[精品]新人教版高一数学平面向量基本定理优质课教案
高一数学(人教A版)《平面向量基本定理》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程
a 1e1 2e2.
a e1
e2
追问6
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，当 a是一平 面内与 e1，e2某一向量共线的非零向量，你能用e1，e2 表示a吗？
e1
e2
O e1
e1 A e2 e2 e2 B
问题2
如图，设e1，e2 是同一平面内两个共线的向量，你能作 向量a，使得 a 2e1 3e2？
e1
e2
a
O e1
e1 A e2 e2 e2 B
是e1两，个e2 不共线的向量
A
C
e1
e1
a
e2
e1
O e2 e2 e2 B
是e1两，个e2 不共线的向量
=1e1 +2e2.
e1 O
e2 B N
此时，1 0，2 0.
a
M
C
结论1
综上，设 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这 一平面内与 e1，e2都不共线的向量.
a e1
e2
结论1
综上，设 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这
一平面内与e1，e2都不共线的向量.存在实数 1，2，使得
向分解呢？ a OC OM ON
=1e1 +2e2.
C a
M A e1 e2
N
O
B
追问3
改变向量a的方向，如图，此时向量a能否按照e1，e2方
向分解呢？ a OC OM ON
=1e1 +2e2. 此时，1 0，2 0.
C N
M
a
A e1 e2
O
B
追问4
继续改变向量a的方向，如图，向量a能否按照e1，e2方 向分解呢？
【教案】平面向量基本定理教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.3.1平面向量基本定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第一课时的内容．平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想.平面向量基本定理是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任意向量的表示，为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础，只有正确地构建向量的坐标才能有正确的坐标运算.平面向量的基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识，同时又为后续的学习做了奠基，起到了承前启后的作用.二、目标和目标解析目标：（1）理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；（2）在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；（3）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养.目标解析：（1）经历平面向量基本定理的探索过程.体会由力的分解到向量分解的过程，感悟数学抽象，逻辑推理等数学思想的作用.通过证明平面向量基本定理理解定理，体会定理的重要性及意义.增强对数学思维方法的理解．（2）通过选择基底表示平面内的一些向量.解决一些平面几何问题，体会向量法在解决平面几何问题中的作用和基本步骤．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：虽然本节课之前学生已经学习了平面向量的概念、平面向量的线性运算、数量积，但学生对向量之间的关系认识还只是停留在“一维”层面，包括“相等向量”，“相反向量”、“共线向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量间的关系.要实现这种认识层级的跃迁对学生有一定难度．解决方案：引导学生积极参与定理形成的探索过程，通过多举实例，带领学生去归纳发现定理．2．教学问题二：如果说由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么由向量的分解想到任意一个向量都可以用一对不共线的向量，经过线性运算加以表示是第二次抽象，也是认识上的一种飞跃，会给学生造成认知上的困难．解决方案：利用信息技术工具等形象的教学手段进行直观阐释、辨析，帮助学生理解定理．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量基本定理的发现和证明过程．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量基本定理，可以利用信息技术工具展示几组力的分解的例子，在此基础上，固定基底，改变要表示的向量，看向量表示的变化与表示的唯一性，帮助学生理解定理．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量基本定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾引出问题[问题1]若向量b与a不共线，向量b可以由向量a表示出来吗?[问题2]如图，两根绳子吊着一个物体，你能知道这两根绳子的拉力各是多少吗？（请画图示意）复习：向量共线定理，并在课件中投影一组共线向量，并指出在“选定一个非零向量a”的前提下，其他向量均可用a唯一表示，即：存在唯一的实数λ，使其等于aλ；教师1：提出问题1．学生1：不能，表示不出来.教师2：那么要怎样才能表示出向量b呢?学生2：学生思考．教师3：提出问题2．学生3：学生思考．问题引入：提出问题．探寻规[问题3]如图，设12e e，是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与12e e，都不共线的向量，在平面内任取一点O，作教师4：提出问题3.学生4：问题探究的形式，引导学生思考，不断精确，逐步引出平面向量基本律获得结论12,,OA e OB e OC a===将a按12e e，的方向分解，你有什么发现？[问题4]当a是零向量时，a还能用1122a e eλλ=+表示吗？[问题5]若向量a与12e e或共线，那么a还能用1122a e eλλ=+这种形式表示吗？[问题6]类比前面的一维情况，平面内任何一个向量a都可以表示成1122e eλλ+的形式，那么这种表示是唯一的（即12,e e前面的系数）吗？如图，2211eeONOMOCaλλ+=+==，向量a可以分解为两个向量的和.教师5：平面上，任意向量都可以用12e e，表示吗？让学生分解选择以下两个向量之一进行再次尝试.学生5：思考尝试.教师6：提出问题4.学生6：可以，取01=λ，02=λ，则210eea+=教师7：提出问题5：学生7：若向量a与1e共线，取02=λ，则2110eea+=λ；若向量a与2e共线时，取01=λ，则2210eeaλ+=教师8：提出问题6：学生8：假设11221122a e e a e eμμλλ=+=+，，11221122e e e eλλμμ∴+=+即()()111222e eλμλμ-+-=假设1122,λμλμ--不全为0不妨假设11λμ-≠则221211e eλμλμ-=--.由此可得12,e e共线，与已知12,e e不共线矛盾则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2定理的具体内容，同时培养学生类比能力以及化归能力，激发学生学习的兴趣和自主探索的精神.这里通过证明“唯一性”，让学生感受数学的严谨扎实，无可辩驳，培养学生逻辑推理素养.所以表示形式是唯一的.教师9：综上，我们得到“平面向量基本定理”：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.与学生一起提出注意：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，线性表示是唯一的.教师10：向量共线定理平面向量基本定理条件定一个非零向量a两个不共线向量e1，e2结论与向量a共线的向量b，均存在唯一的实数λ，使其等于b=λa对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2实质bλ↔12(,)aλλ↔通过对比，加深对平面向量基本定理本质含义的理解，抓住定理实质，并未后面坐标表示奠定基础，而且为后面学习的空间向量基本定理做好过渡.应用定理巩固[问题7]如图，在OAB∆中，M为AB的中点，用,OA OB来表示OM.教师11：提出问题7．学生9：提出想法．（不同角度方法的尝试）让学生从较容易的一两个实际运用中进一步感受基本定理拓展[问题8]如图，在OAB∆中，,E F如为AB的三等分点，用,OA OB来表示,OE OF.[问题9]例1.如图，OBOA,不共线，且)(RtABtAP∈=，用OBOA,表示OP例2.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝12AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形.教师12：提出问题8．学生10：提出想法．教师13：提出问题9学生11：解：因为AP t AB=所以OP OA AP OA t AB=+=+()OA t OB OA=+-OA tOB tOA=+-(1)t OA tOB=-+教师14：追问：你有什么发现？学生12：如果P A B、、三点共线，点O是平面内任意一点，若OP OA OBλμ=+，则1λμ+=.教师15：完成例2学生13：证明：如图，设CD＝a，DA＝b则CA＝a＋b，CB＝a－bCA CB⋅22()()=+⋅-=-a b a b a b因为CD＝12AB，所以CD＝DA因为a2＝CD2，b2＝DA2所以0CA CB⋅=，因此CA⊥CB．于是△ABC是的含义，同时为猜想得出后面的一个重要结论做直观的例证.在前面的基础上，提出此结论的探究，引发学生探索的兴趣.进一步运用基本定理，加深定理的理解，并初步感受向量方法在几何上的运用，让学生感受数学的统一性.[课堂练习1]在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.[课堂练习2]如图所示,在等腰直角三角形ACB 中,∠ACB=90°,CA=CB ,D 为BC 的中点,E 是AB 上的一点,且AE=2EB.求证:AD ⊥CE.直角三角形.教师16：布置课堂练习1、2．学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂练习1: 熟悉平面向量基本定理． 课堂练习2:能灵活选择基底进行分解表示.课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A ．AB →，DC →B ．AD →，BC →教师17：提出问题10．学生15：(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的； (2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：DBAC师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本C ．BC →，CB →D ．AB →，DA →2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定3．如图，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( )A ．12(5e 1＋3e 2)B ．12(5e 1－3e 2)C ．12(3e 2－5e 1)D ．12(5e 2－3e 1)4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．23B ．13C ．－13D ．－23节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学 平面向量基本定理教案 新人教A版必修1
