夹逼定理与单调有界收敛定理
序列与级数的收敛性判断方法
序列与级数的收敛性判断方法序列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在研究序列与级数的性质时，我们常常需要判断它们的收敛性。
本文将介绍一些常用的判断序列与级数收敛性的方法。
一、序列的收敛性判断方法1. 有界性判断法对于一个序列来说，如果存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M成立，那么称该序列是有界的。
有界序列一定是收敛的，而且收敛到的极限值就是序列的上确界或下确界。
2. 单调性判断法如果一个序列是单调递增的，并且有上界，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且有下界，那么它也是收敛的。
这是因为有界单调序列必定存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断序列收敛性的常用方法。
如果一个序列an满足对于所有的正整数n，都有bn≤an≤cn成立，并且序列bn和cn都收敛到同一个极限L，那么序列an也收敛到L。
4. 子序列的收敛性判断法如果一个序列的子序列收敛到某个极限L，那么该序列也收敛到L。
这是因为子序列是原序列的一部分，它们的收敛性是相互联系的。
二、级数的收敛性判断方法1. 正项级数的收敛性判断法如果一个级数的每一项都是非负数，并且序列{Sn}的部分和有上界，即存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有Sn≤M成立，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的常用方法。
如果一个级数的每一项都是非负数，并且存在另一个级数{bn}，使得对于所有的正整数n，都有0≤an≤bn成立，那么如果级数{bn}收敛，那么级数{an}也收敛；如果级数{bn}发散，那么级数{an}也发散。
3. 比值判别法比值判别法是判断级数收敛性的重要方法。
对于一个级数an，如果存在正实数r，使得对于充分大的正整数n，都有|an+1/an|≤r成立，那么：- 如果0≤r<1，那么级数an是绝对收敛的；- 如果r>1，那么级数an是发散的；- 如果r=1，那么比值判别法无法确定级数an的收敛性。
高数极限证明方法
高数极限证明方法在高等数学中，极限是一个十分重要的概念。
极限是函数趋于某个点或无穷时的一种特殊情况，它能够描述函数在该点的局部特性，如连续性、可导性等。
在证明高数极限的过程中，有一些基本的方法和原则可以被应用。
首先，我们先来看一下高数中的一些极限基本定理，它们是证明极限的基础：1.极限的唯一性定理：如果函数f(x)的极限存在，则该极限是唯一的。
也就是说，一个函数只能趋于一个极限。
2.有界收敛定理：如果一个函数在某个点a 的某个去心领域中有界且有极限，那么这个函数在该点必然有极限。
3.夹逼定理：如果对于所有的x∈X，都有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限都为L，那么f(x)的极限也为L。
4.极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处有极限，那么它们的和、差、积以及商（只要g(a)≠0）在该点也有极限，并且极限值等于对应的运算。
掌握了以上基本定理后，我们可以运用以下几种证明方法来证明高数中的极限问题：1.ε-δ方法：这是一种直接证明的方法，通过选取合适的δ，使得当0<|x-a|<δ时，相应地有|f(x) - L| <ε，其中ε为一个正数。
该方法常用于连续函数的极限证明。
2.夹逼法：当无法直接计算函数的极限时，我们可以使用夹逼法来确定极限值。
夹逼法的关键是找到两个已知函数，使得它们的极限都等于L，并且函数f(x)一直被这两个函数夹在中间。
3.断点法：当函数在某个点a处无极限时，我们可以考虑将该点变成一个极限点，并引入无穷大或无穷小，从而计算出极限。
此时，我们需要观察并分析函数在该点的性质，如左极限和右极限是否存在。
4.局部性质法：当要证明函数在某个点a处有极限时，我们可以先观察该点的局部性质，如连续性、可导性等，然后利用这些性质推导出极限。
总结一下，证明高数极限时，我们可以采用ε-δ方法来直接证明，也可以用夹逼法来确定极限值，还可以使用断点法来处理无极限的情况，最后可以利用函数的局部性质来推导极限。
2015考研高数：极限计算常用7种突围方法
2015考研高数：极限计算常用7种突围方法(一) 四则运算法则四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。
但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。
四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。
如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)洛必达法则解决的是“零比零”或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。
当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。
化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。
