简单几何体表面积体积

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简单几何体的表面积与体积

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

体积面积

2hShr Srh V＝＝2圆柱π＝π侧1112222rrππlrhVSh＝＝－＝rl

S π＝圆锥侧3331VSSSSh

)＋＝(＋下下上上3 Srrl )圆台＋＝π(21侧122r(πhrrr＋＝)＋21123SCh VSh＝直棱柱＝侧11ShSCh V＝＝′正棱锥侧2311hVSSSS CSCh＋＝′(＋＝()＋′)正棱台下侧上上下

2343RπV2＝SR 球＝4π球面3 2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底

面面积之和．

[难点正本疑点清源]

1．几何体的侧面积和全面积

几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大

小．

2．等积法

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知

条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和

三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数

值．

S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．1．圆柱的一个底面积为3.

________m．则该几何体的体积为尺寸的长度单位为．设某几何体的三视图如下2(m).

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．表面积的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径_______

a，则球的表面积为________．4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为

ABCDABCDPAB上一点，—中，如图所示，在棱长为4的正方体是5.1111111PBABPBBCC的体积为＝________，则多面体．—且111114

题型一简单几何体的表面积

例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48 B．32＋817

D．80

C．48＋817

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思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．

探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面

积是侧面积与底面圆的面积之

和．

2.

如图所示，则该几何体的表面积是________cm一个几何体的三视图(单位：cm)

题型二简单几何体的体积

EFa

的正方体、例2 如图所示，已知分别是棱长为ABCDABCDAACCCBEDF

—、—的中点，求四棱锥的棱11111111的体积．

CBEDF的高及其底面积，思维启迪：思路一：先求出四棱锥—11再利用棱锥的体积公式求出其体积；

CBEDFBCEF与化为两个三棱锥—思路二：先将四棱锥—1111DCEFCBEDF的体积．——，再求四棱锥111

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ACBDOBDEFOOHBDHEFACACBEDF ，⊥ 解 方法一 连接，于，且交于点.，连接∵平面，∥，过作11111111111111

EDFACB .

∥∴平面

111

CBEDFACBEDF 的距离．的距离就是到平面∴ 到平面11111

BDDBEDF ，平面平面 ⊥∵111

BDDBEDFBD ，∩平面平面＝ 1111

OHBEDFOH 为棱锥的高． 平面∴，即⊥111

BOHBDD ， ∽△∵△1111

BODD 6·111

HO ＝∴a . ＝1

BD 61

1VCBEDF ＝∴—SBEDFOH 四边形·1111

311EFBDOH ····＝11

3211613

aa ·23···aa . ＝＝3266EFBD .

，方法二 连接1

BCEFhDCEFhhhBDa . 到平面＝的距离为＝设，则到平面2的距离为＋，

121112111

VCBEDFVBCEFVDCEF ＝—＋—由题意得，—11111

113

SCEFhh )＝△＋·(·a . ＝211

36探究提高 在

求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．

SABCOABCSCO 的直1－的正三角形，的所有顶点都在球为球的球面上，△是边长为 已知三棱锥SC ＝2，则此棱锥的体积为( 径，且)

2322 D. C. B. A. 2663

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题型三 几何体的展开与折叠问题

ABCDACBDOAOB

，将剩余，4的正方形纸片剪去中，于与△相交例3 (1)如图所示，在边长为ODOBABCODOCOA 顶点、的、四、为面体的体部分沿、积折叠，使、为重合，则以、

________．

圈，并使铁丝的两个端点落2的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕cm有一根长为(2)3π，底面直径为2 cm________ cm. 在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为

可利用圆柱的侧面展开图．考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)思维启迪：(1) (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．

1的正如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为

14方形和个边长为的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．.

方法与技巧

1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．

2．要注意将空间问题转化为平面问题．

3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．