第六教时教材：平面向量基本定理目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积3．向量共线定理二、由平行四边形 想到：1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量 ？且分解是唯一？2．对于平面上两个不共线向量 e1 ， e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？——提出课题：平面向量基本定理三、新授：1．(P105-106) e1 ， e2 是不共线向量， a是平面内任一向量e1OA = e1a OM =eλ2 1 e1MCMMOCO= a= OM + ONN =Bλ1 e1 +λ2 e2OB = e2ON =λ2 e2得平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ1，λ2 使 a=λ1 e1 +λ2 e2注意几个问题：1 e1 、 e2 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2 这个定理也叫共面向量定理3λ1，λ2 是被 a， e1 ， e2 唯一确定的数量2．例一( P106 例三)已知向量 e1 ， e2 求作向量2.5 e1 +3 e2 。
作法：1 取点 O，作 OA =2.5 e1 OB =3 e2Ce2MB M2 作 OACB， OC 即为所求+e 例二、(P106 例 4)如图用a， b表示MA，MB，ABCD 的两条对角线交于点1MC 和 MDM，且AAB=a，AD= b， ONDCMbM解：在 ABCD 中∵AC=AB+AD=a+ bDB=ABAD=a bAaBM∴MA = 1AC=1(a+ b )=1a 1 b2222MB = 1DB = 1(a b)=1a 1 b2222MC = 1AC = 1a+ 1 b222MD = MB = 1DB = 1a+ 1 b222例三、已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点，求 证： OA + OB + OC + OD =4 OE证：∵E 是对角线 AC 和 BD 的交点∴ AE = EC = CEDCOBE = ED = DEE在△OAE 中 OA + AE = OE同理： OB + BE = OEOC + CE =AOEOD+DE=BOE以上各式相加，得： OA + OB + OC + OD =4 OE例四、(P107 例五)如图， OA ， OB 不共线， AP =t AB (tR)用 OA , OB 表示 OPPOP = OA + AP = OA + t AB解：∵ AP =t AB∴B= OA +t( OBO OA )A= OA +t OB t OA=(1t) OA +t OB四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不 共线向量的线性组合。
人教版高一数学教案-平面向量的基本定理及其坐标表示(1-2课时)
2.3 平面向量的基本定理及其座標表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及座標表示一、教學分析平面向量基本定理既是本節的重點又是本節的難點.平面向量基本定理告訴我們同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼由平面向量基本定理可知,平面內的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內的點可以由平面內的一個點及兩個不共線的向量來表示.這是引進平面向量基本定理的一個原因.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因為在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會給問題的研究帶來方便.聯繫平面向量基本定理和向量的正交分解,由點在直角坐標系中的表示得到啟發,要在平面直角坐標系中表示一個向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j 作為基底,這時,對於平面直角坐標系內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=x i+y j.於是,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數對(x,y)正好是向量a的終點的座標,這樣的“巧合”使平面直角坐標系內的向量與座標建立起一一映射,從而實現向量的“量化”表示,使我們在使用向量工具時得以實現“有效能算”的思想.二、教學目標1、知識與技能：瞭解平面向量的基本定理及其意義；理解平面裡的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，掌握平面向量正交分解及其座標表示。
2、過程與方法：初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達。
3、情感態度與價值觀：通過平面向量的正交分解及座標表示，揭示圖形（向量）與代數（座標）之間的聯繫。
三、重點難點教學重點:平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的座標表示.教學難點:平面向量基本定理的運用.四、教學設想（一）導入新課思路 1.在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產生什麼樣的結論呢？又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直於斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機在起飛時若沿仰角α的方向起飛的速度為v ,可分解為沿水準方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個實例可以看出,把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個互相垂直的方向上進行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,那麼a 與e 1、e 2之間有什麼關係呢？在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢?思路2.前面我們學習了向量的代數運算以及對應的幾何意義,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼平面內的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢？這樣就引進了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個向量進行分解或者合成,在黑板上給出圖像進行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學,通過相應的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個不共線的向量都乘以不同的係數後再進行合成將會有什麼樣的結論？（二）推進新課、新知探究、提出問題圖1①給定平面內任意兩個不共線的非零向量e 1、e 2,請你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如圖1,設e 1、e 2是同一平面內兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,我們通過作圖研究a 與e 1、e 2之間的關係.活動:如圖1,在平面內任取一點O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .過點C 作平行於直線OB 的直線,與直線OA;過點C 作平行於直線OA 的直線,與直線OB 交於點N.由向量的線性運算性質可知,存在實數λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由於ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是說,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述過程可以發現,平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量e 1、e 2表示出來.當e 1、e 2確定後,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a ,有且只有一對實數λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理說明:(1)我們把不共線向量e 1、e 2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底; (2)基底不唯一,關鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a 在給出基底e 1、e 2的條件下進行分解; (4)基底給定時,分解形式唯一. 討論結果:①可以. ②a =λ1e 1+λ2e 2. 提出問題①平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？