行列式习题课

210 121 012 Dn 000 000 000
000 210 000 121 000 012
210 000 120 000 011 000
000 000 000
210 121 011
27
由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列 展开得Dn-1,而第二个行列式从最后一行开始,每后一 行乘以(-1)加到相邻的前一行上,就变为下三角形,其 值为1,故得
2、行列式展开定理的推论.
ai1 Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0
a1jA1k+ a2jA2k + … + anjAnk = 0
( i= 1,2,…,n ). ( j= 1,2,…,n ).
( i ≠ j ).
( j ≠ k ).
3
3、非齐次线性方程组克拉默法则.
第1章
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
●拆项法
●乘积法
●析因子法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
第1章
2
二、主要定理
1、行列式的展开定理.
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
第1章
an1 an2
ann
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
= a1jA1j+ a2jA2j + … + anjAnj
质
●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和.则该行
列式可拆成两个行列式.
●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变.
1
n
D i j,
展
●行展开
aik Ajk
k 1
0
i j.
开
n
D i j,
●列展开
aki Akj
k 1
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
11
22
( n1)
2cos
1
0
D D 2cos
n
n1
1 2cos
1
0 1 2cos
00 00 00
0
0
0
0
0
0
1 1 2 cos (n2)
得 Dn= 2cosa Dn-1-Dn-2
Dn 2cos cos(n 1) cos(n 2) [cosn cos(n 2) ] cos(n 2)
cos n;
所以对一切自然数n结论成立 .
23
例10 求解下列行列式：
x 1 0
0 x 1
00
x
Dn
0
0
0
0
0
0
00
0
an an1 an2
x 1 a2 a1 x
解:把行列式按第1列展开
x 1 0x Dn x 00 an1 an2
00
1 0
00
x 1
(1)n1an 0 x
x 1
a2 a1 x
21
假设对阶数小于n的行列式结论成立,下面对于阶数
等于n的行列式也成立. 将 Dn 按最后一行展开
cos 1
0
00
1 2cos 1
00
0
Dn 2cos
1 2cos
00
0
0
0
0
0
0
11
0
0 2cos 1
0 1 2cos
1 1 2cos
( n1)
00 00 00
00
0
00
0
2cos 0
i1 i1
注:本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将
所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有１
的行(列)及含零较多的行(列);若没有１,则可适当选取便于
化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若
所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特
点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的．1·9
x1 x2 x3 x4 y
解: (公式法)作辅助函数 f ( y) x12 x22 x32 x42 y2
x13 x23 x33 x43 y3 x14 x24 x34 x44 y4
将上式按最后一列展开, 则f (y)为y的一个4次多项式，
且一次项y的系数为－D, 于是可以通过考察多项式f (y)来
求D.
an1
ann1 ann an1 0
n ( n 1)
= (1) 2 a1na2n1 an1.
0 0
ann
a1n 0
0
第1章
7
3、设D1是m 阶行列式，D2是n 阶行列式，则
D= D1 0
0 D2
D1D2；
0 D=
D2
D1 0
(1)mn D1D2。
4、范德蒙行列式
11 x1 x2 x12 x22
1
c c2 c2 ab bc ac
14
a a2 1 (ab bc ac) b b2 1
c c2 1
1 a a2 =(ab bc ac) 1 b b2
1 c c2
(ab bc ac)(b a)(c a)(c b).
又因a>b>c>0，所以D<0.
15
例6 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
00
00 00 00
x 1 24
降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构
相同,此行列式用Ｄn-1表示,而后一个行列式是三角形
行列式,则上式可表示为
Dn an xDn1 ①
把 Dn-1 按同样的方法展开得
D n1
a n1
xDn2
②
把 ②代入 ①中得
Dn an xan1 x2 Dn2
依次下去，得
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn
的系数行列式D≠0,则方程组有唯一解
x1
D1 D
, x2
D2 D
,
xn=
Dn D
.
其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式.
4
4、齐次线性方程组的克拉默法则.
10
例3 计算4阶行列式（加边法）
1+x 1 1 1
1 1 x 1 1
D
,
1 1 1+y 1
1 1 1 1 y
解 显然当x=0或y=0时，D＝0，当x≠0和y ≠ 0时，利
用展开定理，
1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1+x 1 1 1 -1 x 0 0 0 D 0 1 1-x 1 1 -1 0 x 0 0 0 1 1 1+y 1 -1 0 0 y 0 0 1 1 1 1-y -1 0 0 0 y 11
第1章
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0, a2n xn 0,
ann xn 0
的系数行列式D ≠ 0, 则方程组没有非零解.
若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为 零.
5
三、重要公式
1、对角行列式
λ1
D=
332
333
3 3 2
13
因此有
xx 2 2 x 1 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3 3 x 1
a a2 bc
例5 设a>b>c>0，试证 D b b2 ac 0.
c c2 ab
证：由于
a c3 ac1
c3
bc
1
a2
a2 ab bc ac
c3 cc1
D b
b2
b2 ab bc ac
将第1列的(-α1)倍加到第2列,将第1列的(-α2)倍加到 将第3列,…, 将第1列的(-αn)倍加到最后一列,得
18
10
00
1 x a1 0 0
n
Dn1 (x ai)1
a2 a1
x a2
0
i1
1 a2 a1 a3 a2 x an
n
n
( x ai) ( x ai).
