2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版

数学文史类
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z ＝i²(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2． “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )．
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 5．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B
，则角A 等于( )．
A ．π3
B ．π4
C ．π6
D ．π12
6．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2
－4x ＋4的图象的交点个数为( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1
方体的正视图的面积等于( )．
A
．2 B ．1 C
．1
2 D
8．已知a ，b 是单位向量，a²b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )．
A
1 B
1 D
2
9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD
AB
＝( )．
A ．12
B ．14 C
．2 D
．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(
U
A )∩
B ＝__________.
11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：21x s y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线l 2：,
21x at y t =⎧⎨=-⎩
(t 为参数)
平行，则常数a 的值为__________．
12．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．
13．若变量x ，y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
则x ＋y 的最大值为
__________．
14．设F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若
在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为__________．
15．对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{1i a ，2i a ，…，k i a }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2
，…，
x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0. (1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于__________；
(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ²πcos 3x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
(1)求2π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
(2)求使f (x )＜1
4
成立的x 的取值集合．
17． (本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． (1)证明：AD ⊥C
1E ；
(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．
18． (本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的
每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X
1米． (1)
(2)48 kg 的概率．
19． (本小题满分13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1²S n ，n ∈N *
. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．
20．(本小题满分13分)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：25
x ＋y 2
＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0
的对称点是圆C 的一条直径的两个端点． (1)求圆C 的方程；
(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程． 21． (本小题满分13分)已知函数f (x )＝
2
11x x -+e x
. (1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.
数 学(文史卷)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：z ＝i²(1＋i)＝i －1＝－1＋i ，故选B ． 2． 答案：A
解析：∵“1＜x ＜2”能推出“x ＜2”成立，但“x ＜2”不能推出“1＜x ＜2”成立，故选A ． 3． 答案：D 解析：抽样比为
316020
=，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n ＝13，故选D ． 4． 答案：B
解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B ． 5． 答案：A
解析：∵2a sin B ，∴2sin A sin B B ．
∵sin B ≠0，∴sin A
∵A ∈π0,
2⎛⎫
⎪⎝⎭， ∴A ＝π
3
.故选A ．
6． 答案：C
解析：利用图象知，有两个交点．故选C ．
7． 答案：D
解析：如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的俯视图为ABCD ，侧视图为BB 1D 1D
正方体的正视图应为AA
1C 1C ．又因AC
8． 答案：C
解析：可利用特殊值法求解．可令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．
由|c －a －b |＝1，
1=，
∴(x －1)2＋(y －1)2
＝1.
|c |即为
，可看成
M 上的点到原点的距离，∴|c |max ＝|OM |＋1＝
1.
故选C ．
答案：D
解析：如图，设AB ＝2x ，AD ＝2y .
由于AB 为最大边的概率是
12，则P 在EF 上运动满足条件，且DE ＝CF ＝1
2
x ，即AB ＝EB 或AB ＝FA ．
∴2x =4x 2＝4y 2
＋94x 2，
即74x 2＝4y 2
，∴22716y x =.
∴4
y x =.
又∵224
AD y y AB x x ===
，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．答案：{6,8} 11．答案：4
解析：l 1的普通方程为：x ＝2y ＋1，l 2的普通方程为：x ＝a ²
12y +，即22
a a
x y =+，∴a ＝4. 12．
答案：9
解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9. 13．答案：6
解析：画出可行域，令z ＝x ＋y ，易知z 在A (4,2)处取得最大值6.
14．1
解析：如图所示，
∵PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2＝30°， 可得|PF 2|＝c . 由双曲线定义知， |PF 1|＝2a ＋c ，
由|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2
得 4c 2＝(2a ＋c )2＋c 2，即2c 2－4ac －4a 2
＝0，
即e 2
－2e －2＝0，
∴e =
1e =. 15．
答案：(1)2 (2)17
解析：(1){a 1，a 3，a 5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P 的特征数列为1,0,1,0,1，0，…，
则P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}有50个元素，Q 的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，…， 则Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}有34个元素， ∴P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}， 共有1＋
971
6
-＝17个． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
解：(1)2π2ππcos cos 333f ⎛⎫
=⋅
⎪
⎝⎭
＝ππ
cos cos 33
-⋅
＝2
1124⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
.
(2)f (x )＝cos x ²πcos 3x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
＝cos x ²1cos 22x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
＝
12cos 2
x ＋2sin x cos x
＝14(1＋cos 2x )＋4sin 2x ＝1π1cos 2234x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭. f (x )＜14等价于1π11cos 22344x ⎛
⎫-+< ⎪⎝
⎭，
即πcos 2<03x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
于是2k π＋π2＜2x －π3＜2k π＋3π
2，k ∈Z .
解得k π＋5π12＜x ＜k π＋11π
12，k ∈Z .
故使f (x )＜14成立的x 的取值集合为5π11π|ππ,1212x k x k k ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z .
17．
(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD ⊥BC ．①
又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.② 由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．
由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥C 1E .
(2)解：因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°， 因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而 A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E .
故C 1E ＝
11
cos 60AC =︒
，
又B 1C 1＝2，
所以B 1E ＝2，
从而1
11
C A B E V -三棱锥＝
1113A B E S ∆³A 1C 1＝112
2323
⨯⨯=. 18．
解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作
物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
所种作物的平均年收获量为
512484456423
15
⨯+⨯+⨯+⨯
＝102192270126
15
+++
＝690
15
＝46.
(2)由(1)知，
P(Y＝51)＝
2
15
，P(Y＝48)＝
4
15
.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝
242 15155
+=.
19．
解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12.
因为a1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.
解得a2＝2.
当n≥2时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n.
即a n＝2a n－1.
于是数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列．
因此，a n＝2n－1.
所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.
(2)由(1)知，na n＝n²2n－1.
记数列{n²2n－1}的前n项和为B n，于是
B n＝1＋2³2＋3³22＋…＋n³2n－1，①
2B n＝1³2＋2³22＋3³23＋…＋n³2n.②
①－②得
－B n＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n²2n
＝2n－1－n²2n.
从而B n＝1＋(n－1)²2n.
20．
解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y －2＝0的对称点．
设圆心的坐标为(x0，y0)，由
00
1,
20 22
y
x
x y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪+-
=
⎪⎩
解得0
2,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d=所以b==
由22
2,15
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则
y 1＋y 2＝245m m -
+，y 1y 2＝2
1
5
m -+.
于是a =
从而ab
=
＝
4
=
=，即m
=
故当m ＝±3时，
ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＋2或
x ＝＋2，
即x －2＝0，或x －2＝0.
21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2
11x x -+e x
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．
f ′(x )＝211x x -⎛⎫'
⎪+⎝⎭
e x ＋211x x -+e x
＝2222211e 11x
x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)
+⎣⎦ ＝222
[12]e 1x
x x x -(-)+(+)
. 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x ＜1时，由于
2
11x x
-+＞0，e x
＞0， 故f (x )＞0；
同理，当x ＞1时，f (x )＜0.
当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2， 由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．
下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证
22
11e e 11x x
x x x x
--+<++. 此不等式等价于
(1－x )e x
－
1e x
x
+＜0. 令g (x )＝(1－x )e x
－1e
x x +，则
g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．
当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即
(1－x )e x
－
1e x
x
+＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )． 而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)， 从而f (x 1)＜f (－x 2)．
由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。