生活中的优化问题举例 课件

解析：过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线， 设切点为(u, u3－3u)， 则 k＝3u2－3，又k＝u3－u3－u－0 16， ∴u3－u3－u－0 16＝3u2－3， 解得u＝－2，∴k＝9，切线方程为9x－y＋16＝0.
跟踪训练
3．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1， f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值 为－12.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．垂直于直线2x－6y＋1＝0且与曲线y＝x3＋3x2－5相切 的直线方程是__y_＝__－__3_x－__6__．
利用导数运算巧求导数值
设f(x)＝(x－1)(x－2)…(x－6)，求f′(1)．
解析：f(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－6)] ∴f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)…(x－6)]＋(x－1)·[(x－2)(x －3)…(x－6)]′ ＝(x－2)(x－3)…(x－6)＋(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－6)]′. 令x＝1，得f′(1)＝(1－2)(1－3)…(1－6)＋0 ＝(－1)(－2)…(－5) ＝－120.
1．函数y＝cos 2x在点π4，0处的切线方程是(
)
A．4x＋2y＋π＝0
B．4x－2y＋π＝0
C．4x－2y－π＝0
D．4x＋2y－π＝0
答案：D
2．已知曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34π ，则 f′(－2)＝__－__1__.
3．曲线y＝
sin
sin x x＋cos
x－12
解析：(1)∵a·b＝(x2＋6x,5x)·31x，1－x ＝13 x3－3x2＋5x， ∴f(x)＝13 x3－3x2＋5x，x∈[0,9]. (2)f′(x)＝x2－6x＋5，令f′(x)＝0得x＝1或x＝5.
∴当x∈[0,1)或x∈(5,9]时，f′(x)＞0.
∴f(x)的单调递增区间为[0,1)和(5,9]. (3)∵f(0)＝0，f(1)＝73 ，f(5)＝－235，f(9)＝45， ∴最大值为45，最小值为－235 .
1 6
，
因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.
∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x.
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，列表如下：
x f′(x) f(x)
(－∞，－ 2 ) － 2
＋
0
↗
极大
(－ 2，2 ) － ↘
2 ( 2，＋∞)
0
＋
极小
↗
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－ 2 )和( 2，＋∞)． ∵f(－1)＝10，f( 2 )＝－8 2，f(3)＝18， ∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)＝18，最小值是f( 2 )＝ －8 2 .
跟踪训练
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( D )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
导数与向量的综合应用
设a＝(x2＋6x,5x)，b＝3x，1－x，x∈[0,9]． (1)求f(x)＝a·b的表达式； (2)求f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)的最大值和最小值．
生活中的优化问题举例
基础梳理
1．导数在几何中的应用：如求切线问题，要正确求出相 应函数的导数，看清题意，如果求过某点的函数的曲线的切 线，首先要判断该点是否在曲线上，再确定切线条数，最后 再应用导数求出切线．
2．导数与向量的综合题，一般首先是用向量相关概念将 之转化为纯函数问题，再利用导数研究函数．
4．常用求导或函数单调性求最值.
3．求函数解析式与导数相关的题，要有列方程意识，有 几个参数要待定就设法列出几个方程．
4．设y＝2x＋5，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是 ____－__1__．
5．设y＝|x|3，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是( D )
A．27
B．－3
C．－1
D．1
6．函数f(x)＝x2－2x－9，则当x＝___1_____时， 函数取得 最____小____值，最值为__－__1_0___．
自测自评
1．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(2)＝(
A．1
B．2
C．4
) D．8
解析：依题意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，则f′(1)＝－1，所 以f′(2)＝4－3＝1，选择A.
答案：A
2．函数f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1时取得极值， 则a＝( ) B
跟踪训练
2．设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图
象关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－
2 3
.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)求以点(3,6)为切点的曲线的切线方程．
解析：(1)∵f(x)的图象关于原点对称， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx－cx－4d， 即－2bx2＋4d＝2bx2－4d. ∴b＝0，d＝0. ∴f(x)＝ax3＋cx. ∴f′(x)＝3ax2＋c. ∴ f′1＝3a＋c＝0，
在点M π4，0处的切线的斜率为
()
பைடு நூலகம்
A．－12
C．－
2 2
B.12
D.
2 2
解析：y′＝
cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2
＝
sin
1 x＋cos
x2，所以y′|x＝π4＝sinπ4＋1cosπ42＝12.
答案：B
1．函数在x0处取得极值，则f′(x0)＝0. 2．曲线f(x)在x0处的切线的斜率为f′(x0)． 3．在定义域内，解f′(x)＞0，解集为增区间，解f′(x)＜0， 解集为减区间．
f1＝a＋c＝－32. 解得 a＝13，c＝－1. ∴a＝13 ，b＝0，c＝－1，d＝0.
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－1. ∴过点(3,6)的切线的斜率k＝f′(3)＝8. ∴切线方程为y－6＝8(x－3)， 即8x－y－18＝0.
导数在函数中的综合应用
已知函数f(x)＝x3－3x.过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切 线，求此切线方程．
(1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1，3] 上 的最大值和最小值．
解析：(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，
∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为