高阶线性微分方程59128 课件
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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
高阶线性微分方程
3x
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
《高阶微分方程》PPT课件
y yc y .
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
《高阶微分方程》课件
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通 过示例进行解释。
应用实例
1
高阶微分方程在物理学中的应用
探索高阶微分方程在物理学领域的重要应用，如运动学和波动理论。
2
高阶微分方程在工程学中的应用
揭示高阶微分方程在工程学中的实际应用案用领域
二阶微分方程的解法
1
常系数二阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数二阶齐次微分方程，并提供实际案例。
2
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通过示例进行说明。
n阶微分方程的解法
常系数n阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数n阶齐次微分方程，并提 供实例证明。
概述高阶微分方程对数学和科学领域的重要性，以及它们在解决实际问题中的广泛应用。
引导学生继续深入学习高等数学相关课程
鼓励学生进一步学习高等数学中与微分方程相关的更高级和复杂的主题和技巧。
《高阶微分方程》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探讨高阶微分方程的基础知识，包括二阶微分方 程的定义、常系数二阶齐次微分方程和非齐次线性微分方程等。
导言
二阶微分方程的定义
介绍二阶微分方程的基本概 念和特点。
常系数二阶齐次微分方 程
介绍常系数二阶齐次微分方 程的解法和示例。
非齐次线性微分方程
探讨非齐次线性微分方程的 求解方法和相关应用。
可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构PPT课件
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例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
第10页/共24页
第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
11
第11页/共24页
y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
第17页/共24页
y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
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4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
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第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
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y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
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y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
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4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
微分方程PPT(罗兆富等编)第四章 高阶线性常微分方程
在(－∞,＋∞)上恒成立. 因此,这两个函数是已知方程的两 个线性无关解, 即是一基本解组, 故该方程的通解可写为
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
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11
结束
y( x) C1 cos x C2 sin x
y ( n ) a1 ( x) y (n1) a2 ( x ) y (n 2) an 1 (x ) y an (x )y f (x )
(4.1.01) 其中系数函数 a1 ( x), a2 ( x),, an ( x)和自由项f(x)都是区间I
上的连续函数.
2
机线性方程(4.1.05)的通解.
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
基本定理!
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■
10
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方程(4.1.05)的基本定理又可叙述为: 齐次线性常微 分方程(4.1.05)的通解等于它的基本解组的线性组合.
5
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二、n 阶齐次线性常微分方程的一般理论 显然, n阶齐次线性常微分方程(4.1.05)等价于一阶齐 次线性常微分方程组
dY A( x)Y dx
(4.1.06)
所以一阶齐次线性常微分方程组解的理论都可移植到高 阶齐次线性常微分方程上来. 为此,我们先给出函数组线 性相关的概念. 定义1. 对于定义在区间I上的函数组 1 ( x), 2 ( x),, n ( x ), 如果存在一组不全为零的常数a , a ,…, a , 使得 1 2 n a11 ( x) a22 ( x) ann ( x) 0 (4.1.07) 在区间I上恒成立, 则称 1 ( x), 2 ( x),, n ( x) 区间I上线性 6 相关. 否则称之为线性无关.
第十四讲(1) 高阶线性微分方程
的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常 微 分 方 程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
高阶线性微分方程
6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常 微 分 方 程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式 ，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
高阶线性微分方程
(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2
x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常 微 分 方 程
x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
高阶线性微分方程
3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;
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第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2y dx2 ?
P(x) dy ? Q(x) y dx
?
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x ) ? 0时， ) ? 0时， 二阶线性 非齐次微分方程
y(n ) ? P1( x ) y(n?1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ) n 阶 线性 微分方程
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0,
则称这n个函数在区间 I内 线性相关 ,否则称 线性无关 .
如 1，cos2 x , sin 2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性相关
e x，e ? x , e2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性无关
取k1 ? 1, k 2 ? k3 ? ? 1, 有恒等 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 0
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 设y? 是二阶非齐次线性微分方程
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通解, 那么y ? Y ? y? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的 通解.
解 y??? y ? 0 的通解是 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn
再考虑两个方程 y??? y ? x , y??? y ? e x
y1?
?
x,
y
? 2
?
1 e x分别是原方程的特解 . 2
所以原方程的通解为
y ? Y ? y?
?
C1 cos x
?
C2 sin
x
?
x
?
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
所以 y1 ? y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题 12.4(337 页） 1. 2. 3.
12
思考题
已 y1 ? 3, 知y2 ? 3 ? x 2 , y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
( x 2 ? 2x ) y??? ( x 2 ? 2) y?? (2x ? 2) y ? 6x ? 6
4
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x ) ? 常数,
y2( x ) 则函数 y1( x )与y2( x )在I上 线性无关 . 定理2 如果函数 y1( x )与 y2( x )是方程 (1)的两
线性无关 的特解,那末 y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )
的特解 . 证 设y1 , y2是 非齐次线性方程的两个特解 , 则
y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ? f ( x ) (1)
y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ? f ( x ) (2)
(1) ? (2)得
( y1 ? y2 )??? P( x )( y1 ? y2 )?? Q( x )( y1 ? y2 ) ? 0
? y ? Y ? y?
? C1 cos x ? C2 si xn ? x 2 ? 2
是非齐次方程的通解 .
8
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x )是几个
之和, 如y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 1( x ) ? f 2 ( x )
而y1?与y2?分别是
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f1( x )
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 2 ( x )
的特解 , 则 y1? ? y2? 就是原方程的特解 .