Dn＝ (x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1).
20
例9 证明
cos 1 0
Dn
1 2cos
1
0 1 2cos
00 00 00
cos n.
0
0
0
1
0
0
0
1 2cos
证：对阶数n用数学归纳法
因为 D1= cosα，
D cos
2
1
1 2cos
2cos2 1
cos 2,
所以n=1,2，结论成立.
Dn an xan1 x2 Dn2 xn2 D2 ③
25
而
x D2 a2
1 a1 x
a2
a1x
x2
④
将 ④代入 ③中得
Dn an an1x a1xn1 xn
210
000
121
000
012
例11 计算n阶行列式 Dn
000
000 210
000
121
000
012
26
解: 将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的 性质可得
第一章行列式主要知识点网络图
第1章
概行 念列
式
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
ห้องสมุดไป่ตู้
a1n a2n (1)t a1p1a2 p2
anpn .
ann
行
一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.
列
式
●D = DT.
知
●互换行列式的两行(列)，行列式变号.
识 点
性
●某行有公因子可以提到行列式的外面.
f (0) ＝12．
9
a1 a2 a3 p
例2 设四阶行列式 D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=___0__.
解 因为当p＝0时，有A11=0, A21=0, A31=0, A41=0. 因而 A11+A21+A31+A41= 0． p ≠ 0时， 由与 pA11+pA21+pA31+pA41= 0, 即 p（A11+A21+A31+A41）= 0， 得 A11+A21+A31+A41= 0．
a1 a2 a3 a4 x
解：将第2, 3,…,n+1列都加到第一列,得
17
n
x ai
a1
a2
an
i 1
1 a1 a2
an
n
x ai
x
a2 an
n
1 x a2
an
a a i1
Dn1
x
n
ai
a2
x
(x ) 1
an
i i 1
x
2
an .
i 1
1 a2 a3
x
n
x ai
a2
a3
x
i 1
个字行列式, 其计算方法 如上．
0 0 0 0 -y
12
例4 不计算行列式值，利用性质证明
xx
2
2 x 1 3 ( x 1)( x 2)( x 3)
3 3 x1
证明：令
xx 2 f (x) 2 x 1 3
3 3 x1
由于f (x)是x 的三次多项式，且
112
222
3 3 2
f (1) 2 2 3 0, f (2) 2 3 3 0, f (3) 2 2 3 0
29
4
f ( y) (xi xj ) (y xk )
4i j1
λ2
λ1λ2 λn ;
λn
λ1
D=
λ2
n ( n 1)
(1) 2 λ1λ2 λn.
λn
第1章
6
2、上、下三角行列式.
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
= a11a22
0 0 D=
ann
ann .
an1 an2
0 a1n a11 a12
a2n1 a2n a21 a22
1111
1 1 1 1
c2
1 x
c1
xxyy
c3
1 x
c1
c4
1 y
c1
0 0
x00 0 x 0
1
0 0
这种计 算方法叫做 加边法,此方 法适用于主
c5
1 y
c1
0
0 0 y 0 对角线两侧
0
0 0 0 y 元素都相同
11 1 1 1
的行列式.在 第二步计算
0x 0 0 0
的行列式是
0 0 -x 0 0 x2 y2. 00 0 y 0
12 3
n
1 x 1 3
n
例8 计算n阶行列式 Dn 1 2 x 1
n.
12 3
x 1
解（析因子法）因为当x＝1时，Dn的前两行相同， 从而 Dn＝0，所以x－1为Dn的因子．
同理 x－2，x－3，…，x－（ n－1）均为Dn的因子，
且各公因子互素(无公因子),
所以Dn能被(x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1)整除，又注意到 Dn的展开式中最高次项xn-1的系数为1， 从而
D .
解 由于 D
1 ( ) 1 ,
1
16
又因为α,β,γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
所以，(x -α)(x –β)(x –γ)=0
由根与系数的关系可知，α+β+γ＝0，故D = 0.
例7 计算
x a1 a2 a3 an a1 x a2 a3 an Dn1 a1 a2 x a3 an .
xn xn2 (xi x j ).
ni j1
x x n-1
n-1
1
2
x n-1 n
8
四、典型例题
x -3 0 x
1 2x 2 1
例1 设 f (x) =
2 0 xx
3 1 2x
则 含x4 的项的系数为___2___；则含x3 的项的系数为 ___-_1_0__；常数项为__1_2____．
解 因为f(x) 是4次多项式,含x4的项只有一项a11a22a33a44 = 2x4，含x3的项有两项－a14a22a33a41=－6 x3和－a11a22a34a43 =－4 x3，常数项就是不含x的项，即
Dn Dn1 1. 于是由递推公式得 Dn Dn1 1 (Dn2 1) 1 Dn2 2=Dn3 3
21
D2 (n 2) 1
(n 2) n 1 2
28
1111
例12
计算行列式
D
x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43