数值积分方法详解
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
python数值积分
python数值积分Python是一种高级编程语言，广泛用于科学计算和数据分析。
在数学和科学计算领域，数值积分是一个重要的问题。
数值积分是指用数值方法计算函数的定积分，即给定一个函数$f(x)$和积分区间$[a,b]$，求$int_a^bf(x)dx$的近似值。
本文将介绍Python中常用的数值积分方法和库。
一、数值积分方法1.矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用函数在小区间中点的函数值$f(frac{a+i*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxhsum_{i=0}^{n-1}f(frac{a+i*h}{2})$$矩形法的优点是简单易懂，容易实现。
但是它的精度较低，误差较大。
2.梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点的函数值$f(a+i*h)$和$f(a+(i+1)*h)$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxfrac{h}{2}sum_{i=0}^{n-1}[f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)]$$梯形法的优点是比矩形法更精确，误差较小。
但是它的计算量较大，对于复杂函数和大量数据，可能需要较长的计算时间。
3.辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点和中点的函数值$f(a+i*h)$，$f(a+(i+1)*h)$和$f(frac{a+i*h+a+(i+1)*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
数值计算中的积分方法
数值计算中的积分方法对于一定区间内的函数，我们可以通过积分来求出其面积、体积、质量等物理量。
但是在实际计算中，我们往往无法用解析式直接求出积分的值。
这时候，就需要使用数值计算中的积分方法来解决问题。
一、定积分的基本概念在介绍数值计算中的积分方法之前，我们需要先了解定积分的基本概念。
定积分是指在一定范围内，函数在该范围内的积分值。
定积分的计算公式如下：其中，a与b分别是积分区间的上限和下限。
f(x)是要求积分的函数。
二、数值积分的基本原理在实际计算中，由于我们无法使用解析式求出积分的值，所以我们需要使用数值积分的方法来求解。
数值积分的基本原理是将积分区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间内的函数进行近似，并将这些近似值加起来得到整个积分的近似值。
具体操作方式包括：矩形法、梯形法、辛普森法等。
三、矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一，它的思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内，将函数值看作常数，用矩形来近似表示积分的面积，最后将所有矩形的面积加起来得到整个积分的估算值。
矩形法的计算公式如下：其中，n为将积分区间[a,b]等分成n个小区间，h为小区间的长度，即选择矩形的上、下底线的取值通常有三种情况：左端点、右端点和中点。
矩形法的代价是显然的：将整个积分区间分割开来后，只有在分割点处函数值可以准确反映积分函数在这一区间内的行为，其余部分都是偏差。
因此，如何减小分割误差是该方法的一个重要问题。
四、梯形法与矩形法相似，梯形法是把积分区间划分成若干个小梯形，在每个小梯形中，将用函数的两个端点值连接成梯形近似积分的面积，最后将所有小梯形的面积加起来得到整个积分的估算值。
梯形法的计算公式如下：梯形法的计算精度比矩形法更高。
五、辛普森法辛普森法是将积分区间划分成若干小区间，用二次曲线去逼近函数在每个小区间内的形状，并将所有小区间的积分值加和得到整个区间的积分值。
具体计算公式如下：其中，h为区间长度，x0和xn为区间的端点。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。
本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。
1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。
2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。
它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。
接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。
3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。
它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。
在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。
然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。
4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。
龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。
在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。
然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。
通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。
上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。
数值分析4 - 数值积分
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ) “”
若m n,由lk ( x)的次数为 n, 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值
有 ( x ) f ( x )dx ( x )l k ( x )dx ， 基函数 )， a a
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
k为 奇 数 0, k 1 1 ( 1 ) k 2 解： I k 1x dx k 1 , k为 偶 数 k 1 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总数值积分是一种用计算机逼近求解定积分的方法，它通过将区间划分为多个小区间，并在每个小区间上进行数值计算，最后将结果相加以得到整个区间上的定积分近似值。