考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。
考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零”或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零”或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。
泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如，等。
也可以用来求解未知极限式中的未知参数，和解决抽象函数的极限。
尤其是未知极限式中的未知参数，比起洛必达更适合用泰勒公式去做。
(四) 幂指函数的极限计算方法幂指函数指的是，底数和指数都是函数的函数。
数列收敛的条件
数列收敛的条件
数列的收敛是指当数列随着项数的增加趋近于某个值时，该数列收敛于这个值。
那么什么样的数列会收敛呢？下面我们就来详细了解一下。
首先，数列的收敛必须满足以下两个条件：
一、数列的极限存在，也就是说，数列能够随着项数的增加无限地接近某一个值，这个值就是数列的极限。
二、数列的极限值是唯一的，也就是说，在所有可能的极限值中只有一个极限值是正确的。
另外，有两个重要的收敛定理：
一、夹逼定理：如果数列an ≤ bn ≤ cn，而且lim an =lim cn =a，那么lim bn=a。
二、单调有界数列定理：如果数列an单调递增且有上界，则数列收敛；如果数列an单调递减且有下界，则数列收敛。
那么，什么样的数列不收敛呢？
一、发散数列，也就是说，数列不会收敛于任何一个确定的值，例如无限递增或无限递减的数列。
二、震荡数列，也就是说，数列在某一项以后会在两个或多个值之间来回波动，没有任何一项符合数列收敛的要求。
综上所述，数列的收敛与否取决于数列的极限是否存在，在满足这个条件的基础上，应用夹逼定理或单调有界数列定理能够更加准确地判断数列是否收敛。
大学微积分上册第二章两个重要极限ppt课件
8
例3.求
sin 4x lim x0 x
lim x0
2sin 2x cos2x x
lim 4sin x cosx cos2x
x0
x
lim 4sin x cosx cos2x x0 x
4
方法2 lim sin 4x lim sin 4x 4 4
x0 x
x0 4x
9
推广: lim sin 1 ( lim 0 )
1
( x)(1)
)
x x
x x
lim 1 (
1
)
x
1
x x
e1
18
例12.求
lim
x
1x
x x 1
解 lim x 1x lim 1 2 x x x 1 x x 1
lim 1
2
x2121
2
1
e2
x x 1 x 1
方法2：lim x
x 1x
x 1
(1 lim
§2.4 极限存在准则 两个重要极限
1、夹逼定理 2、两个重要极限
1
一、极限存在准则
准则1. (夹逼定理)
如果变量 x, y及 z 满足：
1. y x z 2.lim y limz A
则 lim x A
准则2
单调有界数列必收敛. 单调增有上界数列必收敛. 单调减有下界数列必收敛.
2
例1. 利用夹逼定理证明 lim 1 1 1
x
(1
1)x x 1)x
lim (1 1 )x
x
x
lim (1 1 )x
e1 e2 e
x
x
x
19
练习一下
三大收敛定理
三大收敛定理引言在数学领域，收敛是一个重要的概念。
当一个数列或函数的值越来越接近一个确定的极限值时，我们称之为收敛。
收敛定理是指一系列定理，用于判断数列或函数是否收敛以及极限的性质。
本文将介绍三大收敛定理，分别是柯西收敛准则、夹逼定理和单调有界数列定理。
这些定理是数学分析中最重要的基本定理之一。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种重要方法。
柯西收敛准则的基本思想是：如果对于任意给定的正数ε，存在一个自然数N，使得当n和m大于等于N时，数列的前n个元素和前m个元素之差的绝对值小于ε，则该数列是收敛的。
表达式表示如下：对于任意给定的ε>0，存在自然数N，对于任意n,m>N，有|an - am| < ε。
二、夹逼定理夹逼定理是用来判断函数极限的一种重要方法。
夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在某个区间上的两个函数夹住，且两个函数的极限相等，则这个函数的极限也相等。
具体的说：假设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]内定义，并且当x在这个区间上时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果当x趋于某个值c时，有lim(g(x)) = lim(h(x)) = L，则lim(f(x))也等于L。
三、单调有界数列定理单调有界数列定理是判断数列是否收敛的一种常用方法。
该定理分为两部分：单调有上界的数列必有极限，以及单调有下界的数列必有极限。
单调有上界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递增且有上界，那么这个数列是收敛的。
同理，单调有下界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递减且有下界，那么这个数列也是收敛的。
