时,⊙B自转了多少圈?有两个解法是:解一[2（6-2）∏]÷[2×2∏]=2（圈）.解二(6-2)-1=2(圈).（四）定三角形与动圆一个等边三角形的边长与其一边相切的圆的周长相等,当这个圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动的滚动一周.这个圆自转了多少圈?三角形固定不动,让圆从三角形的一边上的某一点出发,顺时针作无滑动的滚动.观察圆刚滚动到三角形的某一顶点时.圆自身还在转动,但是,圆在三角形边上没再前进.当圆自身转动120°后,才开始在三角形的另一边上向前滚动. 这时,圆心在三角形顶点处留下的轨迹是120°的弧线.因为圆在三角形三顶点处,都要先自转120°,这三个120°的等半径弧线刚好是圆在三顶点自转一圈.答案:“4圈”.（五）动圆沿着凸多边形的外周滚动的问题问题：动圆在固定的凸n（n≥3）多边形外侧相切且作无滑动的滚动，若凸n(n ≥3)多边形的周长为C，圆的半径为r，当元滚动回到出发点时，此圆自身滚动了多少圈？分析：(1)在凸n（n≥3）多边形的边上滚动，可知滚动了C/2πr (2)圆要滚过凸n（≥3）多边形三个角所发生的自转，设三个角为a1、a2、……、an-1、an、，经分析可得：转过的角度为（180°- a1）+(180°- a2）+……+（180°- an-1）+（180°-an）=n*180°-（a1+a2+……+an-1+an）= n*180°-（n-2）*180°=360°，即自转一圈。
小圆在大圆上的滚动问题
小圆在大圆上的滚动问题
在许多读物或者试题里，常见一些小圆在大圆上的滚动问题。
如何让小学生把握住这类问题，需要多观察、多操作，然后加以理解。
一般问题：已知大圆的半径是小圆的4倍，问小圆在大圆外做无滑动的滚动时，从起点出发再回到起点，小圆一共转了多少圈？
换个问法：如下图1，已知大圆的半径是笑脸（小圆）的4倍，当笑脸在大圆上做无滑动的滚动时，从起点A 出发到回到起点，请画出笑脸在上边、左边、下边位置时脸部的准确位置。
图 1 若能准确画出位置，则可发现滚动到上边时，笑脸转了360+90度，再滚动到左边时，又转了360+90度，再滚动到下边时，又转了360+90度，再滚动回到起点时，又转了360+90度，总计转了4×360+4×90度，即5圈。
为了让小学生理解的更清楚些，可再换个问法：一个正方形的边长刚好是一个圆的周长，当圆在正方形外做无滑动的滚动时，从起点滚动一周回到起点处，圆一共转了多少圈？
图2
画图观察（图2），明显可见：当圆从A 点滚动到B 点时，刚好一圈。
但要到BC 边做滚动时，直径需要先在顶点B 外转90度，同样道理，当从起点A 滚动一周回到起点A 处，每边上各滚动一圈，四个顶点处各转90度，所以共转了5圈。
举一反三，如果把正方形换成三角形、五边形、六边形，或者换成圆、椭圆、其他规则与不规则图形，结论就如前面所论，应该用周长除以小圆周长后再加上（公转）的一圈。
A B
C D A。
圆绕图形无滑动滚动的问题
线长度相等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r＋1(周)。
(2)内滚 例 4、如图，圆 1 的半径为 R，圆 2 的半径为 r。圆 2 从图上所示位置出发，在圆 1 内部绕圆
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。 结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。 二、拓广范围：圆在多边形外滚动 例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆
周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三 条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。 即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长 所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长， 所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
1 作无滑动滚动一周回到原来的位置，则圆 2 转动了______周。
