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几阶函数的导数与原函数有何关系？

几阶函数的导数与原函数有何关系？一、导数与原函数的概念在学习微积分的过程中，我们经常会接触到导数和原函数这两个概念。

导数描述了函数在某一点变化的速度，而原函数则与导数相反，描述了函数变化的趋势。

那么，几阶函数的导数与原函数又有何关系呢？我们来一探究竟。

二、一阶函数的导数与原函数对于一阶函数而言，导数和原函数的关系比较简单直接。

一阶函数的导数即为函数的斜率，而原函数则是导数的积分。

换句话说，如果我们已知一个函数的导数，那么可以通过积分求出原函数。

反之亦然，如果我们已知一个函数的原函数，那么我们可以通过求导得到该函数的导数。

这种一一对应的关系使得我们可以在求解问题时相互转化，简化计算过程。

三、高阶函数的导数与原函数当我们将注意力转向高阶函数时，导数和原函数的关系就变得更加复杂了。

高阶函数的导数可以通过多次求导得到，而原函数则是导数的积分。

这种多次求导和积分的过程需要我们根据具体函数的形式，采取相应的方法来求解。

不同阶数的导数和原函数之间的关系也更加多样化，需要我们深入探究。

四、导数与原函数的对称性在某些情况下，导数和原函数之间存在着一种有趣的对称性。

比如，对于奇函数而言，它的导数是偶函数，而原函数则是具有关于坐标轴对称性的函数。

这种对称性的存在使得我们在处理问题时能够更加简化计算，找到更有效的方法。

五、导数与原函数的应用导数和原函数不仅仅是微积分学的基础概念，它们在实际应用中也有着重要的作用。

例如，在物理学中，速度和加速度之间的关系可以通过导数和原函数来描述；在经济学中，边际效应和总效应之间的关系也可以用导数和原函数来解释。

因此，深入理解导数和原函数之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

六、结语综上所述，几阶函数的导数与原函数之间存在着复杂而有趣的关系。

通过求导和积分，我们可以在导数和原函数之间进行转换，并且在实际问题中应用它们。

因此，学习和理解导数和原函数的关系是建立数学基础的重要一步。

原创§原函数与导函数的关联 ppt课件

2
法2：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数
又因曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f / (1) 1
故曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f /(1)1
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三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用：一导本身即斜率增大减小○驻点二导本身是曲率大凹小凸○拐点
kf /(x0)yx00
y1 x1
y0 k x0 b
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1 )
y0 f (x0)
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3
导数的几何意义
2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率大凹小凸○拐点
如果f(x)在[a,b]上连,续在(a,b)内具有二阶导,若数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f(1)) 处的切线的斜率为_________ 法1：令 f ( x) x 2 ,则 f / (x) x ,即 kf/(1)1
【A】
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y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
f(x)递增 y 0
o
a f(x)递
减
y
b 0
x
f(x)递减 y 0