实例应用下面我们通过一个实例来应用上述三大收敛定理。
例：判断数列{(-1)^n/n}是否收敛。
首先，我们可以通过柯西收敛准则来判断数列是否收敛。
对于任意给定的ε>0，我们有：|an - am| = |(-1)^n/n - (-1)^m/m| ≤ 2/n ≤ ε。
数列与级数的收敛判别法
数列与级数的收敛判别法数列与级数是数学中常见的概念，它们在数学分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究数列与级数时，我们常常需要判断它们是否收敛，即是否存在有限的极限值。
本文将介绍几种经典的数列与级数的收敛判别法。
一、数列的收敛判别法1. 有界性判别法对于数列{an}，如果存在一个实数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立，那么数列{an}是有界的。
根据实数的确界原理，有界的数列必定存在收敛子列，因此可以推断该数列也是收敛的。
2. 单调性判别法对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an≤an+1或an≥an+1成立，即数列{an}单调递增或单调递减，那么该数列收敛的充分必要条件是{an}单调有界。
3. 夹逼定理夹逼定理是判别数列收敛性的重要工具。
设数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a。
如果数列{bn}收敛，那么它的极限必定是a。
二、级数的收敛判别法1. 正项级数判别法若级数Σan收敛，且对于任意的n，都有an≥0成立，则该级数是正项级数。
正项级数的收敛判别法有以下几个重要的定理：（1）比较判别法：若对于所有的n，都有0≤an≤bn成立，且级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛；若级数Σan发散，则级数Σbn也发散。
（2）极限判别法：若存在正数c，使得lim(an/bn)=c，则有以下几种情况：当0<c<∞时，若级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛；若级数Σan发散，则级数Σbn也发散。
当c=0时，若级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛。
当c=∞时，若级数Σan收敛，则级数Σbn发散；若级数Σan发散，则级数Σbn收敛。
（3）比值判别法：若lim(|an+1/an|)=r，其中r为非负实数，那么有以下几种情况：当r<1时，级数Σan收敛。
当r>1时，级数Σan发散。
当r=1时，级数的敛散性不确定。
2. 交错级数判别法交错级数是指级数Σ(-1)^n*an，其中an为正数。
1-4极限存在准则与两个重要的极限
sin x 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
x 0
x 0
当 0 x 时, 2
lim cos x 1, 又 lim1 1,
sin x 由夹逼准则即得： lim 1. x0 x
1 1 n 1 2 1 3, 1 3 2 n 1 1 2
数列xn有上界.
由单调有界收敛准则，知极限 lim xn 存在.
n
以数e表示, 即
1 n lim(1 ) e ( e 2.71828) n n
1 x 下面证明, 当 x ，x 时, 函数 (1 ) 的极 x
n
n
n
证 yn a,
zn a ,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
第四节 极限存在准则 与两个重要极限
一．夹逼准则
1．夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn ( n 1, 2, 3) ( 2) lim yn lim zn a,
则数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
lim n a 1
n
例 解
设 xn (1 2n 3 ) ，求 lim xn .
n
1 n n
因为
n 3 3 3 3 1 2 3 3 3
数学中的数列与级数极限判定方法
数学中的数列与级数极限判定方法数学中的数列与级数极限判定方法是数学分析中的重要概念和工具。
数列是一系列有序的数字排列，而级数是将数列中的各项进行求和得到的数值。
在数学中，我们常常需要判定数列与级数是否收敛或发散，进而研究它们的性质与行为。
本文将介绍数学中常见的数列与级数极限判定方法。
一、数列极限判定方法1. 有界性判定法：一个数列若有上界或下界，则称它是有界的。
若一个数列既有上界又有下界，则该数列有界。
当一个数列有界时，我们可以通过观察上下界来猜测它的极限。
2. 单调性判定法：若数列的前一项与后一项之间满足一定的大小关系，即前一项小于后一项或前一项大于后一项，则称该数列是单调的。
对于单调数列，我们可以通过观察其单调性来判断其极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限判定中常用的方法之一。
当一个数列同时被两个极限为相等的数列夹在中间时，夹逼定理成立。
4. 收敛数列的四则运算法则：若两个数列收敛，它们的和、差、积、商（除数不为零）仍然收敛，并且极限满足相应的运算法则。
5. 隔项相除法：当数列中的每一项都可以表示为前一项与其后一项的商时，我们可以通过隔项相除法判断数列的极限。
