苏教版数学高三-高一数学北师大版必修一第三章1 正整数指数函数 教案
高中数学 3.3指数函数概念与性质1教学案 北师大版必修1
5.函数 的定义域为.
四课后反思
五课后巩固练习
1.求函数y= 的定义域.
2.探究：在[m，n]上， 值域？
教学过程
一自主学习
1.一般地，函数 （ ＞0且 ≠1）叫做，其中 是自变量，函数的定义域为。
2
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过点（），即x=0时y=1
(4)在R上是
(4)在R上是
二师生互动
例1函数 （ ）的图象过点 ，求 , , 的值.
例2比较下列各组中两个值的大小：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
练1.已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1） ；（2） .
练2.比较大小：
（1） ；
（2） , .
三巩固练习
1.函数 是指数函数，则 的值为
A. 1 B.2 C. 1或2 D.任意值
2.函数f(x)= (a>0,a≠1)的图象恒过定点（）.
A. B.
C. D.
3.指数函数① ，② 满足不等式 ，则它们的图象是（）.
教案、学案用纸指数函数概念与性质
年级高一
学科数学
课题
指数函数概念与性质
授课时间
撰写人
学习重点
指数函数的概念和性质及其应用
学习难点
指数函数性质的归纳，概括及其应用
学习目标
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
高中数学3.1正整数指数函数导学案北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：3.1正整数指数函数【学习目标】1.知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；2 .过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊T一般T特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
3 .情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
【学习难点】函正整数指数数图像的特征。
【使用说明与学法指导】1. 通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2. 用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个,，，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：2. 某种商品的价格从今年起每年降低15%设原来的’价格为1, x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为_________________ ;3. 正整数指数函数的概念：一般地，函数________________________________ 叫作正整数指数函数，其中___________ 是自变量，定义域是__________________________ .说明：1 •正整数指数函数的图像是_______________ ,这是因为______________________ .【合作探究】1.判断下列函数是否为正整数指数:网数.⑴尸歹0<EN+)(2)尸了—盟”⑶尸2X爭据EN+)(4)尸症咨T+)(通过练习，让同学们巩固所学的概念)2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低y随经过年数变化的函数关系式。
P%,写出成本3.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1 %,(A)6 次(B)7 次(C)8 次(D)9 次【巩固提高】1.某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为增长5 %，经过x年，森林面积为yhm2。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 正整数指数函数》优质课教案_4
2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．[基础·初探]教材整理1根式阅读教材P48～P51“例1”以上部分，完成下列问题．1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示x ＝⎩⎪⎨⎪⎧n a ，n 为奇数，±n a ，(a ＞0)，n为偶数.(3)根式2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝a .(2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n ＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n 没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n ＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 分数指数幂阅读教材P 50例1以下～P 51“指数幂的运算性质”部分，完成下列问题． 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4)332＝________；(5)m －35＝________.【答案】 (1)352 (2)223 (3)2－35 (4)33 (5)15m 3教材整理3 有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂阅读教材P 51“指数幂的运算性质”至P 53“思考”，完成下列问题． 1．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23＝________. 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23 ＝2×(－3)×(－4)a 14－12＋14b 13＋23＋23＝24b 53.【答案】24b 53[小组合作型](1)5(－2)5； (2)4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)(x －y )2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5(－2)5＝－2. (2)∵3－π<0，∴4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32. (3)(x －y )2＝|x －y |＝⎩⎨⎧x －y ，x ≥yy －x ，x <y .(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.当－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎨⎧－2x －2，－3<x <1－4，1≤x <3.1．正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝________.【解析】 3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝(2－1)2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3) (b >0)．【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝＝a 34.(2)原式＝＝(3)原式＝1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a mn 的两点说明： (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题] 2.化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1D ．x 2【解析】x ·3x 2x ·6x ＝x 12·x 23x ·x 16＝x 12＋23－1－16＝x 0＝1.故选C. 