导数反推原函数公式

导数反推原函数公式在这个过程中，我们首先需要理解导数和原函数的关系。

导数可以理解为一个函数的变化率，它告诉我们函数在每个点上的斜率（即切线的斜率），也就是函数变化的速度。

而原函数则是函数的积分，可以理解为对导数的逆运算。

对于一个函数f(x)来说，如果它在一些区间上存在原函数F(x)，那么F'(x)=f(x)。

也就是说，F'(x)就是f(x)的导数。

因此，导数反推原函数的公式就是根据这个关系而来的。

下面可以通过一个具体的例子来说明导数反推原函数的过程。

假设我们要求函数f(x)=x²的原函数。

我们可以首先确定f(x)的导数是多少，然后根据导数的定义反推原函数。

首先，对于f(x)=x²，我们可以直接使用求导法则得到它的导函数。

f'(x)=2x根据导数反推原函数的公式，我们需要反求F(x)，使得F'(x)=f(x)。

也就是要找到F(x)，使得F'(x)=2x。

我们可以根据求导的逆运算来进行求解。

对于导数为2x的函数F(x)，可以通过积分来得到它的原函数。

∫2x dx = x² + C其中C是一个常数，表示积分常数。

因为对于同一个函数而言，不同的原函数只相差一个常数项。

因此，我们可以将其简化为：F(x)=x²+C这就是原函数f(x)=x²的一个解，即F(x)=x²+C。

在这个过程中，我们通过求导的逆运算（即积分）反推出了f(x)的原函数。

通过这个简单的例子，我们可以看出导数反推原函数的过程。

具体而言，我们需要先确定函数的导数，然后通过求导的逆运算（即积分）来反推出原函数的表达式。

需要注意的是，积分过程中由于不知道原函数F(x)与常数项C之间的具体关系，因此我们需要加入一个常数项C，来表示任意的常数解。

对于更复杂的函数，我们同样可以使用导数反推原函数的方法来求解。

但是由于导数和原函数的关系比较复杂，这个过程可能会比较繁琐。

原函数与二阶导函数的关系

原函数与二阶导函数的关系
原函数和它的二阶导函数之间有着密切的关系。

对于函数 y = f(x)，其二阶导函数为 y'' = f''(x)。

当 f''(x) > 0，则函数 y = f(x) 在该点是凹函数，即具有下凹形状。

当 f''(x) < 0，则函数 y = f(x) 在该点是凸函数，即具有上凸形状。

当 f''(x) = 0，则函数 y = f(x) 在该点是平函数，即具有平凡形状。

另外，二阶导函数也可以用来判定函数的单调性，如果二阶导函数在整个定义域内都是正数，那么原函数就是下凹函数，即单调递增，反之就是下凸函数，即单调递减，如果在整个定义域内都是0，则原函数是常函数。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册疑难突破〖导函数与原函数图象的关系〗

导函数与原函数图象的关系
讲解
1．利用导函数的正负研究原函数图象的变化时，要遵循“符号为正，图象上升；符号为负，图象下降”的原则．导函数图象在轴的上方或下方，确定导函数的正或负．解决问题时，一定要分清是原函数图象还是导函数图象．
2．“导函数的正负看（原函数）增减；绝对值大小定快慢”．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”．
例题
（1）f′（）是函数f（）的导函数，＝f′（）的图象如图所示，则＝f（）的图象最有可能是下列选项中的（）
A B C D
（2）已知＝f′（）的图象如图所示（其中f′（）是函数f（）的导函数），则所给四个选项中，＝f（）的图象大致是（）
A B
C D
思路点拨
找出f′（）的零点—→判断f′（）图象在轴上方或下方—→确定f（）的单调区间—→利用排除法得解．
解析（1）当∈（－∞，0）时，导函数图象在轴的上方，表示在此区间上原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D．当∈（0，2）时，导函数图象在轴的下方，表示在此区间上原函数的图象呈下降趋势，可排除A．故选C．
（2）当0＜＜1时，f′（）＜0，∴f′（）＜0，∴f（）在（0，1）上为减函数，∴A、B错误；当＞1时，f′（）＞0，∴f′（）＞0，∴＝f（）在（1，＋∞）上为增函数，∴D 错误．故选C．
答案（1）C （2）C
名师点睛将题目改为由＝f（）的图象判断f′（）的图象，思维方式正好相反，由原函数图象的单调性确定导函数的正负，进而得到导函数的图象在轴的上方还是下方，最后选择适当的图象，解题时防止图象看错导致解题错误．。

导数的最大值与原函数的最大值大小关系

导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。

对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。

这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。

二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。

也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。

2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。

这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。

在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。

三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。

也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。

2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。

这个点就是函数的最高点或者最大点。

在这个点上，函数的取值达到了最大值。

四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。

通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。

同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。

2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。

某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。

这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。

五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。

然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。

导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。

导函数与原函数对称性的联系

导函数与原函数对称性的联系反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。

什么是原函数未知函数f(x)就是一个定义在某区间的函数，如果存有可微函数f(x)，使在该区间内的任一点都存有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就表示函数f(x)为函数f(x)的原函数。