二、级数极限判定方法1. 比较判别法：比较判别法是判断级数敛散性的常用方法之一。
对于正项级数，我们可以通过比较级数项与已知敛散的级数项来判断级数的敛散性。
2. 极限判别法：当级数的项可以表示为某个数列的通项时，我们可以通过判别该数列的极限来判断级数的敛散性。
3. 部分和判别法：对于级数的部分和序列，我们可以通过判断其收敛性来判断级数的敛散性。
4. 交错级数的判别法：交错级数是指级数中的项交替正负的级数。
对于交错级数，我们可以通过其交错性质和项的递减性来判断其极限。
5. 绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么该级数称为绝对收敛。
如果一个级数本身收敛，但绝对值级数发散，那么该级数称为条件收敛。
通过数列与级数的极限判定方法，我们可以更好地理解数学中的数列与级数，研究它们的性质与行为。
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
夹逼定理与单调有界收敛定理
夹逼定理与单调有界收敛定理目录1夹逼定理21.1定理内容及证明 (2)1.2典型例子 (2)2单调有界收敛定理62.1定理内容及证明 (6)2.2典型例子 (6)11夹逼定理21夹逼定理1.1定理内容及证明定理1.1若数列{a n},{b n},{c n}满足条件：(1)a n≤b n≤c n；(2)limn→∞a n=limn→∞c n=A则数列{b n}极限存在，且有limn→∞b n=A证明：∀ε>0，由于limn→∞a n=limn→∞c n=A，根据极限的定义有，∃N>0，使得当n>N时，总有|a n−A|<ε,|c n−A|<ε成立，再由a n≤b n≤c n，可得A−ε<a n≤b n≤c n<A+ε从而数列{b n}极限存在，且有limn→∞b n=A1.2典型例子例1：证明：limn→∞a nn!=0证明：对于常数a，∃N1>0，使得|a|≤N1，因此，当n>N1时，有0≤a nn!=|a|1|a|2···|a|N1|a|N1+1···|a|n≤|C|n成立，由于limn→∞|C|n=limn→∞0=0根据夹逼定理，可以得到limn→∞a nn!=01夹逼定理3从而有lim n →∞a n n !=0得证。
例2：证明：limn →∞n !n n =0证明：当n >2时，有0≤n !n n =1n 2n ···n n ≤1n由于limn →∞1n =lim n →∞0=0根据夹逼定理，可以得到limn →∞n !n n =0得证。
例3：证明：lim n →∞n k a n=0(k >0,a >1)证明：令a =1+b (b >0)，当n >[k ]+1时，因为a n =(1+b )n >C [k ]+1nb [k ]+1所以0<n k a n <n k C [k ]+1n 1b [k ]+1<n k (n −[k ])[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1=n k −([k ]+1)(1−[k ]n )[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1由于lim n →∞(1−[k ]n)[k ]+1=1,lim n →∞n k −([k ]+1)=0从而有lim n →∞n k −([k ]+1)(1−[k ]n)[k ]+1([k ]+1)!b [k ]+1=0根据夹逼定理，可以得到limn →∞n ka n=0得证。
数列极限二
如果满足 an+1 ≤ an , n = 1,2,3,
则称{an}是单调减少数列.
单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列
例:
an
=
n ,n n +1
= 1,2,3,,是单调增加数列.
例: an
=
1 n
,n
= 1,2,3,,是单调减少数列.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
−a
< ε ,即lim n→∞
xn
=
a.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明lni→m∞
1+ n2 +1
1 ++ n2 + 2
1 n2 +
n
=
1
证: n = 1 + 1 ++ 1
n2 + n n2 + n n2 + n
n2 + n
< 1 + 1 ++ 1
n2 +1 n2 + 2
2
例 : 设xn
=
n
3n
+ 5n ,求 lim n→∞
xn .
证 :由于n 5n < n 3n + 5n < n 5n + 5n ,
⇒ 5 < n 3n + 5n < n 2 ⋅5n = n 2 ⋅ n 5n = 5⋅ n 2
由于 lim n n→∞
2
=
1,
故由夹逼定理知
:
lim
n→∞
极限存在两个准则
极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。
3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。
② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。
数列收敛的判定方法
且存在常数 M 使得
则数列 存在极限.
第9讲 数列收敛的判定方法——单调有界原理
推论 设数列 单调增加且有上界，即
且存在常数 m 使得
，则数列 存在极限.
单调有界原理 任何单调有界数列一定存在极限.
