全等三角形的判定教案学案含答案

(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
注意：用作图的方法证明边边角和角角角判定的不可行性，注意证三角形全等时切忌不可以用它，这也是一个易错点。
2.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
解： 的度数为
证明过程如下：
如图过点 作 的垂线 ，使 ，连接 、 ，
于是因为 且 ，所以四边形 是平行四边形．
从而 ，
又因为 ，得到 ，进而在 与 中，
，
所以 ，
这样 ，而 ，
所以 ．
又因为 ，
所以得到 是一个等腰直角三角形，
所以 ，利用 ，从而得到 ．
例12：如图， 是 的内心，且 ．若 ，求 和 的大小．
∴ ，∴ ，∴
例6：如图， ，垂足分别为 ，试说明
解：因为 (已知)，所以 ，因为 ，所以 (直角三角形两锐角互余).所以 (同角的余角相等).因为 ， (已知)，所以 (垂直的定义).在 和 中， ，所以 ,所以 ， (全等三角形的对应边相等)，所以
.所以
例7：如图，设 和 都是正三角形，且 ，则 的度数是( )
解：解法一：如图，连结 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
在 与 中， ， 公共， ，
∵ ， ．
∵ ， ．
∴ ．∴ ．
解法二：连结 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
例11：( 年全国初中数学联赛天津赛区) 中， ， 为 上一点，使得 ， 为 上一点，使得 ，连 、 交于 点．试求 的度数，并写出你的推理证明的过程．
解：⑴△ABC与△AEG面积相等.理由：
过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，
则∠AMC＝∠ANG＝90°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，AC＝AG，
∴∠BAC+∠EAG＝180°，
∵∠EAG+∠GAN＝180°，
∴∠BAC＝∠GAN，
教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
课题
11.2全等三角形的判定
授课日期及时段
教学目标
1.全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；
2.全等三角形的判定及证明；
3.全等三角形的综合应用。
重点、难点
1.全等三角形的判定方法和全等三角形的综合应用
2.根据条件，恰当地选择判定方法，寻求简捷的证明途径
∴△ACM≌△AGN，
∴CM＝GN.
∵S△ABC＝ AB×CM，S△AEG＝ AE×GN，
∴S△ABC＝S△AEG.
（2）解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，
∴这条小路的面积为(a+2b)平方米.
例10.如图， 中， ， ， 是 上一点，且 ， 交 于 点．
求证： ．
教学内容
一、知识梳理
1.全等三角形的判定方法：
(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
∴
∴
例9：（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判
断ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？
例3：如图， ， ， ．求证： ．
解：∵ ，∴
∵ ，
∴
又∵
∴
∴
∴
即
例4：已知：如图， 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ， ．求证： ．
解：∵ ，∴ ，∴
在 与 中
∴ ∴ ，
∴ ∴ ∴ 。
例5：如图， 相交于点 ， ， 、 为 上两点， ， ．求证： ．
解：∵ ，∴
在 和 中
∴ ，∴
∵ ，∴
在 和 中
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．
⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
二、例题讲解
例1：要使下列各对三角形全等，请填写需要增加的条件。
AB=CD,AC=CA, BC=CB,BD=CA
, , ,AB=DE,
易错点：判定三角形全等时，忽视“对应相等”而导致错误。
例2：如图， , , 是 和 的公共边，所以就可以判定 ，你认为正确吗？为什么？
解：不正确，这是因为“角角边”判定两个三角形全等时，这两个角与一边不是仅仅“相等”就可以了，而必须是“对应相等”。
A． B． C． D．
分析既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．
解：易知 ， ，于是 ，
从而 ．
注意到 ， ，
，可算出 ，选B．
例8：在凸五边形中， ， ， ， 为 中点．求证： ．
解：延长 ， ，交直线 于 ， ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴在 与 中
∴
∴ ． ．
∴
∵
∴
∴在 与 中
∴
3.判定三角形全等的基本思路：
。
4.全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
5.由全等可得到的相关定理：
⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．
解：因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决．
如图，在 上取点 ，使 ，连接 ．
因为 ，
所以 ．
在 和 中，
， ， ．
所以 ．
于是 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ， ．
又 是等腰 的外角，
所以 ， ．
在 中， ， ，
所以 ．
例13：已知： 是 的高，点 在 的延长线上， ，点 在 上，
，求证：⑴ ；⑵ ．
解：如图，设 交 于 ．
⑴由 ， ，知
．
而 ，
故 ．
由已知，有 ， ，从而 ，
即有 ．
⑵由⑴可得 ，而
．
． 从而可得 ，即 ．
二、课后练习
一、选择题
1.三角形中到三边距离相等的点是（）
A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点