在实际应用中，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
下面将详细介绍这几种方法，并对它们进行比较汇总。
1.梯形法则是一种基本的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一条梯形，并用该梯形的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，梯形法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx≈ (b-a)[f(a) + f(b)]/2梯形法则的优点是简单易懂、计算速度较快，但它的缺点是精度较低，特别是当被积函数曲线较为陡峭时。
2.辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一个二次曲线，并用该曲线下的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，辛普森法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]/6辛普森法则的优点是精度较高，特别是对于曲线比较平滑的函数，它能给出较为准确的积分近似值。
然而，辛普森法则的计算量较大，因为它需要在每个小区间上计算3个点的函数值。
3.复化求积法是一种综合性的数值积分方法，它基于划分区间的思想，将整个求积区间划分为多个小区间，并在每个小区间上采用其中一种数值积分方法来进行计算。
具体而言，复化求积法可以采用梯形法则或辛普森法则来进行计算。
它的计算公式如下：∫[a,b]f(x)dx ≈ ∑[i=0,n-1] (b-a)/n * [f(a + i(b-a)/n) +f(a + (i+1)(b-a)/n)]/2复化求积法的优点是能够灵活地根据被积函数的特点选择合适的数值积分方法，从而提高求积的准确性。
但它的计算量较大，尤其在需要高精度的情况下，需要划分较多的小区间。
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、引言数值积分方法是一种计算函数曲线下面积的方法。
在实际应用中，很多函数的积分无法通过解析方法求得，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
本文将讨论数值积分的基本概念、常用方法和应用场景。
二、基本概念1. 积分积分是微积分学中的一个重要概念，其定义为：对于给定函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分为：∫(b,a)f(x)dx2. 数值积分数值积分是指通过数值计算来近似计算定积分的过程。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值计算来近似求解。
三、常用方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取一个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间长度得到矩形面积，并将所有矩形面积相加即可得到近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取两个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值求平均值，再乘以该小区间长度得到梯形面积，并将所有梯形面积相加即可得到近似结果。
3. 辛普森法辛普森法是一种比梯形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取三个点作为代表点，然后通过插值公式计算出一个二次函数，并对该二次函数进行积分得到近似结果。
四、应用场景1. 科学计算在科学计算中，很多问题需要求解函数的定积分。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
2. 金融领域在金融领域中，很多问题需要对某些数据进行统计和分析。
而这些数据通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
3. 工程领域在工程领域中，很多问题需要对某些物理量进行计算和预测。
而这些物理量通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
五、总结数值积分方法是一种重要的数值计算方法，它可以用来近似计算函数曲线下面积。
积分的数值方法
k 0 n
式中 这里
( x) lk ( x ) ( x xk )( xk ) j 0 xk x j
n j k
x xj
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
的近似值，即:
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
ab 和 f ( ) f ( ) 则分别 2 得到梯形公式和中矩形公式。
2
y=f(x) y=f(x)
①
梯形公式
b
a
1 f ( x)dx (b a) f (a) f (b) 2
中矩形公式
b
a a
y y=f(x)
b bx
②
a
ab f ( x)dx (b a ) f ( ) 2
ba a f ( x)dx 2 f (a) f (b) b ba 取f(x)=1时， 1dx b a, (1 1) b a 两端相等 a 2
b
取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,
b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例3.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f ( x)dx Af (0) Bf (1) Cf (3)
定理3.1 n+1个节点的求积公式
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论数值积分是数值计算中的一种重要方法，它用于计算函数在一定区间内的定积分值。
本文将讨论几种常见的数值积分方法，包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式和高斯求积公式。
1. 梯形公式梯形公式是最简单的数值积分方法之一，它的思想是用一个梯形来近似代替曲线下的面积。
具体来说，将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，那么梯形公式的数值积分公式为：∫a~b f(x) dx ≈ h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(a+(n-1)h)+f(b)]2. 辛普森公式辛普森公式是一种更精确的数值积分方法，它的思想是用二次多项式来近似曲线下的面积。
