高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第3节 椭圆课件 理
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边长,a2=b2+c2. 3.已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a. 4.若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则a-c≤|PF|≤a+c.
夯基自测
1.(2015 江门礼乐中学第一次调研)已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为
F(0,1),离心率为 1 ,则 C 的方程是( D )
2
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y2 =1
(A) 2 2
(B) 1 2
(C) 3 2
(D) 3 3
解析: 如图所示,由于四边形 B1F1B2F2 是正方形,则△OB1F2 是等腰直角三角形.
法一 由于|OF2|=c,|B1F2|=a,∠OF2B1=45°, 所以椭圆的离心率
e= c = | OF2 | =cos∠OF2B1=cos 45°= 2 .故选 A.
2.方程Ax2+By2=1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是什么?
提示:该方程化为标准方程的形式为 x2 + y2 =1. 11 AB
故方程表示焦点在 x 轴上的椭圆的充要条件为 1 > 1 >0,即 B>A>0; AB
方程表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件为 1 > 1 >0,即 A>B>0; BA
43
43
(C) x2 + y 2 =1 (D) x2 + y 2 =1
42
34
解析:由已知得 c=1,e= c = 1 ,所以 a=2,所以 b2=a2-c2=3. a2
又椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭圆的方程为 x2 + y 2 =1. 34
2.(2015 高考广东卷)已知椭圆
x2 25
+
y2 m2
a2 b2
16 7
答案: (1)A
(2)(2014 高考辽宁卷)已知椭圆 C: x2 + y 2 =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 94
知识梳理
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 和 等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆 的 焦距 .
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
顶点
轴 焦点 焦距
离心率
a,b,c 的关系
|x|≤a;|y|≤b 曲线关于 x轴、y轴、原点 对称
|x|≤b;|y|≤a 曲线关于 x轴、y轴、原点 对称
长轴顶点(±a,0)
长轴顶点(0,±a)
短轴顶点(0,±b)
短轴顶点(±b,0)
a | B1F2 |
2
法二 由于|OB1|=|OF2|,所以 b=c, 所以 b2=c2,所以 a2-b2=a2-c2=c2,
所以 a2=2c2,所以 c = 2 .故选 A. a2
4.已知 F1,F2 是椭圆 x2 + y 2 =1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 43
16 7
7 16
16 7
7 16
解析:(1)因为点 A 在圆 B 内,所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切,
因为 B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,
设其方程为 x2 + y 2 =1,又 a=4,c=3,b2=7,所以方程为 x2 + y 2 =1.故选 A.
两点,则△F1AB 的周长为
.
解析:由已知可得△F1AB的周长为 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.
答案:8
5.直线
x-2y+2=0
过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
的左焦点
F1 和一个顶点
B,则椭圆的方程
为
.
解析:直线 x-2y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),
即为椭圆的左焦点,故 c=2. 直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1), 即为椭圆的顶点,故 b=1.
长轴长 2a 短轴长 2b
(±c,0)
(0,±c)
|F1F2|=2c
e= c ∈ (0,1) a
c2=a2-b2
【重要结论】
1.设椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b, a2 b2
这时,P 在短轴端点处;当 x=±a 时,|OP|有最大值 a,这时,P 在长轴端点处. 2.椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜
第3节 椭 圆
最新考纲 1.掌握椭圆的定义 、几何图形、标准方程及简单的几何性 质(范 围、对 称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合 的思想.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.椭圆的定义中,为何有常数2a大于|F1F2|的限制? 提示:当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时动点的轨 迹是不存在的.只有2a>|F1F2|时动点的轨迹是椭圆.
=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m 等
于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)9
解析:由 4= 25 m2 (m>0) m=3,故选 B.
3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1,B2,焦点为 F1,F2,若四边形 B1F1B2F2 是
正方形,则这个椭圆的离心率 e 等于( A )
1 A
0,
A 0,
方程表示椭圆的充要
条件为
wenku.baidu.com
1 B 1 A
0,
1 B
,
即
B A
0, B.
3.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?
提示:离心率 e= c 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b= a2 c2 就越小,椭圆就 a
越扁平;同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆.
