高阶线性微分方程59128 课件
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y(n ) ? P1 ( x ) y(n?1) ? ? ? Pn ?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? 0
的n 个线性无关的解 , 则此方程的通解为
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2 ( x ) ? ? ? Cn yn ( x )
其中 C1,C2 ,? Cn 为任意常数 .
6
? y ? Y ? y?
? C1 cos x ? C2 si xn ? x 2 ? 2
是非齐次方程的通解 .
8
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x )是几个
之和, 如y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 1( x ) ? f 2 ( x )
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0
(1)
定理1 如果函数 y1( x )与y2 ( x )是方程(1)的两个 ,
那末y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )也是(1)的 解,(C1 ,C2是常数 ).
证 [C1 y1??? C2 y?2?] ? P( x )[C1 y1?? C2 y2?]
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2y dx2 ?
P(x) dy ? Q(x) y dx
?
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x ) ? 0时， 二阶线性 齐次微分方程
当 f ( x ) ? 0时， 二阶线性 非齐次微分方程
y(n ) ? P1( x ) y(n?1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ) n 阶 线性 微分方程
为了求非齐次线性方程的通解 , 只要求得 : 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解 .
7
如 方程 y??? y ? x 2 是二阶非齐次线性方程
已知 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn 是对应齐次方程
y??? y ? 0 的通解. 又容易验证
y? ? x 2 ? 2 是所给方程的一个特解 .
理原加叠
? Q( x )[C1 y1 ? C2 y2 ]
? C1[ y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ]? C2[ y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ]
?0
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x ) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,? , yn为定义在区间 I内的n个函数. 如果存在 n个不全为零的常数 ,使得当x在该区间内 恒等式成立
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 设y? 是二阶非齐次线性微分方程
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通解, 那么y ? Y ? y? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的 通解.
4
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x ) ? 常数,
y2( x ) 则函数 y1( x )与y2( x )在I上 线性无关 . 定理2 如果函数 y1( x )与 y2( x )是方程 (1)的两
线性无关 的特解,那末 y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0,
则称这n个函数在区间 I内 线性相关 ,否则称 线性无关 .
如 1，cos2 x , sin 2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性相关
e x，e ? x , e2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性无关
取k1 ? 1, k 2 ? k3 ? ? 1, 有恒等 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 0
而y1?与y2?分别是
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f1( x )
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 2 ( x )
的特解 , 则 y1? ? y2? 就是原方程的特解 .
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到 n 阶非齐次线性方程 .
9
例 求解 y??? y ? x ? e x
也是(1)的 通解.
为了求 齐次线性方程的通解 , 只要求它的两个线性无关的特解 .
如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且
y2 y1
?
tan
xHale Waihona Puke Baidu
?
常数 ,
通解 y ?
C1 cos x ? C2 s
ixn.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程 . 推论 如果函数 y1( x ), y2 ( x ),? yn ( x ) 是n 阶齐次 线性方程
的特解 . 证 设y1 , y2是 非齐次线性方程的两个特解 , 则
y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ? f ( x ) (1)
y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ? f ( x ) (2)
(1) ? (2)得
( y1 ? y2 )??? P( x )( y1 ? y2 )?? Q( x )( y1 ? y2 ) ? 0
解 y??? y ? 0 的通解是 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn
再考虑两个方程 y??? y ? x , y??? y ? e x
y1?
?
x,
y
? 2
?
1 e x分别是原方程的特解 . 2
所以原方程的通解为
y ? Y ? y?
?
C1 cos x
?
C2 sin
x
?
x
?
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
所以 y1 ? y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题 12.4(337 页） 1. 2. 3.
12
思考题
已 y1 ? 3, 知y2 ? 3 ? x 2 , y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
( x 2 ? 2x ) y??? ( x 2 ? 2) y?? (2x ? 2) y ? 6x ? 6
的n 个线性无关的解 , 则此方程的通解为
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2 ( x ) ? ? ? Cn yn ( x )
其中 C1,C2 ,? Cn 为任意常数 .
6
? y ? Y ? y?