【答案】 C(1)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－870＋[](－2)3－43＋16－0.75； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12× (a >0，b >0)．【精彩点拨】指数幂的运算性质化简求值根式与分数指数幂的互化【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：＋(1.5)－2________.【导学号：97030075】【解析】 原式＝＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.【答案】 12[探究共研型]探究1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.探究2 已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？ 【提示】 设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2.已知＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】(1)将＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知＝5，则＝________.【解析】因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3.【答案】 31．下列运算结果中，正确的是()A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A.【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710【解析】 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 【答案】 D4．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.【答案】 －45．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3aa 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果为分数指数幂).【导学号：97030076】【解】 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a . (2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23 ＝2x 14＋14＋12y －13＋23＝2xy 13.。
北师大版必修一3.1《正整数指数函数》word教案1
《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x > ②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
正整数指数函数 教案
正整数指数函数 教案一、 教学内容的分析1.教材所处的地位和作用本节课是北师大版教材必修一第三章第一节第一课时（3.1.1）《正整数指数函数》，是在学习了“正整数指数幂”、“函数的概念”的基础上展开的，学生已有了大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。
本节课还为后续学习“指数函数”和“数列”作铺垫，在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是对学生进行情感价值观教育的好素材。
2.学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为本节课的学习打好了基础。
但应用函数的思想解决实际问题的能力还很弱，所以应二、教法学法分析1.教法分析结合学情及知识特点，进一步落实数学学科核心素养，本节课我采用设问--合作--讨论式教学方法，配合多媒体等辅助教学，在知识的生成和应用（一）情景引入、复习导入指数爆炸一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。
再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。
以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。
教师引入事例，激发学生学习的兴趣。
探究1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂次数n与得到的细胞个数y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.〈三〉知识应用、巩圄提高例1某地现有森林面积为1000h m z，每年增长5%.经过x (xεN ＋）年，森林面积为y h m 2写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y = 1000(1 + 5%）正（x EN +) 经过5年，森林的面积为1000(1十5%)5二1276.28(hm 2).（答略〉例2已知锚经过100年剩留原来质量的95.76 % 设质量为1的错经过x年后的剩留量为y，求y关于x的函数解析式．解：设经过1年，锚剩留原来质量的a%则y ＝（孟）正，问＋）fo 寸I F、J AY AV －∞ 飞飞Ill－lJ G －m ／F『Ill－－今．（． …一···一二＝0.9576100.1 100’ • •• y = 0.9576100, (x EN +) （答略）（四）课堂小结、反思提高1，正整数指数函数的定义、图像特征。
高中数学 3.1 正整数指数函数导学案 北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：3.1 正整数指数函数【学习目标】1. 知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；２．过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
【学习难点】函正整数指数数图像的特征。
【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：（通过练习，让同学们巩固所学的概念）2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y 随经过年数变化的函数关系式。
3. 抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )(A)6次 (B)7次 ( C)8次 (D)9次【巩固提高】1. 某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为1000hm2,每年增长5％，经过x年，森林面积为yhm2。
(1)写出x,y间的函数关系式;(2)求出经过5年后，森林面积;2. 高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?3.:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?。
苏教版高中数学必修一第三章指数函数教学设计
即：1.情景设置，形成概念2.发现问题，深化概念3.深入探究图像，加深理解性质4.强化训练，落实掌握5.小结归纳6.布置作业（一）情景设置，形成概念1、引例：折纸问题：让学生动手折纸问题1：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间有什么关系？（2x y =）②记折前纸张面积为1，对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间有什么关系？（1()2x y =）问题2： ①x y 2=、1()2x y =及0.999879x y =这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x y a =的形式。
自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数）2、形成概念：（1）定义：形如x y a =（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。