②對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？活動:引導學生結合向量的定義和性質,思考平面中的任意兩個向量之間的關係是什麼樣的,結合圖形來總結規律.教師通過提問來瞭解學生總結的情況,對回答正確的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然後教師給出總結性的結論:不共線向量存在夾角,關於向量的夾角,我們規定:圖2已知兩個非零向量a和b(如圖2),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b 的夾角.顯然,當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區間[0°,180°]內.如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b.由平面向量的基本定理,對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會為我們研究問題帶來方便.討論結果:①存在夾角且兩個非零向量的夾角在區間[0°,180°]內;向量與直線的夾角不一樣.②可以.提出問題①我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的座標)表示.對直角坐標平面內的每一個向量,如何表示呢?②在平面直角坐標系中,一個向量和座標是否是一一對應的？圖3活動:如圖3,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ｉ、j作為基底.對於平面內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=xｉ+y j①這樣,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的座標,記作a=(x,y)②其中x叫做a在x軸上的座標,y叫做a在y軸上的座標,②式叫做向量的座標表示.顯然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教師應引導學生特別注意以下幾點:(1)向量a 與有序實數對(x,y)一一對應.(2)向量a 的座標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關係,只與其相對位置有關係.如圖所示,11B A 是表示a 的有向線段,A 1、B 1的座標分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),則向量a 的座標為x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的座標為(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)為簡化處理問題的過程,把座標原點作為表示向量a 的有向線段的起點,這時向量a 的座標就由表示向量a 的有向線段的終點唯一確定了,即點A 的座標就是向量a 的座標,流程表示如下:討論結果:①平面內的任一向量a 都可由x 、y 唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a 的座標,記作a =(x,y).②是一一對應的.（三）應用示例思路1例1 如圖4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中點,F 使BF=31BC,以a ,b 為基底分解向量HF AM 和.圖4活動:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.教師可以讓學生到黑板上板書步驟,並對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .ADAD AB ADBC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-==a 61-b . 點評:以a 、b 為基底分解向量AM 與HF ,實為用a 與b 表示向量AM 與HF . 變式訓練圖5已知向量e 1、e 2(如圖5),求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如圖,任取一點O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.圖6例2 如圖6,分別用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,並求出它們的座標.活動:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其關鍵是把a 、b 、c 、d 表示為基底i 、j 的線性組合.一種方法是把a 正交分解,看a 在x 軸、y 軸上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出來,進而得到向量a 的座標.另一種方法是把向量a 移到座標原點,則向量a 終點的座標就是向量a 的座標.同樣的方法,可以得到向量b 、c 、d 的座標.另外,本例還可以通過四個向量之間位置的幾何關係:a 與b 關於y 軸對稱,a 與c 關於座標原點中心對稱,a 與d 關於x 軸對稱等.由一個向量的座標推導出其他三個向量的座標.解:由圖可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).點評:本例還可以得到啟示,要充分運用圖形之間的幾何關係,求向量的座標. 變式訓練i ,j 是兩個不共線的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三點共線,試求實數λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j , 又∵A 、B 、D 三點共線,∴向量AB 與BD 共線.因此存在實數υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j . ∵i 與j 是兩個不共線的向量, 故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴當A 、B 、D 三點共線時,λ=3.例 3 下面三種說法:①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活動:這是訓練學生對平面向量基本定理的正確理解,教師引導學生認真地分析和理解平面向量基本定理的真正內涵.讓學生清楚在平面中對於基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內的兩個不共線的向量都可以作為基底.解:平面內向量的基底是不唯一的.在同一平面內任何一組不共線的向量都可作為平面內所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,②③正確.答案:B點評:本題主要考查的是學生對平面向量定理的理解.思路2圖7例1 如圖7,M 是△ABC 內一點,且滿足條件=++CM BM AM 320,延長CM 交AB 於N,令CM =a ,試用a 表示CN .活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解決平面向量計算問題的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面兩個推論:推論1:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,則λ1=λ2=0.推論2:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,則⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三點共線,C 、M 、N 三點共線, 由平行向量基本定理,設,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230. ∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由於BN 和NM 不共線, ∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .點評:這裡選取NM BN ,作為基底,運用化歸思想,把問題歸結為λ1e 1+λ2e 2=0的形式來解決. 變式訓練設e 1與e 2是兩個不共線向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若實數λ、μ滿足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由題設λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1.圖8例2 如圖8,△ABC 中,AD 為△ABC 邊上的中線且AE=2EC,求GEBGGD AG 及的值. 活動:教師讓學生先仔細分析題意,以明瞭本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯繫？利用化歸思想進行轉化完後,然後結合向量的相等進行求解比值.解:設μλ==GEBGGD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC .② 比較①②,∵AB 、AC 不共線,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 點評:本例中,構造向量在同一基底下的兩種不同表達形式,利用相同基向量的係數對應相等得到一實數方程組,從而進一步求得結果. 變式訓練過△OAB 的重心G 的直線與邊OA 、OB 分別交於P 、Q,設OP =h OA ,OB k OQ =,試證:311=+kh 解:設OA =a ,OB =b ,OG 交AB 於D,則OD =21(OB OA +)=21(a +b )(圖略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k-b ,OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三點共線,∴QP QG λ=.∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 兩式相除,得.3311hk h k khk =+⇒-=-,∴kh 11+=3.（四）知能訓練1.已知G 為△ABC 的重心,設AB =a ,AC =b ,試用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)與AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.圖9解答: 1.如圖9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .點評:利用向量加法、減法及數乘的幾何意義.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或∴x=-1.點評:先將向量AB 用座標表示出來,然後利用兩向量相等的條件就可使問題得到解決.（五）課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的座標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,如待定係數法,定義法,歸納與類比,數形結合,幾何作圖. （六）作業。
