2.4.1二次函数的应用
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4 0＜x＜1.48
设窗户的面积是 Sm2，则
S 1 x2 2xy
2
1 x2 2x 15 7x x
2
4
7 x2 15 x 22
7（x 15）2 225 2 14 56
Βιβλιοθήκη Baidu当x
15 14
1.07时，S最大
225 56
4.02
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多。
此时，窗户的面积约为4.02m2。
4ac b2 4a
300
求面积的最大值（变式训练）
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
AB和CD分别在两直角边上.
M
30m
bm
(1)如果设矩形的一边AD=xm， 那么AB边的长度如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
┐
值时，y的值最大？最大值是多少？ A xm B
N
点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1)如果设矩形的一边AD=xm，
那么AB边的长度如何表示？
M C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
H
30m
值时，y的值最大？最大值是多少？ D G
B
解：（1）由勾股定理得MN 50m, PH 24m 设AB bm,易得b 12 x 24
P┐
25
40m
解：（1）设AB bm,易得b 4 x 30 3
（2）y xb x( 4 x 30) 4 x2 40x - 4 (x -15)2 300
3
3
3
或用公式：当 x
b 2a
15时，y最大值
4ac b2 4a
300
求面积的最大值（变式训练）
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
D
C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
┐
值时，y的值最大？最大值是多少？ A xm B
N
40m
解：（1）设AD bm,易得b 3 x 30 4
（2）y xb x( 3 x 30) 3 x2 30x - 3 (x - 20)2 300
4
4
4
或用公式：当 x
b 2a
20时，y最大值
最值不一定在顶点处取得， 需考虑自变量的取值范围
1、化成顶点式，从而直接写出顶点坐标；
2、代入
b 2a
,
4ac 4a
b2
中求.（注意：化成一般式）
求面积的最大值
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
AB和CD分别在两直角边上.
M
30m
bm
(1)如果设矩形的一边AB=xm， 那么AD边的长度如何表示？
A
40m
N
（2）y xb x( 12 x 24) 12 x2 24x
25
25
12（x 25）2 300
或用公式：当25x
b 2a
15时，y最大值
4ac b2 4a
300
解决此类问题的基本思路是： （1）理解问题. （2）分析问题中的变量和常量，以及它们 之间的关系. （3）用函数表示它们之间的关系. （4）求函数的最值. （5）检验结果的合理性.
例1：某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下 半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度
和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果
精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到 0.01 m2）
解：7x 4y x 15 y 15 7x x
4
0＜x＜15，且0＜7x 4y x ＜15
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字 形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整条铝 合金型材，那么AB，CD分别为多少米时，窗户的面 积最大？
A
B
D
C
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 对于本节课的表现，你给自己打多少分？
书中47页 习题2.8 第1 题，第4题
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
（第一课时）
1、二次函数 y 2 (x 3)2 1 的图像的顶点坐标为
3
（ -3 ，1 ）当x= -3 时， y有最 大 值是 1 .
2、（1）二次函数 y 2x2 20x的最大值是 50 .
（2）当1≤x≤4时，二次函数 y 2x2 20x
的最大值为 48 . 求顶点坐标的方法：
设窗户的面积是 Sm2，则
S 1 x2 2xy
2
1 x2 2x 15 7x x
2
4
7 x2 15 x 22
7（x 15）2 225 2 14 56
Βιβλιοθήκη Baidu当x
15 14
1.07时，S最大
225 56
4.02
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多。
此时，窗户的面积约为4.02m2。
4ac b2 4a
300
求面积的最大值（变式训练）
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
AB和CD分别在两直角边上.
M
30m
bm
(1)如果设矩形的一边AD=xm， 那么AB边的长度如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
┐
值时，y的值最大？最大值是多少？ A xm B
N
点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1)如果设矩形的一边AD=xm，
那么AB边的长度如何表示？
M C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
H
30m
值时，y的值最大？最大值是多少？ D G
B
解：（1）由勾股定理得MN 50m, PH 24m 设AB bm,易得b 12 x 24
P┐
25
40m
解：（1）设AB bm,易得b 4 x 30 3
（2）y xb x( 4 x 30) 4 x2 40x - 4 (x -15)2 300
3
3
3
或用公式：当 x
b 2a
15时，y最大值
4ac b2 4a
300
求面积的最大值（变式训练）
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
D
C
(2)设矩形的面积为ym2，当x取何
┐
值时，y的值最大？最大值是多少？ A xm B
N
40m
解：（1）设AD bm,易得b 3 x 30 4
（2）y xb x( 3 x 30) 3 x2 30x - 3 (x - 20)2 300
4
4
4
或用公式：当 x
b 2a
20时，y最大值
最值不一定在顶点处取得， 需考虑自变量的取值范围
1、化成顶点式，从而直接写出顶点坐标；
2、代入
b 2a
,
4ac 4a
b2
中求.（注意：化成一般式）
求面积的最大值
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中
AB和CD分别在两直角边上.
M
30m
bm
(1)如果设矩形的一边AB=xm， 那么AD边的长度如何表示？
A
40m
N
（2）y xb x( 12 x 24) 12 x2 24x
25
25
12（x 25）2 300
或用公式：当25x
b 2a
15时，y最大值
4ac b2 4a
300
解决此类问题的基本思路是： （1）理解问题. （2）分析问题中的变量和常量，以及它们 之间的关系. （3）用函数表示它们之间的关系. （4）求函数的最值. （5）检验结果的合理性.
例1：某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下 半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度
和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果
精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到 0.01 m2）
解：7x 4y x 15 y 15 7x x
4
0＜x＜15，且0＜7x 4y x ＜15
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字 形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整条铝 合金型材，那么AB，CD分别为多少米时，窗户的面 积最大？
A
B
D
C
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 对于本节课的表现，你给自己打多少分？
书中47页 习题2.8 第1 题，第4题
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
（第一课时）
1、二次函数 y 2 (x 3)2 1 的图像的顶点坐标为
3
（ -3 ，1 ）当x= -3 时， y有最 大 值是 1 .
2、（1）二次函数 y 2x2 20x的最大值是 50 .
（2）当1≤x≤4时，二次函数 y 2x2 20x
的最大值为 48 . 求顶点坐标的方法：