解答：圆 2 在圆 1 内部作无滑动地滚动，圆 2 滚动的路线长度与其圆心所经过的路线长度相 2π(R－r) R－r R
等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r－r转动了2滚动的路线的长度与其圆心所经过的路线长度相等虚线圆所以圆2转动周数从图上所示位置出发在圆1内部绕圆作无滑动滚动一周回到原来的位置则圆2转动了周
滚动圆问题
球做纯滚动的推论
球做纯滚动的推论纯滚动是指物体在没有任何外力的情况下，只受到重力作用下滚动的运动形式。
以球做纯滚动为例，我们可以通过观察和分析来推论出一些有趣的结论。
让我们想象一个完美的球体，它在平坦的地面上滚动。
由于球体的形状对称性和重心位置的特殊性，球体在滚动过程中会保持稳定。
这意味着球体不会偏离其原始方向，而是沿着一个直线路径滚动。
这种直线路径称为滚动轨迹。
接下来，我们来思考球体滚动的速度。
根据纯滚动的定义，球体在滚动过程中没有滑动，只有纯粹的滚动。
因此，球体的滚动速度与其自身的转动速度是相等的。
当球体的质量分布均匀时，它的转动速度可以通过球体的线速度和半径来计算。
我们可以研究球体滚动的加速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比。
在纯滚动的情况下，球体只受到重力的作用，因此它的加速度与重力加速度相等。
而且，由于球体的质量分布均匀，所以球体的转动惯量也是恒定的。
因此，球体的滚动加速度与其半径和重力加速度有关。
另一个有趣的问题是球体滚动的能量转化。
在滚动过程中，球体的动能由两部分组成：转动动能和平动动能。
当球体滚动时，这两种动能会相互转化。
例如，当球体从静止开始滚动时，它的转动动能逐渐增加，而平动动能逐渐减小。
当球体滚动到一定速度时，它的转动动能和平动动能达到平衡，保持恒定。
我们可以思考一下球体纯滚动的应用。
纯滚动的运动形式在很多领域都有应用，比如汽车轮胎的滚动、滚筒输送机的传送物品等。
通过研究纯滚动，我们可以更好地理解物体在滚动过程中的运动规律，为相关领域的设计和应用提供指导。
总的来说，以球做纯滚动为题，我们可以通过观察和分析推论出球体滚动的稳定性、速度、加速度、能量转化等特点。
这些推论不仅有助于我们深入理解纯滚动的运动形式，还可以为相关应用提供理论依据。
通过用人类的视角进行描述，使文章更具情感和真实感，让读者仿佛亲身体验球体纯滚动的奇妙之处。
“圆形滚动”的问题探究
的路 径等 于 圆周滚 过 的路 程．
２ 圆在 多 边 形 外 侧 滚 动
问 题 ２ 如 图 ， 个 半 径 为 ｒ的 圆 。 在 折 线 Ｚ上 滚动 一 段 路 程 ， 点 为 Ａ， 起 终 点 为 Ｂ， 圆 心 ０ 经 过 的 问 路 径是 多 少 ？ 探究 结 论 ：圆 心 ０ 所
般 结 论 ：圆 在 长 方 形 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆心 所 经历 的路径 等 于正方 形 的周长再 加 上 圆 的 １个 周 长 ． 问题 ４ 如 图 ， 个 半 一 径 为 ｒ的 圆 ０ 在 正 △ ＡＢＣ 的外 侧 自 Ｄ 点 开 始 滚 动 １ 圈 回 到 点 Ｄ， 圆心 Ｏ 经 问 过 的路径 是多 少 ？ 探究 结论 ：圆 心 ０所 经 历 的路 径 Ｌｏ 于 等 正 △ ＡＢＣ 的 周 长 ３ ＡＢ， 加 上 圆 心 ０ 在 三 个 再 顶点 处 旋 转 经 过 的 弧 长 之 和 （ 好 是 一 个 周 刚 长 ） 即 Ｌ 一３ ， ｏ ＡＢ ＋ ２ ｒ 兀． 探究 发现 ：圆心 在各个 顶 点处 旋转 经 过 的 度数 刚 好 是 它 的外 角 ， 过 的度 数 之 和就 等 于 转 多边 形 的外角 之 和 ３ ０． ６。 问题 ５ 一个 半 径为 ｒ的 圆 ０ 在 任意 多 边 形 的外侧 自 Ｐ 点开 始 滚 动 １圈 回到点 Ｐ， 问圆 心 ０经过 的路径 是 多少 ？ 般 结论 ：圆在 任 意 多边 形 的 外 侧 滚动 １ 圈 ， 心 所 经 历 的 路 径 等 于 多 边 形 的 周 长 和 圆 圆 的周 长之 和．
・
４ ・ ０
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ２期