第9讲 数列收敛的判定方法——单调有界原理
例4（重要极限）设
n 10 2.59374246
2.70481383 2.71692393 2.71814593
证明数列 存在极限.
n 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828179
纳皮尔常数（欧拉数）
第9讲 数列收敛的判定方法——单调有界原理
例5 设
证明数列 存在极限，
且
茹科夫斯基变换
第9讲 数列收敛的判定方法——单调有界原理
定理3设 为递增数列， 为递减数列，且
则 与 均收敛，且极限相同，即
●
★
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ●● ● ●●●●● ● ●● ● ●
●
第9讲 数列收敛的判定方法——区间套定理
定理4（区间套定理）设有区间序列
(1)
;
(2)
,
则存在惟一的
.
满足
x0
第9讲 数列收敛的判定方法——区间套定理
定理1（夹逼定理）设 和 收敛到相同极限，则数列
， 且数列 收敛，且
xn
xn an yn
1
6
yn
11
16
21
26
第9讲 数列收敛的判定方法——夹逼定理
例1证明： 思考 问 k 为何值时有
例2求极限：
例3 设
为常数，证明
比较审敛法的极限形式定理
比较审敛法的极限形式定理比较审敛法是一种常用的求极限的方法，它的核心思想是将待求极限与一个已知的极限进行比较，从而确定待求极限的大小和性质。
在实际应用中，比较审敛法常常被用来证明一些重要的极限形式定理，这些定理在数学分析、微积分等领域中具有广泛的应用。
比较审敛法的极限形式定理包括三个部分：夹逼定理、单调有界定理和比较定理。
其中，夹逼定理是最基本的定理，它的表述如下：设函数序列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn（n∈N*），且lim an=lim cn=L，则lim bn=L。
夹逼定理的证明思路比较简单，主要是利用数列的单调性和有界性来推导出待求极限的存在和唯一性。
在实际应用中，夹逼定理常常被用来证明一些复杂的极限，例如：lim (1+1/n)^n=elim (n!)^(1/n)/n=elim (sin x)/x=1（x→0）除了夹逼定理之外，单调有界定理和比较定理也是比较常用的极限形式定理。
单调有界定理的表述如下：设函数序列{an}单调递增（或递减）且有界，则{an}收敛。
比较定理的表述如下：设函数序列{an}、{bn}满足an≤bn（n∈N*），且lim an=+∞，则lim bn=+∞。
这两个定理的证明思路也比较简单，主要是利用函数的单调性和有界性来推导出待求极限的存在和唯一性。
在实际应用中，单调有界定理和比较定理常常被用来证明一些特殊的极限，例如：lim (1+1/n)^n=elim (n!)^(1/n)/n=elim (sin x)/x=1（x→0）比较审敛法的极限形式定理是数学分析、微积分等领域中非常重要的工具，它们不仅可以用来求解一些复杂的极限，还可以用来证明一些重要的数学定理。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要认真掌握比较审敛法的极限形式定理，以便更好地应用它们解决实际问题。
数列极限的计算方法总结
数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。
2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。
3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。
4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。
例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。
5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。
此时极限即为数列的上界（下界）。
6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。
总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。
不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。
数列与级数的收敛问题
数列与级数的收敛问题数列与级数的收敛问题是一个重要的概念，是数学分析的核心内容之一。
数列是指数学上一列有限或无限个实数的集合，而级数是有限个数列之和所构成的数列。
它们的收敛性对于数学研究有着重要的意义。
本文将从数列和级数的定义入手，探讨它们的收敛性及相关定理。
一、数列的收敛性数列是指依次排列的一列实数，常用 ${a_n}$ 表示。
例如，${1,2,3,4,5}$ 就是一个数列。
数列的极限表示该数列在无穷远处的值，即若 ${a_n}$ 的极限为 $A$ ，则 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A$ 。
比如，${1,2,3,4,5}$ 这个数列的极限为 $\infty$ 。
数列 ${a_n}$ 的收敛性是指极限存在，即存在 $A$ ，使得$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=A$ 。
如果不存在这样的极限，就称数列 ${a_n}$ 发散。
例如，${(-1)^n}$ 是一个发散的数列。
我们可以用许多方法来判断一个数列的收敛性。
下面就介绍三种经典的方法：1. 夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的方法。
它的核心思想是通过两个已知的数列，夹住待求的数列，进而得出该数列的极限。
具体来说，设 $a_n\le b_n\le c_n$，如果 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty} c_n=A$ ，则 $\lim_{n\rightarrow\infty} b_n=A$。
例如，数列 ${\frac{1}{n}}$ 显然是一个收敛的数列，其极限为$0$。
现在考虑数列 ${\frac{1}{n^2}}$，要判断它是否收敛。
我们可以夹住这个数列：$$0\le\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n}$$显然，当 $n$ 趋向于无穷大时，左右两边的极限都是 $0$。
因此，这个数列的极限也是 $0$。
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则 lim bn 存在，且 lim bn a ．
n n
例 1 求极限 lim ( x 1 x 2) ．
x
解因为
0 x 1 x 2
3 x 1 x 2
≤
3 x
，
且 lim
3 x
x
0 ，所以 lim ( x 1 x 2)=0 ．
【本讲总结与下讲预告】 本讲介绍了判断极限存在的夹逼定理， 如何做适当放大和适当缩小是正确运用夹逼定理 的关键。通过练习，要了解常用的放缩方式，逐步地掌握夹逼定理及其应用。下一讲将介绍 判断极限存在另一个重要方法，即单调有界收敛定理。
例 5 证明： lim
an 0． n n !
