中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题

中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题

模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题

【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为

图例3-1

图例3-2

图例3-3

【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴

30AC tan BC =︒⨯=

⨯2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°

在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷

，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，1

22

BD DF BF ==

= ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，1

22

BD DF BF ==

=

∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠⨯=

=，所以，BF =2，1

12

BD DF BF ==

=，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发

点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.

【典例2】如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

图例4-1 图例4-2 图例4-3

【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B′及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：

①当∠CEB′=90°时，如图例4-2所示.

由折叠性质得：AB=AB′，四边形ABE B′是矩形.所以四边形ABE B′是正方形.此时，BE=AB=3.

②当∠CB′E=90°时，如图例4-3所示.

由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.∴点A、B′、C共线

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5

由折叠得：AB= AB′=3

所以B′C=2

设BE=x，则B′E=x，EC=4－x

在Rt△ABC中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2

即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5.

综上所述，BE的值为3或1.5.

【小结】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.

【典例3】如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =

+，点M ，N 分别是边

BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为

直角三角形，则BM 的长为 ．

图例5-1

图例5-2

图例5-3

【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.

所以，12BM BC =

= ①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.

由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形

设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =

因为BC ，所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.

综上所述，BM 或1. 【小结】根据题意判断C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形三边关系求解.

【典例4】如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为

.

图例6-1图例6-2图例6-3

【解析】分两种情况讨论.

①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.

∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线，即DE∥BA

∴∠A’BA=90°，∴四边形AB A’C为矩形

由折叠得AC=A’C，∴四边形AB A’C为正方形，即AB=AC=4.

②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.

∵∠A’EF=∠CDE=90°，∴A’E∥CD，∴∠DCE=∠CEA’

由折叠知：∠DCE=∠A’CE，∴∠CEA’=∠A’CE，∴A’C=A’E=4

又∵E是BC中点，即A’E是Rt△A’BC的中线，∴BC=2A’E=8

在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=

由折叠性质得：AB= A’B=.

综上所述，AB的长为4或.

【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.

1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为