例如：sinx是cosx的原函数。

什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。

反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。

通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。

存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。

特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。

①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。

②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。

③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：⑤单调函数必存有反函数。

⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。

⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。

函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。

原函数的导数与反函数的导数的关系

原函数的导数与反函数的导数的关系导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。

在实际问题中，我们往往需要求解函数的导数，以了解函数的特性和性质。

而对于原函数和反函数，它们之间存在着一种特殊的关系，即它们的导数之间存在着一种对称性，这种对称性在微积分中具有重要的意义。

本文将探讨原函数的导数与反函数的导数的关系，以及这种关系在实际问题中的应用。

一、原函数与导数的关系在微积分中，原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。

也就是说，如果一个函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。

这种关系可以用以下符号来表示：F(x)=∫f(x)dx其中，∫表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。

对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以用以下公式来计算：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示极限运算符，h表示一个趋近于0的数。

通过求解一个函数的导数，我们可以了解这个函数在不同点的斜率和变化率。

例如，对于一个函数f(x)，如果它的导数f'(x)在某个点x0处为正数，那么说明f(x)在x0处是单调递增的；如果f'(x)在x0处为负数，那么说明f(x)在x0处是单调递减的；如果f'(x)在x0处等于0，那么说明f(x)在x0处有一个极值点。

二、反函数与导数的关系反函数是指如果一个函数g(x)满足以下条件：g(f(x))=x那么g(x)就是f(x)的反函数。

例如，对于函数f(x)=2x+1，它的反函数是g(x)=(x-1)/2。

对于一个函数f(x)，如果它存在反函数g(x)，那么g(x)的导数g'(x)可以用以下公式来计算：g'(x)=1/f'(g(x))这个公式可以用以下方法来推导：假设g(x)是f(x)的反函数，那么有：f(g(x))=x对两边求导数，得到：f'(g(x))g'(x)=1将上式变形，得到：g'(x)=1/f'(g(x))这个公式表明，如果我们知道一个函数f(x)在某个点x0处的导数f'(x0)，那么可以通过反函数g(x)来计算f(x)在g(x0)处的导数g'(x0)。

导数的零点是原函数的极值点

导数的零点是原函数的极值点
关于导数的零点和原函数的极值点之间的关系，我们可以从数学的角度进行解释。

首先，我们知道如果一个函数在某点的导数为零，那么这个点就是函数的驻点。

如果这个驻点是函数的极值点，那么我们可以得出结论，导数的零点是原函数的极值点。

这个结论是基于导数的定义和极值点的性质得出的。

在微积分中，我们知道如果一个函数在某点的导数为零，那么这个点可能是函数的极大值点、极小值点或拐点。

因此，导数为零是判断极值点的一个重要条件。

另外，根据费马定理，如果一个函数在某点取得极值，那么在这个点处的导数必定为零。

这意味着，导数的零点是原函数可能取得极值的地方。

然而，需要指出的是，导数的零点并不一定都对应着原函数的极值点。

有可能是函数的拐点或者导数不存在的点。

因此，导数的零点只是可能是原函数的极值点，而不是一定是极值点。

综上所述，导数的零点是原函数的极值点这个结论是成立的，
但需要注意的是，并不是所有的导数零点都对应着原函数的极值点，有可能是拐点或者导数不存在的点。

原函数与导函数的关系

课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。

由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。

备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。

教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。

最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。

对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。

整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。

2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。

证明的思路也要逆向思考。

发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。

3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶对称，研究前面的四个命题还是否成立。

研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a比迁移前面的方法。

能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。

4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。

教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。

4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。

教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。

原函数和导函数的关系公式

原函数和导函数的关系公式函数是数学中的基本概念，描述了两个集合之间的一个对应关系。

原函数和导函数是函数中的两个重要概念，在微积分中起着至关重要的作用。

本文将详细介绍原函数和导函数之间的关系公式，以及这些公式在实际问题中的应用。

一、原函数的概念原函数是指在一定范围内求导后得到该函数的函数。

具体来说，如果给定函数f(x)，在其定义域内存在一个函数F(x)，使得对于任意的x∈D，都有F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。