问题3：一个新的数学概念的引入，一定要有研究的价值和意义。
此定义中，你觉得对底数a 有何要求？为什么？3．发现问题、深化概念例1：判断下列函数是否为指数函数，为什么？1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=(-3)x 4) ｙ=31+x ，5）(1)x y a =+ 例2： 1）若函数ｙ=(2a -3a+3) a x是指数函数，求a 值。
2）指数函数f(x)= a x （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。
（待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程））（二）深入研究图像，加深理解性质问题4：指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，也是很重要的初等函数。
我们应研究指数函数的哪些性质？又该如何研究呢？（图象——性质，具体——一般）学生操作： 操作一：利用描点法作函数2xy =与1()2x y =的图象； 操作二：利用描点法作函数3x y =与1()3x y =的图象； 问题5：（1）指数函数2x y =与1()2x y =的图象有何关系？函数3x y =与1()3x y =的图象有何关系？你能得到一般性结论吗？（2）指数函数2x y =、1()2x y =、3x y =、1()3x y =的图象有何有什么共同特征？又有什么区别呢？你能得到一般性结论吗？（学生观察图象得出结论）操作三：（借助几何画板演示）函数x y a =当1>a 和10<<a 时的若干个图象，请同学们观察，（1）当5.1=a ，2=a ，3=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？（2）当8.0=a ，5.0=a ，3.0=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？请你概括一下对数函数应具有什么性质。
高中数学北师大版必修一学案：第三章 1 正整数指数函数
学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一 正整数指数函数的概念思考 定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．梳理 正整数指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性 思考 比较12，(12)2，(12)3的大小，你有什么发现？梳理 函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减．知识点三指数型函数思考y＝3·2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．类型一正整数指数函数的概念命题角度1判断是否为正整数指数函数例1下列表达式是否为正整数指数函数？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝e x(x∈N＋)．反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝－2x ，x ∈N ＋ B ．y ＝2x ，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈N ＋ D ．y ＝(12)x ，x ∈N ＋命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x ，则f (2)等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x 是正整数指数函数，则a 应满足________． 类型二 正整数指数函数的图像与性质例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质． (1)y ＝2x (x ∈N ＋)； (2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)．反思与感悟 通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成． 跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像． (1)y ＝3x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x .类型三正整数指数函数的应用例4某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)1．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x (a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．a <1 C ．a >1D ．a >23．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84% B ．减少7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减4．函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的值域是( )A ．RB ．正实数C ．ND ．{13，132，133，…}5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x (x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”或“减少”)1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集． 2．当a >1时是增函数． 3．当0<a <1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝2x ，x ∈N ＋，自变量在指数上． 知识点二思考 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12)x ，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．知识点三思考 不是，正整数指数函数的系数为1. 题型探究例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x ＝(13)x ，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.] 例2 C [∵f (x )是正整数指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，a >0且a ≠1，∴a ＝3，f (x )＝3x . ∴f (2)＝32＝9.]跟踪训练2 a <13，且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－3a >0，1－3a ≠1，解得a <13，且a ≠0.例3 解 列表比较如下：正整数集N跟踪训练3 解 (1)(2)例4 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则 1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )， 2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3， x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋，即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋. (2)将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%， x ＝5代入上式，得y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)， 即5期后本利和约为1 117.68元．跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ， x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL. 由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08， (12)x ≤415.采用估算法， 当x ＝1时，(12)1＝12>415；当x ＝2时，(12)2＝14＝416<415.由于y ＝(12)x 是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2， 故至少过2小时驾驶员才能驾驶．当堂训练1．B 2.D 3.B 4.D5．增加解析∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．。