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到 n 阶非齐次线性方程 .
9
例 求解 y??? y ? x ? e x
y(n ) ? P1 ( x ) y(n?1) ? ? ? Pn ?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? 0
的n 个线性无关的解 , 则此方程的通解为
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2 ( x ) ? ? ? Cn yn ( x )
其中 C1,C2 ,? Cn 为任意常数 .
6
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0
(1)
定理1 如果函数 y1( x )与y2 ( x )是方程(1)的两个 ,
那末y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )也是(1)的 解,(C1 ,C2是常数 ).
证 [C1 y1??? C2 y?2?] ? P( x )[C1 y1?? C2 y2?]
为了求非齐次线性方程的通解 , 只要求得 : 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解 .
7
如 方程 y??? y ? x 2 是二阶非齐次线性方程
已知 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn 是对应齐次方程
y??? y ? 0 的通解. 又容易验证
y? ? x 2 ? 2 是所给方程的一个特解 .
也是(1)的 通解.
为了求 齐次线性方程的通解 , 只要求它的两个线性无关的特解 .
如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且
y2 y1
?
tan
x
?
常数 ,
通解 y ?
C1 cos x ? C2 s
ixn.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程 . 推论 如果函数 y1( x ), y2 ( x ),? yn ( x ) 是n 阶齐次 线性方程
理原加叠
? Q( x )[C1 y1 ? C2 y2 ]
? C1[ y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ]? C2[ y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ]
?0
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x ) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,? , yn为定义在区间 I内的n个函数. 如果存在 n个不全为零的常数 ,使得当x在该区间内 恒等式成立
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2y dx2 ?
P(x) dy ? Q(x) y dx
?
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x ) ? 0时， ) ? 0时， 二阶线性 非齐次微分方程
y(n ) ? P1( x ) y(n?1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ) n 阶 线性 微分方程
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0,
则称这n个函数在区间 I内 线性相关 ,否则称 线性无关 .
如 1，cos2 x , sin 2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性相关
e x，e ? x , e2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性无关
取k1 ? 1, k 2 ? k3 ? ? 1, 有恒等 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 0
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 设y? 是二阶非齐次线性微分方程
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通解, 那么y ? Y ? y? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的 通解.
解 y??? y ? 0 的通解是 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn
再考虑两个方程 y??? y ? x , y??? y ? e x
y1?
?
x,
y
? 2
?
1 e x分别是原方程的特解 . 2
所以原方程的通解为
y ? Y ? y?
?
C1 cos x
?
C2 sin
x
?
x
?
1ex 2
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3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
所以 y1 ? y2 是齐次方程的解.
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作业
习题 12.4(337 页） 1. 2. 3.
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思考题
已 y1 ? 3, 知y2 ? 3 ? x 2 , y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
( x 2 ? 2x ) y??? ( x 2 ? 2) y?? (2x ? 2) y ? 6x ? 6
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y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x ) ? 常数,
y2( x ) 则函数 y1( x )与y2( x )在I上 线性无关 . 定理2 如果函数 y1( x )与 y2( x )是方程 (1)的两
线性无关 的特解,那末 y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )
的特解 . 证 设y1 , y2是 非齐次线性方程的两个特解 , 则
y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ? f ( x ) (1)
y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ? f ( x ) (2)
(1) ? (2)得
( y1 ? y2 )??? P( x )( y1 ? y2 )?? Q( x )( y1 ? y2 ) ? 0
? y ? Y ? y?
? C1 cos x ? C2 si xn ? x 2 ? 2
是非齐次方程的通解 .
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y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x )是几个
之和, 如y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 1( x ) ? f 2 ( x )
而y1?与y2?分别是
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f1( x )
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 2 ( x )
的特解 , 则 y1? ? y2? 就是原方程的特解 .
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到 n 阶非齐次线性方程 .
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例 求解 y??? y ? x ? e x
y(n ) ? P1 ( x ) y(n?1) ? ? ? Pn ?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? 0
的n 个线性无关的解 , 则此方程的通解为
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2 ( x ) ? ? ? Cn yn ( x )
其中 C1,C2 ,? Cn 为任意常数 .
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2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0
(1)
定理1 如果函数 y1( x )与y2 ( x )是方程(1)的两个 ,
那末y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )也是(1)的 解,(C1 ,C2是常数 ).
证 [C1 y1??? C2 y?2?] ? P( x )[C1 y1?? C2 y2?]
为了求非齐次线性方程的通解 , 只要求得 : 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解 .
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如 方程 y??? y ? x 2 是二阶非齐次线性方程
已知 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn 是对应齐次方程
y??? y ? 0 的通解. 又容易验证
y? ? x 2 ? 2 是所给方程的一个特解 .
也是(1)的 通解.
为了求 齐次线性方程的通解 , 只要求它的两个线性无关的特解 .
如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且
y2 y1
?
tan
x
?
常数 ,
通解 y ?
C1 cos x ? C2 s
ixn.
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定理2 可推广到n 阶齐次线性方程 . 推论 如果函数 y1( x ), y2 ( x ),? yn ( x ) 是n 阶齐次 线性方程
理原加叠
? Q( x )[C1 y1 ? C2 y2 ]
? C1[ y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ]? C2[ y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ]
?0
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x ) 一定是通解
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定义 设y1, y2 ,? , yn为定义在区间 I内的n个函数. 如果存在 n个不全为零的常数 ,使得当x在该区间内 恒等式成立