二、导函数的概念导函数是指函数的斜率函数，它描述了原函数在每个点上的变化率。

具体来说，如果给定函数f(x)，在其中一点x0处的导数值存在，那么这个导数值就是函数f(x)在点x0处的导函数，记作f'(x0)。

1.在函数的可导区间上，任意一点处的导数等于该点处的原函数的导函数。

即f'(x)=F(x)。

这个公式说明了原函数和导函数之间的一一对应关系。

在函数的导数存在的范围内，每个点的导函数都对应唯一的原函数。

因此，如果我们要求一个函数的原函数，可以先求出它的导函数。

2.如果两个函数在相同的可导区间上的每个点处的导数相等，那么这两个函数在该区间上只相差一个常数。

即f'(x)=g'(x)，则f(x)-g(x)=C。

这个公式是在给定两个函数在一些区间上的导数相等时，得到它们之间的关系。

由于两个函数的导数相等，表示它们在每个点处的变化率相同，因此它们只相差一个常数。

3. 对于幂函数y = ax^n (a ≠ 0)，其导函数为 y' = nax^(n-1)。

这个公式可以用来求解幂函数的导数。

幂函数是重要的基本函数之一，应用广泛。

通过求解幂函数的导数，可以得到它在每个点处的斜率，进而研究其变化规律。

4.对于指数函数y=e^x，其导函数为y'=e^x。

这个公式是指数函数的导数公式。

指数函数是一类特殊的函数，具有很多独特的性质。

通过求解指数函数的导数，可以研究它在每个点处的变化率，从而得到其变化规律。

§30原函数与导函数的关联

§30原函数与导函数的关联解：因从⽽≤0在上恒成⽴故f/(x)在上↘，⼜因f/(0)=0从⽽f/(x)≤0在上恒成⽴即f(x)在上↘故练习1.类⼆(三)次函数与其导函数的关联：(1)(2017年北京简化)求在区间上的最⼤值和最⼩值(2)(2014年福建简化)证：设则，⽽当x＞0时，解得g/(x)在(0,ln2)上↘当x＞0时，解得g/(x)在(ln2,＋∞)上↗故在(0,＋∞)上恒成⽴所以g(x)在(0,＋∞)上↗故即原命题成⽴证:(x＞0)⼆导“类⼀次”=>⼀导“类⼆次”=>原函数“类三次”⼀导零点看极值上⼩下⼤切为⾮原函数的极值⼀导上下看单调上增下减○驻点与原函数的凸凹性导函数的单调性与⼀导单调看凸凹增V减A平直线导函数的零点原函数的单调性导函数的上下性与说明⼆、图像之间的关联：注：记忆有困难的话，令原函数为f(x)=±x2……(3)(2004年浙江)设f/(x)是函数f(x)的导函数则y=f(x)的图象最有可能的是y=f/(x)的图象如右图所⽰【C】练习2.原函数与导函数图像之间的关联：(4)(2008年福建)已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如左图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是【D】1.周期性间的关联：三、原函数与导函数常见性质之间的关联：2.奇偶性间的关联：若原函数具有周期性则导函数具有与其相同的周期性反之则不然若原函数具有奇偶性则导函数具有与其相反的奇偶性反之则不然练习3.原函数与导函数性质间的关联：(5)已知函数f(x)是R上以2为周期的可导的偶函数则f/(2018)=_________0①正⽤：3.单调性及凸凹性间的关联：⼀导本⾝即斜率增⼤减⼩○驻点⼆导本⾝是曲率⼤凹⼩凸○拐点(6)(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数f/(x)且函数f(x)在x=-2处取得极⼩值,则函数y=xf/(x)的图象可能是【C】1.