北师大版高中数学必修一教案第三章指数函数的概念及图像和性质
§3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时）一. 教学目标： 1．知识与技能（1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x y =与1()2x y =的图象和性质；（3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响；（5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点 重点：（1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响；（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点：（1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2x y =的图象.xx从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.组2x第二课时问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；x 例1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合；(2)已知a4/5>a2 ,求实数a的取值范围.练习p73 1,2作业p77习题3-3 A组 4,5课后反思：第三课时（1）提出问题指数函数y=a x (a>0,a≠1) 底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论a>1和0<a<1两种情况。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 正整数指数函数》优质课教案_1
北师大版数学1第三章第1节
课题：正整数指数函数
教学设计
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解正整数指数函数模型的实际背景
（2）了解正整数指数函数的概念。
（3）理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性。
（4）借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。
2.过程与方法
让学生结合实际问题，感受应用函数概念建立模型的过程与方法。
3.情感、态度与价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
（2）培养学生观察问题、分析问题的能力。
【重点与难点】
重点：本节的教学重点是正整数指数函数的概念及图象特征, 难点：对正整数指数函数概念的理解。
难点突破：通过实例，利用计算器（可用几何画板辅助），画出某些
正整数指数函数的图像，加深对概念的理解。
【教学过程】。
北师大版高中数学必修一第三章第1节正整数指数函数.docx
§1 正整数指数函数1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域． 2．掌握正整数指数函数的性质及应用．正整数指数函数(1)定义：一般地，函数y ＝_______(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数．其中x 是______(x 在指数位置上)，底数a 是常数．(2)定义域：__________.(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x 轴的__________． 【做一做1－1】 下列函数是正整数指数函数的为( )．A ．y ＝－2x (x ∈N ＋)B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝x 2(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋) 【做一做1－2】 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈N ＋)，则f (2)＝__________.答案：1．(1)a x 自变量 (2)N ＋ (3)孤立 上方 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】491．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a ＞0且a ≠1?剖析：(1)若a ＝0，则由于x ∈N ＋，则a x ＝0，即a x 是一个常量，没有研究的必要． (2)若a ＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x 的某些取值，a x 无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈N ＋，a x ＝1，即a x 是一个常量，没有研究的必要．为了避免出现上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1，在规定以后，对于任意x ∈N ＋，a x 都有意义，且a x ＞0.2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋)的图像如图所示．题型一 判断正整数指数函数【例1】 若x ∈N ＋，下列哪个函数是正整数指数函数？ (1)y ＝(－2)x ；(2)y ＝x 3；(3)y ＝7×2x ；(4)y ＝(13)x ；(5)y ＝(π－1)x .分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)即可． 反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a ＞0，a ≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y ＝x α(α是常数)的区别．题型二 正整数指数函数的性质【例2】 画出正整数指数函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．反思：正整数指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的值域是{a ，a 2，a 3，…}．当a ＞1时，为增函数，当0＜a ＜1时，为减函数．题型三 实际应用中的正整数指数函数【例3】 已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x 百年后剩留量为y 克(其中x ∈N ＋)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．答案：【例1】 解：(1)y ＝(－2)x 的底数小于0，不是正整数指数函数． (2)y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．(3)y ＝7×2x 中2x 的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数． (4)(5)是正整数指数函数．【例2】 解：列表，描点作图，如图所示.x 1 2 3 … y3927…单调性：函数y ＝3x (x ∈N ＋)是增函数． 值域是：{3,32,33，…}．【例3】 解：镭原来质量为20克； 100年后镭的质量为20×95.76%(克)； 200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)； 300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)； ……x 百年后镭的质量为20×(95.76%)x (克)． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝20×(95.76%)x (x ∈N ＋)．∴经过1 000年(即x ＝10)后镭的质量为 y ＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1 若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )． A ．y ＝x 4 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 2函数y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)的值域是( )．A ．RB ．R ＋C ．N D.23111,,,222⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭3 函数y ＝43x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数 4 已知f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(3,64)，则f (2)＝________. 5 一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y 随经过年数x 变化的函数关系式．答案：1．D 2.D 3.A4．16 由题意，得a 3＝64，∴a ＝4. ∴f (x )＝4x .∴f (2)＝42＝16.5．分析：归纳出函数关系式．解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8. 当x ＝1时，y ＝220×0.8；当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；……所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1,2,3，…10)．。
高一数学北师大版必修1教学教案第三章1正整数指数函数(1)
课题：§3.1正整数指数函数一、教学分析教材分析：《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。
通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。
此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。
学情分析:通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生已初步掌握函数的基本知识能力层面：学生已经掌握了用列表法解决问题，初步具备了“数形结合”的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。
但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均二、教学目标知识与技能：（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念。
（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质。
（3）理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性。
过程与方法：（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法。
（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫。
情感·态度·价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心。
三、教学重、难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征。
难点：正整数指数函数概念的理解。
四、设计思路与教学方法探究交流，讲练结合。
启发诱导探求新知（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n(+∈Nn)与得到的细胞个数y之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式；试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.(4)试分析随着分裂次数的增加，细胞的个数是增加还是减少.学生回答：（1）列表法：（2）图像法：（3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为ny2,n N+=∈；用科学计算器算得215=32768,220=1048576.（4）通过计算和看图可以知道,随着分裂次数的增加,细胞的个数在逐渐增加。
高中数学北师大版必修1第三章《正整数指数函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修1第三章《正整数指数函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能:
①了解正整数指数函数模型的实际背景;
②了解正整数指数函数的概念;
③理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性;
④借助计算器(利用几何画板辅助)的运算功能,计算一些正整数指数函数值;
2.过程与方法:
通过自主探索,让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程,完善认知结构,领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理;
②培养学生观察问题、分析问题的能力
2学情分析
由于高一学生学生已经在初中阶段学习了正比例函数、一次函数、二次函数等函数的知识,他们的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡,思维能力的提高是一个转折期,但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力。
有好奇心、好胜心、进取心,富有激情、思维活跃。
本节教师若能引导学生将指数函数的图象知识与已学知识进行对比去理解指数函数的图象与性质,则一定能从中发现指数函数的本质,所以对已经熟悉掌握函数性质基本研究方法的学生来说,学习本课并不是太难。
3重点难点
教学重点:正整数指数函数的概念及图像特征。
教学难点:对正整数指数函数概念的理解。
难点突破:通过实例,利用计算器(利用几何画板辅助),计算正整数指数函数值,并能画出某些正整数指数函数的图像,加深对概念的理解。
4教学过程。
苏教版高中数学必修一指数函数教案(1)
指数函数一、教学目标1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，掌握指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质。
2、过程与方法：通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察、分析、归纳猜想的能力,进一步体会数形结合的思想方法.3、情感、态度和价值观：通过对指数函数的研究,让学生体验从特殊到一般的学习规律，认识数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学重点、难点重点：指数函数的图像和性质。
难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。
突破难点的关键：寻找新知识生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。
三、教学方法与手段本节课采用自主探究、合作交流的教学方法，借助多媒体，引导学生观察、分析、归纳、概括，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