高中数学优质课比赛 平面向量基本定理教案
《平面向量基本定理》教学教案----新余一中蒋小林一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
[精品]新人教A版高中数学必修42.3.1平面向量基本定理教学案
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2. 3.1 平面向量基本定理教学目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律结合律：λ(μa)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a +b )=λa+λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例 1 已知向量1e ，2e 求作向量2.51e +32e .例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a，b 表示MA ，MB ，MC 和MD例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE例4（1）如图，OA，OB不共线，=t (t∈R)用，表示.（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且(1)()=-+∈.求证：A、B、P三点共线.OP t OA tOB t R例 5 已知a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a bλμλμ、使与c共线.=+四、课堂练习：见教材五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、教学反思2.3.1平面向量的基本定理课前预习学案一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 二、预习内容 （一）复习回顾1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a方向 ；λ<0时λa 与a 方向 ；λ=0时λa=2．运算定律结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a= ， λ(a +b )= .3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .(二)阅读教材,提出疑惑:如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?课内探究学案一、学习目标 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.学习重难点：1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用二、学习过程（一）定理探究：平面向量基本定理：探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量（二）例题讲解例1 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e .例2、如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a，=b ，用a，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4（1）如图，OA，OB不共线，AP=t AB (t∈R)用OA，OB表示OP.（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=-+∈.求证：A、B、P三点共线.OP t OA t OB t R(1)()例 5 已知a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a bλμλμ、使与c共线.=+（三）反思总结课后练习与提高1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有 a =λe1+u e2(λ、u∈R)2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).。
人教版高一数学下册下册 课件《平面向量基本定理》 教案
《平面向量基本定理》教学设计一、教学内容：人教B版普通高中课程标准实验教科书必修四第二章2.2.1平面向量基本定理。
二、教材分析：平面向量基本定理是平面向量的重点内容，考纲要求要了解平面向量基本定理及其意义，此部分在高考中占有十分重要的地位。
以平面向量基本定理的理解为前提，进而引入平面向量的正交分解和坐标，为后面的平面向量坐标法甚至是空间向量坐标法的应用打下一个坚实的基础。
三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）考纲要求了解平面向量基本定理及其意义；（2）会用平面向量基本定理解决一些简单的问题；（3）培养学生分析、抽象、概括的思维能力。
2、过程与方法目标：（1）自主学习，合作探究，体会特殊到一般的思想；（2）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括、分析总结、数学表达等数学思维能力。
3、情感态度与价值观：通过探究学习培养学生独立思考和勇于探究的精神，促进学生形成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养；通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的喜悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，培养学生的合作意识和竞争精神。
四、教学重点和难点重点：平面向量基本定理的应用；难点：平面向量基本定理的理解。
五、教学方法采用“问题探究式”教学方法，教师通过创设问题情境，让学生积极参与到教学活动中来，通过层层深入的问题设置，使学生的思路逐步开阔，倡导学生小组合作、小组竞争，提高学生解决问题的能力。
六、学法指导由于本节内容比较重要，且难度相对比较大，因此应指导学生合作学习、小组探究，充分发挥学生的主观能动性。
七、教学过程教学环节教学内容双边活动设计意图课题引入内容讲解以中国航天的《嫦娥四号着陆月球视频》引导学生从物理上思考速度的合成，进而从数学的角度提出向量的分解问题，引入课题，出示学习目标。
一、前置回顾，夯实基础：1、加法法则：三角形法则：平行四边形法则：2、减法法则：3、数乘运算：aλ，大小：aλ=，方向：0λ>，与a；0λ<，与a；λ=，aλ=；利用平行四边形法则作出a b+,2a b+,2a b+.ab4、平行向量基本定理：二、阅读课本，请同学们探究以下问题：探究1如图，我们能否用a、b把c表示出来呢？画一画a c b探究2 是否这一平面内的任一向量学生从物理、数学的角度进行思考学生思考，投影展示，师生共同订正学生作图，体会向量的分解过程通过震撼的嫦娥四号着陆月球画面开阔学生思维，激发学生的学习兴趣通过四个知识点的复习，为平面向量基本定理的推导和理解打下一个坚实的基础通过动手实践，得到向量分解的结论，加深学生对向量分解的理解AB BC+=AB AD+=AB AC-=ABDA BCD内容讲解都可以用a、b来表示呢？作图验证 .探究3 （1）这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大家作图验证是否可以由其他两个向量来表示c？（2）对你给的这两个向量有什么要求？（3）如果基底选定，1λ和2λ能唯一确定吗？能为零吗？平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a，；不共线的向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组，记做 .特别的，1λ=2λ=0时，a= ；1λ=0，2λ≠0时，a= ，a与2e；1λ≠0，2λ=0时，a= ，a与1e；试一试：AB= , CD= ,EF= .学生作图并回答，教师用几何画板展示学生针对问题思考、作图并回答，教师用几何画板展示，师生共同思考研究学生发言，教师针对个别地方适当进行点拨和引导学生练习并回答，实际体验平面向量基本定理的意义学生作图，提高直观想象和数学抽象能力，利用几何画板给学生展示向量直观的变化过程，利于学生理解通过探究3的三个问题，使学生对基底有更深的认识，即基底不唯一，基底两个向量不平行，同时思考1λ和2λ的唯一性，为平面向量基本定理的引入和深入理解打好基础锻炼学生的总结分析能力和语言表达能力实例验证，概念释疑，加深认识EFBADCe1e2内容讲解辨一辨：下列说法中，正确的有：（）1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；3）一个平面内任意两个向量都可作为一组基底.三、典例剖析，变式训练：例1、如右图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，AB a=，AD b=，用a，b表示MA,MB,MC,MD.变式1、已知ABC∆中，AC b=，AB a=，D为BC边的中点，试用a，b表示AD.（方法一）（方法二）（方法三）（方法四）例2、如右图，OA,OB不共线，AP=t AB (t∈R)，用OA，OB表示OP.学生思考并练习，将自己的计算过程在展示台进行投影展示一题多解、变式训练，深化认识，学生到黑板展示并讲解，其他同学订正小组讨论，学生发言，师生共同探究通过线性运算对平面向量基本定理进行应用，强化基底意识通过四种方法的点拨诱导，开阔学生思维，激发学生的积极主动性和主观能动性让学生合作学习、发言、回答并练习，锻炼学生的集体意识和团队精神八、板书设计平面向量基本定理1、平面向量基本定理2、三点共线的方法3、归纳总结内 容 讲 解[方法提炼]：1、P 在A,B 确定的直线L 上三点共线的方法：基底向量OA ，OB 的系数和是 ；2、向量等式叫做直线的 ,t 是参数；12t =时，P 是AB 的 ，则OP = . 变式2、如图，在ABC ∆中，H 为BC 上异于B 、C的任一点，M 为AH 的中点，若 AM AB AC λμ=+，则λμ+= .【课堂小结】今天你有哪些收获？ 学科知识： 题型与方法： 注意问题： 【作业布置】 A 必做部分：P98 练习A 2、3、4 B 选作部分：P99 练习B 2、3 以励志小故事结尾，在音乐声中给学生朗读师生合作的“情诗”《致向量》学生归纳总结，教师加以补充与说明变式训练，学生思考并回答让学生自主总结本节课所学的知识、方法和应该注意的问题A 层次要求所有学生完成，B 层次只要求学有余力的同学完成教师讲解并朗读培养学生的概括总结能力，举一反三深化学生对三点共线方法的认识和理解学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识点条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理作业分两个层次，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间激发学生的学习兴趣，培养学生坚持不懈、精益求精的精神。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.1 平面向量基本定理》
