关于圆的滚动问题的探讨

关于圆的滚动问题的探讨

在北师大版九年级数学（下）《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？

要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：

如图（2）：一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？

分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而AM,BN分别与直线垂直，易知AM，BN互相平行且相等，所以四边形AMNB为矩形，因为MN是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于MN的长度，即：硬币的周长 d。

结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直

线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周。需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。

明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题。接下来，让我们来看一个更一般的问题：

如图（3）：⊙A 半径为1r ，⊙B 半径为2r ，若⊙A 不动，⊙B 绕

⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？

我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以A 圆心，（1r +2r ）为半径的圆；那么，圆心B

经过的路径长是2π（1r +2r ），有上面结论，⊙B 自身转动的总长度应

与圆心B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了n 圈，应有下面式子成立：

2π2r ·n=2π（1r +2r ）于是n=122

r r r + 我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得n=111

r r r +=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。

估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了2圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币B“吻”遍硬币A 一周时，硬币B也被硬币A “吻”遍了一周，硬币B不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆），⊙B上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点A转动，②绕点B转动。这有点像地球，当它绕太阳旋转时，本身也在自转。正是这样的原因，硬币B转的不是1圈，而是2圈。⊙B上各点与点A的距离随着⊙B的转动而不断变化，给我们研究问题带来了很大不便，这也是我们为何选点B来解决该问题最重要的原因。

通过上面的讨论，不知你是否已清楚解决圆转动过程中的圈数问题的基本思路。请看下面几个典型题目：

例1 ⊙Ｏ的半径为Ｒ，⊙

O⊙2O半径均为ｒ，⊙1O与⊙Ｏ内

1

切，沿⊙Ｏ内侧滚动ｍ圈后，回到原来位置，⊙

O和⊙Ｏ外切，并沿

2

⊙Ｏ外侧滚动ｎ圈后，回到原来位置，则ｍ，ｎ大小关系是（）Ａ、ｍ＞ｎＢ、ｍ＝ｎＣ、ｍ＜ｎＤ、无法确定

解：⊙2O 绕⊙Ｏ滚动一周，圆心2O 经过的路径长为：２π（Ｒ＋

ｒ），于是⊙2O 转了：ｎ＝2()2R r r ππ+＝R r r +＝R r

＋１（圈） 同理⊙1O 转了；ｍ＝2()2R r r ππ-＝R r r -＝R r

－１（圈），所以选Ｃ 例２ 一个等边三角形的边长与和它一边相切的圆周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形三遍作无滑动滚动，直至回到原出发位置时，问该圆转动了几圈？

分析：只要计算出圆心经过的路径的总长度，除以该圆周长便可算出转动的圈数。如图（６）所示，⊙1O 在ＡＢ边上与之相切，Ａ为

切点，绕Ａ转到ＡＣ边上时，与ＡＣ相切，Ａ仍为切点，此时，圆心经过的是12O O ，因∠1O Ａ2O ＝0360—2×090—060=0120

观察图形，不难看出圆心在三个顶点处经过的三段弧恰是等弧，从而，圆心经过的总路径长=3AB+3×1120180

O A π•=3AB+AB=4AB ，于是，当圆回到出发位置时，共转了4圈。

聪明的你请思考下面问题：

物理课上老是为同学们演示了一个实验：如图（7）,在“V ”字

形轨道ABC 上滚动一个半径为10cm 的圆盘，其中轨道AB 与BC 夹角为0120，AB=60cm ，BC=40cm ，将圆盘无滑动地从点A 滚动到点C ，圆转动了几圈？

略解：当圆盘从A 沿水平滚动到顶端时，恰与AB 、BC 同时相切，设切点为D ，E.连接OB ，知2R O R t ∆≅∆１ＤＢｔＯＥＢ可求得BD=EB=２０ＯＤｔａｎ６０

于是⨯１２２３ＯＯ＋ＯＯ＝６０＋４０－２３ ＝１００－３

那么圆滚动了ππ

⨯１００－３＝２１０３（圈） 注意：圆在滚动中，弧DE 这一段并没滚动，在计算滚动圈数时不应算在内。

如图：水平地面上有一面积为30π２ｃｍ的扇形AOB ，半径

OA=6cm,且ＯＡ与地面垂直。在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动ＯＢ与地面垂直为止，则Ｏ点移动的距离为多少？