四、教学过程(一)创设情境问题一、某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第一次分裂后变为细胞2个，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞， ……分裂次数x 与细胞个数y 有什么关系通过学生观察细胞分裂的过程，探究分裂次数与细胞个数的关系，归纳猜想得到y=2x (x ∈N)问题二、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%。
求出这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系。
分析：最初的质量为1，时间变量用x 表示，剩留量用y 表示， 经过1年，y=0.841 经过2年，y=0.842 经过3年，y=0.843…… 经过x 年，y=0.84x (x ∈N*) (二) 引入概念引导学生从结构式、底数、指数三个方面观察y=2xy=0.84x 得到这类函数的特点是底数为常数，指数为 自变量 指数函数的定义：一般地，函数y=a x(a>0,a ≠1,x ∈R)叫做指数函数。
如：函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数，它们的定义域都是实数集R ，提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数讨论： y= a x 在x ∈R 的前提下，为什么规定a>0,a ≠1 (1）若a<0, a x 不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,（1）若a=0,则当x>0时，a x =0; x ≤0时，a x 无意义. (3)若a=1,则对于任意x ∈R,a x =1为常量。
数学高一(北师大)必修1示范教案 3.1正整数指数函数
示范教案{§1正整数指数函数}教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图像的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)＝a x的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)＝log a x的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)，初步了解反函数的概念和f－1(x)的意义．本章的重点是两种初等函数的概念、图像及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图像的观察，归纳得出一般图像及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这两种函数的图像及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点．教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图像和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步地知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．通过运用计算机绘制指数函数的动态图像，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．本章教学时间约需14课时，具体分配如下(仅供参考)：§1正整数指数函数教学分析正整数函数的引入有两个基础，一是第二章函数的概念，“函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集上的映射”，因而我们可以建立一个正整数集到正整数集上的映射——正整数指数函数；二是学生已有这方面的大量生活体验，他们熟悉的增长问题、复利问题、质量浓度问题都可归结为正整数指数函数．正整数指数函数通过两个实际问题“细胞分裂”和“氟化物的释放”给出，这样说明指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受和培养应用数学的意识．正整数指数函数的概念为以后学习的“指数函数”及“数列”作准备，本节的作用只是把学生熟悉的问题同函数观点整理提高，通过实例理解认识，不必过于展开．三维目标1．了解正整数指数函数的概念，能画出一些简单正整数指数函数的图像，并了解它们的图形特征．2．了解正整数指数函数在我们实际生活中的应用．3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想、化归与转化能力的培养．重点难点教学重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征．教学难点：正整数指数函数图像的特征．课时安排1课时教学过程导入新课1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为2%，到2008年底人口将达到多少亿？(取1.0216＝1.37)为解决这个问题，我们必须建立相应问题的数学模型、函数关系，设年数为x，人口数为y，则y＝54.8(1＋2%)x，其中x∈N＋，我们给y＝(1＋2%)x起个名字(x∈N＋)为正整数指数函数引出本节课题．推进新课提出问题问题1.某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……一直分裂下去．①列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数；②用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系；③写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15,20次得到的细胞个数．2．根据上述的关系式，归纳一般的函数关系式，并指出其定义域．活动：问题是常见的细胞分裂问题，利用解决问题的一般思路，顺理成章．①把题目的含义读出来，列举写出；②列表法，描点、画出函数的图像，要注意观察图像的特点；③归纳出y与n之间的关系用函数模型表示出来，再计算得到的细胞个数，注意归纳法的应用．讨论结果：1.①利用正整数指数幂的运算法则可以算出，如下表：图1③根据题意可得细胞分裂次数n与细胞个数y之间的关系式为y＝2n(n∈N＋)，用科学计算器计算得215＝32 768,220＝1 048 576.那么细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32 768个和1 048 576个．2．对于y＝2n(n∈N＋)，我们用更一般的式子来表示，用a取代2(a＞0)，用x取代n(x∈Nx(a＞0且a≠1，x∈N＋)，我们称这样的函数为正整数指数函数，＋)，则上式可以表示为y＝a其中定义域为x∈N＋，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数．特别指出的是y＝a x有如下特点：①x是自变量，定义域是正整数集N＋，x在指数上．②当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减的函数．③规定底数大于0且不等于1.应用示例思路1例1 判断下列函数是否为正整数指数函数： (1)y ＝3x (x ∈N ＋)； (2)y ＝3－x (x ∈N ＋)； (3)y ＝2×3x (x ∈N ＋)； (4)y ＝x 3(x ∈N ＋)．活动：学生审题，教师指导，要判断一个函数是否是正整数指数函数，要紧扣正整数指数函数的特点，即a x 的系数为1，x ∈N ＋，a 是大于0且不为1的常数，掌握了这些特点，不难判断．解：(1)y ＝3x (x ∈N ＋)，符合定义，是正整数指数函数．(2)y ＝3－x (x ∈N ＋)，由于y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，所以它也是正整数指数函数． (3)y ＝2×3x ，不符合定义特点，所以不是． (4)y ＝x 3，不符合定义特点，所以也不是． 点评：紧扣正整数指数函数的特点是判断的关键．例2 下列给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )． A ．y ＝1.2x (x ∈N ＋) B ．y ＝3x (x ∈N ＋) C ．y ＝0.999x (x ∈N ＋)D ．y ＝πx (x ∈N ＋)活动：学生读题，然后思考或讨论，教师引导学生回忆正整数指数函数的性质，紧扣性质解题．