平面向量的基本定理、正交分解及坐标表示一、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角概念；（2）会用基底表示平面内任一向量，能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解坐标表示。
2、过程与方法（1）通过对平面向量基本定理的探究以及用坐标表示平面向量的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强学生思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力工具。
3、情感态度与价值观通过本节课的教学，引导学生经历定理的产生过程，学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点重点：平面向量基本定理的探究；平面向量的坐标表示。
难点：平面向量基本定理的理解及其应用。
三、教学方法探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，由向量的合成引出向量分解，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程一、复习旧知，引入课题：1．向量的加法运算法则？2．两个非零向量共线的条件是什么？3．给定向量 1e 2e ，作向量→a =1232e e + 采用平行四边形法则构图求得，反问：给定向量 1e ，2e 和→a 向量，如何确定三者之间的关系，上述关系式还成立吗？教师：（1）提问学生回答，多媒体展示三角形法则、平行四边形法则； （2）两非零向量共线的条件，并补充问题两向量方向有何关系？ （3）提问学生口述向量合成的过程，引导学生思考反问，板书课题。
学生：思考并进行回答，设计意图：回顾平面向量线性运算及向量共线定理，提问学生由向量的合成问题反问其分解问题——引出课题二、探究归纳，讲授新课： 1、平面向量基本定理假设1e ，2e 是平面内两个不共线向量，a 是平面内任一向量，能否用向量1e 2e 表示向量→a （引导学生构造平行四边形）OA =1e ，OM =λ12e ，OC =a =OM ON =λ11e λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．教师：引入几何画板，引导学生通过向量动态变化深刻认识定理的关键点，并设置以下问题引导学生进行思考：（1）向量→a 是平面中的任意一个向量吗？如果向量→a 与向量1e 或者2e 共线，还能否用其表示？（板书：向量→a 的任意性）（2）向量1e 2e 可否共线？向量→a 只能用向量1e 2e 进行表示吗？（板书：基底是平面内任意两个不共线向量,用来表示向量→a 的1e 2e 可以有无数组）（3）基底确定,对于向量→a ,有且只有一对实数λ1 λ2,使得a ＝λ11e λ22e （板书：λ1λ2的唯一确定性）教师引导学生归纳总结得出平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有1e2eaNBC一对实数λ1 ，λ2使a ＝λ11e λ22e ．不共线的向量1e 2e 叫做表示平面内所有向量的一组基底设计意图：通过问题的设置，引导学生观察几何画板中向量分解所构造的平行四边形动态变化，归纳总结平面向量基本定理的关键点，掌握其定理本质含义，加深学生对定理的认识。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
平面向量基本定理及坐标运算(优质课)教案
1.7平面向量基本定理与坐标运算（优质课）教案教学目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.4.了解平面向量的基本定理及其意义.教学过程：一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e特别提醒：(1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、平面向量的坐标运算：（1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y --一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠0)的充要条件是12210x y x y -=类型一 平面向量基本定理的应用【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB→，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH→＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC→，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.BCAOM D解析以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB→＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD→＝(2＋3， 3)．∵AD→＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )． 即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →， 所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32[例1] 在△OAB 中，OB OD OA OC21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .[解题思路]：若21,e e是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用21,e e线性表示.本例中向量a ,b 可作基底,故可设=m a +n b ,为求实数m ,n ,需利用向量AM 与AD 共线,向量与CB 共线,建立关于m ,n 的两个方程.解析：设OM =m a +n b ，则(1)AM m a nb =-+,12AD a b =-+ ∵点A 、M 、D 共线，∴AM 与AD 共线，BACPNM∴5.011nm =--，∴m +2n =1. ① 而CM OM OC =-1()4m a nb =-+，14CB a b =-+∵C 、M 、B 共线，∴CM 与CB 共线，∴14141n m =--，∴4m +n =1. ② 联立①②解得:m =71，n =73，∴1377OM a b =+练习：1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e 答案：D2．在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .解：∵ AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,，∴ 1133AM AB a ==，1144AN AC b ==， ∵ M 、P 、C 三点共线，故可设 MP t MC =，t ∈R , 于是，1111()()33333tAP AM MP a tMC a t b a a tb =+=+=+-=-+…… ①同理可设设NP sNB =，s ∈R , 1()44sAP AN NP b sa =+=-+．…②由①②得 11()()b 03344t ss a t --+-+=，由此解得 112,113==t s ，∴ 321111AP a b =+．类型二 平面向量的坐标运算【例2】►(2011·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB→.求M ，N 的坐标和MN →. [审题视点] 求CA→，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N .解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA→＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM→＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM→＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎨⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 答案：(-3,-3) 解：-2BC =（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23)类型三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0.解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73. 答案 D9．