具体来说，将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，那么辛普森公式的数值积分公式为：∫a~b f(x) dx ≈ h/3[f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+...+2f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)]3. 龙贝格公式龙贝格公式是一种迭代求解的数值积分方法，它的思想是不断加密积分区间，从而逐步提高数值积分的精度。
具体来说，将积分区间[a,b]分成2^0、2^1、2^2、...、2^k个小区间，进行数值积分，然后利用数值积分的结果计算Richardson外推公式：B(m,n) = 4^m B(m-1,n+1) - B(m-1,n) / 4^m-1其中B(m,n)表示第m次加密、第n个小区间的数值积分结果。
通过不断迭代，可以得到越来越精确的数值积分结果。
4. 高斯求积公式高斯求积公式是一种基于多项式插值的数值积分方法，它的思想是用一个n次多项式来近似代替曲线，从而提高数值积分的精度。
具体来说，根据插值多项式的性质，可以得到n个节点x1,x2,...,xn和n 个系数A1,A2,...,An，使得对于任意n次多项式p(x)，有：∫a~b p(x) dx ≈ A1p(x1)+A2p(x2)+...+Anp(xn)其中，节点和系数可以通过高斯-勒让德公式、高斯-拉格朗日公式或高斯-切比雪夫公式等方法求解。
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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连续系统仿真：数值积分法2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@2第二章连续系统仿真：数值积分方法⏹2.1 数值积分的基本概念⏹2.2 龙格-库塔方法⏹2.2.1 二阶RK 方法⏹2.2.2 四阶RK 方法⏹2.2.3 多步法⏹2.3 数值计算稳定性分析2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@3问题描述()(),(),()()t t t t t f x A u B u x =+()()()()()()t t t t t t =+⎧⎨=+⎩xAx Bu y Cx Du 000,(),t t =x x 求:x (t )= ?，t ≥t 0(2-1)(2-2)对比上面两个问题,有:y (t )是x (t ) u (t )的线性组合。
解出x (t )，就可计算出y (t )。
x (t )由状态方程决定。
数学上的微分方程的初值问题。
已知: (1)状态方程(2)初值(3)输入u (t ) ，t ≥t 0求: 系统的输出y (t )= ?, t ≥t 0已知: (1)微分方程(2)初值()()(),dx t f x t t dt=000,(),t x t x =2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 42.1 数值积分法的基本原理微分方程的求解：(1) 解析方法:只能求解一些特殊类型的方程.《高等数学》(2) 数值解法:大部分的实际问题采用. 《计算方法》,《数值分析》差分方法是一类重要的数值解法.⏹1 数值积分法的原理0()(),(0)xt ax t x x == 0()at x t x e =解析解:描点t = [0, 1, 2, 3, 4, 5 ]x =[1, e -1,e -2,e -3,e -4,e -5]1234500.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e -t为分析理解，作出函数的图形.取a = -1, x 0=1, 则()tx t e -=2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 52.1 数值积分法的基本原理取点更密集一些，例如每隔0.25取一个点，0.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e-t00.51 1.522.533.544.550.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e -tt =[0, 0.25, 0.5, …]2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 62.1 数值积分法的基本原理⏹1 数值积分法的原理⏹数值解法，就是寻求x=x (t )在一系列离散点t 1,t 2, …t k 上的近似解x 1, x 2, …,x k (此即数值解) .离散点满足：t 1 <t 2 < t 3 < …< t k < …⏹根据已知的初始条件x 0，采用“步进式”逐步递推的方法，依次计算出各时刻的数值x i .⏹差分格式：⏹由…x k -1, x k 计算x k +1的公式. x k +1＝？⏹在仿真课程中，称为仿真模型2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@72.1 数值积分的基本原理001001121122111(1) ()(2)()(3)()()()k k k k k x t x t t h x t x t t h x t x t t h x t x +++==+≈=+≈=+≈已知初值 计算时刻的数值解 计算时刻的数值解 计算时刻的数值解 注1：步长:注2：一般计算中，h 0=h 1=h 2=…=h k =h ,等步长(固定步长)算法.注3：x (t k ) 表理论解,是精确的．x k 表示近似的数值解，含有误差（舍入误差和截断误差）．1k k kh t t +=-数值积分求解的步骤：2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 82.1 数值积分的基本原理2 欧拉(Euler)法微分方程(式2-2)的计算难点,在于其含有微分项. 因此要设法消除微分项,这就是数值计算中的离散化. 方法:用差分代替微分.取t = t k ，也即在t k 时刻, 微分方程变为：()()(),k k k dx f x t d t tt =2.1 显式格式: 一阶向前差分代替导数项1()()()k k k x t x t dx t dt h +-≈()1()()(),k k k k x t x t h f x t t +≈+⋅()1,k k k k x x h f x t +=+⋅用x k 表示计算得到的近似值状态方程的仿真模型：[]1k k k k x x h Ax Bu +=+⋅+(2-3)上式变成代数方程，2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@10gk=1;gT=0.5;tk = 0 ;% 系统时钟，初始时刻t 0= 0xk = 0;% 状态x k ≈x (t k ), 初始状态x 0= 0u0=100; % 输入信号u= 100 * 1(t)h = 0.05; % 仿真步长timeend = 6*gT; % 仿真时间长度a = 1 -h/gT; b = gk*h/gT;% 为了plot 作图, 状态x ,时种t 分别保存到数组t_eu1, x_eu1t_eu1(1)=tk; x_eu1(1)=xk;for( ih = 2 : timeend/h +1 ) % ih 是循环变量, 也表示数组的下标tk = tk + h;uk = u0;xk = xk * a + b * uk;x_eu1(ih) = xk;t_eu1(ih) = tk;end;figure()；plot(t_eu1, x_eu1, ‘b’); % 蓝色线，数值解例2.1 采用欧拉方法的MATLAB 仿真程序2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@12分析：1) 红线表示理论解析解，蓝线表示欧拉法的仿真结果。