Ｌ。 是 以 Ｍ 为 圆 心 ， （ 就 以 Ｒ＋ ｒ 为半 径 的 大 圆 ） 周 长 ， Ｌ ＝２ （ 即 。 ７ Ｒ＋ｒ ． ） 般结论 ：圆在 圆周 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆 心 所经 历 的路 径 等于这 两个 圆 的周 长之 和． 继 续探索 ：在这个 过程 中圆 Ｏ 自转 了多 少
关于圆的滚动问题的探讨
关于圆的滚动问题的探讨在北师大版九年级数学（下）《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：如图（2）：一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而AM,BN分别与直线垂直，易知AM，BN互相平行且相等，所以四边形AMNB为矩形，因为MN是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于MN的长度，即：硬币的周长 d。
结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周。
需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。
明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题。
接下来，让我们来看一个更一般的问题：如图（3）：⊙A 半径为1r ，⊙B 半径为2r ，若⊙A 不动，⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。
当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以A 圆心，（1r +2r ）为半径的圆；那么，圆心B经过的路径长是2π（1r +2r ），有上面结论，⊙B 自身转动的总长度应与圆心B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了n 圈，应有下面式子成立：2π2r ·n=2π（1r +2r ）于是n=122r r r + 我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得n=111r r r +=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。
估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了2圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币B“吻”遍硬币A 一周时，硬币B也被硬币A “吻”遍了一周，硬币B不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆），⊙B上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点A转动，②绕点B转动。
滚动问题中圆的圈数的探讨
滚动问题中圆的圈数的探讨一 问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
初中数学论文：从一道课本练习题谈圆的“滚动
点燃思维的火种 ，燃起创造的欲望——从一道课本练习题谈圆的“滚动”数学课本是获取数学知识的主要源泉，课本中的例题、练习题都是由编者精心筛选，匠心独运而成的，具有丰富的内涵和背景，对强化双基、开发智力、培养能力，有着极大的潜在价值。
近几年，圆的“滚动”题已成为中考数学和各类数学竞赛题的热点之一。
这类考题有的直接取之课本，有的则是把课本中的例题、练习题的条件或结论进行适当加工，改造编拟而成。
所以在教学中要深入探求问题各种各样的变式，横、纵拓展，可以达到“做一题，通一类，会一片”。
这样既能加深学生对基础知识的理解，增强综合运用知识的能力，提高学习效率，又可以有效地培养学生的各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。
为此，本文以北师大版数学九年级下册120页随堂练习第2题为例，来谈谈圆的滚动问题。
一 、 圆沿着直线滚动原题 如图：一枚直径为d 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？分析：这是一道属于圆沿直线滚动的问题。
硬币沿着直线从点A 滚动一周到点B ，滚动过程中圆与直线始终是相切的 ，圆心到直线的距离都等于半径，OO 1 BA 构成一个矩形，所以圆心经过的路径OO 1 =BA ，即圆心经过的距离等于硬币的周长。