周期性间的关联：2.奇偶性间的关联：②反⽤：⼀导单调看凸凹增V减A平直线①正⽤：3.单调性及凸凹性间的关联：⼀导本⾝即斜率增⼤减⼩○驻点⼆导本⾝是曲率⼤凹⼩凸○拐点注1：原函数增⼀导在上半⾯原函数减⼀导在下半⾯注2：原函数凹⼀导增⼆导正……原函数凸⼀导减⼆导负……1.周期性间的关联：2.奇偶性间的关联：⼏个交点⼏极值上⼩下⼤切为⾮(7)(2012年重庆)设函数f(x)A.函数f(x)有极⼤值f(2)和极⼩值f(1)B.函数f(x)有极⼤值f(-2)和极⼩值f(1)C.函数f(x)有极⼤值f(2)和极⼩值f(-2)D.函数f(x)有极⼤值f(-2)和极⼩值f(2)如图所⽰，则下列结论中在R上可导,其导函数为f/(x)且函数y=(1-x)f/(x)的图像⼀定成⽴的是【D】针对训练：1.《新考案》P：3 6Ex7预习：导数不等式2.《新考案》P：38基础训练2⼀、求导运算之间的关联：⼆、图像之间的关联：三、性质之间的关联：§30原函数与导函数的关联割线极限是切线⼀导本⾝是斜率必须切点横坐标切点坐标及斜率知⼀有⼆基本功在即切点过待定切线的斜率⼀导的⼏何意义：⼆导曲率凸凹性伟⼤矮⼩⽤⼆次注1.因为⼤学对凸凹性的命名，是各⾃为政某些学校甚⾄恰好是相反的所以我们⽤A型、V型来说明凸凹性V⼤A⼩注2.如果记忆有困难，也可以取特例⼆次函数y=±x2来辅助记忆注3.拐点(反曲点)，直观地说,是凹凸分界点若在拐点有⼆阶导数，则其值为○注4.⼀阶与⼆阶导数综合应⽤的特例——切线法……⼆导的⼏何意义：曲线的曲率(凸凹性)凸凹性的应⽤①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式原函数凹⼀导增⼆导正……原函数凸⼀导减⼆导负……若f(x)为凸函数,则x逐渐增⼤时f(x)的增长幅度会越来越⼩若f(x)为凹函数,则x逐渐增⼤时f(x)的增长幅度会越来越⼤为凹函数为凸函数(V型)(A型)欲证凸凹性证明⽅法只需由于导数的⼏何意义得，存在ξ、η且x1＜ξ＜＜η＜x2只需证即证,即证在(x1,x2)上↗即证＞0在(x1,x2)上恒成⽴……——忽悠法注1.⼆次函数是极值点居中对号函数的上⽀是极值点偏左对号函数的下⽀是极值点偏右注2.可以取特例对号函数来辅助理解左⼩右⼤是V型对号函数A相反注3.三导在⼯程中，与“跃度”有关联三导的⼏何意义：极值点偏移1.曲边图形的⾯积2.数列求和3.平⾯曲线的弧长4.旋转体的体积⼀重定积分的⼏何意义⼀重定积分的⼏何意义⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前⼀重定积分的⼏何意义⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前⼀重定积分的⼏何意义⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前⼀重定积分的⼏何意义⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前⼀重定积分的⼏何意义oxy结论1：《选修2-2》P：56例1图中阴影部分的⾯积⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补⼀重定积分的⼏何意义结论2：图中阴影部分的⾯积⼀重积分是⾯积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补y=Asinωx⼀重定积分的⼏何意义单调性的应⽤——正⽤增⼤减⼩○驻点书写格式要简明注：