两线没有重合，说明计算存在误差．误差范围[5%-0.06%]例2-1 仿真结果分析2) 如何减小误差？h 越小，差分越趋向于微分；减小h , 可以减小误差．2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@13分析：1) h=0.02, 红线与蓝色线重合度高。
表明仿真解的误差减小．误差范围[2%-0.005%]例2-1 仿真结果分析2)还有没有其他减小误差的方法呢？研究其他数值积分方法2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@142.1 数值积分的基本概念欧拉公式的几何理解(之1) :从导数的概念理解：欧拉公式是一种折线近似. 看下图：t x0x 1x 2x 1t 2t kt 1k t +3t 0A1A 2A 3A kx 1n x +1k A +()()x x t =精确值未知的k x x =数值计算()010000011011100000110001111()(),(,).-(,)..[,)](, A A x t xt f t x A A t t h A x x x hf A A x t t t A t x t A t x t x ==+ 做直线,斜率为在的一阶导数即，直线与横坐标交于点，也即：欧拉公式是以直线来近似纵坐标就是纵轴方向的增量:＝对比发现上代替精确的在已知点()，求式就是欧时刻的点区间的式：拉公曲线段。
11211122122(,).A A A f t x A A t t h A x =+再在点做线段，斜率为在时刻时的位置，求得。
12n A A A 依此类推得到，，，表示2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@17局部截断误差:在x k 假定为准确的前提下(即x k =x (t k )),计算得到的x k +1(记作), 与精确值x (t k +1)的差.(只考虑第k 步的误差)2.4 欧拉格式的精度总体截断误差:它描述了从x 0, x 1, x 2,…计算到x k ，k 步误差的积累。
1ˆk x+(),0,1,2,k k ke x t x k =-= 111ˆ()k k k T x t x +++=-如果其局部截断误差为O (h r +1)，其总体截断误差为O (h r )。
收敛性: 对于如果表明当h 足够小时，x k 与x (t k )充分接近，数值解x k 收敛于精确值x (t k )则称该计算方法是收敛的。
(),1r k e O h r =≥0,0k h e →→当有r 阶方法：一个方法，它的总体截断误差若为O (h r )，则它的精度是r 阶的，称其为r 阶方法。
2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@182.4 欧拉格式的精度1. 欧拉公式(2-3):()()1ˆ,()(),()()k k k k k k k k k x x h f x t x t h f x t t x t h x t +'=+⋅=+⋅=+⋅21()()()()()2k k k k h x t x t h x t h x t x ξ+'''=+=++⋅⋅根据泰勒公式,精确值x (t k +1)精确值为:()0221122ˆ()():max ()2nk k t t h x t xx h M M x ξξξ++≤≤''''-=≤=⋅⋅注单步显式的欧拉公式的精度是一阶的.因为前向差分与后向差分的精度相同,所以隐式的欧拉公式也是一阶精度的.局部截断误差()1,k k k k x x h f x t +=+⋅2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@202.1 数值积分的基本概念000011000102211121100001()()()()(,),,()()(,)(),()()(,)(),()()(,(,)(,))(()tk t k k k k x t x t x t x t f x t t t x f x t dtt t t t x t x t f x t t t t t x t x t f x t t t t t x t x t f x t t f x t t t ++=+≈+=≈+-=≈+-=≈+--⎰当的时候，在几何意义上，上式右侧的红色部分，是由，,轴所围成的面积。
有有 很小 有 1)k k t +-欧拉公式采用矩形面积表示定积分。
如果采用梯形面积，则更准确一些。
欧拉公式的几何理解(之2) 数值积分求解角度，如何计算x (t )?考虑高等数学中的定积分公式：2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@212.1 数值积分的基本概念⏹3 梯形公式: 欧拉法用矩形的面积表示积分项。
更精确一些，可以用梯形的面积来表示积分项。
梯形差分格式是:[]1111(,)2(,)k k k k k k x x h f x t f x t +++=++()()1111()()(),2(),k k k k k k f x t x t h x t x t f t t +++⎡⎤≈++⎣⎦(2-6)状态空间模型:()()1111()()2k k k k k k Ax Bu x x h Ax Bu t t +++⎡⎤=++++⎣⎦现在是t k 时刻, x k , f (x k , t k )已知，求x k +1.而x k +1出现在等式的两端，故梯形格式是隐式的,计算比较复杂.2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@222.1 数值积分的基本概念⏹3 改进的欧拉公式: 先用欧拉公式预报出x k +1的近似值,再把这个近似值代入梯形公式,再利用梯形公式计算x k +1的校正值.()()1111(,),,2k k k k k k k k k k x h f x t hx x f x t f t xx ++++=+⋅⎧⎪⎨⎡⎤=++⎪⎣⎦⎩ 预报公式校正公式()()1211111211(,) ,2k k k k k k k k k k K f x t x h K f t t h hx K x x K K x t +++++=⎧⎪=+⎧⎨=⎨⎪=+⎩⎩=++ 其中因为f (·)是x 对t 的一阶导数,它的几何意义表示斜率.因此，有(2-7)(2-8)总体截断误差O (h 2)，精度是二阶的．在实时仿真的应用中较多.3.1 表示形式1：本式与RK4表示形式，是统一的。