变式1：（对题目的条件进行简单变换）小明自行车车轮的外半径为24cm ，他推着自行车前进，车轮向前滚动了10圈，他前进了多少m ？分析：小明前进的距离就是车轮所在的圆滚动10圈所经过的距离。
即等于圆的周长乘以圆转动的圈数，所以小明前进的距离为：22410480() 4.8()cm m πππ⨯⨯== O O 1 B A变式2：（对题目的条件和结论进行互换）反之，圆心经过的路程为一个圆周长，则圆自身转动了一圈。
推广：滚动圆的周长程滚动的圆心所经过的路圆自转的圈数=二 、 圆沿着圆滚动若把原题中的直线改成线段并且围成一个圆，那就属于圆沿着圆滚动的问题。
变式3：如图 两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，滚动硬币的圆心移动多少距离？分析：无滑动地滚动指滚动过程中两硬币（两圆）始终外切，若固定硬币为 ⊙0，滚动硬币为⊙O ′,半径均为R ，OO ′=2R ，动圆的圆心O ′所经过的路径是一个半径为2R 的圆的周长即2π(R+R ）=4πR 。
滚动问题中圆的圈数的探讨
滚动问题中圆的圈数的探讨一 问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
圆在滚动中圆心的运动轨迹
圆在滚动中圆心的运动轨迹好吧，今天咱们聊聊一个有趣的话题——圆在滚动中圆心的运动轨迹。
说到这，首先得说，圆滚动起来，那可真是个美丽的舞蹈啊，仿佛在地面上画出一道优雅的弧线，简直让人看得眼花缭乱。
你有没有想过，圆心在这个过程中其实也有自己的小秘密？对，圆心在滚动的时候，就像个孩子在地上追逐彩虹一样，走的每一步都是一段旅程。
想象一下，咱们有个圆，像个可爱的足球，准备在操场上滚动。
这个圆心就像那颗小星星，永远在圆的正中间，不管圆在干嘛，它都在那里，稳稳当当的。
这时候，圆心的运动轨迹就开始变得有趣起来了。
圆在滚动，圆心却不总是在同一个地方，它在不停地变化位置，形成了一种美妙的曲线。
就像你在跳舞的时候，虽然身体在转，但心里总是有一种不变的节奏。
想象你在路边看着这颗小足球，它从左往右滚动，圆心就会跟着它移动。
其实这时候，圆心的轨迹就像是条小波浪，忽高忽低，时而跃起，时而俯下。
可真是有趣得很！就像一群孩子在草地上嬉戏，谁也不想停下脚步。
咱们的圆心也是，跟着圆的舞步，跑来跑去，形成了一个叫做“滚动线”的东西。
你可能会问，啥是滚动线啊？其实简单来说，就是圆心在滚动过程中划出的那条线。
就像你在沙滩上走，脚印留在沙子上，圆心的运动轨迹也是这样，留下一道道痕迹。
可别小看了这条线，它可跟圆的半径、速度都有关系呢。
要是圆的半径大了，滚起来的曲线就会更宽；要是圆心跑得快，那这条线就会变得更长，哇塞，简直是速度与激情的结合。
再说到生活中，咱们每天都在“滚动”。
上班的路上，回家的路上，生活的每一个瞬间都在变化。
我们每个人都在追寻自己的“圆心”，努力找到那份平衡感。
就像这个圆心，无论外面的世界怎么变化，它总是保持着自己的节奏。
生活中也是如此，咱们有时候要像圆心一样，保持冷静，找到自己的轨迹，才能更好地面对周围的风风雨雨。
圆在滚动的时候，还可能碰到各种各样的障碍物。
比如，草地上的小石头，突然冒出来，圆一撞上去，哇，可能就会弹起。
这就像人生的坎坷，总是让你措手不及。
圆在数轴上滚动的题目
圆在数轴上滚动的题目圆在数轴上滚动是一个经典的物理问题。
当圆在数轴上滚动时，我们可以讨论它的位置、速度、加速度以及与时间的关系。
下面我将从多个角度回答这个问题。
1. 圆的位置，圆在数轴上滚动时，我们可以用一个变量来表示它的位置。
通常情况下，我们选择以某一点作为原点，用正负数表示圆心相对于这个点的位置。
例如，当圆心在原点左侧时，我们用负数表示位置；当圆心在原点右侧时，我们用正数表示位置。
2. 圆的速度，圆在数轴上滚动时，我们可以用一个变量来表示它的速度。
速度是位置随时间的变化率。
如果我们用x表示圆的位置，t表示时间，那么圆的速度v可以表示为v = dx/dt。
这意味着圆的速度等于位置关于时间的导数。
3. 圆的加速度，圆在数轴上滚动时，我们可以用一个变量来表示它的加速度。
加速度是速度随时间的变化率。
如果我们用v表示圆的速度，t表示时间，那么圆的加速度a可以表示为a = dv/dt。
这意味着圆的加速度等于速度关于时间的导数。
4. 圆的运动方程，圆在数轴上滚动时，我们可以通过运动方程描述它的位置随时间的变化。