故 a2=b2+c2=5,椭圆方程为 x2 +y2=1. 5
答案: x2 +y2=1 5
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及标准方程
【例 1】 (1)已知动圆 M 过定点 A(-3,0)并且与定圆 B:(x-3)2+y2=64 相切,则动 圆圆心 M 的轨迹方程为( )
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y 2 =1 (C) x2 - y 2 =1 (D) x2 - y 2 =1
夯基自测
1.(2015 江门礼乐中学第一次调研)已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为
F(0,1),离心率为 1 ,则 C 的方程是( D )
2
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y2 =1
(A) 2 2
(B) 1 2
(C) 3 2
(D) 3 3
解析: 如图所示,由于四边形 B1F1B2F2 是正方形,则△OB1F2 是等腰直角三角形.
法一 由于|OF2|=c,|B1F2|=a,∠OF2B1=45°, 所以椭圆的离心率
e= c = | OF2 | =cos∠OF2B1=cos 45°= 2 .故选 A.
2.方程Ax2+By2=1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是什么?
提示:该方程化为标准方程的形式为 x2 + y2 =1. 11 AB
故方程表示焦点在 x 轴上的椭圆的充要条件为 1 > 1 >0,即 B>A>0; AB
方程表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件为 1 > 1 >0,即 A>B>0; BA
43
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(C) x2 + y 2 =1 (D) x2 + y 2 =1
42
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解析:由已知得 c=1,e= c = 1 ,所以 a=2,所以 b2=a2-c2=3. a2
又椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭圆的方程为 x2 + y 2 =1. 34
2.(2015 高考广东卷)已知椭圆
x2 25
+
y2 m2
a2 b2
16 7
答案: (1)A
(2)(2014 高考辽宁卷)已知椭圆 C: x2 + y 2 =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 94
知识梳理
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 和 等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆 的 焦距 .
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
顶点
轴 焦点 焦距
离心率
a,b,c 的关系
|x|≤a;|y|≤b 曲线关于 x轴、y轴、原点 对称
|x|≤b;|y|≤a 曲线关于 x轴、y轴、原点 对称
长轴顶点(±a,0)
长轴顶点(0,±a)
短轴顶点(0,±b)
短轴顶点(±b,0)
a | B1F2 |
2
法二 由于|OB1|=|OF2|,所以 b=c, 所以 b2=c2,所以 a2-b2=a2-c2=c2,
所以 a2=2c2,所以 c = 2 .故选 A. a2
4.已知 F1,F2 是椭圆 x2 + y 2 =1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 43
16 7
7 16
16 7
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解析:(1)因为点 A 在圆 B 内,所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切,
因为 B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,
设其方程为 x2 + y 2 =1,又 a=4,c=3,b2=7,所以方程为 x2 + y 2 =1.故选 A.
两点,则△F1AB 的周长为
.
解析:由已知可得△F1AB的周长为 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.
答案:8
5.直线
x-2y+2=0
过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
的左焦点
F1 和一个顶点
B,则椭圆的方程
为
.
解析:直线 x-2y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),
即为椭圆的左焦点,故 c=2. 直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1), 即为椭圆的顶点,故 b=1.
长轴长 2a 短轴长 2b
(±c,0)
(0,±c)
|F1F2|=2c
e= c ∈ (0,1) a
c2=a2-b2
【重要结论】
1.设椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b, a2 b2
这时,P 在短轴端点处;当 x=±a 时,|OP|有最大值 a,这时,P 在长轴端点处. 2.椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜
第3节 椭 圆
最新考纲 1.掌握椭圆的定义 、几何图形、标准方程及简单的几何性 质(范 围、对 称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合 的思想.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.椭圆的定义中,为何有常数2a大于|F1F2|的限制? 提示:当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时动点的轨 迹是不存在的.只有2a>|F1F2|时动点的轨迹是椭圆.
=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m 等
于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)9
解析:由 4= 25 m2 (m>0) m=3,故选 B.
3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1,B2,焦点为 F1,F2,若四边形 B1F1B2F2 是
正方形,则这个椭圆的离心率 e 等于( A )
1 A
0,
A 0,
方程表示椭圆的充要
条件为
wenku.baidu.com
1 B 1 A
0,
1 B
,
即
B A
0, B.
3.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?
提示:离心率 e= c 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b= a2 c2 就越小,椭圆就 a
越扁平;同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆.
故 a2=b2+c2=5,椭圆方程为 x2 +y2=1. 5
答案: x2 +y2=1 5
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及标准方程
【例 1】 (1)已知动圆 M 过定点 A(-3,0)并且与定圆 B:(x-3)2+y2=64 相切,则动 圆圆心 M 的轨迹方程为( )
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y 2 =1 (C) x2 - y 2 =1 (D) x2 - y 2 =1