第三章能量法分析

1 2
F2 Δ2
第三章 能量方法
3、有 n 个广义力同时作用时
Vε
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
1 2
Fn Δn
n i1
12Fi Δi
(i 1,2,,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
4、组合变形（用内力形式表示的应变能）
小变形时不计FS 产生的应变能， FN (x) — 只产生轴向线位移d Δ
线性函数 小前提：缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）
二.功和应变能
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体
做了功。
恒力功：
变力功：
W Fp • D1
W D1 F • dD 0
1
曲线与横轴围成的面积
在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功
扭转时外力做功
弯曲时外力做功
M e2l 6EI
FM el 2 16 EI
例3-1 计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能
EI (a)
A l
mo B x
Va Vmo
l M(x)dx 0 2EI
l Mo2dx Mo2l 0 2EI 2EI
例3-2 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
EI (b)
A l
P B x
Vb V p
2EA
2GIp
2EI
杆的应变能为
Vε
ldVε
FN2 (x) d x l 2EA
T 2(x) d x l 2GIp
M 2(x) d x l 2EI
关于应变能计算的讨论：
1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形 形能的计算。
2.应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上 的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上 的应变能。 3.变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在 其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。
第三章 能量法
本章主要研究
❖ 杆件应变能的计算方法 ❖ 卡氏第一定理及其在结构分析中的应用 ❖ 卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用 ❖ 卡氏定理求解超静定问题的方法
第三章 能量法
§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡式定理 §3-4 用能量法解超静定系统
§3－1 概 述
能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的 内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将 力和变形（位移）作为一体讨论；
4.变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆 系结构中，各杆可独立选取坐标系。
第三章 能量方法
4、应变能的特点:
(a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产 生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等 于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变 形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产 生的应变能之和。
例
EA F2
F1
a
b
Me F2 F1
Vε
F12 (a b) 2EA
F22a 2EA
Vε
F12b 2EA
(F1
F2 )2 a 2EA
Vε Vε (F1) Vε (F2 ) Vε (M e )
第三章 能量方法
(b) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
EI
C
l/2
wC l / 2
30o百度文库
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(a)
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计 算比较麻烦。
若利用外力功在数值上等于应变能，即
1 2
FΔAy
F2 N1
l1
2EA1
F2 N2
l2
2EA2
就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。
利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方
法统称为能量法。
(a)
优点：
❖ 1. 不管中间过程，只算最终状态 ❖ 2. 能量是标量，容易计算
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
§3－2 应变能 ·余能
一、条件 大前提：1、小变形； 2、服从郑玄—胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的
统一表示为
W 1 F •D 2
式中F——广义力（力或力偶）
Δ——广义位移（线位移或角位移），在所有力共同作
用下与广义力F相对应的沿着力的方向的广义位移。
1、应变能: 外力做功系统储存的能量，W=Vε
拉压杆、圆轴扭转及梁对称弯曲时在线弹性范围 内工作时的应变能表达式
弹性体的应变能决定于外力和位移的最终值，与 加载的过程无关。
l
M
2 (x)
dx
0 2EI
l (Px)2 dx P2l3
0 2EI 6EI
例3-3 计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能。
EI (c)
A l
P m0
B x
Vc
l M (x)dx 0 2EI
l (mo Px)2 dx 1
T(x) — 只产生扭转角 d M(x) — 只产生弯曲转角 d
第三章 能量方法
对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dVε
dW
1 2
FN (x) d
Δ
1 T (x)d
2
1 2
M (x)d
FN2 (x) d x T 2 (x) d x M 2 (x) d x
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
wC
Fl 3 48 EI
Mel2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
M el 3EI
Vε
1 2
FwC
1 2
M e A
F 2l3 96 EI
第三章 能量方法
2、构件上有一组广义力共同作用
例
Me A
,
F
A
EI
C
l/2
wC l / 2
wC
Fl 3
48 EI
M
el
2
（
16 EI
）
B
A
Fl 2 16 EI
M el（ 3EI
）
Vε
W
1 2
FwC
1 2
M e A
令F=F1 ,wC=D1 ,Me=F2 , A= D2 ,则
Vε
W
1 2
F1 Δ1
对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物 理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从 几何协调关系出发，显得非常麻烦.
例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹 性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
y FN1 45o 30o FN 2
A
x
F
1
45o