根据物体在匀速直线运动时的运动方程，我们可以得到圆的位置与时间的关系表达式。
如果我们假设圆的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，时间为t，那么圆的位置x可以表示为x = x0 + v0t + (1/2)at^2。
5. 圆的运动特性，圆在数轴上滚动时具有一些特殊的运动特性。
首先，当圆的速度为零时，它的位置达到极值，即圆停止滚动。
其次，当圆的加速度为零时，它的速度保持恒定，即圆做匀速直线运动。
最后，当圆的加速度不为零时，它的速度和位置都会随时间发生变化，即圆做变速直线运动。
综上所述，圆在数轴上滚动是一个涉及位置、速度、加速度和时间的物理问题。
我们可以通过运动方程和运动特性来描述和分析圆的运动。
这些概念和公式可以帮助我们理解圆在数轴上滚动的行为。
小圆在大圆上的滚动问题
小圆在大圆上的滚动问题
在许多读物或者试题里，常见一些小圆在大圖上的滚动问題。
如何让小学生把握住这类问题，需要多观察、多操作，然后加以理解。
一般问题：已知大圆的半径是小圆的4倍，问小圆在大圆外做无滑动的滚动时，从超点出发再回到起点.小圆一共转了多少圈？
换个问法：如下图1,已知大圆的半径是笑脸（小圆）的4倍，当笑脸在大圆上做无滑动的滚动时，从起点A出发到回到起点，请画出笑脸在上边、左边.下边位置时脸部的准确位置。
若能准确画出位置，则可发现滚动到上边时，笑脸转了360+90度，再滚动到左边时，又转了360+90度，再滚动到下边时，又转了360+90度，再滚动回到起点时，又转了360+90 度，总计转了4X360+4X90度，即5圈。
为了让小学生理解的更淸建些，可再换个问法：一个正方形的边长刚好是一个圆的周长，当圆在正方形外做无滑动的滚动时，从是点滚动一周回到是点处.圆一共转了多少團？
画图观察（图2）,明显可见：当圆从A点滚动到B点时，刚好一圈。
但要到BC边做滚动时，直径需要先在顶点B外转90度，同样道理，当从起点A滚动一周回到是点A处，每边上各滚动一圈，四个顶点处各转90厦，所以共转了5圈。
举一反三，如果把正方形换成三角形、五边形、六边形，或者换成圆.椭國、其他规则与不规则图形，结论就如祈面所论，应该用周长除以小圆周长后再加上（公转）的一圈。
圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题
圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题圆轮是人们常用的一种机械装置，它能被用来传递力量或运动。
而纯滚动时，圆轮之间的摩擦力能够影响圆轮在表面的运动。
如果圆轮进行纯滚动时，其摩擦力的变向问题就会出现。
在这种情况下，圆轮可以在一定范围内改变摩擦力的变向，从而影响圆轮的运动状态。
首先，让我们来看一下，当圆轮作纯滚动时，摩擦力是怎么发生变向的。
圆轮会在与它接触的表面之间产生一定的摩擦力，它们之间的摩擦力可以通过磨擦的方式进行变向。
比如，如果圆轮在一个向右的方向上滚动，摩擦力会向右发生变向，形成所谓的“反摩擦”力。
反之，如果圆轮在向左的方向上滚动，摩擦力会向左发生变向，形成“正摩擦”力。
它们之间的交互作用也会形成回旋摩擦力，它们会和圆轮的表面相互抵消，使圆轮可以更加顺畅地滚动。
此外，我们还可以通过其他方法来调整圆轮滚动时摩擦力的变向。
调整圆轮表面的摩擦系数是一种方法，它可以提高滚动时摩擦力的密度，从而控制摩擦力的变向。
在这种情况下，摩擦系数的增大会使圆轮的发力力矩增大，从而使其向右滚动时摩擦力变向向右，向左滚动时摩擦力变向向左，从而改善圆轮的滑动状态。
另外，我们还可以改变圆轮的质量，从而改变摩擦力的分布。
比如，把质量均匀分散在圆轮的表面上，会使滚动时摩擦力均匀分布，从而使圆轮可以更加平滑地滚动。
最后，我们可以通过改善圆轮的设计和材料来改变摩擦力的变向。
比如，在改善圆轮的滚动质量方面，我们可以使用更低的摩擦常数的表面材料，从而降低圆轮的滚动摩擦力。
另外，圆轮的结构也会影响滚动时摩擦力的变向。
如果圆轮有更多的齿轮，就会使滚动时摩擦力分布更为均匀，从而改善圆轮的滑动状态。
总而言之，圆轮作纯滚动时，摩擦力的变向问题应当引起重视，我们可以通过改变圆轮表面的摩擦系数、质量和材料来改善圆轮的滑动状态。
总之，圆轮的摩擦力变向问题是非常重要的，它能够影响圆轮的滚动状态，从而影响其运动状态。
