2011中国数学奥林匹克答案[1]

2011中国数学奥林匹克试题解答

1. 设12,,...,n a a a (3n ≥)是实数，证明

22111

()2n

n

i i i i i n a a a M m +==⎡⎤

-≤-⎢⎥⎣⎦∑∑， 其中 11n a a +=，1max i i n

M a ≤≤=，1min i i n

m a ≤≤=，[]x 表示不超过x 的最大整数．（姚一隽提供）

证明 若2n k =(k 为正整数)，则

22211111

2()(),n n n

i i i i i i i i a a a a a n M m ++===⎛⎫-=-≤⨯- ⎪⎝⎭∑∑∑

从而

222

111

()().22n

n

i i i i i n n a a a M m M m +==⎡⎤-≤-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ 若21n k =+(k 为正整数)，则对于循环排列的21k +个数，必有连续三项递增或递减(因为

21

21

21

111

1

()()()0k k i

i i i i i i i a a

a a a a ++-+-==--=-≥∏∏，所以不可能对于每一个i ，都有1i i a a --与1i i a a +-异

号)，不妨设为123,,a a a ，则有

222122313()()(),a a a a a a -+-≤-

从而

222

211131111

32()()(),n n n n

i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a +++====⎛⎫-=-≤-+- ⎪⎝⎭∑∑∑∑

这就将问题化为了2k 个数的情形．我们有

22

2211311132()()2(),n n n

i i i i i i i i a a a a a a a k M m ++===⎛⎫-≤-+-≤- ⎪⎝⎭

∑∑∑

即

222111()(),2n n i i i i i n a a a k M m M m +==⎛⎫⎡⎤-≤-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

∑∑ 证毕．

2．如图，设D 是锐角三角形ABC 外接圆Γ上弧 BC 的中点，点X 在弧 BD 上，E 是弧 AX 的中点，S 是弧 AC 上一点，直线SD 与BC 相交于点R ，SE 与AX 相交于点T ．证明： 若 RT ∥DE ，则三角形ABC 的内心在直线RT 上．（熊斌提供）

证明 连接AD ，设AD 与RT 相交于点I ．因为D 是弧 BC 的中点，故AI 为BAC ∠的角平分线．连接AS ，SI ，则由RT ∥DE 知：

,STI SED SAI ∠=∠=∠

故A ，T ，I ，S 四点共圆，记此圆为1ω．

连接CE ，设CE 与RT 相交于点J ，连接SC ，则

SRJ SDE SCE ∠=∠=∠， 于是S ，J ，R ，C 四点共圆，记此圆为2ω．

设1ω，2ω除点S 外另一个交点为K ，下证K 为AJ 与CI 的交点． 设1ω与AJ （除点A 外）的交点为1K ，由于E 是弧 AX 的中点，所以

()

()

11122

SK A STA SA XE SA AE ∠=∠=

+=+ SDE SRT SRJ =∠=∠=∠，

故S ，1K ，J ，R 四点共圆，即点1K 在2ω上．同理，设2ω与CI （除点C 外）另一个交点为2K ，则点2K 在1ω上．所以，点1K 与2K 重合，且为AJ 与CI 的交点，即K 为AJ 与CI 的交点． 由于CAD CAI ∠=∠，且

TJE CJR CED CAD ∠=∠=∠=∠，

所以A ，I ，J ，C 四点共圆，因而ACI AJI ∠=∠．

又由C ，K ，J ，R 四点共圆知：BCI ICR AJI ∠=∠=∠，所以

ACI BCI ∠=∠，

故I 为三角形ABC 的内心．

K

J I

S T R X E D C

B A

3. 设A 是一个有限实数集，12,,...,n A A A 是A 的非空子集，满足下列条件: (1) A 中所有元素之和为0;

(2) 对任意 (1,2,,)i i x A i n ∈= ，都有120n x x x +++> ． 证明: 存在121k i i i n ≤<<<≤ ，使得

12.k i i i k A A A A n

<

这里X 表示有限集合X 的元素个数．（瞿振华提供）

证明 设11{,...,},....m m A a a a a =>> 则由条件(1)知1...0.m a a ++= 考虑每个i A 中的最小数，并设1,...,n A A 中恰有i k 个集合的最小数为,1,2,...,.i a i m = 则我们有

1,m k k n ++=

且由条件(2)知 110.m m k a k a ++>

对1,2,...,1,s m =-共有1...s k k ++个集合，其最小数.s a ≥故这些集合的并集包含在

1{,...,}s a a 中，元素个数不超过s ．

下证存在{1,2,...,1},s m ∈-使得1....s sn

k k k m =++>

用反证法，设对于1,2,...,1,s m =-都有 1....s sn k k m

++≤

由Abel 变换可知(注意10,11s s a a s m +->≤≤-)

11

111111110()(...)(...)()0,m m m m

j j s s s m m s s m j j s s j sn n k a a a k k a k k a a a n a m m --++====<=-+++++≤-+==∑∑∑∑

矛盾．对于这一s ，取1,...,n A A 中最小数s a ≥的那些集合，记为12,,...,k i i i A A A ．则由上述的结果可知，这些子集共有1...s sn

k k k m

=++>

个，且它们的并集的元素个数不超过s ，即 12|...|||.k i i i km k

A A A s A n n

≤<

=