夹逼定理与单调有界收敛定理

x x0 x x0
x
则 lim g ( x) 存在，且 lim g ( x) A ．
x x0 x x0
证对任意的正数 ，因为
x x0
lim f ( x) lim h( x) A ，
x x0
所以存在正数 ，使得当 0 x x0 时，有
A f ( x) A ， A h( x) A ．
x
1
例 2 已知 0 a b ，求极限 lim(a n bn ) n ．
n
解因为
a n a n (a b ) =(b ) ( )n 1) b ( )n 1) ， b b
n 1 n n 1 n n 1 1
且0
a 1 ，所以 b
1 1 1 1 ≤ ． x x x
当 x 0 时，由于
1 1 x x ≤ 1 ，且 lim (1 x) 1 ， lim 1 1 ， x 0 x 0 x 1 所以 lim x 1 ． x 0 x
当 x 0 时，由于
解因为
n2 k n2 n 2
k 1 k 1
n
k
n
k
1 n(n 1) 1 ， n2 n 2
1 1 n k k 1 n(n 1) ， n2 k n2 1 2 n2 1 n 1 k 1 k 1 2 2 n
n
1 n k 1 n 1 ，所以 lim 且 lim ． 2 n 1 2 n 2 n k k 1 2 2 n 1
n n
则 lim bn 存在，且 lim bn a ．
n n
例 1 求极限 lim ( x 1 x 2) ．
x
解因为
0 x 1 x 2
3 x 1 x 2
≤
3 x
，
且 lim
3 x
x
0 ，所以 lim ( x 1 x 2)=0 ．
因为 f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) ，所以当 0 x x0 时，有
A f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) A ．
故 lim g ( x) A ．
x x0
函数极限的其他情形及数列极限都有类似的结论． 定理 14 若数列 an , bn , cn 满足条件： （1）夹条件： an ≤ bn ≤ cn ； （2）逼条件： lim an lim cn a ，
【本讲总结与下讲预告】 本讲介绍了判断极限存在的夹逼定理， 如何做适当放大和适当缩小是正确运用夹逼定理 的关键。通过练习，要了解常用的放缩方式，逐步地掌握夹逼定理及其应用。下一讲将介绍 判断极限存在另一个重要方法，即单调有界收敛定理。
1 1 x x ≥ 1 ，且 lim (1 x) 1 ， lim 1 1 ， x 0 x 0 x 1 所以 lim x 1 ． x 0 x 1 根据极限与左、右极限的关系，得 lim x 1 ． x 0 x n k 例 4 求极限 lim 2 ． n k 1 n k
1 1
b (a n b n ) n b2 n ．
又因为 lim b b ， lim b2 n b ，所以
n
n
1
lim(a n bn ) n b ．
n
1
来自百度文库
1 例 3 求极限 lim x ，其中 [] 是取整函数符号． x 0 x
解根据取整函数的定义，对任意的 x 0 ，有
进而得到了 (sin x) cos x ， (e x ) e x 等基本导数公式。本讲将介绍夹逼定理的具体内容， 及利用夹逼定理求极限的具体问题。 【正文】 定理 13 设函数 f ( x), g ( x), h( x) 在 x0 的某去心邻域内有定义，且满足： （1）夹条件： f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) ； （2）逼条件： lim f ( x) lim h( x) A ，
§ 1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
一、 夹逼定理 【导语】
夹逼定理是极限理论中的一个重要结论， 是微积分中判断极限存在的基本方法之一． 正
sin x 1 是有了夹逼定理， 才能得到微积分中的两个重要极限的值， 即 lim 1 和 lim 1 e ， x x 0 x x
例 5 证明： lim
an 0． n n !
证对于实数 a ，存在正整数 N ，满足 N ≤ a ≤ N 1 ． 当 n N 时，有
0≤ a a a a a a C an ． n! 1 2 N N 1 n 1 n n
又 lim
an C an 0 ，即 lim 0 ，所以 lim 0． n n ! n n n n !