在实际应用中，我们应该根据实际情况，充分了解圆轮的运动特性，从而确定合适的方法来调整圆轮的摩擦力变向，以达到最佳的滚动状态。
发现日常生活中的滚动现象——有趣的滚动教学实践
作为一名教育工作者，我深知教育需要与时俱进，尤其是在数字化时代，我们教师需要把学生与数字技术联系起来，让他们更好地掌握使用数字技术的能力。
而滚动现象是一个非常有趣的教学话题，可以帮助学生更好地理解物理和数学概念。
在本文中，我们将探讨如何发现日常生活中的滚动现象，并且引入一些有趣的滚动教学实践。
一、日常生活中的滚动现象滚动是物理学家经常研究的一种动态现象。
我们在生活中也能很常见地看到它，如何制造旋转，如何使物体开始移动以及如何保持它们在运动中。
我们可以看到，当我们尝试将一些小球从一端推向另一端时，它们会沿着地面滚动。
这个过程中有许多可以探索的因素，例如小球的大小、形状，地面的摩擦力等等。
此外，许多机器和设备也是于滚动的。
如，苹果手机上的电话图标是可以滚动的，让用户可以访问更多的联系人。
二、滚动教学实践1.手掌滚动实验在这个实验中，我们可以使用一些小的球形物品来测试它们是如何滚动的。
我们需要使用手掌把它们推到地面上，看看它们会在什么样的情况下滚动，如何控制它们的方向以及速度。
学生们可以通过实践来深入了解滚动的物理原理。
2.纸卷滚动实验这个实验可以使用一张纸卷，把纸卷放在桌子上，接着放上一个小球，然后扶起纸板的一端，看看小球是如何沿着卷曲的纸板滚动的以及它的滚动速度和方向。
老师可以通过这个实验来向学生们展示如何利用滚动物体的原理来设计简单的机器和设备。
3.模拟滚动运动通过模拟滚动运动，让学生更好地理解滚动的物理原理。
首先放置一个硬币或其他圆形物体在桌面上，然后轻轻地向它推动。
当硬币开始转动时，让学生观察它的速度、方向和其他特征。
然后让学生自己尝试控制硬币的滚动速度和方向。
这个实践可以让学生更加深入地理解滚动的物理原理，以及使用滚动运动设计机器和设备的原理。
在滚动教学实践中，老师不仅可以帮助学生更好地理解滚动的物理和数学概念，更重要的是可以激发他们的探索欲望，让学生在实践中发现问题，提出解决方案，培养他们的创新和解决问题的能力。
物理滚动圆问题
物理滚动圆问题
物理滚动圆问题是物理学中的一个基础问题，涉及到圆形物体在水平面上滚动时的运动规律。
以下是相关参考内容：
1.滚动圆的运动状态
滚动圆的运动状态有两种：纯滚动和滑动。
在纯滚动时，圆心的速度等于圆周速度乘以半径，圆体无相对滑动，而在滑动时，圆体与地面发生相对滑动，圆心速度小于圆周速度。
2.滚动圆的运动规律
滚动圆的运动规律可以由牛顿第二定律得到，即物体做合外力时的加速度与物体所受合力成正比，与物体质量成反比。
因为滚动圆的加速度与转动惯量有关，所以需要引入转动惯量的概念。
3.转动惯量的计算方法
转动惯量是描述物体转动惯性大小的物理量，计算方法与物体形状相关。
对于均质圆盘而言，转动惯量的计算公式为
I=1/2M*R^2，其中M是圆盘质量，R是圆盘半径。
4.滚动能量的计算
滚动圆在运动过程中具有动能和角动量，其中动能包括平动动能和转动动能。
滚动圆的动能可以通过能量守恒定律计算得到。
假设半径为R的滚动圆质量为m，在滚动速度为v下滚动时，其总能量为E=1/2mv^2+1/2Iw^2，其中w为圆盘的角速度，I
为圆盘的转动惯量。
5.滚动圆的应用
滚动圆在物理学中有广泛的应用，例如在机械工程领域中，滚动圆被用于传动系统中，在运动控制领域，滚动圆被用于机器人的运动和姿态控制。
此外，在物理学科研和实验室工作中，滚动圆也常常被用于实验测量和数据分析。
幼儿园大班科学活动球的滚动
幼儿园大班科学活动球的滚动球的滚动——幼儿园大班科学活动的探索与实践亲爱的小朋友们，你们好呀！今天，我带着一颗好奇的心，想和大家聊聊一个很有趣的事情——球的滚动。
想象一下，当你把球滚来滚去的时候，是不是觉得特别有趣呢？让我们来了解一下什么是球。
球是一种圆形的物体，它有很多小伙伴哦，比如篮球、足球、乒乓球等等。
这些球都有一个共同的特点，那就是它们都是圆的，而且可以滚动。
那么，球为什么会滚动呢？这就要说到摩擦力啦。
当球在地面上滚动时，它会与地面之间产生一种相互吸引的力量，这种力量就是摩擦力。
而摩擦力的大小呢，又跟地面的材质、湿度以及球的滚动速度有关。
所以，当我们用不同材质的地面或者改变球的滚动速度时，我们会发现球会有不同的滚动效果哦。
接下来，我们来玩一个小游戏吧！你们知道吗？我们可以用手指轻轻地推一下球，看看会发生什么变化呢？对啦！当球受到手指的推动时，它会开始滚动起来。