书写格式要简明①当f(x)单调时②当f(x)不单调时因在Domain上恒成⽴故f(x)在Domain上↗（↘）当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↘⼀导不成来⼆导堪根⼆导紧相连⼆导不成换⽅法任尔函数多变幻增⼤减⼩不能变⼀导正负难分辨单调性的应⽤——连⽤有增有减不单调设⽽不求隐零点⼀导不成来⼆导⼆导不成换⽅法零点存在全靠猜显零点：……f/(x)＝0有零点f/(x)＝0⽆零点隐零点：可解：不可解：：即f/(x)恒正(负)……上述⽅法⽆效时，重新选取辅助函数g(x)设⽽不求整体观猜法设⽽不求单调性的应⽤——变⽤含参反⽤必须等等号验证常值舍增⼤减⼩○驻点书写格式要简明⼀导不成来⼆导⼆导不成换⽅法有增有减不单调设⽽不求隐零点单调性的应⽤——正⽤单调性的应⽤——连⽤单调性的应⽤——变⽤单调性的应⽤——反⽤单调性的应⽤——联⽤顶点偏移是代表构造对称正正反极值的概念②.数法：①.形法：(3)弱化定义：(2)标准定义：(1)举例描述：参选修2-2课本P：272.极值点是顶点的横坐标极⼤(⼩)值是顶点的纵坐标极值的概念，需掌握的3个细节1.顶点即是极值点⾕底极⼩峰极⼤3.费马定理：极值点的导数⼀定为○,反之则不然导数法求极值形法数化是关键⼀求驻点⼆单调三写极值靠图象书写格式要简明含参反⽤须验根适当结合⼆导法⼤⼩⼩⼤○为⾮⼀般地，f(x0)是极⼩值若则f(x0)是极⼤值f(x0)是⾮极值①②③极值局部最整体必有最值闭且连顶点即是极值点极值与最值的关联最值来源顶端点导数法求最值必有最值闭且连最值来源顶端点⼀论单调算顶端三写最值是格式能代则代罗⽐达是则名为筛选法形法数化是关键根的个数求近似解形法公式法零点存在定理导数法⽜顿切线法⼆分法隔根区间辅助函数是关键形法数化是技巧交点坐标⽅程解书写格式要简明1.内容：导数法堪根2.求法：⼀、求导运算之间的关联：⼆、图像之间的关联：三、性质之间的关联：§30原函数与导函数的关联f(x)是三次函数f//(x)是⼀次函数f/(x)是⼆次函数f///(x)是常值函数⼀、求导运算之间的关联：1.三次函数与其各阶导数之间的关联：注1.各函数的⾸项系数同号注2.原函数与导函数具有相对性三次函数的图像:注①⊿是⽅程的判别式⊿＞0⊿≤0注②对称中⼼是四次函数的图像:⽅程有⼀个实根或三个实根且有⼆个为重根时三个互异的实根时⽅程有f(x)是类三次函数f//(x)是类⼀次函数f/(x)是类⼆次函数f///(x)是类常值函数2.类三次函数与其各阶导数之间的关联：注1.各函数的⾸项系数同号注2.原函数与导函数具有相对性1.三次函数与其各阶导数之间的关联：必须理解的“类”⼆(三)次函数：1.⼀次函数与指对“合成”函数的图像：简⾔之：⼀般的是，“类⼆次”函数个别情况下，会退化成“类⼀次”函数1.⼀次函数与指对“合成”函数的图像：2.⼆次函数与指对“合成”函数的图像：3.其他函数与指对“合成”函数的图像：简⾔之：⼀般的是，“类⼆次”函数个别情况下，会退化成“类⼀次”函数简⾔之：⼀般的是，“类三次”函数个别情况下，会退化成“类⼀(⼆)次”函数①分式⼀次、三⾓函数与指对的“合成”仍然是“类三(⼆、⼀)次”函数②指数与对数的“合成”、是“类⼆(⼀)次”函数必须理解的“类”⼆(三)次函数练习1.类⼆(三)次函数与其导函数的关联：(1)(2017年北京简化)求在区间上的最⼤值和最⼩值析1：因从⽽≤0在上恒成⽴析2：即f//(x)是类常值函数析3：故f(x)是类⼆次函数、且开⼝朝下析5：将开⼝朝下的类抛物线染⾊，看图说话……析4：即求f(x)“⼈为定义域”上的最值。