已知)2,3(),2,1(-==b a ,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【解析】方法一: ∵ 2a —4b 0≠,∴ 存在唯一实数λ使k a ＋2b =λ(2a —4b ） 将a 、b 的坐标代入上式得（k —6，2k ＋4）=λ(14，—4） 得k —6=14λ且2k ＋4= —4λ，解得k = —1方法二：同法一有k a ＋2b =λ（2a —4b ）,即（k —2λ)a ＋（2＋4λ)b =0∵a 与b 不共线，∴ ⎩⎨⎧=+=-04202λλk ∴k = —1一、选择题1．设e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2[答案] B[解析] ∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，不能作为基底． 2．下面给出了三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a ＝λ2b ； ③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 命题①两共线向量a 与b 所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．3．给出下列结论：①若a ≠b ，则|a ＋b |<|a |＋|b |；②非零向量a 、b 共线，则|a ＋b |>0；③对任意向量a 、b ，|a －b |≥0；④若非零向量a 、b 共线且反向，则|a －b |>|a |.其中正确的有( )个．( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①中有一个为零向量时不成立；②中a ，b 若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.4．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6[答案] C[解析] ∵e 1、e 2不共线，∴由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝62x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3. 5．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠±1)，O 为平面内任意一点，则OP →用OA →、OB →表示为( )A ．OP →＝OA →＋λOB → B ．OP →＝λOA →＋(1＋λ)OB →C ．OP →＝OA →＋λOB →1＋λD ．OP →＝1λOA →＋11－λOB →[答案] C[解析] ∵OP →＝OA →＋λPB →＝OA →＋λ(OB →－OP →)＝OA →＋λOB →－λOP →，∴(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝OA →＋λOB→1＋λ.6．(2014·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)[答案] B[解析] ∵a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，∴b －a ＝(3－1,1－2)＝(2，－1)． 7．若向量BA →＝(2,3)、CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．8．(2014·北京文，3)已知向量a ＝(2,4)、b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)[答案] A[解析] 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)9．已知AB →＝(5，－3)、C (－1,3)、CD →＝2AB →，则点D 的坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3) D ．(9，－3)[答案] D[解析] ∵AB →＝(5，－3)，∴CD →＝2AB →＝(10，－6)， 设D (x ，y )，又C (－1,3)， ∴CD →＝(x ＋1，y －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝10y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝－3. 10．已知△ABC 中，点A (－2,3)、点B (－3，－5)，重心M (1，－2)，则点C 的坐标为( ) A ．(－4,8) B ．⎝⎛⎭⎫43，－43 C ．(8，－4) D ．(7，－2)[答案] C[解析] 设点C 的坐标为(x ，y )，由重心坐标公式，得⎩⎨⎧1＝－2＋(－3)＋x3－2＝3＋(－5)＋y3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－4.11．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0， ∴点A 位于第四象限． 二、填空题12．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a 、b 表示)．[答案] －14a ＋14b[解析] ∵AN →＝3NC →，∴4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，∴MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 13．已知向量a 与b 不共线，实数x 、y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，则x ＝________，y ＝________.[答案]4711 1611[解析] ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y ＋710－y ＝2x，解得⎩⎨⎧x ＝4711y ＝1611.14．若点O (0,0)、A (1,2)、B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________．点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________．[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5) [解析] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．15．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. [答案] (－3，－5)[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 三、解答题16．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1、e 2表示CM →、CN →、CP →.[解析] 利用中点的向量表达式得： CN →＝12e 1＋12e 2；CM →＝14e 1＋34e 2；CP →＝34e 1＋14e 2.17．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标； (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标． [解析] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a ＝(－1,3)、b ＝(x ，－1)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．－3B ．－13C ．13D ．3[答案] C [解析] 由a ∥b ，得(－1)×(－1)－3x ＝0，解得x ＝13. 2．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A (3，－6)、B (－5,2)、C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－9 [答案] D[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∵AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，∴－8(y ＋6)＝24，∴y ＝－9.3．向量a ＝(3,1)、b ＝(1,3)、c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 [答案] C[解析] a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，由题意得，9－3k ＝－6，∴k ＝5.4．设e 1、e 2是两个不共线的向量，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线，则( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12 [答案] D[解析] 由共线向量定理，存在t ∈R ，使a ＝t b ，即e 1＋λe 2＝t (－e 2＋2e 1)，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝1λ＝－t ，解得λ＝－12. 5．已知向量a ＝(3,4)、b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α＝( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴3sin α－4cos α＝0，∴tan α＝43. 6．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b 与向量a ＝(2,1)平行，且|b |＝25，则b ＝( )A ．(4,2)B ．(－4,2)C ．(6，－3)D ．(4,2)或(－4，－2)[答案] D [解析] 设b ＝(x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝20x ＝2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2. 二、填空题7．设i 、j 分别为x 、y 轴方向的单位向量，已知OA →＝2i ，OB →＝4i ＋2j ，AB →＝－2AC →，则点C 的坐标为________．