相似三角形基本图形

三角形相似的“基本图形”

几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.

一、平行线型

如图1、图2,若DE ∥BC,则

△ADE ∽△ABC,形象地说图1为“A ”型,图2为“X ”型,故称之为平行线型的基本图形.

例1 如图3,在平行四边形ABCD 中,E 是AB 延长线上一点,连结DE 交AC 于G ，交BC 于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有____对.

析解: 本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图 4(1)—(4).但由于△ADE ∽△BFE ∽ △ CFD,故共有5对相似三角形.

二、相交线型

如图5、图6,若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交

线型的基本图形.

例2 如图7,D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE

交于点O,且CO

DO BO EO

,试问△ADE 与△ABC 相似吗如果是,请说明理由.

析解:容易看出△ADE 与△ABC 是相交线型基本图形中的两个三角形.因

A E D A D E

D C G F

D C D C D D C G F F G A F A B

E B E A E

A E

D D

E A

A E O D

∠A 为公共角,故考虑再找一对对应角相等.而由条件

CO

DO

BO EO =

及∠BOE=∠COD,∠DOE= ∠COB,可同时得到相交线型的△BOE ∽△COD, DOE ∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO,所以∠ADE=∠DCO+

∠DEO=∠EBO+∠CBO=∠ABC.故△ADE ∽△ABC.

三、母子型

将图5中的DE 向下平移至点C,则得图8,有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=

90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.

例3 如图10,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,

还需具备的一个条件 是____.

析解:本题为开放题,答案不为一.注意到△APC 与△ACB 属于子母型基本图形,而∠A 为公共角,故还需具备的一个条件是 ∠PCA=∠B 或∠APC=∠ACB 或AC 2

=AP ×AB(即

AC

AB

AP AC =

). 四、旋转型

将图5中的△ADE 绕点A 旋转一定角度,则得图11,称之为

旋转型的基本图形.

例4 如图12, ∠1=∠2,∠3=∠4,试说明△ABC ∽△DBE.

析解:观察发现图12是旋转型的基本图形.因已知∠3=∠4,则∠ABC=∠DBE,可再找∠BAC=∠BDE 或∠5=∠6, 而由条件都不易直接找到. 但易得另一对旋转型基本图形△ABD ∽△CBE,从而得BE

BD

BC AB =.又∠ABC=∠DBE,故得△ABC ∽△DBE.

A A D

B C(E) B C

D

1

P A

B C

A

D E

B C

A 1

3 D 5 B

4 2 C

6