高中数学知识点精讲精析 简单线性规划

3.4.2 简单线性规划
1. 相关定义：
(1)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

(2)可行解：满足线性约束条件的解叫做可行解。

(3)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。

(4)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。

2. 线性规划问题的求解步骤：
(1)先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；
(2)作出相应的图象（注意特殊点与边界）
(3)利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数的最大（小）值时，直线往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。

注：①对线性目标函数中的符号一定要注意：当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最大，在y 轴截距最小时，值最小；当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最小，在y 轴截距最小时，值最大。

②如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。

例1：设满足约束条件：，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：
(1)； (2)；
(3)（是整数）； （4）； （5） 示中的区域，且
【解析】先作可行域，如下图所求得、
、
),(y x ny mx z +=0=+ny mx By Ax z +=B 0>B z z 0<B z z y x ,⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x y x z 106+=y x z -=2y x z -=2y x ,22y x +=ω1+=
x y ωABC ∆)2,5(A
)1,1(B )5
22,1(C
(1)作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。

故，
(2)同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点C 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。

则， (3)同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点A 时，可使 达到最大值，
当的平行线过点C 时，可使达到最小值，但由于不是整数，点 不是最优解，当过可行域内的点时，可使达到最小值，
（4）表示区域内的点到原点的距离的平方。

则落在点时，最小， 落在点时，最大，故，
（5）表示区域内的点与点连线的斜率。

则落在点时，最小，落在点时，最大，故， 例2：设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：
⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3
3x ＋5y ≤25x ≥1
，求z 的最大值和最小值. 【解析】变量x ，y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）。

0106:0=+y x l 0l 0l 1l y x z 106+=0l 2l y x z 106+=1611016min =⨯+⨯=z 5021056max =⨯+⨯=z 02:0=-y x l 0l 0l 1l y x z -=20l 2l y x z -=25
12min -=z 8max =z 02:0=-y x l 0l 0l 2l y x z -=28max =z 0l 1l y x z -=2522)522,1(C 0l )4,1(y x z -=22min -=z ω),(y x ),(y x )1,1(B ω),(y x )2,5(A ω2min =ω29425max =+=ωω),(y x )0,1(-D ),(y x )2,5(A ω),(y x )522,1(C ω31min =ω5
11max =
ω
作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t. t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5,2）的直线l2所对应的t最大，以经过点B（1,1）的直线l1所对应的t最小．
所以，z max＝2×5＋2＝12 z min＝2×1＋1＝3。