[答案] (1，－1)[解析] 由已知OA →＝(2,0)，OB →＝(4,2)，∴AB →＝(2,2)，设C 点坐标为(x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，∵AB →＝－2AC →，∴(2,2)＝－2(x －2，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x －2)＝2－2y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴点C 的坐标为(1，－1)．8．设向量a ＝(4sin α，3)、b ＝(2,3sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________.[答案] π4[解析] 由已知，得12sin 2α＝6，∴sin α＝±22，∴α为锐角，∴α＝π4. 三、解答题9．设向量OA →＝(k,12)、OB →＝(4,5)、OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．[解析] ∵OA →＝(k,12)、OB →＝(4,5)、OC →＝(10，k )，∴AB →＝OB →－OA →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线，∴(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝11或k ＝－2.能力提升一、选择题1．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与b 共线，则( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0[答案] D[解析] ∵a 、b 共线，∴存在t ∈R ，使a ＝t b ，∴e 1＋λe 2＝2t e 1，∴(1－2t )e 1＋λe 2＝0 ①若e 1、e 2共线，则一定存在t 、λ.使①式成立；若e 1、e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2t ＝0λ＝0. 2．已知平面向量a ＝(1,2)、b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] ∵a ∥b ，∴1×m －2×(－2)＝0，∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a ＝(x,1)、b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，∴a ＋b ＝(0，x 2＋1)，∵1＋x 2≠0，∴向量a ＋b 平行于y 轴．4．已知向量a ＝(1,0)、b ＝(0,1)、c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 [答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1k ＝－1. ∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．二、填空题5．已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则B 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 [解析] 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －13λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λy ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 6．已知点A (3，1)、B (0,0)、C (3，0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于________．[答案] －3[解析] ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴|BE →||CE →|＝|AB →||AC →|＝21＝2. ∴BE →＝－2CE →.∴BC →＝BE →－CE →＝－2CE →－CE →＝－3CE →.三、解答题7．平面内给定三个向量a ＝(3,2)、b ＝(－1,2)、c ＝(4,1)，(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613. 8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →， 求证：EF →∥AB →.[解析] 设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，依题意有：AC →＝(2,2)、BC →＝(－2,3)、AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1.因为(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23. 因为(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0. ∴EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →. 9．已知直角坐标平面上四点A (1,0)、B (4,3)、C (2,4)、D (0，2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．[解析] 由已知，AB →＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD →＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB →与CD →共线．又AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，∴3×(－1)－3×2≠0，∴AB →与AD →不共线．∴AB ∥CD ，AB 与AD 不平行．又|AB →|＝32，|CD →|＝22，∴|AB →|≠|CD →|，即AB ≠CD .∴BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD →＝(－1,2)，∴|BC →|＝5＝|AD →|.故四边形ABCD 是等腰梯形．。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案教案标题：平面向量基本定理教案教学目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 理解平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理；4. 能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：学生课本、笔记本、作业本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念，通过实例让学生了解向量的定义和表示方法；2. 引发学生对平面向量的兴趣，提出一个与向量相关的问题，引导学生思考。
二、讲解（15分钟）1. 通过教学PPT，向学生讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则，并给出实例进行演示；2. 介绍平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理，给出相关的几何解释和证明过程。
三、练习（20分钟）1. 学生个人练习：在黑板上出示一些平面向量的练习题，让学生个人完成，并互相交流讨论；2. 学生小组练习：将学生分成小组，给每个小组分发一套练习题，让他们共同合作解决问题；3. 教师巡回指导，解答学生疑惑。
四、展示与总结（10分钟）1. 随机选择几位学生上台展示解题过程，让其他学生评价和提出改进意见；2. 教师进行总结，强调平面向量基本定理的重要性和应用范围；3. 布置作业：要求学生完成课后习题，巩固所学知识。
五、拓展与应用（5分钟）1. 引导学生思考平面向量在实际生活中的应用，如力的合成、速度的合成等；2. 提供一些相关的拓展问题，让学生进行探究和解决。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面向量的概念和基本性质，掌握平面向量的运算规则，并能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
在教学过程中，通过多种练习形式，激发了学生的学习兴趣和合作意识。
同时，通过展示和总结环节，提高了学生的表达能力和思维能力。
在今后的教学中，可以加强与实际生活的联系，提供更多的应用案例，增加学生的实践操作。
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。
内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。
（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。
）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。
二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。
高中数学优质教案1：2.3.1 平面向量基本定理教学设计
必修四第二章平面向量2．3.1平面向量基本定理教学目的：知识目标：掌握平面向量基本定理通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：平面向量基本定理教学难点：平面向量基本定理教学过程：导入新课Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.Ⅱ.讲授新课平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。
当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