由于1.2＞1,3＞1，π＞1,0.999＜1，所以选C. 答案：C 思路2例1 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 近似满足关系式Q ＝Q 0·0.997 5t ，其中Q 0是臭氧的初始量，t 是时间(年)．这里设Q 0＝1.(1)计算经过20,40,60,80,100年，臭氧含量Q ； (2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少．活动：学生思考或交流，依次用计算器算出臭氧含量Q ，教师适时点拨指导． 解：(1)使用科学计算器可算得，经过20,40,60,80,100年后，臭氧含量Q 分别是： 0．997 520＝0.951 2， 0．997 540＝0.904 7， 0．997 560＝0.860 5， 0．997 580＝0.818 5， 0．997 5100＝0.778 6.(2)图2表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像也是由一些孤立的点组成．图2(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭氧的含量在逐渐減少．点评：注意实际问题的图像与数学模型的图像的差别，要深刻体会．2某地现有森林面积为1 000 hm2，每年增长5%，经过x(x∈N＋)年，森林面积为y hm2，写出x，y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y＝1 000(1＋5%)x(x∈N＋)，经过5年，森林的面积为1 000(1＋5%)5＝1 276.28(hm2)．知能训练本节练习拓展提升让学生从报纸、杂志中或上网搜集有关正整数指数函数的实例，并进行交流，把体会写成一个论文的形式上交．课堂小结1．正整数指数函数的概念．2．正整数指数函数的图像特征．作业习题3—11,2,3.设计感想正整数指数函数的概念是在前面学习的函数的基础上，结合具体实例引入的，比较贴近实际，因此通过实例模型引导学生，指出其定义域，很多问题如人口问题、森林问题、细胞分裂问题等都与正整数指数函数有关，因此，要反复学习，深刻体会，为下一步学习打下良好的基础．备课资料抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽()．A．6次B．7次C．8次D．9次解析：设至少要抽x次，则(1－60%)x＜0.1100. 解得x＞7，即最少要抽8次．答案：C。
高中数学北师大版必修1第三章《3.1 指数函数的概念》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版必修1第三章《3.1 指数函数的概念》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
知识目标:①掌握指数函数的概念;
②掌握指数函数的图象和性质和简单应用;使学生获得研究函数的规律和方法。
能力目标:①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力;
②体会数形结合思想、分类讨论思想,增强学生识图用图的能力;
情感目标:①让学生自主探究,体验从特殊→一般→特殊的认知过程,了解指数函数的实际背景;
②通过学生亲手实践,互动交流,激发学生的学习兴趣,努力培养学生的创新意识,提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。
2学情分析
1、学生知识储备
通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习,学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构,主要体现在三个方面:
知识方面:对正比例函数、反比例函数、一次函数,二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识,能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能方面:学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握,能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
素质方面:由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会,已初步了解了数形结合的思想。
2、学生的困难
本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡,所以学生学习起来有一定难度。
3重点难点
教学重点:进一步研究指数函数的图象和性质。
数学高一(北师大)必修1教案 3.1正整数指数函数
3.1正整数指数函数●三维目标1．知识与技能(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．(2)了解正整数指数函数的概念．(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．2．过程与方法让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．●重点难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征．难点：正整数指数函数概念的理解．通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．●教学建议1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．●教学流程创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机⇒启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练⇒巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像⇒归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练⇒进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第35页)课标解读1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点) 【问题导思】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？【提示】分裂次数12345678细胞个数2481632641282562．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？【提示】3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．1．正整数指数函数一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N ＋.2．正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3．指数型函数把形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为指数型函数(见学生用书第35页)下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x (x ∈N ＋) B ．y ＝(13)x (x ∈N ＋)C ．y ＝2×3x (x ∈N ＋)D ．y ＝x 3(x ∈N ＋)【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．【自主解答】 y ＝(－4)x 的底数－4<0，不是正整数指数函数；y ＝2×3x 中3x 的系数等于2，不是正整数指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y ＝(13)x 是正整数指数函数．【答案】 B1．正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a 的区别．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则实数a 的值为________．