证对于实数 a ，存在正整数 N ，满足 N ≤ a ≤ N 1 ． 当 n N 时，有
0≤ a a a a a a C an ． n! 1 2 N N 1 n 1 n n
又 lim
an C an 0 ，即 lim 0 ，所以 lim 0． n n ! n n n n !
x
1
例 2 已知 0 a b ，求极限 lim(a n bn ) n ．
n
解因为
a n a n (a b ) =(b ) ( )n 1) b ( )n 1) ， b b
n 1 n n 1 n n 1 1
且0
a 1 ，所以 b
1 1
b (a n b n ) n b2 n ．
又因为 lim b b ， lim b2 n b ，所以
n
n
1
lim(a n bn ) n b ．
n
1
1 例 3 求极限 lim x ，其中 [] 是取整函数符号． x 0 x
解根据取整函数的定义，对任意的 x 0 ，有
1 1 x x ≥ 1 ，且 lim (1 x) 1 ， lim 1 1 ， x 0 x 0 x 1 所以 lim x 1 ． x 0 x 1 根据极限与左、右极限的关系，得 lim x 1 ． x 0 x n k 例 4 求极限 lim 2 ． n k 1 n k
解因为
n2 k n2 n 2
k 1 k 1
n
k
n
k
1 n(n Leabharlann 1) 1 ， n2 n 21 1 n k k 1 n(n 1) ， n2 k n2 1 2 n2 1 n 1 k 1 k 1 2 2 n
n
1 n k 1 n 1 ，所以 lim 且 lim ． 2 n 1 2 n 2 n k k 1 2 2 n 1
因为 f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) ，所以当 0 x x0 时，有
A f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) A ．
故 lim g ( x) A ．
x x0
函数极限的其他情形及数列极限都有类似的结论． 定理 14 若数列 an , bn , cn 满足条件： （1）夹条件： an ≤ bn ≤ cn ； （2）逼条件： lim an lim cn a ，
x x0 x x0
x
则 lim g ( x) 存在，且 lim g ( x) A ．
x x0 x x0
证对任意的正数 ，因为
x x0
lim f ( x) lim h( x) A ，
x x0
所以存在正数 ，使得当 0 x x0 时，有
A f ( x) A ， A h( x) A ．
§ 1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
一、 夹逼定理 【导语】
夹逼定理是极限理论中的一个重要结论， 是微积分中判断极限存在的基本方法之一． 正
sin x 1 是有了夹逼定理， 才能得到微积分中的两个重要极限的值， 即 lim 1 和 lim 1 e ， x x 0 x x
进而得到了 (sin x) cos x ， (e x ) e x 等基本导数公式。本讲将介绍夹逼定理的具体内容， 及利用夹逼定理求极限的具体问题。 【正文】 定理 13 设函数 f ( x), g ( x), h( x) 在 x0 的某去心邻域内有定义，且满足： （1）夹条件： f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) ； （2）逼条件： lim f ( x) lim h( x) A ，
1 1 1 1 ≤ ． x x x
当 x 0 时，由于
1 1 x x ≤ 1 ，且 lim (1 x) 1 ， lim 1 1 ， x 0 x 0 x 1 所以 lim x 1 ． x 0 x
当 x 0 时，由于