导函数有界和原函数有界的关系

导函数有界和原函数有界的关系【原创版】目录1.导函数有界与原函数有界的关系2.导函数有界的定义和性质3.原函数有界的定义和性质4.导函数有界与原函数有界的联系与区别5.结论正文一、导函数有界与原函数有界的关系在微积分中，导函数和原函数的关系密切相关。

导函数反映了原函数在某一点的变化率，而原函数则表示了导函数在整个区间内的累积效果。

因此，导函数有界与原函数有界的关系值得深入探讨。

二、导函数有界的定义和性质导函数有界指的是函数的导数在整个定义域内满足一定的条件，即存在一个常数 M，使得|f"(x)|≤M 对所有的 x 都成立。

这里的 f"(x) 表示函数 f(x) 的导数。

导函数有界具有以下性质：1.若 f(x) 在 [a, b] 上可导，则 f"(x) 在 [a, b] 上连续。

2.若 f"(x) 在 [a, b] 上有界，则 f(x) 在 [a, b] 上可积。

三、原函数有界的定义和性质原函数有界指的是函数在整个定义域内满足一定的条件，即存在一个常数 M，使得|f(x)|≤M 对所有的 x 都成立。

原函数有界具有以下性质：1.若 f(x) 在 [a, b] 上可积，则 f"(x) 在 [a, b] 上可导。

2.若 f(x) 在 [a, b] 上有界，则 f"(x) 在 [a, b] 上连续。

四、导函数有界与原函数有界的联系与区别导函数有界与原函数有界之间存在一定的联系，主要表现在：若导函数有界，则原函数有界；若原函数有界，则导函数有界。

然而，两者之间也存在区别：1.导函数有界是原函数有界的充分条件，但不是必要条件。

这意味着，即使导函数有界，原函数也可能无界。

2.原函数有界是导函数有界的必要条件，但不是充分条件。

这意味着，即使原函数有界，导函数也可能无界。

五、结论导函数有界和原函数有界在微积分中具有重要意义。

了解导函数有界与原函数有界的关系，有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律。

导数和原函数周期

导数和原函数周期
具体看情况，例如原函数f(x)＝sinx+x不具有周期性，而导函数具有；例如原函数f(x)＝sinx+1具有周期性，导函数也具有周期性。

函数f(x)在它的每一个可导点x。

处都对应着一个唯一确定的数值：导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数。

函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。

这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。

但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

导数与原函数的关系

导数与原函数的关系咱就说啊，导数和原函数，那可真是数学里一对奇妙的存在呀！就好像是一对形影不离的好伙伴。

你想想看，原函数就像是一个人的成长轨迹，它记录着这个人一路走来的点点滴滴。

而导数呢，就像是这个人前进的速度。

导数能告诉你原函数在每个点上变化的快慢呀！比如说，一辆汽车在公路上行驶，原函数就是它走过的路程，而导数就是它的速度。

速度快的时候，导数就大；速度慢的时候，导数就小；要是停下来了，那导数不就成零了嘛！导数还能帮我们找到原函数的极值呢！这就好比是在人生路上找那些特别重要的转折点。

在这些点上，导数会发生变化，告诉我们这里可能有不一样的情况哦。

有时候我们想要让事情变得最好，或者最优化，就得靠导数来帮忙找到这些关键的点呢。

而且啊，导数和原函数之间还有很多有趣的关系呢。

就好像是两个人之间有着一种默契。

我们通过研究导数，可以更好地理解原函数的性质和行为。

你再想想爬山，原函数就是你爬山的高度，导数就是你爬山的陡峭程度呀！如果导数很大，那说明山势很陡，爬起来可费劲了；要是导数小，那可能路就好走一些。

在实际生活中，导数和原函数的应用那可多了去了。

工程师们用它们来设计更合理的结构，经济学家用它们来分析市场的变化，就连我们平时做个小计划，也能用到它们呢！难道不是吗？当我们想要合理安排时间，让效率最大化的时候，不就像是在找一个函数的极值点吗？我们要考虑做每件事情的速度，也就是导数，来让整个过程更加顺畅。

还有啊，导数和原函数也像是音乐中的旋律和节奏。

原函数是那优美的旋律，而导数就是节奏，让旋律更加生动有趣。

总之啊，导数和原函数的关系那可真是太重要、太奇妙了！它们相互依存，相互影响，一起为我们展现出数学世界的丰富多彩。

我们可千万不能小瞧了它们呀，要好好去探索、去发现它们的奥秘呢！它们能帮我们解决好多实际问题，让我们的生活变得更加美好，更加有意义。

所以啊，一定要重视导数和原函数的关系呀！。

导函数的奇偶性与原函数的关系

导函数的奇偶性与原函数的关系
(1) 如果一个函数是奇（偶）函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）是偶（奇）函数；
(2) 如果一个函数是奇函数，那么它的原函数（当然是在连续的前提下）一定是一个偶函数；
(3) 如果一个函数f(x)是一个非零的偶函数，那么在它的所有的原函数（当然是在连读的前提下）中只有一个是奇函数（这一个奇函数就是∫[0→x]f(f)dt），其他的原函数都是非奇非偶函数（实际上他就是前面那个奇函数，加上一个非零常数）;
(4) 如果一个函数是以T为周期的周期函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）也以T为周期的周期函数；
(5) 如果一个函数f(x)是以T为周期的周期函数，那么它的原函数（当然是在连续的前提下）减去x•(∫[0→T]f(t)dt)/T一定也是以T 为周期的周期函数（所以∫[0→T]f(t)dt=0时原函数是周期函数，≠0时原函数不是周期函数）。