? C1 cos x ? C2 si xn ? x 2 ? 2
是非齐次方程的通解 .
8
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x )是几个
之和, 如y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 1( x ) ? f 2 ( x )
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0
(1)
定理1 如果函数 y1( x )与y2 ( x )是方程(1)的两个 ,
那末y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )也是(1)的 解,(C1 ,C2是常数 ).
证 [C1 y1??? C2 y?2?] ? P( x )[C1 y1?? C2 y2?]
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2y dx2 ?
P(x) dy ? Q(x) y dx
?
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x ) ? 0时， 二阶线性 齐次微分方程
当 f ( x ) ? 0时， 二阶线性 非齐次微分方程
y(n ) ? P1( x ) y(n?1) ? ? ? Pn?1 ( x ) y?? Pn ( x ) y ? f ( x ) n 阶 线性 微分方程
为了求非齐次线性方程的通解 , 只要求得 : 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解 .
7
如 方程 y??? y ? x 2 是二阶非齐次线性方程
已知 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn 是对应齐次方程
y??? y ? 0 的通解. 又容易验证
y? ? x 2 ? 2 是所给方程的一个特解 .
理原加叠
? Q( x )[C1 y1 ? C2 y2 ]
? C1[ y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ]? C2[ y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ]
?0
y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x ) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,? , yn为定义在区间 I内的n个函数. 如果存在 n个不全为零的常数 ,使得当x在该区间内 恒等式成立
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 设y? 是二阶非齐次线性微分方程
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f ( x ) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程 (1)的通解, 那么y ? Y ? y? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的 通解.
4
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x ) ? 常数,
y2( x ) 则函数 y1( x )与y2( x )在I上 线性无关 . 定理2 如果函数 y1( x )与 y2( x )是方程 (1)的两
线性无关 的特解,那末 y ? C1 y1( x ) ? C2 y2( x )
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0,
则称这n个函数在区间 I内 线性相关 ,否则称 线性无关 .
如 1，cos2 x , sin 2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性相关
e x，e ? x , e2 x ( x ? (?? ,?? )) 线性无关
取k1 ? 1, k 2 ? k3 ? ? 1, 有恒等 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 0
而y1?与y2?分别是
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f1( x )
y??? P( x ) y?? Q( x ) y ? f 2 ( x )
的特解 , 则 y1? ? y2? 就是原方程的特解 .
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到 n 阶非齐次线性方程 .
9
例 求解 y??? y ? x ? e x
也是(1)的 通解.
为了求 齐次线性方程的通解 , 只要求它的两个线性无关的特解 .
如 y??? y ? 0, y1 ? cos x , y2 ? sin x ,
且
y2 y1
?
tan
xHale Waihona Puke Baidu
?
常数 ,
通解 y ?
C1 cos x ? C2 s
ixn.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程 . 推论 如果函数 y1( x ), y2 ( x ),? yn ( x ) 是n 阶齐次 线性方程
的特解 . 证 设y1 , y2是 非齐次线性方程的两个特解 , 则
y1??? P( x ) y1?? Q( x ) y1 ? f ( x ) (1)
y2??? P( x ) y2? ? Q( x ) y2 ? f ( x ) (2)
(1) ? (2)得
( y1 ? y2 )??? P( x )( y1 ? y2 )?? Q( x )( y1 ? y2 ) ? 0
解 y??? y ? 0 的通解是 Y ? C1 cos x ? C2 s ixn
再考虑两个方程 y??? y ? x , y??? y ? e x
y1?
?
x,
y
? 2
?
1 e x分别是原方程的特解 . 2
所以原方程的通解为
y ? Y ? y?
?
C1 cos x
?
C2 sin
x
?
x
?
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
所以 y1 ? y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题 12.4(337 页） 1. 2. 3.
12
思考题
已 y1 ? 3, 知y2 ? 3 ? x 2 , y3 ? 3 ? x 2 ? e x
都是微分方程
( x 2 ? 2x ) y??? ( x 2 ? 2) y?? (2x ? 2) y ? 6x ? 6