应用示例 例1 已知向量1e ,2e , 求作向量-2.51e +32e .作法：（1）取点O ，作OA =-2.51e ,OB =32e . （2）作Y OACB ，OC 即为所求-251e +32e例2 如图ABCD Y 的对角线交于M,且AB =a ρ,AD =b ρ,用a ρ,b ρ表示MA ,MB ,MC 和MD .解：在ABCD Y 中 ，∵AC =AB +AD =a ρ+b ρ ，DB =AB -AD =a ρ-b ρ∴MA =-21AC =-21(a ρ+b ρ)=-21a ρ-21b ρ， MB =21DB =21(a ρ-b ρ)=21a ρ-21b ρ,MC =21AC =21a ρ+21b ρ,MD =12-DB =-21a ρ+21b ρ. 例3如图，OA ，OB 不共线,AP =t AB (t ∈R),用OA ,OB 表示OP .解：∵AP =t AB ∴OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA =(1-t)OA + tOB .四、课堂练习：1.已知矢量12122,2a e e b e e =-=+r r r r r r ,其中1e 、2e 不共线,则a b +r r 与1262c e e =-r r r 的关系是( B )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2.已知向量1e 、2e 不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )1e +(2x -3y )2e =61e +32e ,则x -y 的值等于( A )A.3B.-3C. 0D.23.若a ρ、b r 不共线,且0a b λμ+=r r r (λ,μ∈R ),则λ= 0 ,μ= 0 。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学平面向量基本定理 教案
高一数学平面向量基本定理教学目标：1.知识目标：（1）了解平面向量基本定理（2）能作出由一组基底表示的向量，能用给定图形上的一组基底表示指定的向量。
2.能力训练目标：培养学生的观察、分析、归纳、抽象、概括的思维能力，培养与他人合作交流能力。
3.创新素质目标：通过数学实验，让学生自主探索，调动学生的主动性和创造性。
4.个性品质目标：通过课堂上对数学问题学生的自我探究过程，培养学生深刻批评的思想和坚韧不拔的钻研精神，实事求是的科学态度。
课的类型：新授课重 点：掌握用平面内两条不共线向量表示平面内任一向量的方法。
难 点：理解平面向量基本定理 教学过程：一、导入如图，重为G 的木箱放在水平地面上，物体与水平面间的摩擦系数为μ，给物体施加斜向二、内容 1.思考与发现若将拉力F 抽象成数学中的向量，这就是向量的分解，请同学们通过下面的数学实验与小组讨论解决课件中的几个相关问题，在同一平面内，对于任一α和不共线的两个向量1e ，2e （打开课件来思考几个问题）（1）能否将α在两个不共线向量1e ，2e 上进行分解？ （2）若能分解，是否唯一？若不能分解说明理由。
（3）把α用含有1e ，2e 的式子来表示。
由作图和探究可以看出，指定的α，由于21,e e不同，则分解结果不同，从中发现，我们可以选择多组不共线向量对α进行分解，但α对于选定的两个不共线向量的分解结果唯一，刚才的分解依据就是平行四边形法则，那么α就是OM 与ON 的和向量，那α怎样用含用1e ，2e 的式子表示吗？∵OM 与1e 共线 ∴有且只有一个实数λ，使OM ＝λ1e 又∵ON 与2e 共线 ∴有且只有一个实数µ，使ON ＝µ2e 由平行四边形法则得α＝OM ＋ON ＝λ1e ＋µ2e刚才通过同学们的探索发现了以上结论，其实它就是一个定理，请大家用自己的语言把它叙述出来。
定理：在同一平面内，如果1e ，2e 是两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一α，有且只有一对实数λ，µ，使α＝OM ＋ON ＝λ1e ＋µ2e 。
人教版高一数学下册下册 课件《2.2.1平面向量基本定理》 教案
《平面向量基本定理》教学设计为了更好的完成本节课的教学目标，结合对新课程理念中“用教材教而不是教教材”的理解，在尊重教材的基础上，对课本内容进行整合与提炼，将教学过程设计为以下七个环节：知识储备、问题导学；创设情境、布疑激趣；合作探究、共探新知；学以致用、定理应用；归纳总结、内化所学；当堂巩固、检测所学；布置作业、落实巩固.教学环节教学过程设计意图复习回顾问题导学1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2.怎样理解向量的数乘aλ？（大小和方向）3.平行向量基本定理？（由学生思考，举手回答.）重现原有的认知，为新课导入做好铺垫工作.创设情境布疑激趣通过火箭的飞行方向和速度的分解实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解.为了帮助学生理解，提供了直观的视频，直观形象.(由物理问题转换到数学问题)1视频的播放，激发学生爱国主义情怀；2借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题.合作探究共探新知问题1：在下列两图中，向量OA OB OC、、不共线，能否在直线OA OB、上分别找一点M、N，使得OC OM ON=+？问题2：向量1e、2e、a为定向向量，且1e、2e不共线，则是否存在实数1a、2a，使得1122a a e a e=+？1a、2a唯一？各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.发挥学生的主观能动性，自主探索，发现新知.问题3：向量a 与1e 或2e 共线，a 还能用1122a e a e +表示吗？若0a =？（小组合作探究，注意问题的解答顺序.先思考2分钟，再小组讨论3分钟）学 以 致 用 定理深化例1． 如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，和MD .例2．已知基底{} a b ，，实数,x y 满足向量等式3(10)(47)2xa y b y a xb +-=++.求,x y 的值.练习：已知点P 是AOB ∆的边AB 的中点，若OA a =，OB b =，则 OP =.探究： （1）若P 是AB靠近A 的三等分点，则OP =（2）若AP t AB =，则OP =知识点二：若A B 、是直线l 上任意两点，O 是l 外一点. 则对直线l 上任一点P ，存在实数 t ，使OP关于基底｛OA ，OB ｝的分解式为1 ( * )OP t OA tOB =-+（） 并且满足（*）式的点一定在l 上.例3．已知OA OB OP 、、不共线，P 在直线AB 上，若12OP OA OB λλ=+，则12λλ、的可能取值为（ B ．-1，2 ）投影展示 学生板演 学生点评让学生在自评与互评中成长通过展示，让学生观察并总结知识点.深化对定理的认识，引导学生总结 模型一：定理的任意性应用.二：定理的唯一性应用.进一步深化对定理的理解，引出直线的参数方程的表示方法.归纳总结内化所学鼓励同学们自由发言，谈谈本节课的个人收获.提高学生的总结能力和语言表达能力.当堂巩固走进高考1．如果1e、2e是平面内的一组基底，那么（）A．对平面内任一向量a，使1122a e eλλ=+的实数1λ、2λ有无数对B．对实数1λ、2λ，1122e eλλ+不一定在平面内C．空间任一向量a，可以表示为1122a e eλλ=+D．若实数1λ、2λ使11220e eλλ=+，则12λλ==2.在ABCD中，,AB a AD b==，3AN NC=,M为BC的中点，则MN= .进一步深化理解平面向量基本定理，巩固定理的内涵.第二题为高考题，一题多解，体会高考题的出题魅力.布置作业落实巩固必做题：课本第98页练习A第1、2、4、5题；思考题：（引出下节内容）本节内容较为基础，要求学生全员达标.。
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第六教时
教材：平面向量基本定理
目的：要求生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个
向量；或一个向量分解为两个向量。
[§§]
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积 3．向量
共线定理
二、由平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们表示？
——提出课题：平面向量基本定理
三、新授：1．(P105-106)1e ，2e 是不共线向量，a
是平面内任一向量
OA =1e OM =λ11e OC =a
=OM +ON =λ11e +
λ22e
OB =2e ON =λ22e
得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ
2
使a
=λ11e +λ22e
注意几个问题：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2︒ 这个定理也叫共面向量定理
3︒λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量
2．例一( P106例三)已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 。
[]
作法：1︒ 取点O ，作OA =-251e OB =32e
2︒ 作 OAB ，OC 即为所求+
例二、(P106例如图 ABD 的两条对角线交于点M ，且
AB =
，AD =b
，
用a
，b 表示MA ，MB ，MC 和MD
解：在 ABD 中 ∵
AC =AB +AD =a +b []
DB =AB -AD =a -b
∴
MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -2
1b
1e
2e
a
O
N
B
M M C M
1e
2
e
O N
A M M M
A
B
M
C
a
b
MB =21DB =21(a -b )=21a -21b MC =21AC =21a +2
1b
[]
MD =-MB =-21DB =-21a +2
1b
例三、已知的两条对角线A 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：OA +OB +OC +OD =4OE 证：∵E 是对角线A 和BD 的交点 ∴AE =EC =-CE BE =ED =-DE
在△OAE 中 OA +AE =OE
同理：OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE 以上各式相加，得：OA +OB +OC +OD =4OE [**]
例四、(P107 例五)如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ,OB 表示OP
解：∵
AP =t AB
∴OP =OA +AP =OA + t AB
=OA + t(OB -OA )
=OA + t OB -t OA
=(1-t) OA + t OB
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量
都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题53 3-7
A
B
C
O E
P B
A O。