导函数与函数的关系

导函数与函数的关系哎，说起导函数与函数的关系啊，那可真是数学世界里一对让人又爱又恨的好搭档。

说实话，当初学这块儿内容的时候，我可是没少头疼，感觉就像是在迷雾里找方向，怎么走都不对。

但随着时间的推移，我慢慢发现，其实它们之间的关系，还挺有意思的。

咱们先说说函数吧。

函数啊，就像是咱们生活中的一个规矩，你给它一个输入，它就给你一个固定的输出，不带一丝犹豫。

比如咱们平时用的那个y=f(x)，x就是那个输入，y就是那个输出。

你想想看，就跟你去超市买东西，你给售货员多少钱，人家就给你多少东西，道理是一样的。

函数就是这样一个固定的规则，给定了输入，就明确了输出。

那导函数呢，又是什么鬼？导函数啊，其实就是函数的一个“小助手”，它能帮助咱们了解函数在某一瞬间的变化情况。

听起来是不是有点抽象？别急，我给你举个简单的例子。

比如咱们开车，速度就是路程对时间的导函数。

你想象一下，你在路上开车，突然前方有个急弯，你的速度就会发生变化，对吧？那这个变化是怎么来的呢？就是通过观察时间的一点点流逝，然后看看路程是怎么一点点增加的，从而得出速度这个导函数。

现在咱们来聊聊它们之间的关系吧。

说实话，函数和导函数啊，就像是一对好朋友，互相依存，互相影响。

函数是导函数的基础，没有函数，导函数就无从谈起。

而导函数呢，又是函数的“灵魂”，它能让咱们更深入地了解函数的本质和特性。

比如说吧，咱们遇到一个函数y=x^2，它的导函数就是y'=2x。

你看，这个导函数就告诉咱们，当x增加一点点的时候，y是怎么增加的。

比如x 从1增加到1.01，那y就从1增加到1.0201，这个增加量就是2x在x=1时的值，也就是2乘以1等于2。

所以，导函数就像是函数的一个“放大镜”，能让咱们更清楚地看到函数在某一瞬间的变化情况。

而且啊，导函数还有一个特别重要的功能，就是它能帮助咱们找到函数的极值点。

你想想看啊，如果一个函数在某个点达到了最大或最小值，那它在这个点的导数就一定是0，对吧？因为在这个点，函数的变化率已经为0了，也就是说，它已经无法再增加或减少了。

导数和原函数的联系

导数和原函数在微积分中具有紧密的联系。

导数代表函数在某个点处的变化率或斜率，是原函数在某点切线的斜率。

而原函数则是导数的反操作。

求导和求原函数是彼此的反向操作，可以通过求导得到一些通用的结论。

例如，如果$f(x)$是一个多项式函数，那么其导数$f'(x)$就是多项式系数乘以$x$的幂次，再将幂次减一。

此外，原函数和导函数之间的关系在微积分中具有极其重要的作用。

从直觉上讲，如果知道$f(x)$的导数$f'(x)$，那么就能够反向推出$f(x)$最初的形式。

这种方法在工程、科学和数值计算中有着非常广泛的应用。

例如，可以通过测量车辆加速度曲线来计算导数，然后再求出加速度曲线的原函数，从而更好地理解车辆的行驶情况，为设计优化提供帮助。

此外，原函数和导函数之间的关系还可以帮助理解函数的性质和行为。

例如，一个函数的斜率变化率能够告诉我们函数在某个点处的“陡峭程度”。

如果一个函数在某个点处的导数很大，则说明函数在该点陡峭。

相比之下，如果函数在某个点处的导数很小，则说明函数在该点相对平滑。

综上所述，原函数和导函数之间存在一种非常紧密的联系。

通过求导和求原函数，可以相互推导出函数的性质和行为，这种方法在微积分中扮演着至关重要的角色。