【解析】 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则a x 的系数a 2－3a ＋3＝1，且底数a >0，a ≠1.由此可知，实数a 的值为2.【答案】 2(1)画出函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【自主解答】 (1)函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)是单调递减的； (2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y ＝3x (x ∈N ＋)是单调递增的．(1) (2)1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0<a <1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数．当a >1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数．(1)函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点 (2)函数y ＝7x ，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋C ．[0，＋∞)D ．不存在【解析】 (1)因为正整数指数函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的底数23大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．(2)虽然正整数指数函数y ＝7x ，x ∈N ＋在定义域N ＋上单调递增，但是N ＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．【答案】 (1)D (2)D某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a 元，每期利率为r . (1)写出本利和y (单位：元)关于存期x 的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．【自主解答】(1)已知本金为a元，每期利率为r，则1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，3期后的本利和为a(1＋r)3元，……x期后的本利和为a(1＋r)x元，所以本利和y关于存期x的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．所以5期后的本利和约为1 117.68元．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)【解】由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：100年后镭的质量为20×95.76%克；200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．∴y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)．。
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正整数指数函数
[学习目标]
1、知识与技能
（1）结合实例,了解正整数指数函数的概念．
（2）能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．
2、过程与方法
（1）借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法．
（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．
3、情感．态度与价值观
通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．
[学习重点]:正整数指数函数的定义．
[学习难点]：正整数指数函数的解析式的确定．
[学习教具]：直尺、多媒体
[学习方法]：学生观察、思考、探究．
[学习过程]
【新课导入】
[互动过程1]
问题1．某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…
一直分裂下去．
（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,
得到的细胞个数;
分裂次数
细胞个数
（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n（n∈N+）与得到的细胞
个数y之间的关系;
（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用
科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数?
细胞个数y随着分裂次数n发生怎样变化?你从哪里看出?
小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是___________数,而且___________是变量,取值为________数．细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为_______________细胞个数y随着分裂次数n的增多而逐渐___________．
[互动过程2]
问题2．某种商品的价格从今年起每年降15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为：
其图像如何呢？
[互动过程3] 上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?
正整数指数函数的定义:
一般地,函数_____________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是________________________．
说明: 1．正整数指数函数的图像是_____________,这是因为___________________．
2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．
例题1 :某地现有森林面积为10002
hm ,每年增长5%,经过x （x ∈N+）年,森林面积为y 2hm ．写出x ,y 间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．
分析:要得到x ,y 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x ,y 间的函数关系式．
解:
００.０.０.０.
例题2 ：高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?
练习：
1. 某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?
2.抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )
A.6次
B.7次
C.8次
D.9次
3.下面给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )
(A)y=1.2x(x∈N+)
(B) y=3x(x∈N+)
(C) y=0.999x(x∈N+)
(D) y=πx (x∈N+)
注意：
正整数指数函数y=a x
（1）x是________________________，定义域是________________________
（2）规定底数________________________
判一判
判断下列函数是否为正整数指数函数
(1) y=3x (x∈N+)
(2) y=3－x (x∈N+)
(3) y=2×3x(x∈N+)
(4) y=x3(x∈N+)
练一练
作出函数图像
（1）y=3x
(2) y=(1/2)x
性质小结：
⏹当_______________________时是单调递增函数
⏹当_______________________时是单调递减函数
作业：
一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y随经过年数变化的函数关系式。