【公开课课件】高中数学人教A版选修：导数的几何意义(四川成都七中)

x x0
x0
2(2 x)
44
y
|x2
3 4
.
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
阅读教材6页～7页.
平均变化率的几何意义
y
fx2 fx1
y fx
f '( x0 ) 相应地，切线方程为:
y y0 f '( x0 )( x x0 ) .
继续观察图1.1 2或动画演示,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线 f x, PP3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x.因此, 在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
h
练习：根据图1.1-3，描述 l4 函 以数及增h(t（)在减t3）和快t4附慢近的增情（况减. ）l3
l0 l1
1当t t3时,曲线ht 在t3
O t3 t4 t0
t1
t2
处的切线l3的斜率h'
t3
0.所以, 在t
t
附近曲线上
3
t
解：设曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率为k ,
则
k
lim
x0
y x
y y = x2+1
Q
lim
x 00
ff ((1x0
x)x) xx
f (f1)( x0
)
lim
x0
(1
x)2 1 x
(1
1)
lim
x0
2x
(x)2 x
lim (2
x0
x)
1
2
y
P
M
x
x
∴ 所求切线的方程为
l2
升,即函数ht 在t t3附近单调递增. 2当t t4时,曲线h t 在t4处的切线l4的斜率h' t4 0.
所以, 在t
t4附近曲线上升,即函数h t 在t
t
附近也
4
单调递增.
从图1.1-3可见，直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾 斜程度，这说明曲线h(t)在t3附近比在t4附近上升得更快.
高中数学人教A版选修
导数的几何意义
[知识回顾]
导数定义：
一般地,函数 y f x 在x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f x0 x f x0 ,我们称它为函数
x x0
x0
x
y f x 在x x0处的导数, 记作 f ' x0 或 y' |xx0
即f ' x0
B
A
x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
的 图 象图1.1.1, 平 均
变化率
fy f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么?
图1.1 1
割线AB的斜率
我们在初中学习过圆的切线：
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线
和圆相切．这条直线叫做圆的切线,唯
一的公共点叫做切点．
x0
x
①
②
例3.
求函数
y
1 3
x3 在x=2处的导数.
解：
f
'(2)
lim
y
lim
1 (2 x)3 3
1 23 3
x0 x x0
x
lim[22 2(x) 1 (x)2 ] 4
x 0
3
f '(2) 4.
例3.
求函数
y
1 3
x3 在x=2,4,5处的导数.
解2：
f
'( x)
lim
y
lim
1 (x 3
x)3
1 3
x3
x0 x x0
x
lim[ x2 x(x) 1 (x)2 ] x2
x 0
3
f '(2) 4
说 明：
思考： 若P为曲线C: y=x2+2x+3上的点，且曲线C在
点P处切线倾斜角的取值范围为[0 , ], 求点P横坐标
的取值范围.
4
解：曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 [0 , 4 ],
小 结：
一、
二、求函数y f ( x)在x x0处的导数一般步骤 :
1、求函数的增量：y f ( x0 x) f ( x0 );
2、求平均变化率：y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
x
x
3、求极限值
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
三、
课后作业
“乐学”选修1-1 1.1.1—1.1.2 导数的概念
P
圆是一种特殊的曲线．能不能将圆的切线推广为一 般的曲线的切线：直线和曲线有唯一的公共点时，直线 叫做曲线过该点的切线呢？
观不察能右．图例中如的和曲双线曲C线．的直渐线近l1虽线平行l2的直y l线1 与双曲 然线与的曲公线共C点有是唯唯一一公的共，点但，它但们它显们然不是相切关系．
并不相切；而直线l2尽管与曲线C有 不止一个公共点，但它们在点N处 仍然是相切的．因此，对于一般曲
F1
o F2
.P
x
线，必须重新寻求曲线切线的定义．
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时,割线PPn的 变化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
P O
3
T
T
P4 P
x
O
x
4
图1.1 2
动 画 演 示 割 线 变 化 趋 势.
我们发现,当点Pn趋近于点P时, 割线 PPn趋近于确 定的位置,这个确定位置的直线PT 称为过点P的
切线 tan gent line .值得关注的问题是, 割线PPn的
斜 率 与 切 线PT的 斜 率k有 什 么 关 系 呢? 此 处 切 线 定 义 与 以 前 学过 的 切 线 定 义 有 什 么 不同?
-1 O 1
y 2 2( x 1) 即 y 2x .
例2 如图1.1 3,它表 h
l0
示跳水运动中高度随
时间变化的函数 h t
l1
4.9t2 6.5 t 10的
图象.根 据图象, 请描 O
述、比较曲线ht在t0 ,
t1 , t2附近的变化情况.
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利 用 曲 线 在 动 点 的 切 线, 刻 画 曲 线 在 动 点 附 近
PT近似代替.
P1
P2 P3 P4
数 学 上 常 用 简 单 的 对 象刻 画 复 杂 的 对 象.例
如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里,
我们用曲线上某点处的切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思想方法
以 直 代 曲.
P1
P2 P3 P4
例1.求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率．
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h' t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht 在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h' t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht 在t t1附近也
单调递减.
从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
导函数定义：
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以
看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这
样,当 x 变化时, f 'x 便是 x的一个函数,我
们称它为f x的导 函 数(derivative function)
(简称导数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
y lim x0 x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0 .
练习：求函数y x 1 在x=2处的导数. x
解： y (2 x) 1 (2 1) x x ,
2 x
2
2(2 x)
x x
y 2(2 x) 1 1 ,
x
x
2(2 x)
lim y lim[1 1 ] 1 1 3 ,
则曲线C在点P处切线斜率的取值范围为 [0 , 1],设P(x0 ,y0)
则函数 y=x2+2x+3在点x=x0处的导数为：
f '( x) lim ( x0 x)2 2( x0 x) 3 ( x02 2x0 3)
x 0
x
lim (2
x0
x0
2
x)
2
x0
2,
1 0 2x0 2 1 1 x0 2 .
的 变 化 情 况.
解 我们用曲线h x 在t0 , t1, t2 处的切线,刻画曲
线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
1当t t0时,曲线ht 在 h
l0
t0处的切线 l0平行于t 轴.
所以,在t t0附近曲线比
l1
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht 在t1 O
t0
t1
容易知道 , 割线PPn的斜率是
kn
f
xn
f
x0
.
xn x0
Pn
T
Pn Pn
T
当点Pn无限趋近于点P时, kn无限趋近于切线PT
的斜率.因此,函数 f x 在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k .即
k
klimlximf0 x0
x0ylxim
x xx0
ff(xx00
x)
xf '
f
x0
(
x0
.
)
f '( x0 )
一般地，曲线y=f(x)上一点P(x0，y0)的切线 的斜率的计算公式：
k
limቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
y x
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其中△x、 △y分别是自变量和函数值的改变量．
导数的几何意义: 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义， 就是曲线y＝f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率． 也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率是