但是，如果我们用力推得过猛，球可能会被推开很远甚至飞出去呢！所以我们在推球的时候要注意力度哦，轻轻一推就好啦。
现在，我想邀请你们一起来做一个实验，看看摩擦力对我们的影响有多大。
我们需要准备一些不同材质的物体（比如毛巾、海绵、木板等），还有几个同样大小的球。
我们将球放在光滑的表面上，然后用手指轻轻推一下球。
你们能感觉到球的变化吗？对了，球会开始滚动起来！接下来，我们再换一种材质的物体，比如毛巾或海绵。
你们发现什么了？是不是球在毛巾或海绵上滚动的速度变慢了呢？这是因为毛巾或海绵的表面比较粗糙，摩擦力更大，所以球滚动的速度就会变慢。
通过这个实验，我们可以看出，摩擦力对于球的滚动有着重要的影响。
它可以让球滚动起来，也可以让球停下来。
那么，我们在生活中还会遇到哪些类似的现象呢？比如，为什么我们骑自行车时总是要握住把手呢？这是因为手和自行车轮之间的摩擦力可以帮助我们保持平衡，防止我们摔倒哦。
我想说，通过这个有趣的实验，我们不仅学会了如何观察和探究事物的本质，还了解到了摩擦力对我们生活的重要作用。
滚动圆——精选推荐
滚动圆滚动圆问题规律探索教学⽬标：1．掌握圆沿直线、折线、曲线⽆滑动的滚动时，通过的距离与圆的弧长的关系。
2.培养学⽣实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能⼒；流程⼀：⼀、创设情境：如图，将⼀枚半径为r 的硬币在直线上滚动⼀圈，则这枚硬币滚动的距离为；思考：硬币滚动过的长度与圆⼼经过的路径有什么关系？⼆、活动⼀如图，若线段 AB = ，则这枚半径为r 的硬币从点A ⽆滑动地滚动到点 B 需转 _圈；归纳：如何计算滚动的圆转的圈数? 流程⼆：活动⼆1.如图，将总长为的线段AB 在中点C 处折成90°，这时这枚半径为r 的硬币从点A 到点B 需转圈；2.如图，将总长为的线段AB 在中点C 处折成60°，这时这枚半径为r 的硬币从点A 到点B 需转⼏圈；3. 若AB 长为m ，点C 为AB 上任⼀点，如图所⽰，在C 处折成这时这枚半径为r 的硬币从点A 到点B 需转圈；A O lB AOlO BAC90°4r π4r π4r πOC AB OA C αα B流程三：活动三如取两枚⼤⼩相同的硬币，将其中⼀枚平放在桌⼦上并固定，另⼀枚沿着固定的边缘⽆滑动的滚动⼀周，如图，⊙O1和⊙O的半径都为r，圆⼼O1在以O为圆⼼的圆上⽆滑动的滚动，当⊙O1绕⊙O滚动⼀周时，那么滚动的⊙O1⾃⾝转了⼏圈？知识升华，衔接中考如图，⼀个等边三⾓形的边长与沿着它的边按箭头⽅向滚动的圆的周长相等，当这个圆按箭头⽅向从某⼀位置沿等边三⾓形的三边做⽆滑动的旋转，直⾄回到原出发位置时，则这个圆共转了圈。
达标测评1、⊙O与⊙O1外切于点A，已知⊙O和⊙O1的半径分别为 R、r（R≥r），若⊙O1绕着⊙O边缘滚动⼀周回到初始位置，问⊙O1⾃转了⼏圈？2、如图，半径为1的⼩圆从点O到点O'，沿曲线AB作⽆滑动的滚动，已知半圆AC、半圆BC所在圆的半径分别为4、2。
则⼩圆⾃⾝转动了⼏圈？A。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于圆的滚动问题的探讨
在北师大版九年级数学（下）《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：
如图（2）：一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？
分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而AM,BN分别与直线垂直，易知AM，BN互相平行且相等，所以四边形AMNB为矩形，因为MN是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于MN的长度，即：硬币的周长 d。
结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直
线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周。
需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。
明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题。
接下来，让我们来看一个更一般的问题：
如图（3）：⊙A 半径为1r ，⊙B 半径为2r ，若⊙A 不动，⊙B 绕
⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？
我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。
当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以A 圆心，（1r +2r ）为半径的圆；那么，圆心B
经过的路径长是2π（1r +2r ），有上面结论，⊙B 自身转动的总长度应
与圆心B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了n 圈，应有下面式子成立：
2π2r ·n=2π（1r +2r ）于是n=122
r r r + 我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得n=111
r r r +=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。
估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了2圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币B“吻”遍硬币A 一周时，硬币B也被硬币A “吻”遍了一周，硬币B不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆），⊙B上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点A转动，②绕点B转动。
这有点像地球，当它绕太阳旋转时，本身也在自转。
正是这样的原因，硬币B转的不是1圈，而是2圈。
⊙B上各点与点A的距离随着⊙B的转动而不断变化，给我们研究问题带来了很大不便，这也是我们为何选点B来解决该问题最重要的原因。
通过上面的讨论，不知你是否已清楚解决圆转动过程中的圈数问题的基本思路。
请看下面几个典型题目：
例1 ⊙Ｏ的半径为Ｒ，⊙
O⊙2O半径均为ｒ，⊙1O与⊙Ｏ内
1
切，沿⊙Ｏ内侧滚动ｍ圈后，回到原来位置，⊙
O和⊙Ｏ外切，并沿
2
⊙Ｏ外侧滚动ｎ圈后，回到原来位置，则ｍ，ｎ大小关系是（）Ａ、ｍ＞ｎＢ、ｍ＝ｎＣ、ｍ＜ｎＤ、无法确定
解：⊙2O 绕⊙Ｏ滚动一周，圆心2O 经过的路径长为：２π（Ｒ＋
ｒ），于是⊙2O 转了：ｎ＝2()2R r r ππ+＝R r r +＝R r
＋１（圈） 同理⊙1O 转了；ｍ＝2()2R r r ππ-＝R r r -＝R r
－１（圈），所以选Ｃ 例２ 一个等边三角形的边长与和它一边相切的圆周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形三遍作无滑动滚动，直至回到原出发位置时，问该圆转动了几圈？
分析：只要计算出圆心经过的路径的总长度，除以该圆周长便可算出转动的圈数。
如图（６）所示，⊙1O 在ＡＢ边上与之相切，Ａ为
切点，绕Ａ转到ＡＣ边上时，与ＡＣ相切，Ａ仍为切点，此时，圆心经过的是12O O ，因∠1O Ａ2O ＝0360—2×090—060=0120
观察图形，不难看出圆心在三个顶点处经过的三段弧恰是等弧，从而，圆心经过的总路径长=3AB+3×1120180
O A π•=3AB+AB=4AB ，于是，当圆回到出发位置时，共转了4圈。
聪明的你请思考下面问题：
物理课上老是为同学们演示了一个实验：如图（7）,在“V ”字
形轨道ABC 上滚动一个半径为10cm 的圆盘，其中轨道AB 与BC 夹角为0120，AB=60cm ，BC=40cm ，将圆盘无滑动地从点A 滚动到点C ，圆转动了几圈？
略解：当圆盘从A 沿水平滚动到顶端时，恰与AB 、BC 同时相切，设切点为D ，E.连接OB ，知2R O R t ∆≅∆１ＤＢｔＯＥＢ可求得BD=EB=２０ＯＤｔａｎ６０
于是⨯１２２３ＯＯ＋ＯＯ＝６０＋４０－２３ ＝１００－３
那么圆滚动了ππ
⨯１００－３＝２１０３（圈） 注意：圆在滚动中，弧DE 这一段并没滚动，在计算滚动圈数时不应算在内。
如图：水平地面上有一面积为30π２ｃｍ的扇形AOB ，半径
OA=6cm,且ＯＡ与地面垂直。
在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动ＯＢ与地面垂直为止，则Ｏ点移动的距离为多少？。